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九年级上册数学期末试卷
一．选择题（共10 小题）
1．抛物线y＝（x﹣1）
2+2 的顶点坐标是（
）
A．（1，2）
B．（﹣1，2）
C．（1，﹣2）
D．（﹣1，﹣2）
2．已知关于x 的一元二次方程x
2+3x﹣2＝0，下列说法正确的是（
）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，点B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD＝130°，则∠BOD 的度数是（
）
A．50°
B．60°
C．80°
D．100°
5．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E 在同一条直线上，∠
ACB＝20°，则∠ADC 的度数是（
）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
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2
6．用配方法解方程x
2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（
）
A．（x﹣1）
2＝2
B．（x﹣1）
2＝4
C．（x+1）
2＝2
D．（x+1）
2＝4
7．如图，PA，PB 切⊙O 于点A，B，点C 是⊙O 上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（
）
A．54°
B．72°
C．108°
D．144°
8．若将半径为6cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（
）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
9．有n 支球队参加篮球比赛，共比赛了15 场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中
符合题意的是（
）
A．n（n﹣1）＝15
B．n（n+1）＝15
C．n（n﹣1）＝30
D．n（n+1）＝30
10．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣
x
2+
x+
，则该运动员此次掷铅球的成绩是（
）
A．6m
B．12m
C．8m
D．10m
二．填空题（共7 小题）
11．方程（x﹣3）（x+2）＝0 的根是
．
12．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD 的长
为
．
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3
13．若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x
2﹣4x+1＝0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范
围为
．
14．若点P（2a+3b，﹣2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），则（3a+b）
2020＝
．
15．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3 个白球、若干红球，从中随机摸取1
个球，摸到红球的概率是
，则这个袋子中有红球
个．
16．已知⊙O 的半径为10cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则
弦AB 和CD 之间的距离是
cm．
17．如图，将含有45°角的直角三角板ABC（∠C＝90°）绕点A 顺时针旋转30°得到△AB
′C′，连接BB′，已知AC＝2，则阴影部分面积为
．
三．解答题（共8 小题）
18．解方程：x
2﹣8x+1＝0．
19．一个不透明的盒子中装有2 枚黑色的棋子和1 枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其
余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一
枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
20．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O 在BC 边，且⊙O 经过A，B 两点上（不写作法，保
留作图痕迹）；
（2）连接AO，求证：AO 平分∠CAB．
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4
21．已知关于x 的方程（a﹣1）x
2+2x+a﹣1＝0．
（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；
（2）当a 为何值时，方程总有两个相等的实数根？求出此时a 的值及方程的根．
22．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE，且点E 在线段AD 上，
若AF＝4，∠F＝60°．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE 的长度和∠EBD 的度数．
23．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40 元．超市规
定每盒售价不得少于45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45 元时，每天可
以卖出700 盒，如果每盒售价每提高1 元，则每天要少卖出20 盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
24．如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，点A 为切点，BP 与⊙O 交于点C，点D 是
AP 的中点，连结CD．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AB＝2，∠P＝30°，求阴影部分的面积．
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5
25．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝
x
2交于A，B 两点，其中点A 的横
坐标是﹣2．
（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．
（2）在x 轴上是否存在点C，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若
不存在，请说明理由．
（3）过线段AB 上一点P，作PM∥x 轴，交抛物线于点M，点M 在第一象限，点N（0，1），
当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？
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6
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题）
1．抛物线y＝（x﹣1）
2+2 的顶点坐标是（
）
A．（1，2）
B．（﹣1，2）
C．（1，﹣2）
D．（﹣1，﹣2）
【分析】由抛物线解析式即可求得答案．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）
