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人教版八年级下册数学期中试卷
一．选择题（共8 小题）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．﹣x＜﹣y
B．3x＜4y
C．6﹣x＜6﹣y
D．x﹣2＜y﹣1
3．如图，AD 是等腰直角三角形ABC 的顶角平分线，AD＝4，则CD 等于（ ）
A．8
B．4
C．3
D．2
4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC，BC＝10cm，点D 到AB 的距离为4cm，则
DB＝（ ）
A．6cm
B．8cm
C．5cm
D．4cm
5．不等式
＜x+1 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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1
A．
B．
C．
D．
6．若点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，则点P（a，b）的坐标是（ ）
A．（2，3）
B．（3，2）
C．（﹣2，﹣3）
D．（﹣3，2）
7．如图，在△AOB 中，AO＝1，BO＝AB＝
．将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得到
△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
8．如图，已知△ABC 中，AB＝AC，点D，E 是射线AB 上的两个动点（点D 在点E 的右侧），且
CE＝DE，连接CD，若∠ACE＝x°，∠BCD＝y°，则y 关于x 的函数关系式是（ ）
A．y＝90﹣x（0＜x＜180°）
B．y＝
x（0＜x＜180°）
C．y＝90﹣
x（0＜x＜180°）
D．y＝
x（0＜x＜180°）
二．填空题（共6 小题）
9．点P（﹣2，﹣3）向左平移1 个单位，则所得到的点的坐标为 ．
10．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx 和y＝﹣x+b 的图象如图所示，则不等式kx＞﹣x+b
的解集为 ．
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11．△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，则AB 的长是 cm．
12．关于x 的不等式组
恰好有2 个整数解，则实数a 的取值范围是 ．
13．现有一批学生住若干间宿舍，若每间住4 人还余19 人，若每间住6 人将有一间宿舍不满
不空，则学生人数最多有 人．
14．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA 与边FE 叠合，顶点B、C、D 在一
条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果
DE∥AB，那么n 的值是 ．
三．解答题（共13 小题）
15．解不等式：
﹣1＞0．
16．解不等式组：
．
17．如图，BE 是△ABC 的角平分线，在AB 上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC 的度数．
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3
18．如图，在正方形网格中，三角形ABC 的三个顶点和点D 都在格点上（正方形网格的交点
称为格点），点A，B，C 的坐标分别为（﹣2，4），（﹣4，0），（0，1），平移三角形ABC 使点A
平移到点D，点E，F 分别是B，C 的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF，并分别写出点E，F 的坐标；
（2）三角形DEF 内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC 内部的点Q 是对应点，请直接写出
点Q 的坐标．（用含a 的式子表示）
19．如图在△ABC 中，∠B＝∠C，过BC 的中点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠B＝50°，求∠EDF 的度数．
20．图1，图2 都是由边长为1 的小正方形构成的网格，△ABC 的三个顶点都在格点上，请在
该4×4 的网格中，分别按下列要求画一个与△ABC 有公共边的三角形：
（1）使得所画出的三角形和△ABC 组成一个轴对称图形．
（2）使得所画出的三角形和△ABC 组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2 中，均只需画出符合条件的一种情形）
21．已知关于x，y 的方程组
的解都为正数．
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（1）求a 的取值范围；
（2）在a 的取值范围中，当a 为何整数时，不等式（2a+1）x＞2a+1 的解集为x＜1．
22．如图，直线y1＝﹣
x+1 与直线y2＝2x+6 分别与x 轴交于点A，B，两直线交于点P．
（1）求点P 的坐标及△ABP 的面积；
（2）利用图象直接写出当x 取何值时，y1＜y2．
23．如图，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线l1交BC 于点D，AC 边的垂直平分线l2交BC 于点
E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE 的周长为12cm，△OBC 的周长为32cm．
（1）求线段BC 的长；
（2）连接OA，求线段OA 的长；
（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE 的度数 °．
24．已知方程组
的解为
满足a 为非正数，b 为负数．
（1）求m 的取值范围；
（2）化简：|2m﹣6|+|2m+4|；
（3）在m 的取值范围内，当m 为何整数时，关于x 不等式2mx+x＜2m+1 的解集为x＞1．
25．2020 年6 月1 日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是
就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．波波准备购进
A、B 两种类型的便携式风扇到华润万家门口出售．已知2 台A 型风扇和5 台B 型风扇进
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价共100 元，3 台A 型风扇和2 台B 型风扇进价共62 元．
（1）求A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元？
（2）波波准备购进这两种风扇共100 台，根据市场调查发现，A 型风扇销售情况比B 型风
扇好，波波准备多购进A 型风扇，但数量不超过B 型风扇数量的3 倍，购进A、B 两种风扇
的总金额不超过1170 元．根据以上信息，波波共有几种进货方案？哪种进货方案的费用
最低？最低费用为多少元？
26．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C＝90°．若固定
