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人教版九年级上册数学期末试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
3．对于反比例函数y＝
，下列判断正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象在第二、四象限
C．不论x 为何值，y＞0
D．图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小
4．如图，四边形ABCD 是正方形，点E、F 分别在线段BC、DC 上，∠BAE＝25°，若线段AE 绕点A
逆时针旋转后与线段AF 重合，则旋转的角度是（ ）
A．25°
B．40°
C．90°
D．50°
5．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC 的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余
的角是（ ）
A．∠ADC
B．∠ABD
C．∠BAC
D．∠BAD
7．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y＝
上的三点，若x1＜x2＜x3，y2
＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（ ）
A．x1•x2＜0
B．x1•x3＜0
C．x2•x3＜0
D．x1+x2＜0
8．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x 和y＝
的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，PA 切⊙O 于点A，PB 切⊙O 于点B，PO 交⊙O 于点C，下列结论中不一定成立的是
（ ）
A．PA＝PB
B．PO 平分∠APB
C．AB⊥OP
D．∠PAB＝2∠APO
10．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4 图象的顶点在坐标轴上，则m 的值一定不是（ ）
A．2
B．6
C．﹣2
D．0
11．如图，⊙O 的半径为1，点O 到直线m 的距离为2，点P 是直线m 上的一个动点，PB 切⊙O 于
点B，则PB 的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
12．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个
交点为B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B 两点，结合图象分析下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根；
④当1＜x＜4 时，有y2＜y1；
⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②④
C．①③④
D．①③⑤
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分
13．如果4a＝5b，则
＝ ．
14．现有4 条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ．
15．下列y 关于x 的函数中，y 随x 的增大而增大的有 ．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y＝
，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
16．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过顶点B，则k 的值为 ．
17．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF，则图中阴
影部分的面积为 （结果保留根号和π）．
18．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的
直尺在网格中作出△ABC 的高AH，并简要说明作图方法（不要求证明）： ．
三、解答题（本大题共7 小题，共66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．有4 个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个
小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出现的
所有可能结果共有几种．
（2）求两次摸出的球的标号相同的概率．
（3）求两次摸出的球的标号的和等于4 的概率．
20．如图，A、B 是双曲线y＝
上的点，点A 的坐标是（1，4），B 是线段AC 的中点．
（1）求k 的值；
（2）求△OAC 的面积．
21．如图，在等边三角形ABC 中，点E 为CB 边上一点（与点C 不重合），点F 是AC 边上一点，若
AB＝5，BE＝2，∠AEF＝60°，求AF 的长度．
22．在△ABC 中，∠C＝90°，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点D，分别交
AB，AC 于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B 的大小；
（2）如图②，若点F 为
的中点，⊙O 的半径为2，求AB 的长．
23．如图，一段长为45m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为
sm2，平行于墙的边为xm．若x 不小于17m，
（1）求出s 关于x 的函数关系式；
（2）求s 的最大值与最小值．
24．平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A，C 在坐标轴上，点B（6，6），P 是射线OB
上一点，将△AOP 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABQ，Q 是点P 旋转后的对应点．
（1）如图（1）当OP＝2
时，求点Q 的坐标；