2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故选：A．
2．已知关于x 的一元二次方程x
2+3x﹣2＝0，下列说法正确的是（
）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据一元二次方程的构成找出其二次项系数、一次项系数以及常数项，再根据
根的判别式△＝17＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解．
【解答】解：在一元二次方程x
2+3x﹣2＝0 中，二次项系数为1，一次项系数为3，常数
项为﹣2，
∵△＝3
2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，
∴方程x
2+3x﹣2＝0 有两个不相等的实数根．
故选：B．
3．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
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7
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：C．
4．如图，点B，C，D 在⊙O 上，若∠BCD＝130°，则∠BOD 的度数是（
）
A．50°
B．60°
C．80°
D．100°
【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+
∠BCD＝180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D 在⊙O 上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°，
故选：D．
5．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E 在同一条直线上，∠
ACB＝20°，则∠ADC 的度数是（
）
A．55°
B．60°
C．65°
D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
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8
【解答】解：∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
6．用配方法解方程x
2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（
）
A．（x﹣1）
2＝2
B．（x﹣1）
2＝4
C．（x+1）
2＝2
D．（x+1）
2＝4
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x
2+2x﹣3＝0
∴x
2+2x＝3
∴x
2+2x+1＝1+3
∴（x+1）
2＝4
故选：D．
7．如图，PA，PB 切⊙O 于点A，B，点C 是⊙O 上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝（
）
A．54°
B．72°
C．108°
D．144°
【分析】由PA 与PB 都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P 的度
数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB 的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆
周角的2 倍，求出∠ACB 的度数即可．
【解答】解：如图所示，连接OA、OB．
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9
∵PA、PB 都为圆O 的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°．
∵∠P＝36°，
∴∠AOB＝144°．
∴∠C＝
∠AOB＝
＝72°．
故选：B．
8．若将半径为6cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（
）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
【分析】易得圆锥的母线长为6cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面
周长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷2＝6π（cm），
∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3（cm），
故选：C．
9．有n 支球队参加篮球比赛，共比赛了15 场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中
符合题意的是（
）
A．n（n﹣1）＝15
B．n（n+1）＝15
C．n（n﹣1）＝30
D．n（n+1）＝30
【分析】由于每两个队之间只比赛一场，则此次比赛的总场数为：
n（n﹣1）场．根据
题意可知：此次比赛的总场数＝15 场，依此等量关系列出方程即可．
【解答】解：设有n 支球队参加篮球比赛，则此次比赛的总场数为
n（n﹣1）场，
根据题意列出方程得：
n（n﹣1）＝15，
整理，得：即n（n﹣1）＝30，
故选：C．
10．如图，铅球运动员掷铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式是y＝﹣
x
2+
x+
，则该运动员此次掷铅球的成绩是（
）
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10
A．6m
B．12m
C．8m
D．10m
【分析】依题意，该二次函数与x 轴的交点的x 值为所求．即在抛物线解析式中．令y
＝0，求x 的正数值．
【解答】解：把y＝0 代入y＝﹣
x
2+
x+
得：
﹣
x
2+
x+
＝0，
解之得：x1＝10，x2＝﹣2．
又x＞0，解得x＝10．
故选：D．
二．填空题（共7 小题）
11．方程（x﹣3）（x+2）＝0 的根是
x＝3 或x＝﹣2
．
【分析】先把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵（x﹣3）（x+2）＝0．
∴x﹣3＝0 或x+2＝0，
解得：x＝3 或x＝﹣2，
故答案为：x＝3 或x＝﹣2．
12．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足为E．如果∠B＝60°，AC＝6，那么CD 的长为
6
．
【分析】由AB 是⊙O 的直径，根据由垂径定理得出AD＝AC，进而利用等边三角形的判定
和性质求得答案．
【解答】解：连接AD，
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11
∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足为E，
∴AD＝AC，
∵∠B＝60°，AC＝6，
∴CD＝AC＝6．
故答案为：6．
13．若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x
2﹣4x+1＝0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范
围为
m＜5 且m≠1
．
【分析】由一元二次方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m 的不等式，则可求得
m 的取值范围．
【解答】解：
∵关于x 的一元二次方程（m﹣1）x
2﹣4x+1＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＞0 且m﹣1≠0，即（﹣4）