△ABC，将△DEC 绕点C 旋转．
（1）当△DEC 绕点C 旋转到点D 恰好落在AB 边上时，如图2．
①当∠B＝∠E＝30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B＝∠E＝α 时，此时旋转角的大小为 （用含a 的式子表示）．
（2）当△DEC 绕点C 旋转到如图3 所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC 的面积与△AEC
的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不
正确，请说明理由．
27．（1）如图1，O 是等边△ABC 内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将
△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD 的长 ；
③求∠BDC 的度数．
（2）如图2 所示，O 是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO
绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC 满足什么条件时，∠ODC＝
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90°？请给出证明．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共8 小题）
1．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．【分析】根据x＜y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【解答】解：A．∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，故本选项不合题意；
B．不妨设x＝﹣1.2，y＝﹣1 时，
则3x＞4y，故本选项不合题意；
C．∵x＜y，
∴﹣x＞﹣y，
∴6﹣x＞6﹣y，故本选项不合题意；
D．∵x＜y，
∴x﹣1＜y﹣1，
∴x﹣2＜y﹣1，故本选项符合题意；
故选：D．
3．【分析】根据等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一的性质及直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质即可求解．
【解答】解：∵AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，
∴BD＝CD，
∵∠BAC＝90°，
∴AD＝
BC＝CD，
∵AD＝4，
∴CD＝4．
故选：B．
4．【分析】过点D 作DE⊥AB 于E，根据角平分线的性质得到DC＝DE，结合图形计算，得到
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答案．
【解答】解：过点D 作DE⊥AB 于E，
由题意得，DE＝4cm，
∵AD 平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4（cm），
∴BD＝BC﹣DC＝6（cm），
故选：A．
5．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1 可得其解
集，继而表示在数轴上即可．
【解答】解：去分母，得：x﹣1＜3x+3，
移项，得：x﹣3x＜3+1，
合并同类项，得：﹣2x＜4，
系数化为1，得：x＞﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：B．
6．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b 的方程组，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a+b，1）与点B（﹣5，a﹣b）关于原点对称，
∴
，
解得：
，
故点P（a，b）的坐标是（2，3）．
故选：A．
7．【分析】由旋转性质可判定△AOA'为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得AA'的长．
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【解答】解：由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'＝
＝
＝
．
故选：B．
8．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠ABC＝x°+∠BCE 和∠ADC＝∠DCE＝y°
+∠BCE ，由三角形外角的性质得出∠ABC ＝∠ADC+∠BCD ，即x°+∠BCE ＝y°
+∠BCE+y°，即x＝2y，可得y 关于x 的函数关系式．
【解答】解：在△ABC 中，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝x°+∠BCE，
∵CE＝DE，
∴∠ADC＝∠DCE＝y°+∠BCE，
∵∠ABC＝∠ADC+∠BCD，即x°+∠BCE＝y°+∠BCE+y°，即x＝2y，
∴y 关于x 的函数关系式为y＝
x（0＜x＜180°）．
故选：B．
二．填空题（共6 小题）
9．【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．
【解答】解：根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1 个单位所得点的横坐标是﹣2﹣1＝﹣
3，纵坐标不变，即新点的坐标为（﹣3，﹣3）．
故答案为（﹣3，﹣3）．
10．【分析】结合图象，写出直线y＝kx 在直线y＝﹣x+b 上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：如图所示：∵一次函数y＝kx 和y＝﹣x+b 的图象交点为（1，2），
∴关于x 的一元一次不等式kx＞﹣x+b 的解集是：x＞1．
故答案为：x＞1．
11．【分析】利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半直接得出AB＝2BC＝1cm．
【解答】解：在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，
∴AB＝2BC＝1cm．
故答案为1．
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12．【分析】先解不等式组得出1.5＜x＜2a+3，根据不等式组恰有2 个整数解得出3＜
2a+3≤4，解之即可得出答案．
【解答】解：解不等式2x﹣3＞0，得：x＞1.5，
解不等式x﹣2a＜3，得：x＜2a+3，
∵不等式组恰好有2 个整数解，
∴3＜2a+3≤4，
解得：0＜a≤0.5，
故答案为：0＜a≤0.5．
13．【分析】设有x 间宿舍，则有学生（4x+19）人，理解“有一间宿舍不满不空”，最后一间房
的人数大于0 小于6，根据题意列出方程即可求解．
【解答】解：方法1：设有x 间宿舍，
∵最后一间不空也不满，
∴最后一间房的人数大于0 小于6，
∴4x+19＝6x﹣1 或4x+19＝6x﹣2 或4x+19＝6x﹣3 或4x+19＝6x﹣4 或4x+19＝6x﹣5，
