2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷 01
全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版2024三角形~全等三角形。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C．1cm，2cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
【答案】5Dcm 6cm 12cm 4cm 6cm 8cm
【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进
行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系．
【详解】 、 ，不能组成三角形，不符合题意；
、 A 1，+不2<能4组成三角形，不符合题意；
B、3+2= 5 ，不能组成三角形，不符合题意；
C、5+6< 12 ，能组成三角形，符合题意；
D故选6：−D4．<8<4+6
2．（3分）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第1页,共24页 更多资料加微信：13304227【答案】D
【分析】考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可．
【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求；
三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误，
故选：D．
3．（3分）根据下列条件，能画出唯一 的是（ ）
A． ， ， △ B． ， ，
C． =8， =5，∠ =90° D． =5 ， =4.5 ∠， =60°
【答案】 A =2 =3 =5 ∠ =25° ∠ =66° ∠ =89°
【分析】根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性．
【详解】解：A.已知 ， ， ，当三角形为直角三角形时，斜边和一条直角边确定，则满足 ，
可知该三角形是唯一 确 定=的8 ； 可 唯=一5 确∠定 三=角90形°，符合条件． HL
B.已知 ， ， ，此条件为两边及其中一边的对角 ，可能存在两种不同三角形，无法唯一
确定． =5 =4.5 ∠ =60° SSA
C. ， ， ，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形．
D. =2 ， =3 ，=5 ，已知三个角均为定值，但仅确定三角形形状（相似），未给出边长，无法唯一
确定∠ 三=角2形5°． ∠ =66° ∠ =89°
综上，只有选项A能画出唯一 ．
故选：A． △
4．（3分）如图，已知 ，点 、 分别在 、 上， 与 相交于点 ，欲使 ．甲、乙、丙
三位同学分别添加下列 条 件=： 甲： ；乙 ： ； 丙： ．其中△满 足 要≌求△的 条 件是（ ）
∠ =∠ = =
A．仅甲 B．仅乙 C．甲和乙 D．甲、乙、丙均可
【答案】D
【分析】根据三角形外角性质求出 ，根据全等三角形的判定推出即可；根据 推出两三角形全等即可；求
出 ，根据全等三角∠形 判=定∠推 出即可． SAS
【详∠解 】 解=：∠ ， ， ，
，∵∠ =∠ +∠ ∠ =∠ +∠ ∠ =∠
∴在∠ =∠和 中
△ △
第2页,共24页 更多资料加微信：13304227∠ =∠
=
∠ =∠ ， 甲正确；
∴△在 ≌和△ (A中SA) ∴
∵ △ △
=
∠ =∠
= ， 乙正确；
∴△ ≌△ (SAS) ∴
连接 ，
， ，
∵ = =， ，
∴∠ = ∠ ∠ =∠ ，
∴即∠ −∠ =，∠ −∠
在∠ =和∠ 中
∴ △ △
∠ =∠
=
∠ =∠ ， 丙正确；
∴故△选 ： D．≌△ (ASA) ∴
5．（3分）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 和 两部分，则等腰三角形的底边长为（）