2﹣4（m﹣1）＞0 且m≠1，
解得m＜5 且m≠1，
故答案为：m＜5 且m≠1．
14．若点P（2a+3b，﹣2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），则（3a+b）
2020＝
1
．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出3a+b＝﹣1，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（2a+3b，﹣2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），
∴
，
故3a+b＝﹣1，
则（3a+b）
2020＝1．
故答案为：1．
15．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3 个白球、若干红球，从中随机摸取1
个球，摸到红球的概率是
，则这个袋子中有红球
5
个．
【分析】设这个袋子中有红球x 个，根据已知条件列方程即可得到结论．
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12
【解答】解：设这个袋子中有红球x 个，
∵摸到红球的概率是
，
∴
＝
，
∴x＝5，
故答案为：5．
16．已知⊙O 的半径为10cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则
弦AB 和CD 之间的距离是
2 或14
cm．
【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；
作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．
【解答】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝8cm，CF＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴EO＝6cm，OF＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝2cm；
②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AF＝8cm，CE＝6cm，
∵OA＝OC＝10cm，
∴OF＝6cm，OE＝8cm，
∴EF＝OF+OE＝14cm．
∴AB 与CD 之间的距离为14cm 或2cm．
故答案为：2 或14．
17．如图，将含有45°角的直角三角板ABC（∠C＝90°）绕点A 顺时针旋转30°得到△AB
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13
′C′，连接BB′，已知AC＝2，则阴影部分面积为
2
．
【分析】在Rt△ABC 中，通过解直角三角形可求出AB 的长度，再根据含30°的直角三
角形的性质得到AB 边的高，再根据S 阴影＝S△ABB′′结合三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过B′作B′D⊥AB 于D，
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，AC＝2，
∴AB′＝AB＝
AC＝2
，
∴B′D＝
AB′＝
，
∴S 阴影＝S△ABC+S△ABB′﹣S△AB′C′＝S△ABB′＝2
×
÷2＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共8 小题）
18．解方程：x
2﹣8x+1＝0．
【分析】先变形得到x
2﹣8x＝1，再利用配方法得到（x﹣4）
2＝15，然后利用直接开平
方法解方程．
【解答】解：x
2﹣8x＝1，
x
2﹣8x+4
2＝﹣1+16
（x﹣4）
2＝15，
x﹣4＝±
，
所以x1＝4+
，x2＝4﹣
．
19．一个不透明的盒子中装有2 枚黑色的棋子和1 枚白色的棋子，每枚棋子除了颜色外其
余均相同．从盒中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回并搅匀，再从盒子中随机摸出一
枚棋子，记下颜色，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子颜色不同的概率．
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14
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的
棋子颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有9 种等可能的结果，两次摸出的棋子颜色不同的有4 种情况，
∴两次摸出的棋子颜色不同的概率为：
．
20．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O 在BC 边，且⊙O 经过A，B 两点上（不写作法，保
留作图痕迹）；
（2）连接AO，求证：AO 平分∠CAB．
【分析】（1）如图，作AB 的垂直平分线交BC 于O，然后以O 点为圆心，OB 为半径作圆
即可；
（2）通过计算∠CAO＝∠BAO＝30°进行证明．
【解答】（1）解：如图，⊙O 为所作；
（2）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
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15
而∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAO＝∠BAO＝30°，
∴OC 平分∠CAB．
21．已知关于x 的方程（a﹣1）x
2+2x+a﹣1＝0．
（1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；
（2）当a 为何值时，方程总有两个相等的实数根？求出此时a 的值及方程的根．
【分析】（1）将x＝2 代入原方程可求出a 的值，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（2）根据根的判别式即可求出答案；
【解答】解：（1）将x＝2 代入方程（a﹣1）x
2+2x+a﹣1＝0，
∴a＝
，
将a＝
代入原方程
x
2+2x﹣
＝0，
设另外一根为x，
由根与系数的关系可知：2x＝1，
∴x＝
；
（2）当a≠1 时，
由△＝0 可得：
4﹣4（a﹣1）
2＝0，
∴a＝2 或0，
当a＝2 时，
原方程为：x
2+2x+1＝0，
∴x1＝x2＝﹣1，
当a＝0 时，
原方程为：﹣x
2+2x﹣1＝0，
∴x1＝x2＝1，
综上所述，a＝2 或0 时，方程总有两个相等的实数根x1＝x2＝﹣1 或x1＝x2＝1，
22．如图，四边形ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到△ABE，且点E 在线段AD 上，
若AF＝4，∠F＝60°．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE 的长度和∠EBD 的度数．
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16
【分析】（1）由于△ADF 旋转一定角度后得到△ABE，根据旋转的性质得到旋转中心以及
旋转角的大小；
（2）根据旋转的性质得到AE＝AF＝4，∠AEB＝∠F＝60°，则∠ABE＝90°﹣60°＝30
°，运用勾股定理得到AB＝AD＝4
，∠ABD＝45°，所以DE＝4
﹣4，然后利用∠EBD
＝∠ABD﹣∠ABE 计算即可．
【解答】解：（1）若△ADF 顺时针旋转一定角度后得到△ABE，
