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人教版九年级上册数学期中试卷
一、选择题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分．每小题给出的4 个选项中，有且只有一个答案
是正确的）
1．下列美丽的图案，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
[来源:学*科*网]
2．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A．3x2﹣
＝0
B．2x+3y＝5
C．2x2+3＝1+2（x2+3x）
D．y2﹣3y＝0
3．已知x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3＝0 的两个根，则x1x2为（ ）
A．5
B．﹣5
C．﹣3
D．3
4．若关于x 的方程x2+x﹣m+
＝0 有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A．m≥2
B．m≤2
C．m＞2
D．m＜2
5．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转34°得到△DEC，边ED，AC 相交于点
F，若∠A＝30°，则∠EFC 的度数为（ ）
A．60°
B．64°
C．66°
D．68°
第5 题图 第7 题图 第8 题图[来源:Z&xx&k.Com]
6．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝x2﹣2x+5 向右平移4 个单位，再向下平移3 个单位得到的抛
物线的为（ ）
A．y＝（x﹣5）2+4
B．y＝（x+3）2+8
C．y＝（x+3）2+1
D．y＝（x﹣5）2+1
7．如图，AB，CE 均⊙O 为直径，点C，D 是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠E 的度数是（ ）
A．62°
B．56°
C．66°
D．76°
8．二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，给出以下结论：①b+2a＜0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣
3b+c＞0；④b+c＞0．其中正确的结论有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
第Ⅱ卷（非选择题共96 分）
二．填空题（本题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
9．若关于x 的方程x2﹣mx+8＝0 的一个根为4，则m＝ ．
10．已知点A（x﹣2，3）与B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则xy 的值是 ．
11．设a，b 是方程x2﹣x﹣2020＝0 的两个实数根，则a2﹣2a﹣b 的值为 ．
12．若方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）有一个根为x＝﹣1，那么抛物线y＝ax2﹣2ax+c 与x 轴正半轴的
交点坐标为 ．
13．如图，已知∠EAD＝34°，△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合，则∠BAE＝ 度．
14．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2 上的三点，则y1，y2，y3的
大小关系为 ．
15．如图所示，在⊙O 中，AB 为弦，OC⊥AB 交AB 于点D，且OD＝DC，
P 为⊙O 上任意一点，连接PA，PB，若⊙O 的半径为1，则S△PAB的最
大值为 ．
16．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m 为常数），当﹣1≤x≤3 时，函数的最小值为﹣4，则m 的值为
．
三．解答题（本大题共9 小题，共72 分）
17（本题5 分）．解下列方程： 5x2﹣18＝9x；
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18（本题7 分）．在边长为1 个单位长度的正方形网格中
建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在
格点上，
（1）作出△ABC 关于原点O 对称的△A2B2C2；
（2）点C2的坐标是： ．
19（本题7 分）．已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线x＝2，试
求这条抛物线的解析式．
20（本题7 分）．已知关于x 的元二次方程x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0．
（1）求证：无论m 取任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且：x1
2+x2
2﹣2x1x2＝13，求m 的值．
21（本题8 分）．如图，正方形ABCD，△ABE 是等边三角形，M 是正方形ABCD 对角线AC（不
含点A）上任意一点，将线段AM 绕点A 逆时针旋转60°得到AN，连接EN、DM．求证：EN＝
DM．
22（本题8 分）．甲商品的进价为每件20 元，商场确定其售价为每件40 元．
(1)若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40 元进行两次调价，已知该商品现价为每件
32.4 元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价0.2 元，即可多销售10 件．已知甲商品售价40 元时，每月可销售500