A． B． C． 或 6cm 12cDm． 或
【答案】2Acm 10cm 6cm 4cm 2cm 10cm
【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分
的长为12，故应该列两个方程组求解．
【详解】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，
由题意得 或 ，
1 1
+2 =6 +2 =12
1 1
2 + =12 2 + =6
解得 或 ．
=4 =8
=10，不 能=构2成三角形，
∵ 4+4< 10
第3页,共24页 更多资料加微信：13304227故等腰三角形的底边长为2cm，
故选：A．
6．（3分）如图，在 中， 是高， ， 是角平分线，它们相交于点O， ， ，则
和 的度数为（△ ） ∠ =50° ∠ =70° ∠
∠
A． ， B． ，
C．25°，120° D．120°，25°
【答案】2C0° 125° 125° 20°
【分析】考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度
之间的关系是解题的关键．
根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可．
【详解】解：∵在 中， 是高，
∴ ，△
∵∠在 =9中0，° ，
∴ △ ∠ =70° ，
∵∠在 =中90，°−70°=20° ， ，
∴ △ ∠ =50° ∠ =，70°
∵∠在 =1中8，0°−7，0°−是50角°平=分60线° ，
△
∴ ， ，
1 1
∴
∠ =2∠ =25° ∠ =2∠
，
=30°
∴∠ =∠ +∠ =25°+70°=95° ．
故选∠ ： C．=∠ +∠ =30°+95°=125°
7．（3分）如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 、
Rt△ ∠ =90°
于 、 两点；②分别以 、 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ；③作射线 ，交 于
1
2
点．若 ， ， ，则线段 的长为（ ）
=10 =6 =8
第4页,共24页 更多资料加微信：13304227A．3 B．5 C． D．6
16
【答案】B 3
【分析】考查了作图 基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得 平分 ，过 点作 于 ，根据角平
− ∠ ⊥
分线的性质得到则 ，再利用面积法得到 ，最后解方程即可．
1 1 1
【详解】解：由作法
得
=
平
分 ，
2⋅ ×10+2⋅ ×6= 2×6×8
过 点作 于 ， 如 图，∠则 ，
⊥ =
，
∵ △ + △ = △
，
1 1 1
∴ 即2⋅ ×10+2⋅
，
×6= 2×6×8
5 +，3 =24
∴ =3 ，
∴故 选 ：=B ． − =8−3=5
8．（3分）如图，在 中， ， 的平分线交于点 ， 于D，如果 ， ， ，
且三角形的面积 △ ∠ ，∠那 么 的长为 （ ） ⊥ =18cm =20cm =22cm
2
Δ =150cm
A． B． C． D．无法确定
【答案】4Bcm 5cm 6cm
【分析】主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作 交于点E，作 交于点F，连接 ，证明
，再利用 ⊥即 可 求出 的长度 ．⊥ =
2
【 详 解=】 解：作 △ 交=于 △点 E ，+作 △ + △交 于 =点1F5，0c连m接 ，
∵ 平分 ， ⊥ 平 分 ， ⊥
∴ ∠ ， ∠ ⊥
∵ = = ，
2
△ = △ + △ + △ =150cm
即 ，
1 1 1 2
∴2⋅ ⋅20
．
+2⋅ ⋅18+2⋅ ⋅22=150cm
=5cm 第5页,共24页 更多资料加微信：13304227故选：B．
9．（3分）如图， 平分 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
∠ = ⊥
A． B．
C．∠ +∠ =180° D．∠ = ∠
【答案】∠B =∠ +∠ + =2
