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人教版八年级下册数学第一次月考试卷
一、选择题（每小题3 分，共24 分）
1．（3 分）下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）二次根式
有意义的条件是（ ）
A．x＞3
B．x＞﹣3
C．x≥﹣3
D．x≥3
3．（3 分）下列计算结果正确的是（ ）
A．
+
＝
B．2+
＝2
C．3
﹣
＝2
D．
＝1
4．（3 分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，中间所夹三角形为直角三角
形，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．64
6．（3 分）如图，O 为数轴原点，A，B 两点分别对应﹣3，3，作腰长为4 的等腰△ABC，
连接OC，以O 为圆心，OC 长为半径画弧交数轴于点M，则点M 对应的实数为（
）
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1
A．
B．4
C．5
D．2.5
7．（3 分）在一块平地上，张大爷家屋前9 米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大
树从离地面6 米处折断倒下，量得倒下部分的长是10 米．出门在外的张大爷担心
自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（ ）
A．一定不会
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
8．
（3 分）如图所示，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 处，AB＝
10，BC＝6，则EF 的长为（ ）
A．
B．3
C．2
D．1
二、填空题（每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）若式子
有意义，则x 的取值范围是 ．
10．（3 分）若
是整数，则满足条件的最小正整数n 为 ．
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2
11．（3 分）若最简二次根式
与
可以合并，则a＝ ．
12．（3 分）计算
﹣3
的结果是 ．
13．（3 分）若1＜x＜2，则|x﹣1|+
的值为 ．
14．（3 分）若直角三角形两边分别是3 和4，则第三边是 ．
15．（3 分）如图，把两块相同的含30°角的三角尺如图放置，若
cm，则三角尺的
最长边长为 ．
16．（3 分）观察下面几组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5；
②6，8，10；
③8，15，17；
④10，24，26；
请你根据规律写出第⑤组勾股数是 ．
三、解答题（共72 分）
17．（12 分）计算：
（1）4
+
﹣
+4
；
（2）
+
+
﹣15
；
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3
（3）
﹣4
+
÷
；
（4）（1﹣
）2﹣
+（
）0．
18．（6 分）已知：
，
，求
的值．
19．（6 分）如图，实数a、b 在数轴上的位置，化简
﹣
﹣
．
20．（6 分）已知x、y 是实数，
+y2﹣6y+9＝0，若3x﹣y 的值．
21．（8 分）一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
22．（8 分）如图，将一个边长分别为4，8 的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重
合，
求（1）AE 的长．
（2）折痕EF 的长．
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4
23．（8 分）观察下列等式：①
＝
+1；②
＝
+
；③
＝
+
；…，
（1）请用字母表示你所发现的律：即
＝ （n 为正整数）；
（2）计算：
+
+
+…+
．
24．（8 分）“为了安全，请勿超速”，如图所示是一条已经建成并通车的公路，且该公
路的某直线路段MN 上限速17m/s，为了检测来往车辆是否超速，交警在MN 旁设
立了观测点C．若某次从观测点C 测得一汽车从点A 到达点B 行驶了5 秒钟，已知
∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200m．
（1）求观测点C 到公路MN 的距离；
（2）请你判断该汽车是否超速？（参考数据：
≈1.41，
≈1.73）
25．（10 分）我们引入如下概念，
定义；到三角形的两条边的距离相等的点，叫做此三角形的准内心，举例：如图1，
PE⊥BC，PD⊥AC，若PE＝PD，则P 为△ABC 的准内心
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（1）填空；根据准内心的概念，图1 中的点P 在∠ACB 的 上．
（2）应用；如图2，△ABC 中，AC＝BC＝13，AB＝10，准内心P 在AB 上，求P 到AC
边的距离PD 的长．
（3）探究；已知△ABC 为直角三角形，AC＝BC＝6，∠C＝90°，准内心P 在△ABC 的
边上，试探究PC 的长．
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3 分，共24 分）
1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【解答】解：A、当x＝0 时，﹣x﹣2＜0，
无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1 时，
无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴
符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1 时，x2﹣2＝﹣1＜0，
无意义；故本选项错误；
故选：C．
2．【分析】根据二次根式有意义的条件求出x+3≥0，求出即可．
【解答】解：∵要使
有意义，必须x+3≥0，
∴x≥﹣3，
故选：C．
3．【分析】根据合并同类二次根式的法则进行选择即可．
【解答】解：A、
+
不能合并，故A 错误；
B、2+
不能合并，故B 错误；
C、3
﹣
＝2
，故C 正确；
D、
＝
＝
，故D 错误；
故选：C．
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4．【分析】利用最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、
，不是最简二次根式，错误；
B、
，不是最简二次根式，错误；
C、
是最简二次根式，正确；
D、
不是最简二次根式，错误；
故选：C．
5．【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED 的面积和正方形