件，若该商场希望该商品每月能盈利10800 元，且尽可能扩大销售量，则该商品在应定价为多少
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元？
23（本题8 分）．如图，A、B 是⊙O 上的两点，∠AOB＝120°，C 是弧AB 的中点，CE⊥OA 交⊙O
于点E，连接AE．求证：AE＝AO．
24（本题10 分）．某名贵树木种植公司计划从甲，乙两个品种中选取一个种植并销售，市场预测
每年产销x 棵，已知两个品种的有关信息如表：
品种
每棵售价(万元)
每棵成本(万元)
每年其他费用(万元)
预测每年最大销量(棵)
甲
12
a
20
160
乙
20
12
60﹣2x+0.05x2
80
其中a 为常数，且7≤a≤10，销售甲，乙两个品种的年利润分别为y1万元，y2万元．
（1）直接写出y1与x 的函数关系式为 ．y2与x 的函数关系式为 ．
（2）分别求出销售这两个品种的最大年利润．
（3）为了获得最大年利润，该公司应该选择哪个品种？请说明理由．
25（本题12 分）．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于点A，点B，与y 轴交于点C，点D 与点
C 关于x 轴对称，点P 是抛物线上的一个动点．
（1）求直线BD 的解析式；
（2）当点P 在第一象限时，求四边形BOCP 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；
（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P，使△BDP 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，
求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
1．C． 2．D． 3．C． 4．A． 5．B． 6．D．[来源:学科网]
7．A．【提示】∵AB，CE 是直径，∴OA＝OE，∴∠E＝∠A，
∵∠BOC＝2∠CDB＝56°，∴∠AOE＝∠BOC＝56°，∴∠E＝
（180°﹣56°）＝62°，
故选：A．
8．C．【提示】①由图象得：0＜﹣
＜1，且a＜0，
去分母得：b＜﹣2a，即b+2a＜0，本选项正确；
②∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，本选项正确；
③∵x＝﹣3 时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，本选项错误；
④∵x＝1 时，y＝a+b+c＞0，∴b+c＞﹣a，∵a＜0，∴﹣a＞0，∴b+c＞0，本选项正确；
则所有正确的序号为①②④．故选：C．
9．
6
．
10． ﹣
2
．
11．
2019
．【提示 】∵a 是方程x2﹣x﹣2020＝0 的根，∴a2﹣a﹣2020＝0，
即a2﹣a＝2020，
∴a 2﹣2a﹣b＝a2﹣a﹣（a+b），∵a，b 是方程x2﹣x﹣
2020＝0 的两个实数根
∴a+b＝1，∴a2﹣2a﹣b＝a2﹣a﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019． 故答案是：2019．
12． （
3 ，
0 ）
．【提示】抛物线的对称轴是直线x＝﹣
＝1．
∴方程ax2﹣2ax+c＝0（a≠0）的另一根为x＝3．
则抛物线y＝ax2﹣2ax+c 与x 轴正半轴的交点坐标为（3，0）． 故答案是：（3，0）．
13．
16
． 【提示】∵△ADE 绕着点A 旋转50°后能与△ABC 重合，
∴∠DAE＝∠BAC＝34°，∠CAE＝50°，
∴∠BAE＝∠CAE﹣∠BAC＝50°﹣34°＝16°，
故答案为16．
14．
y 1＞
y 2＞
y 3 ．
15．
．【提示】连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，
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∴OD＝
OA＝
， ∴AD＝
＝
，AB＝2AD＝
．
当点P 为AB 所对的优弧的中点时，△APB 的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+
＝
．
∴△APB 的面积的最大值为＝
＝
．故答案为：
．
16．2 或﹣
．【提示】二次函数y＝x2﹣2mx（m 为常数），的对称轴为x＝m，
∵当x＞m 时，y 随x 的增大而增大，当x＜m 时，y 随x 的增大而减小，
∴①若m＜﹣1≤x≤3，x＝1 时，函数值y 的最小值为﹣4，
可得：﹣4＝1+2m， 解得：m＝﹣
；
②若﹣1≤m≤3，x＝m 时，函数值y 有最小值为﹣4，可得﹣4＝﹣m2，解得m＝2；
③若﹣1≤x≤3＜m，x＝3 时，函数值y 的最小值为﹣4，
可得：﹣4＝9﹣6m，解得m＝
，不合题意； ∴m 的值为2 或﹣
．
故答案为2 或﹣
．
17．【解析】5x2﹣18＝9x，移项得，5x2﹣9x﹣18＝0，
（5x+6）（x﹣3）＝0， 5x+6＝0，x﹣3＝0， ∴x1＝﹣
，x2＝3；
18．【解析】（1）如图所示，△A2B2C2为所作．
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（2）点C2的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）．
19．【解析】∵抛物线的对称轴为 x＝2， ∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b，
把 （3，﹣2），（0，1）代入解析式得
，
解得 a＝1，b＝﹣3， ∴所求抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣3．