解得x＝10，11，12，
当x＝10 时，4×10+19＝59；
当x＝11 时，4×11+19＝63；
当x＝12 时，4×12+19＝67；
故学生人数最多有67 人．
方法2：设有x 间宿舍，依题意有
1≤6x﹣（4x+19）≤5，
解得10≤x≤12，
则当x＝12 时，4×12+19＝67（人）．
故学生人数最多有67 人．
故答案为：67．
14．【分析】根据旋转方向和线段位置画出图形可得答案．
【解答】解：如图：
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∵顺时针旋转n°后，DE∥AB，
∴D'E'∥AB，
延长AC、E'D'交于点G，
∴∠CGD'＝∠CAB＝45°，
∵∠CD'E'＝60°，
∴∠GCD'＝15°，
∵∠GCD'+∠D'CE'+∠ACE'＝180°，∠D'CE'＝90°，
∴∠ACE'＝75°，
∴n 的值为75．
故答案为：75°．
三．解答题（共13 小题）
15．【分析】先去分母，然后移项及合并同类项即可解答本题．
【解答】解：
﹣1＞0，
去分母，得
x﹣1﹣3＞0，
移项及合并同类项，得
x＞4．
16．【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
，
解不等式①得，x≥﹣2，
解不等式②得，x＜1，
所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
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17．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利
用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC 可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出
∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】解：（1）∵BE 是△ABC 的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC 中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE 是△ABC 的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝
．
18．【分析】（1）根据平移的性质即可画出平移后的三角形DEF，并写出点E，F 的坐标；
（2）根据三角形DEF 内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC 内部的点Q 是对应点，即可写
出点Q 的坐标．
【解答】解：（1）如图，三角形DEF 即为所求，
点E（2，﹣2），F（6，﹣1）；
（2）由（1）可知：三角形ABC 右移6 个单位，下移2 个单位得到三角形DEF，
因为三角形DEF 内部有一点P（a，a﹣4）和三角形ABC 内部的点Q 是对应点，
所以点Q 的坐标为（a﹣6，a﹣2）．
19．【分析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC 可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D 是BC
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的中点，根据全等三角形的性质即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D 是BC 的中点，
∴BD＝CD，
在△BED 与△CFD 中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°．
20．【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案；
（2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△ADC 即为所求（答案不唯一）；
（2）如图所示：△BEC 即为所求（答案不唯一）．
21．【分析】（1）利用加减消元法解关于x、y 的二元一次方程，用a 表示出x、y，再根据方程组
的解都是正数列出不等式组，然后解不等式组即可；
（2）根据不等式的性质3 可得2a+1＜0，再解不等式可得a 的取值范围，然后再结合（1）中
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a 的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）
，
①+②得，2x＝8a+10，
解得x＝4a+5，
①﹣②得，2y＝﹣2a+8，
解得y＝﹣a+4，
∵x、y 都是正数，
∴
，
解得，﹣
＜a＜4．
（2）∵不等式（2a+1）x＞2a+1 的解为：x＜1．
∴2a+1＜0，
解得a＜﹣
，
∵﹣
＜a＜4；
∴﹣
＜a＜﹣
，
∴a＝﹣1．
22．【分析】（1）根据直线y1＝﹣
x+1 与直线y2＝2x+6 分别与x 轴交于点A，B，两直线交于
点P，可以求得点A、B、P 的坐标，然后即可计算出△ABP 的面积；
（2）根据图象，可以得到当x 取何值时，y1＜y2．
【解答】解：（1）
，
解得
，
即点P 的坐标为（﹣2,2），
当y1＝﹣
x+1＝0 时，得x＝2，
当y2＝2x+6＝0 时，得x＝﹣3，
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即点A 的坐标为（2,0），点B 的坐标为（﹣3,0），
∴AB＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
∴△ABP 的面积是：
＝5，
由上可得，点P 的坐标为（﹣2,2），△ABP 的面积是5；
（2）由图象可得，
当x＞﹣2 时，y1＜y2．
23．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式
计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；
（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．
【解答】解：（1）∵l1是AB 边的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵l2是AC 边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；
（2）∵l1是AB 边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC 边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝32cm，
∴OA＝OB＝OC＝10cm；
（3）∵∠BAC＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．
故答案为：（2n﹣180）．
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24．【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x 为非正数，y 为负数，就可以得