PRQF 的面积分别表示出PR 的平方及PQ 的平方，又三角形PQR 为直角三角形，
根据勾股定理求出QR 的平方，即为所求正方形的面积．
【解答】解：∵正方形PQED 的面积等于225，
∴即PQ2＝225，
∵正方形PRGF 的面积为289，
∴PR2＝289，
又△PQR 为直角三角形，根据勾股定理得：
PR2＝PQ2+QR2，
∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，
则正方形QMNR 的面积为64．
故选：D．
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6．【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，则利用勾股定理可计算出OC＝
，然后利用画法可得到OM＝OC＝
，于是可确定点M 对应的数．
【解答】解：∵△ABC 为等腰三角形，OA＝OB＝3，
∴OC⊥AB，
在Rt△OBC 中，OC＝
＝
＝
，
∵以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M，
∴OM＝OC＝
，
∴点M 对应的数为
．
故选：A．
7．【分析】先构造出树倒下的示意图，判断出四边形ABGF 是矩形，得出FG＝6，BG＝
9，再用勾股定理求出EG＝19，进而求出EF 大约为1.64 米，最后根据实际判断即
可得出结论．
【解答】解：如图
由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B 刮断，绕点B 倒下，树梢的轨迹为
，
根据题意得，AB＝6，BC＝10，AF＝9，
过点F 作AB 的平行线交
于D，E（D 在E 上面），
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9
∴BE＝BC＝10，∠F＝90°，
过点B 作BG⊥DF 于G，
∴∠BGF＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠A＝∠F＝∠BGF＝90°，
∴四边形ABGF 是矩形，
∴FG＝AB＝6，BG＝AG＝9，
在Rt△BGF 中，根据勾股定理得，EG＝
＝
＝
，
∴EF＝FG﹣EG＝6﹣
≈6﹣4.36＝1.64 米，
而房屋一般高度为2.8 到3 米，
∴1.64＜2.8，
即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋，
但树不向张大爷房子的方向倒下时，一定不会砸到张大爷的房屋，
故选：B．
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10
8．【分析】根据折叠的性质得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根据勾股定理得到DF＝
＝
＝8，求得CF＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：∵将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 处，
∴EF＝BE，AF＝AB＝10，
∵AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∵∠D＝∠C＝90°，
∴DF＝
＝
＝8，
∴CF＝2，
∵CF2+CE2＝EF2，
∴22+（6﹣EF）2＝EF2，
∴EF＝
，
故选：A．
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11
二、填空题（每小题3 分，共24 分）
9．【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x+2≥0，且x≠0，
解得x≥﹣2 且x≠0．
故答案是：x≥﹣2 且x≠0．
10．【分析】把28 分解因质因数，再根据二次根式的定义判断出n 的最小值．
【解答】解：∵28＝4×7，4 是平方数，
∴若
是整数，则n 的最小值为7．
故答案为：7．
11．【分析】根据最简二次根式的定义，进行计算即可．
【解答】解：∵最简二次根式
与
可以合并，
∴1+2a＝5﹣2a，
∴4a＝4，
∴a＝1，
故答案为1．
12．【分析】先把各二次根式化为最减二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式＝3
﹣
＝2
．
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12
故答案为：2
．
13．【分析】先根据题意判断出x﹣1 及x﹣2 的符号，再根据二次根式的性质进行解答
即可．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，
∴原式＝x﹣1+2﹣x
＝1．
故答案为：1．
14．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因
此两条边中的较长边4 既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分
类讨论，即4 是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若4 是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4 是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x＝
；
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13
∴第三边的长为5 或
．
故答案为：5 或
．
15．【分析】根据题意，知△ABD 是等腰直角三角形，即可求得AB 的长，再根据30°的
直角三角形的性质进行求解．
【解答】解：∵∠ABD＝90°，AB＝BD，AD＝6
cm，
∴AB＝BD＝6
cm，
在直角三角形ABC 中，∠BAC＝30°，
设BC＝x，则AC＝2x．
根据勾股定理，得4x2﹣x2＝108，
解得：x＝6，
则斜边长是12cm．
故答案为：12cm．
16．【分析】根据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是
第n 组数，则这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：
（n+1）2+1．根据这个规律即可解答．
【解答】解：观察前4 组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；
第三个数是：（n+1）2+1．
所以第⑤组勾股数是12，35，37．
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故答案为：12，35，37．
三、解答题（共72 分）
17．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可；