【分析】考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于
中考常考题型．过 作 ，交 的延长线于 ，证 ，进而得出A正确，再证
，进 而 得 到⊥C 、 D正 确，没有条件 能证R明t△B， 进 而≌即R可t△解 决 问(题HL．) Rt△ ≌
【R详t△解 】 解(：HL如)图，过 作 ，交 的延长线于 ，
⊥
平分 ， ， ，
， ∵ ∠ ⊥ ⊥
∴在 = 和 中，
Rt△ Rt△
，
=
= ，
∴Rt△ ≌Rt△ (HL，)
∴∠ =∠ , = ，
∵∠ +∠ =18，0°故A正确，不符合题意；
∴∠ +∠ =180° ，
∴∠ +∠ =180° ，
∵Rt△ ≌Rt△， (HL)
∴∠ =∠
第6页,共24页 更多资料加微信：13304227在 和 中，
Rt△ Rt△
，
=
= ，
∴Rt△ ≌Rt△ (HL，)
∴∠ =∠ , = ，故C正确，不符合题意；
∴∠ =∠ +∠ =∠ +∠ ， 故D正确，不符合题意；
+ 不=一 定 等+于 + ， − =2
∵∠ 不一定等于∠ ，故B错误，符合题意．
∴故∠选 ： B． ∠
10．（3分）如图，已知四边形 中，对角线 平分 ，并且 ，
那么 的度数为（ ） ∠ ,∠ =72°,∠ =44° ∠ +∠ =180°
∠
A． B． C． D．
【答案】D65° 66° 67° 68°
【分析】主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解
题关键．延长 ， ，过点 作 、 ，垂足为 、 ，过点 作 于点 ，首先根据“角平分线上
的点到角的两 边 的距 离相等” 可得 ⊥ ， 再 证⊥明 ，由“角 的内 部⊥到 角 的两 边距离相等的点，都在这
个角的平分线上”可知 ，进 而=可 得 ，∠ 易 得=∠
平分 ，然后分 别 计=算 ， 的 值=， 利用三角形内角和定理计算 的度数即可．
【 详 解】∠解 ： 如下图，延长 ∠， ，过∠ 点 作 、 ，垂足为 、∠，
过点 作 于点 ， ⊥ ⊥
⊥
∵ 平分 ， 、 ，
∴ ∠， ⊥ ⊥
∵ = ， ，
∠ +∠ =180° ∠ +∠ =180°
第7页,共24页 更多资料加微信：13304227∴ ，
又∠∵ =∠ ， ，
∴ ⊥ ， ⊥
∴ = ，
∵ = ， ，
∴ 平⊥分 ，⊥即 ，
∵ ∠ ， ∠ = ∠
∠ =72°
∴ ，
1
∵
∠ = ∠ =2 180°−
，
∠ =54°
∴∠ =72°,∠ =44° ，
∠ =180°−∠ −∠ =64°
∴ ，
1
∴
∠ = ∠ =2 180°−∠ =58°
．
故选∠ ： D．=180°−∠ −∠ =180°−54°−58°=68°
二、填空题（共18分）
11．（3分）我国建造的港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么斜拉索大桥
中运用的数学原理是三角形的 ．
【答案】稳定性
【分析】考查三角形的稳定性，利用三角形的稳定性，进行作答即可．
【详解】解：斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性；
故答案为：稳定性．
12．（3分）将一直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若 ，则 的度数是 ．
∠1=80° ∠2
【答案】
【分析】考95查° 了三角形的外角性质，解题的关键是利用三角形外角与内角的关系进行角度推导．
通过已知角的度数，利用三角形外角性质，逐步推导得出 的度数．
【详解】如图， ∠2
第8页,共24页 更多资料加微信：13304227∵ ，
∠3= ∠1−45°=35°
∴∵∠4= ∠3=35° ，
∠5=90°−30° =60，°
∴故∠答2案=为∠：4+∠5．=95°
13．（3分）9已5°知，在 中， ， 是 边上的高，若 ，则 ．
【答案】 或 △ ∠ =30° ∠ =45° ∠ =
【分析】考10查5°了三15角°形的内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于 ，正确进行分类讨论是解题关键．