则旋转中心为点A，旋转角为90°；
若△ADF 逆时针旋转一定角度后得到△ABE，
则旋转中心为点A，旋转角为270°；
（2）∵△ADF 以点A 为旋转轴心，顺时针旋转90°后得到△ABE，
∴AE＝AF＝4，∠AEB＝∠F＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∴BE＝2AE＝8，
∴AB＝
＝4
，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD＝AB＝4
，∠ABD＝45°，
∴DE＝4
﹣4，
∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝15°．
23．为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40 元．超市规
定每盒售价不得少于45 元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45 元时，每天可
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17
以卖出700 盒，如果每盒售价每提高1 元，则每天要少卖出20 盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45 元时，每天可以卖出700 盒，每盒售价每提高1
元，每天要少卖出20 盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1 盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再进行配方从而可求得答案．
【解答】解：（1）由题意得销售量y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（x≥45）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）
＝﹣20x
2+2400x﹣64000
＝﹣20（x﹣60）
2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60 时，P 最大值＝8000 元
即当每盒售价定为60 元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000 元．
24．如图，AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，点A 为切点，BP 与⊙O 交于点C，点D 是
AP 的中点，连结CD．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若AB＝2，∠P＝30°，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连结OC，AC，由切线性质知Rt△ACP 中DC＝DA，即∠DAC＝∠DCA，再结合
∠OAC＝∠OCA 知∠OCD＝∠OCA+∠DCA＝∠OAC+∠DAC＝90°，据此即可得证；
（2）先求出OA＝1，BP＝2AB＝4，
，再根据S 阴影＝S 四边形OADC﹣S
扇形AOC即可得．
【解答】解：（1）连结OC，AC，如图所示：
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18
∵AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，
∴∠BAP＝90°，∠ACP＝90°，
∵点D 是AP 的中点，
∴DC═
AP＝DA，
∴∠DAC＝∠DCA，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCD＝∠OCA+∠DCA＝∠OAC+∠DAC＝90°，
即OC⊥CD，
∴CD 是⊙O 的切线；
（2）∵在Rt△ABP 中，∠P＝30°，
∴∠B＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴OA＝1，BP＝2AB＝4，
，
∴
＝
．
25．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝
x
2交于A，B 两点，其中点A 的横
坐标是﹣2．
（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．
（2）在x 轴上是否存在点C，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若
不存在，请说明理由．
（3）过线段AB 上一点P，作PM∥x 轴，交抛物线于点M，点M 在第一象限，点N（0，1），
当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？
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【分析】（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得
直线与抛物线的交点坐标；
（2）如图1，过点B 作BG∥x 轴，过点A 作AG∥y 轴，交点为G，然后分若∠BAC＝90
°，则AB
2+AC
2＝BC
2；若∠ACB＝90°，则AB
2＝AC
2+BC
2；若∠ABC＝90°，则AB
2+BC
2＝AC
2
三种情况求得m 的值，从而确定点C 的坐标；
（3）设M（a，
a
2），如图2，设MP 与y 轴交于点Q，首先在Rt△MQN 中，由勾股定理
得MN＝
a
2+1，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到x＝
，从而得到MN+3PM＝﹣
a
2+3a+9，确定二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，
∴y＝
×（﹣2）
2＝1，A 点的坐标为（﹣2，1），
设直线的函数关系式为y＝kx+b，
将（0，4），（﹣2，1）代入得
，
解得
，
∴直线y＝
x+4，
∵直线与抛物线相交，
∴
x+4＝
x
2，
解得：x＝﹣2 或x＝8，
当x＝8 时，y＝16，
∴点B 的坐标为（8，16）；
（2）如图1，连接AC，BC，
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∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB
2＝325．
设点C（m，0），同理可得AC
2＝（m+2）
2+1
2＝m
2+4m+5，
BC
2＝（m﹣8）
2+16
2＝m
2﹣16m+320，
①若∠BAC＝90°，则AB
2+AC
2＝BC
2，即325+m
2+4m+5＝m
2﹣16m+320，
解得：m＝﹣
；
②若∠ACB＝90°，则AB
2＝AC
2+BC
2，即325＝m
2+4m+5+m
2﹣16m+320，
解得：m＝0 或m＝6；
③若∠ABC＝90°，则AB
2+BC
2＝AC
2，即m
2+4m+5＝m
2﹣16m+320+325，
解得：m＝32；
∴点C 的坐标为（﹣
，0），（0，0），（6，0），（32，0）
（3）设M（a，
a
2），如图2，设MP 与y 轴交于点Q，
在Rt△MQN 中，由勾股定理得MN＝
＝
a
2+1，
又∵点P 与点M 纵坐标相同，
∴
+4＝
a
2，
∴x＝
，
∴点P 的横坐标为
，
∴MP＝a﹣
，
∴MN+3PM＝
+1+3（a﹣
）＝﹣
a
2+3a+9，
∴当a＝﹣
＝6，
又∵﹣2≤6≤8，
∴取到最大值18，
∴当M 的横坐标为6 时，MN+3PM 的长度的最大值是18．
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