（4）先利用完全平方公式和零指数幂的意义计算，再进行分母有理化，然后合并即
可．
【解答】解：（1）原式＝4
+3
﹣2
+4
＝7
+2
；
（2）原式＝2
+3
+
﹣5
＝
；
（3）原式＝3
﹣2
+
＝3
﹣2
+2
＝3
；
（4）原式＝1﹣2
+2﹣3（
﹣1）+1
＝3﹣2
﹣3
+3+1
＝7﹣5
．
18．【分析】将原式的分子利用完全平方公式分解因式，分母利用平方差公式分解因式，
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约分后得到最简结果，将x 与y 的值代入，化简后即可得到原式的值．
【解答】解：
＝
…（2 分）
＝
，…（4 分）
当x＝
+1，y＝
﹣1 时，原式＝
＝
＝
．
19．【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，再根据二次根式的性质得原式＝|a|
﹣|b|﹣|a﹣b|，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：∵a＜0＜b，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
20．【分析】直接利用二次根式的性质以及偶次方的性质得出x，y 的值进而得出答案．
【解答】解：∵
+y2﹣6y+9＝0，
∴
+（y﹣3）2＝0，
∴3x+4＝0，（y﹣3）2＝0，
解得：x＝﹣，y＝3，
则3x﹣y＝3×（﹣）﹣3＝﹣7．
21．【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB 的长即可；
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（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：AC＝25 米，BC＝7 米，
AB＝
＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24 米；
（2）由题意得：BA′＝20 米，
BC′＝
＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8 米．
22．【分析】（1）根据折叠的性质得到AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论
（2）先过点F 作FG⊥BC 于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，
可得到AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，再利用平行线可得∠AEF＝∠AFE，故有AE＝
AF．求出EG，再次使用勾股定理可求出EF 的长．
【解答】解：（1）∵将长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，
∴AE＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AE＝8﹣AE，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BE2＝AE2，
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即42+（8﹣AE）2＝AE2，
∴AE＝5；
（2）解：过点F 作FG⊥BC 于G
∵EF 是直角梯形AECD 的折痕
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．
又∵AD∥BC
∴∠AEF＝∠AFE．
∴AE＝AF．
在Rt△ABE 中，
设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
在Rt△FEG 中，EG＝BG﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FG＝4，
∴EF＝
＝2
．
23．【分析】（1）直接利用二次根式的混合运算法则、分母有理化计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的混合运算法则、分母有理化计算得出答案．
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【解答】解：（1）
＝
＝
+
；
故答案为：
+
；
（2）原式＝
﹣1+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
＝
﹣1．
24．【分析】（1）根据题意结合锐角三角函数关系得出CH 即可；
（2）汽车BH、AB 的长，进而求出汽车的速度，进而得出答案．
【解答】解：（1）过C 作CH⊥MN，垂足为H，如图所示：
∵∠CBN＝60°，BC＝200m，
∴CH＝BC•sin60°＝200×
＝100
（m），
即观测点C 到公路MN 的距离为100
m；
（2）该汽车没有超速．理由如下：
∵BH＝BC•cos60°＝100（米），
∵∠CAN＝45°，
∴AH＝CH＝100
m，
∴AB＝100
﹣100≈73（m），
∴车速为
＝14.6m/s．
∵60 千米/小时＝
m/s，
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又∵14.6＜
，
∴该汽车没有超速．
25．【分析】（1）根据准内心的概念，即可判断．
（2）根据三线合一先证明PC 是高是中线，再根据•AC•PD＝•AP•PC，即可解决
问题．
（3）分三种情形①点P 在AB 边上，②点P 在AC 边上，③点P 在BC 边上，分别讨
论即可．
【解答】解：（1）如图1 中，
∵PE⊥BC，PD⊥AC，PE＝PD，
∴点P 在∠ACB 的平分线上．
故答案为角平分线．
（2）如图2 中，
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∵点P 是△ABC 的准内心，
∴∠ACP＝∠BCP，
∵CA＝CB＝13，
∴PC⊥AB．AP＝PB＝5，
∴PC＝
＝
＝12．
∵•AC•PD＝•AP•PC，
∴PD＝
＝
，
（3）如图3 中，
当点P 在AB 边上时，∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝
＝6
，
∵点P 是△ABC 的准内心，
∴∠PCB＝∠PCA，
∴PA＝PB，
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21
∴PC＝AB＝3
．
如图4 中，当点P 在AC 边上时，作PE⊥AB 于E，则AE＝PE，设AE＝PE＝x．
∵点P 是△ABC 的准内心，
∴∠PBA＝∠PBC，
∵PE⊥AB，PC⊥BC，
∴PE＝PC＝x，
∵AP+PC＝6，
∴
x+x＝6，
x＝6
﹣6，
∴PC＝6
﹣6．
如图5 中，
当点P 在BC 边上时，同理可得PC＝6
﹣6．
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