分为两种情况，画出图形，先求得 再根据角度关系求出 1的80度°数，即可得出答案．
【详解】解：分为两种情况：①如图∠， =60° ∠
为 边上的高，
， ∵
∴∠ =9，0°
∵∴∠ =30° ，
∵∠ =60°，
∠ =45° ；
∴②∠如 图 ，=∠ +∠ =60°+45°=105°
同理可得： ，
∵ ∠ ， =60°
∠ =45° ．
∴故∠答 案 为=：∠ 或−∠ ． =60°−45°=15°
14．（3分）1如05图°，15°是 的中线，E是 的中点，连接 ， ．如果 的面积是16，那么图中阴影部分
的面积为 ． △ △
第9页,共24页 更多资料加微信：13304227【答案】
【分析】考8 查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答
即可．
【详解】解：∵ 是 的中线， 的面积是16，
△ △
∴
1
∵
E
△
是
=
的
中
△
点
，
=2 △ =8
∴ ，
1 1
∴ 阴 △ 影 部 = 分 的 △ 面 积 = 为2 △ =4 △ = △ ， =2 △ =4
故答案为：8． △ + △ =4+4=8
15．（3分）如图， 中， ， 平分 ，E为 边上的点，连接 ， ，下列结论：①
；② △ ∠； ③=90° ∠ ； ④ ．其中 一定 正 确=的 结论有 ∠ ．（ 填+
四边形
1
∠ =180° − = =2 + 4 △ =
写序号即可）
【答案】①②
【分析】考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质及邻补角的定义，正确作出辅助线构造
全等三角形是解题的关键．过点 作 于点 ，根据角平分线的性质可得 ，从而证明 ，
可得 ，再利用三角形 外角 的 性⊥质 即可判 断①；证明 =， 可得 △， 再 利≌用△等 量 代
换即可∠ 判=断∠② ③ ；根据 ，可得 ， Rt△ ≌ Rt△ ，再由 = ，
四边形 四边形
△ ≌△ △ = △ = Rt△ ≌ Rt△
可得 ，即可判断④．
【详解 】△ 解 ：=过 △点 作 于点 ，
⊥
第10页,共24页 更多资料加微信：13304227， 平分 ，
， ∵∠ =，90° ∠
∴又 = ∠， = ∠ =90°
∵ = ，
∴△ ≌△ ， (HL)
∴∠ =∠ ，
∵∠ +∠ =18，0°故①正确；
∴∠ +∠， =180° ， ，
∵ = = ∠ =， =90°
∴Rt△ ，≌Rt△ (HL)
∴ = ，故②正确；
∴ − ，= − = =
∵ = ，
∴ + =( + )+( − )= + =2
，
1
∴ =2
，
+
∵ ≠
，故③错误；
1
∴ ≠2 +
，
∵△ ≌△ ，
∴ △ = △ ，
四边形 四边形
∴ =
又 ，
∵Rt△ ≌，Rt△
∴ △ = △
，
四边形 四边形
1 1
∴ △ =2 =2
，
四边形
∴2 △ =
故④错误，
故答案为：①②．
16．（3分）如图所示， 中， ， ， ，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速
度从B点出发，沿B→C△→ A 路 径向∠终 点 A=运90动°； 同 时=点5cNm以每 秒=11cm2c的m速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点
第11页,共24页 更多资料加微信：13304227B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作 于点D， 于点E．设运动时间为t秒，
要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三 角 形⊥全 等，则t 的 值⊥为 ．
【答案】 或7或10
17
【分析】分3 ， ， 以及 四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行
求解即可．0≤ ≤5 5< ≤6 6< ≤8.5 8.5< ≤ 17
【详解】解：∵ ， ，
从 运动到 需 要 =：5cm =，12从cm运动到 需要： ，
∴ 运动的总 时间为：12÷2，=6s 5÷2=2.5s