（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ 的面积为S．求S 与x 的函数关系式，
并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；
（3）当BP+BQ＝8
时，求点Q 的坐标（直接写出结果即可）．
25．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．
（1）若函数y 的图象经过点（1，﹣2），求函数y 的解析式；
（2）若抛物线与x 轴的两交点坐标为A，B（A 点在B 点的左侧），与y 轴的交点为C，满足OC
＝2OB 时，求a 的值．
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y 的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题）
1．下面图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，是随机事件；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件；
故选：B．
3．对于反比例函数y＝
，下列判断正确的是（ ）
A．图象经过点（﹣1，3）
B．图象在第二、四象限
C．不论x 为何值，y＞0
D．图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小
【分析】根据反比例函数y＝
的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在
每一象限内y 随x 的增大而减小，以及凡是反比例函数经过的点横纵坐标之积＝k 进行分析即
可．
【解答】解：A、图象经过点（﹣1，3），说法错误；
B、图象在第二、四象限，说法错误；
C、不论x 为何值，y＞0，说法错误；
D、图象所在的第一象限内，y 随x 的增大而减小，说法正确；
故选：D．
4．如图，四边形ABCD 是正方形，点E、F 分别在线段BC、DC 上，∠BAE＝25°，若线段AE 绕点A
逆时针旋转后与线段AF 重合，则旋转的角度是（ ）
A．25°
B．40°
C．90°
D．50°
【分析】证明Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得∠BAE＝∠DAF＝25°，求出∠EAF 即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°
由旋转不变性可知：AE＝AF，
在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF＝25°，
∴∠EAF＝90°﹣25°﹣25°＝40°，
∴旋转角为40°，
故选：B．
5．如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则AC 的长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴
，即
，
解得：EC＝2，
∴AC＝AE+EC＝4+2＝6；
故选：C．
6．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余
的角是（ ）
A．∠ADC
B．∠ABD
C．∠BAC
D．∠BAD
【分析】由圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD＝∠BAD，得出∠ACD+∠BAD＝
90°，即可得出答案．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD＝90°，
故选：D．
7．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y＝
上的三点，若x1＜x2＜x3，y2
＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（ ）
A．x1•x2＜0
B．x1•x3＜0
C．x2•x3＜0
D．x1+x2＜0
【分析】根据反比例函数y＝
和x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，可得点A，B 在第三象限，点C 在第
一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝
中，2＞0，
∴在每一象限内，y 随x 的增大而减小，
∵x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，
∴点A，B 在第三象限，点C 在第一象限，
∴x1＜x2＜0＜x3，
∴x1•x2＞0，x1•x3＜0，x2•x3＜0，x1+x2＜0，
故选：A．
8．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x 和y＝
的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据反比例函数y＝
（k≠0），当k＞0 时，图象分布在第一、三象限和一次函数图
象与系数的关系进行判断．
【解答】解：∵k1＜0＜k2，
∴函数y＝k1x 的经过第二、四象限，反比例和y＝
的图象分布在第一、三象限．
故选：B．
9．如图，PA 切⊙O 于点A，PB 切⊙O 于点B，PO 交⊙O 于点C，下列结论中不一定成立的是
（ ）
A．PA＝PB
B．PO 平分∠APB
C．AB⊥OP
D．∠PAB＝2∠APO
【分析】利用切线长定理得到PA＝PB，PO 平分∠APB，然后判断OP 垂直平分AB，从而可对各
选项进行判断．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵PA 切⊙O 于点A，PB 切⊙O 于点B，
∴PA＝PB，PO 平分∠APB，
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP 垂直平分AB，
故选：D．
10．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4 图象的顶点在坐标轴上，则m 的值一定不是（ ）
A．2
B．6
C．﹣2
D．0