出m 的范围；
（2）根据（1）化简即可求解；
（3）根据不等式的性质得到2m+1＜0，再根据整数的性质求得m 的值．
【解答】解：（1）解原方程组
得：
，
∵x≤0，y＜0，
∴
，
解得﹣2＜m≤3．
故m 的取值范围是﹣2＜m≤3；
（2）|2m﹣6|+|2m+4|＝6﹣2m+2m+4＝10；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1 得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，
∴2m+1＜0，
∴m＜﹣
，
∴﹣2＜m＜﹣
，
∵m 为整数，
∴m＝﹣1．
25．【分析】（1）设A 型风扇进货的单价是x 元，B 型风扇进货的单价是y 元，根据“2 台A 型
风扇和5 台B 型风扇进价共100 元，3 台A 型风扇和2 台B 型风扇进价共62 元”，即可得
出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A 型风扇m 台，则购进B 型风扇（100﹣m）台，根据“购进A 型风扇不超过B
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型风扇数量的3 倍，购进A、B 两种风扇的总金额不超过1170 元”，即可得出关于m 的一
元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设A 型风扇进货的单价是x 元，B 型风扇进货的单价是y 元，
依题意，得：
，
解得：
．
答：A 型风扇进货的单价是10 元，B 型风扇进货的单价是16 元；
（2）设购进A 型风扇m 台，则购进B 型风扇（100﹣m）台，
依题意，得：
，
解得：71
≤m≤75，
又∵m 为正整数，
∴m 可以取72、73、74、75，
∴波波共有4 种进货方案，
方案1：购进A 型风扇72 台，B 型风扇28 台；
方案2：购进A 型风扇73 台，B 型风扇27 台；
方案3：购进A 型风扇74 台，B 型风扇26 台；
方案4：购进A 型风扇75 台，B 型风扇25 台．
∵B 型风扇进货的单价大于A 型风扇进货的单价，
∴方案4：购进A 型风扇75 台，B 型风扇25 台的费用最低，
最低费用为75×10+25×16＝1150 元．
答：波波共有4 种进货方案，方案4：购进A 型风扇75 台，B 型风扇25 台的费用最低，最低
费用为1150 元．
26．【分析】（1）①证明△ADC 是等边三角形即可．
②如图2 中，作CH⊥AD 于H．想办法证明∠ACD＝2∠B 即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B 作BN⊥CD 于N，过E 作EM⊥AC 于M，如图3，想办法
证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
∵CA＝CD，
∴△ACD 是等边三角形，
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∴∠ACD＝60°，
∴旋转角为60°，
故答案为60°．
②如图2 中，作CH⊥AD 于H．
∵CA＝CD，CH⊥AD，
∴∠ACH＝∠DCH，
∵∠ACH+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∴∠ACH＝∠B，
∴∠ACD＝2∠ACH＝2∠B＝2α，
∴旋转角为2α．
故答案为2α．
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B 作BN⊥CD 于N，过E 作EM⊥AC 于M，如图3，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵BN⊥CD 于N，EM⊥AC 于M，
∴∠BNC＝∠EMC＝90°，
∵△ACB≌△DCE，
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∴BC＝EC，
在△CBN 和△CEM 中，
∠BNC＝∠EMC，∠1＝∠3，BC＝EC，
∴△CBN≌△CEM（AAS），
∴BN＝EM，
∵S△BDC＝
•CD•BN，S△ACE＝
•AC•EM，
∵CD＝AC，
∴S△BDC＝S△ACE．
27．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得
∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；
②由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD 为等边三角形，所以
OD＝OB＝4；
③由△BOD 为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根
据勾股定理的逆定理可证明△OCD 为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝
∠BDO+∠ODC＝150°；
（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD 为等
腰直角三角形，则OD＝
OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2+OD2＝OC2时，
△OCD 为直角三角形，∠ODC＝90°．
【解答】解：（1）①∵△ABC 为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°，
∵△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝60°，
∴旋转角的度数为60°；
②∵△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，
∴BO＝BD，
而∠OBD＝60°，
∴△OBD 为等边三角形；
∴OD＝OB＝4；
③∵△BOD 为等边三角形，
∴∠BDO＝60°，
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∵△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，
∴CD＝AO＝3，
在△OCD 中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，
∵32+42＝52，
∴CD2+OD2＝OC2，
∴△OCD 为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°；
（2）OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．理由如下：
∵△BAO 绕点B 顺时针旋转后得到△BCD，
∴∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，
∴△OBD 为等腰直角三角形，
∴OD＝
OB，
∵当CD2+OD2＝OC2时，△OCD 为直角三角形，∠ODC＝90°，
∴OA2+2OB2＝OC2，
∴当OA、OB、OC 满足OA2+2OB2＝OC2时，∠ODC＝90°．
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