从 运动到 需要： 8.5s ，从 运动到 需要： ，
∴ 运动的总 时间为：5÷1，=5s 12÷1=12s
∴ 当 时： 17s ， ，
0≤ ≤5 =12−2 =5−
∵ ， ，
∴ ⊥ ⊥ ，
∵∠ =∠ ， =90°
∴∠ =90° ，
∴∠ +∠ ，=∠ +∠
∴∠当 =∠ 时 ： ，
即： = △， ≌△ AAS
∴ 12（−不2 合=题5意−， 舍去）；
当： =7 时， ， ，
当 5<重 合≤时6，，即 ： =12−2， = −5 ，
, = △ ≌△
第12页,共24页 更多资料加微信：13304227∴ ，解得： ；
17
当： 12−2 = − 时 5 ， = 3 ， ，
6< ≤8.5 =2 −12 = −5
∵ ， ，
∴∠当 =∠ 时 ： =90° ∠ =∠ ，=90°−∠
即： = △， 解 得 ：≌△ ；AAS
当：2 −12= −时5， ，=7 ，
8.5< ≤ 17 =5 = −5
∵ ， ，
∴∠当 =∠ 时 ： =90° ∠ =∠ ，=90°−∠
即： = ，解得△： ≌△； AAS
5= −5 =10
综上：当 的值为 或7或10．
17
3
故答案为： 或7或10．
17
三、解答题（3 共72分）
17．（6分）如图，在三角形 中， ，D是 上一点，且 ， ， ，求：
的度数． ∠ =∠ ⊥ ⊥ ∠ =140° ∠
第13页,共24页 更多资料加微信：13304227【答案】
【分析】考50查° 了三角形的内角和定理，垂直的定义，利用三角形的内角和定理求解角的度数是正确解答的关键．
根据垂直的知识得到 ，再根据三角形的内角和定理与等量变换得到
，然后即可求解；∠ =∠ =∠ =90° ∠ =∠ =
【4详0°解】解：∵ ， ，
∴ ⊥ ⊥ ，
∵∠ =∠， =∠ =90°
∠ =∠ ，
∠ =180°−∠ −∠
∠∴ =180°−∠， −∠
∵∠ =∠ ，
∴∠ =140° ，
∴∠ =∠ =180°−∠ ． =40°
18∠．（ 6 分=）9如0°图−，∠点 ，=，50°， 在同一条直线上， ， ， ，请写出 与 之间的关系，并
证明你的结论． = = ∥
【答案】 ， ，理由见解析．
【分析】先 证=明 ∥ ，再根据全等三角形的性质得出 与 的数量关系和位置关系 ．主要考查了
全等三角形的判定△ 与 性 质≌△以 及 平 行线的判定，熟练掌握全等三角形 的判定 定 理（ 等 ）和性质，以及利用角相等
判定两直线平行是解题的关键． SAS
【详解】解： ， ，理由如下：
= ∥
∵ = ，即
∴ + = + =
∵ ∥
∴在∠ =∠和 中，
△ △ 第14页,共24页 更多资料加微信：13304227=
∠ =∠
=
∴△ ≌△， (SAS)
∴ = ∠ =∠
∴19 ． （∥8 分 ）课本再现
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等．同时，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
(1)如图1，已知 是 的角平分线，求证：点G到三边 的距离相等；
(2)如图2， 分, 别 是△ 的一个内角及一个外角的平分线， , , ，连接 ．若 ，求 的度
数． , △ ⊥ ∠ =60° ∠
【答案】(1)见解析
(2)
【分6析0°】主要考查了角平分线的判定和性质定理：
（1）过点G作 ，垂足分别为H，M，N，根据角平分线的性质可得 ，即
可求证； ⊥ , ⊥ , ⊥ = =
（2）过点P作 ，垂足分别为点E，F，根据角平分线的性质可得 ，再由角平分线的判定定
理可得 平分 ⊥ ， 即, 可 ⊥求 解 ． =
【详解】 （ 1）解∠： 如 图， 过点G作 ，垂足分别为H，M，N，
⊥ , ⊥ , ⊥
∵ 是 的角平分线，
∴ , △ ，
∴ = , =，
即点 G=到 三 边= 的距离相等；
（2）解：如图， 过, 点 ,P 作 ，垂足分别为点E，F，
⊥ , ⊥
第15页,共24页 更多资料加微信：13304227∵ 分别是 的一个内角及一个外角的平分线， ，
∴ , △ ， ⊥
∴ = ,， =
∴ 平=分 ，
∠
∴ ，
1
∵
∠ =2∠
，
∴∠ =60° ，