【分析】根据题目中的函数解析式和该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到m 的值，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4＝（x﹣
）2﹣
+4，
∴该函数的顶点坐标为（
，﹣
+4），
∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4 图象的顶点在坐标轴上，
∴
＝0 或﹣
+4＝0，
解得m＝2 或m1＝﹣2，m2＝6，
故选：D．
11．如图，⊙O 的半径为1，点O 到直线m 的距离为2，点P 是直线m 上的一个动点，PB 切⊙O 于
点B，则PB 的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【分析】因为PB 为切线，所以△OPB 是直角三角形．因为OB 为定值，所以当OP 最小时，PB 最
小，根据垂线段最短，知OP＝2 时PB 最小，运用勾股定理求解即可．
【解答】解：作OP⊥m 于P 点，则OP＝2，
∵OB 为定值，是1，
∴此时PB 的值最小，
根据题意，在Rt△OPB 中，
PB＝
＝
＝
，
即PB 的最小值是
，
故选：B．
12．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个
交点为B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B 两点，结合图象分析下列结论：
①2a+b＝0；
②abc＞0；
③方程ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根；
④当1＜x＜4 时，有y2＜y1；
⑤抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）．
其中正确的是（ ）
A．①②③
B．②④
C．①③④
D．①③⑤
【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可
得b＞0，由抛物线与y 轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行
判断；根据函数图象得当1＜x＜4 时，一次函数图象在抛物线下方，则可对④进行判断；根据
抛物线的对称性对⑤进行判断．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣
＝1，
∴2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x＝1 时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c＝3 有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线y1＝ax2+bx+c 与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B 点（4，0），
∴当1＜x＜4 时，y2＜y1，所以④正确．
∵抛物线与x 轴的一个交点为（4，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣2，0），所以⑤错误；
故选：C．
二．填空题
13．如果4a＝5b，则
＝
．
【分析】直接利用比例的性质计算得出答案．
【解答】解：∵4a＝5b，
∴
＝
．
故答案为：
．
14．现有4 条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是
．
【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：从长度分别为2、4、6、7 的四条线段中任选三条有如下4 种情况：2、4、6；2、
4、7；2、6、7；4、6、7；
能组成三角形的结果有2 个（2、6、7，4、6、7，），
则能构成三角形的概率为
＝
．
故答案为：
．
15．下列y 关于x 的函数中，y 随x 的增大而增大的有 ③④ ．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y＝
，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断；
【解答】解：y 随x 的增大而增大的函数有③④，
故答案为③④．
16．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过顶点B，则k 的值为
32
．
【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值．
【解答】解：∵C（3，4），
∴OC＝
＝5，
∴CB＝OC＝5，
则点B 的横坐标为3+5＝8，
故B 的坐标为：（8，4），
将点B 的坐标代入y＝
得，
4＝
，
解得：k＝32．
故答案为：32．
17．如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以点A 为圆心，AB 的长为半径，作扇形ABF，则图中阴
影部分的面积为
6
﹣
π
（结果保留根号和π）．
【分析】设正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE 于H，根据正多边形的中心角公式
求出∠DOE，求出OH 和正六边形ABCDEF 的面积，再求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF
的面积，即可得出结果．
【解答】解：设正六边形的中心为点O，连接OD、OE，作OH⊥DE 于H，如图所示：
∠DOE＝
＝60°，
∴OD＝OE＝DE＝2，
∴OH＝
，
∴正六边形ABCDEF 的面积＝
×2×
×6＝6
，
∠A＝
＝120°，
∴扇形ABF 的面积＝
＝
π，
∴图中阴影部分的面积＝6
﹣
π，
故答案为：6
﹣
π．
18．如图，在由小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，请借助网格，仅用无刻度的
直尺在网格中作出△ABC 的高AH，并简要说明作图方法（不要求证明）： 取格点
M ，
N ，分别
连接
BM
，
CN
，
BM
，
CN
交于点
E ，连接
AE
并延长交
BC
于点
H ，则
AH
即为所求
．