20．【解析】（1）证明：∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，
∴△＝[﹣（m﹣2）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+4＞0，
∴无论m 为任何的实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣2）x﹣m＝0，方程的两实根为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣2，x1x2＝﹣m， 又
，
∴
， ∴（m﹣2）2﹣4×（﹣m）＝13，
解得，m1＝3，m2＝﹣3， 即m 的值是3 或﹣3．
21．【解析】∵△ABE 是等边三角形， ∴∠BAE＝60°，BA＝EA，
由旋转可得，∠MAN＝60°，AM＝AN， ∴∠BAE＝∠MAN，
∴∠EAN＝∠BAM， ∵四边形ABCD 是正方形，
∴BA＝DA，∠BAM＝∠DAM＝45°， ∴EA＝DA，∠EAN＝∠DAM，
在△EAN 和△DAM 中，
， ∴△EAN≌△DAM（SAS），[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴EN＝DM．
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22．【解析】（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，[来源:学。科。网Z。X。X。K]
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；
答：这个降价率为10%；
（2）设降价y 元，则多销售y÷0.2×10＝50y（件），
根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10800， 解得：y＝2（舍去）或y＝8，
所以40﹣8＝32（元）． 答：该商品在应定价为32 元．
23．【解析】证明：连OC，OA，如图， ∵∠AOB＝120°，C 是弧AB 的中点，
∴∠AOC＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC 为等边三角形， ∴AC＝AO，∵OA⊥CE，
∴
＝
， ∴AE＝AC， ∴AE＝AO．
24．【解析】（1）y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160），
y2＝（20﹣12）x﹣60+2x﹣0.05x2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）．
故答案为：y1＝（12﹣a）x﹣20，（0＜x≤160）；y2＝﹣0.05x2+10x﹣60．（0＜x≤80）；
（2）对于y1＝（12﹣a）x﹣20，
∵12﹣a＞0， ∴x＝160 时，y1的值最大＝（1900﹣160a）万元．
对于y2＝﹣0.05（x﹣100）2+440，
∵0＜x≤80， ∴x＝80 时，y2最大值＝420 万元．
（3）①1900﹣160a＝420，解得a＝9.25，
②1900﹣160a＞420，解得a＜9.25，
③1900﹣160a＜420，解得a＞9.25，
∵7≤a≤10， ∴当a＝9.25 时，选择甲乙两个品种的利润相同．
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当7≤a＜9.25 时，选择甲品种利润比较高．
当9.25＜a≤10 时，选择乙品种利润比较高．
25．【解析】（1）对于y＝﹣x2+2x+3①，令x＝0，则y＝3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1
或3， 故点A、B、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），
∵点D 与点C 关于x 轴对称，故点D（0，﹣3），
设直线BD 的表达式为y＝kx+b，则
，解得
，
故直线BD 的表达式为y＝x﹣3；
（2）连接BC，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H，
由点B、C 的坐标，同理可得，直线BC 的表达式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则四边形BOCP 面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝
×OB•OC+
×PH×OB＝
3×3
×3×（﹣
x2+2x+3+x﹣3）＝﹣
x2+
x+
，
∵
＜0，故四边形BOCP 面积存在最大值，当x＝
时，四边形BOCP 面积最大值为
，此
时点P（
，
）；
（3）存在，理由：
①当∠PBD 为直角时，如上图所示，此时点P 与点C 重合，过点P 的坐标为（0，3）；
②当∠PDB 为直角时，由BD 的表达式知，直线BD 与x 轴的倾斜角为45°，
当∠PDB 为直角时，即PD⊥BD，则直线PD 与x 轴负半轴的夹角为45°，
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故设直线PD 的表达式为y＝﹣x+t，
将点D 的坐标代入上式得，﹣3＝0+t，解得t＝﹣3， 故直线PD 的表达式为y＝﹣x﹣3 ②，
联立①②并解得：x＝
，
故点P 的坐标为（
，﹣
）或（
，﹣
），
综上，点P 的坐标为（
，﹣
）或（
，﹣
）或（0，3）．
日期：2020/10/31 10:26:41；用户：陶主任初数；邮箱：18162875566；学号：30535359
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