∴∠ =180．°−∠ =120°
20∠．（ 8 分=）6已0°知 中， ， ， 中， ， ，连接 ．
Rt△ ∠ =90° = Rt△ ∠ =90° =
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当D在 上=， E在 的延长线上，直线 、 相交于点F，求证： ；
【答案】(1)见解析 ⊥
(2)见解析
【分析】是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形面积的计算，熟练掌握全
等三角形的判定与性质以及三角形面积的计算方法是解题的关键．
（1）由 证得 ，即可得出结论；
（2）由 SAS证得△ ≌△ ，得出 ，由三角形外角的性质得出 ，即可得出结
论． SAS △ ≌△ ∠ = ∠ ∠ =∠ =90°
【详解】（1）证明： ， ，
，∵∠ = ∠ +∠ =90°+∠ ∠ =∠ +∠ =90°+∠
∴在∠ =和∠ 中， ， ， ，
∴△ △ ， = ∠ = ∠ =
△ ≌△ SAS 第16页,共24页 更多资料加微信：13304227；
（∴2 ） 证=明 ： 在 和 中， ， ， ，
∴ △ △， = ∠ =∠ =
△ ≌△ ，SAS
∴∠ 为=∠ 、 的外角，
∵∠ △ △ ，
∴∠ =∠ +∠ ， = ∠ +∠
∴∠ =．∠ =90°
∴21 ． （⊥10 分 ）如图1，在 的长方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的每一个顶点叫做格点．线段
和 的顶点都在格14点×上7．
△
(1)直接写出 ______．
(2)请仅用无刻 △度 直=尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
请画出 的中线 和高 ．
①在线段△ 右 侧找到点 ，使得 ．
②(3)要求在图 2中仅用无刻 度的直△尺 作 图 在≌△轴 上 找点 ，使 平分 ．
【答案】(1)8 ∠
(2)见解析
(3)见解析
【分析】考查作图 应用与设计，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问−题，属于中考常考题型．
（1）利用分割法求解即可．
（2）①取 的中点 （BC与网格线的一个交点），连接 ，．取格点 ，连接 交 于点 ，线段 即为所求．
②利用数 形 结合的思 想，作出 ， 即可．
（3）将 顺时针旋转 到 = 位置 ，=可 得 ，再找到 、 的对称轴与x轴交点，连接 ，
可得 △ 90°，即△是 所 求点F. ∠ =∠
∠ = ∠ =∠
【详解】（1）解： ．
1 1 1
△ =3×6−2×1×6−2×2× 第 3 17 − 页 2 ,共 × 2 2 4页 ×4=18−3−3−4=8 更多资料加微信：13304227故答案为8．
（2）①如图，线段 ，线段 即为所求．
②如图， 即为 所求．
△
，
（3）如图，点F为所求.
22．（10分）如图所示， ， 相交于点O， ．
∠ =48°,∠ =46°
(1)若 平分 交 于 ， 平分 交 于G，求 的度数；
(2)延长 至点∠ H ， 若 直 线 平 分 ∠ 交 于 F， 平∠分 交直线 于M，求 的度数．
【答案】 ( 1) ∠ ∠ ∠
(2) ∠ =47°
【分∠析 】 考=查43了° 三角形内角和定义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定
义、角平分线、三角形的外角性质、对顶角的性质．
（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出 ，由平分线的定义可得出 、
1
∠ =∠ +2° ∠ =2∠ +1°
，再结合三角形内角和定理即可得出 ，代入 度数即可得出结论；
1
∠ =2∠ 第 ∠ 18 页 , 共 = 24 ∠ 页 +1° ∠ 更多资料加微信：13304227（2）由邻补角互补结合角平分线可得出 ，根据三角形外角性质结合（1）中
1 1
∠ =90°−2∠ ∠ =2∠ +1°
即可得出 ，再根据三角形内角和定理即可得出 ，代入 度数即可得出
1
结论．
∠ =∠ +2∠ +1° ∠ =91°−∠ ∠