【分析】取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN 交于点E，连接AE 并延长交BC 于点H，根据
三角形的三条高线交于一点可得AH 即为所求．
【解答】解：如图，取格点M，N，分别连接BM，CN，
BM，CN 交于点E，连接AE 并延长交BC 于点H，
则AH 即为所求．
∵BM⊥AC，CN⊥AB，
∴AH⊥BC．
故答案为：取格点M，N，分别连接BM，CN，BM，CN 交于点E，连接AE 并延长交BC 于点H，则
AH 即为所求．
三、解答题
19．有4 个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个
小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）采用树形图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能结果，并回答两次摸球出现的
所有可能结果共有几种．
（2）求两次摸出的球的标号相同的概率．
（3）求两次摸出的球的标号的和等于4 的概率．
【分析】（1）画出树状图，然后即可得解；
（2）根据树状图，利用概率公式列式计算即可得解；
（3）根据概率公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）画树状图如下：
两次摸球出现的所有可能结果共有16 种；
（2）两次摸出的球的标号相同有4 种，
所以，P（两次摸出的球的标号相同）＝
＝
；
（3）两次摸出的球的标号的和等于4 有3 次，
所以，P（两次摸出的球的标号的和等于4）＝
．
20．如图，A、B 是双曲线y＝
上的点，点A 的坐标是（1，4），B 是线段AC 的中点．
（1）求k 的值；
（2）求△OAC 的面积．
【分析】（1）把点A（1，4）代入y＝
，即可求出k 的值；
（2）作AD⊥x 轴于点D，BE⊥x 轴于点E，由A 的坐标是（1，4），得到AD＝4，OD＝1，根据B
为AC 的中点，求出B 点坐标为（2，2），则DE＝CE＝2﹣1＝1，即OC＝3，然后根据三角形面
积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵A 是双曲线y＝
上的点，点A 的坐标是（1，4），
∴把x＝1，y＝4 代入y＝
，得k＝1×4＝4；
（2）作AD⊥x 轴于点D，BE⊥x 轴于点E，
∵A（1，4），
∴AD＝4，OD＝1．
又∵B 为AC 的中点，
∴BE＝
AD＝2，且CE＝DE，
∴B 点的纵坐标为2，则有B 点坐标为（2，2）．
∴DE＝CE＝2﹣1＝1，即OC＝3，
∴S△OAC＝
•AD•OC＝
×4×3＝6．
21．如图，在等边三角形ABC 中，点E 为CB 边上一点（与点C 不重合），点F 是AC 边上一点，若
AB＝5，BE＝2，∠AEF＝60°，求AF 的长度．
【分析】先利用等边三角形的性质得∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，再利用三角形外角性
质得∠BAE＝∠CEF，则可判断△ABE∽△ECF，于是可利用相似比计算出CF 的长，然后计算AC
﹣CF 即可．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AC＝BC＝AB＝5，
∵BE＝2，
∴CE＝3，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，
即∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，
而∠AEF＝60°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠B＝∠C，
∴△ABE∽△ECF，
∴
＝
，即
＝
，
∴CF＝
，
∴AF＝AC﹣CF＝5﹣
＝
．
22．在△ABC 中，∠C＝90°，以边AB 上一点O 为圆心，OA 为半径的圆与BC 相切于点D，分别交
AB，AC 于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B 的大小；
（2）如图②，若点F 为
的中点，⊙O 的半径为2，求AB 的长．
【分析】（1）连接OD，由在△ABC 中，∠C＝90°，BC 是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD
＝∠BAD，继而求得答案；
（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F 为
的中点，易得△AOF 是等边三角形，
继而求得答案．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OA 为半径的圆与BC 相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∵在△ABC 中，∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ADO＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°，
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；
（2）连接OF，OD，
由（1）得：OD∥AC，
∴∠AFO＝∠FOD，
∵OA＝OF，点F 为
的中点，
∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，
∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵OA＝OD＝2，
∴OB＝2OD＝4，
∴AB＝OA+OB＝6．
23．如图，一段长为45m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为
sm2，平行于墙的边为xm．若x 不小于17m，
（1）求出s 关于x 的函数关系式；
（2）求s 的最大值与最小值．
【分析】（1）由于平行于墙的边为xm，则垂直于墙的一面长为
（45﹣x）m，由面积公式写
出S 与x 的函数关系式，进而求出x 的取值范围；
（2）根据二次函数的性质，即可求得当x 取何值时，这个花园的面积有最大值，最大值是多
少，根据|27﹣
|＜|17﹣
|，得到x＝17 时，S 最小，把x＝17 代入解析式求出最小值．
【解答】解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．
则垂直于墙的一面长为
（45﹣x）m，
根据题意得：S＝
x（45﹣x）＝﹣
x2+
x（17≤x≤27）；
（2）∵S＝﹣
x2+
x＝﹣
（x2﹣45x）＝﹣
（x﹣
）2+
（17≤x≤27），
∵17≤x≤27，a＝﹣
＜0，
∴当x＝
m 时，S 取得最大值，此时S＝
m2，
∵|27﹣
|＜|17﹣
|，
∴x＝17m 时，S 取得最小值，此时S＝
m2，
答：s 的最大值是
m2，最小值是
m2．
24．平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A，C 在坐标轴上，点B（6，6），P 是射线OB
上一点，将△AOP 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABQ，Q 是点P 旋转后的对应点．
（1）如图（1）当OP＝2
时，求点Q 的坐标；
（2）如图（2），设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ 的面积为S．求S 与x 的函数关系式，
并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；
（3）当BP+BQ＝8
时，求点Q 的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（1）如图（1），过P 点作PG⊥x 轴，垂足为G，过Q 点作QH⊥x 轴，垂足为H．证明
Rt△AQH≌Rt△APG．即可求点Q 的坐标；
（2）如图（2），过P 点作PG⊥x 轴，垂足为G．根据勾股定理可得AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）
2+x2，整理得AP2＝2x2﹣12x+36．由S△APQ＝
AP•AQ，S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．进而可求S
与x 的函数关系式，并写出当S 取最小值时，点P 的坐标；
（3）根据BP+BQ＝
，可得BP+OP＝
．因为OB＝
，说明点P 在OB 的延长线上．可得
OP﹣BP＝OB＝
．联立方程组可得BP 和OP 的长，结合（1）进而可求点Q 的坐标．
【解答】解：（1）如图（1），过P 点作PG⊥x 轴，垂足为G，
过Q 点作QH⊥x 轴，垂足为H．
∵四边形OABC 是正方形，
∴∠AOB＝45°．
∵B（6，6），
∴OA＝6．
在Rt△OPG 中，
，
∴OG＝PG＝2．
∴AG＝OA﹣OG＝4．
∵△AOP 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABQ，
∴AQ＝AP，BQ＝OP．
∴Rt△AQH≌Rt△APG．
∴AH＝PG＝2，QH＝AG＝4．
∴Q（8，4）；
（2）如图（2），过P 点作PG⊥x 轴，垂足为G．
∵△AOP 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°．
∵P（x，y），∠POG＝45°，
∴OG＝PG＝x，
∴AG＝6﹣x．
在Rt△APG 中，根据勾股定理，
AP2＝AG2+PG2＝（6﹣x）2+x2，
整理得AP2＝2x2﹣12x+36．
∵S△APQ＝
AP•AQ，
∴S＝x2﹣6x+18＝（x﹣3）2+9．
∴当S 取最小值时，有x＝3，
∴P（3，3）；
（3）Q（13，﹣1）．
理由如下：如图（3），
∵△AOP 绕点A 旋转得到△ABQ，
∴OP＝BQ．
∵BP+BQ＝
，
∴BP+OP＝
．
∵OB＝
，
∴点P 在OB 的延长线上．
∴OP﹣BP＝OB＝
．
由
解得：OP＝
，BP＝
．
∴
，
∴AG＝OG﹣OA＝1，
同（1）：Rt△AQH≌Rt△APG，
∴AH＝PG＝7，QH＝AG＝1，
∴OH＝OA+AH＝6+7＝13，
∴Q（13，﹣1）．
25．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣x﹣a2﹣a，其中a＞0．
（1）若函数y 的图象经过点（1，﹣2），求函数y 的解析式；
（2）若抛物线与x 轴的两交点坐标为A，B（A 点在B 点的左侧），与y 轴的交点为C，满足OC
＝2OB 时，求a 的值．
（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y 的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）由二次函数图象上点的坐标特征求得点A、B、C 的坐标，根据OC＝2OB 来求a 的值；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得
﹣a2﹣a＝﹣2，
整理，得（a+1）（﹣a）＝﹣2，
解得a1＝﹣2，a2＝1，
函数y1的表达式y＝（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y＝x2﹣x﹣2；
函数y1的表达式y＝（x+1）（x﹣2）化简，得y＝x2﹣x﹣2，
综上所述：函数y 的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）当y＝0 时x2﹣x﹣a2﹣a＝0
整理，得
（x+a）（x﹣a﹣1）＝0，
解得x1＝﹣a，x2＝a+1，
y 的图象与x 轴的交点是A（﹣a，0），B（a+1，0），
当x＝0 时，y＝﹣a2﹣a．即C（0，﹣a2﹣a）
∵OC＝2OB，
∴|﹣a2﹣a|＝2|a+1|．
∵a＞0，
∴a2+a＝2a+2，
整理，得
a2﹣a﹣2＝0，
（a﹣2）（a+1）＝0，
解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）．
（3）当P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随x 的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x0≤
；
当时P 在对称轴的右侧时，y 随x 的增大而增大，
由m＜n，得
＜x0＜1，
综上所述：m＜n，所求x0的取值范围0＜x0＜1．