【详解】（1）解： ， ， ，
∵∠ +∠ ， +∠ =180° ∠ +∠ +∠ =180° ∠ =∠
∴∠ +∠ ， =∠ +∠，
∵∠ =48° ∠ =46．°
∴∠ 平 分=∠ 交+2于° ， 平分 交 于 ，
∵ ∠ ∠
， ．
1 1 1
∴∠ =2∠ =2∠ +1° ∠ =2∠
， ，
∵∠ +∠ +∠ =180°=∠ +∠ +∠ ∠ = ∠
，
1 1
∴∠ +2∠ +1°=∠
．
+2∠
（∴2∠） 解 ：=∠ +1°=47° ， 平分 交直线 于 ，
∵∠ +∠ =180° ∠
，
1 1 1
∴∠ =2∠ =2 180°−∠ =90°−2∠
， ，
1
∵∠ =∠ +∠ =∠ +2∠ +1° ∠ +∠ +∠ =180°
．
1 1
∴∠ =180°−∠ −∠ =180°− ∠ +2∠ +1° − 90°−2∠ =91°−∠ =43°
23．（12分）如图1，在五边形 中， ， ，连接 、 ，且 ， ．
∘
∠ =90 = = ⊥
(1)求证： ；
(2)如图2， 若= ， 为 边上的中线，求证： ；
(3)如图3，在（∠ 2 ） 的=条∠件 下 ， ， ， ，则 五⊥边 形 的面积为______；点 到直线 的距离
为______． =5 =4 =3
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)20；
16
【分析】（5 1）由已知可得 ，可得结论；
Rt△ ≌Rt△ (HL)
第19页,共24页 更多资料加微信：13304227（2）延长 ， 交于点 ，连接 ，可得 ，可证明得： ，可得 ， ，
可证明得 ， ∠ =，∠ 可 得 结论； △ ≌△ (AAS) = ∠ =∠
△ ≌△ (SAS) ∠ =∠
（3）在（2）的条件下，根据五边形 的面积=直角梯形 的面积+ 的面积，
1
Rt△ △ = △ =2 ⋅
求解即可
1
【 详 解 = 】2（ 1） ⋅ℎ 证明：∵ ，
∴ ． ⊥
在∠ =90和°=∠ 中，
Rt△ Rt△
=
∴ = ，
∴Rt△ ≌Rt△ (HL)
（2 ） 延=长 . ， 交于点 ，
∵ ， ，
∴∠ =∠ ∠ =∠ ，
∴∠ +，∠ =∠ +∠ =90°=∠
∴ ∥ ，
在∠ =∠ 和 中，
△ △
，
∠ =∠
∠ = ∠
∴ = ，
∴△ ≌△， (AAS)
∵ = ，
∴ = ．
在 = 和 中，
△ △
，
=
∠ =∠
∴ = ，
∴△ ≌△ ， (SAS)
∠ =∠
第20页,共24页 更多资料加微信：13304227∵ 即： ，
∴∠∠ =∠ =9，0° ∠ +∠ =90°
∴ +∠ ； =90°
（3 ） ∵⊥ ，
∴ Rt△ ≌，Rt△
又∠∵ =∠ ，
∴ ∠ =∠ ，
∴∠ =，∠
∴ 五 边∥形 的面积=直角梯形 的面积+ 的面积，
Rt△
∴五边形 的面积 ，
1 1
∵ ，
，
=2( + )
，
+2 ·
=5 = =4 = =3
∴五边形 的面积
1 1
由（2）得
，
=2×(4+3)×4+2×3×4=20
∴ △ ≌△ ，即 ，
△ + △ = △ + △ △ = △
∴ ，
1 1
设点 △ 到 直 = 线 △ 的 = 距2离 为 ⋅ ， =2×4×4=8
ℎ
又∵ ，即 ，
1 1
△ =2 ⋅ℎ 2×5ℎ=8
∴ ，
16
ℎ= 5
故答案为20； .
16
【点睛】主要考5查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键.
24．（12分）如图，点 ， ，满足 ，若点 为射线 上异于原点 和点A的一个
2
动点． ,0 0, −1 + 3−3 =0
(1)如图1，①直接写出：点A的坐标为________，点 的坐标为________；
②当点 位于点 与点A之间时，连接 ，以线段 为 边作等腰直角 （ 为直角顶点， ， ， 按逆时针方向
排列）， 连接 ．求证： ；（提 示：在同一 三 角形中，等角对△等 边 ）
⊥ 第21页,共24页 更多资料加微信：13304227(2)点 是直线 上异于点A与点 的一点，使得 ，过点 作 交 轴于点 ，探究 ， ，
之间的 数量关 系 ，并证明． ∠ =∠ ⊥
【答案】(1)① ；②见解析
(2) 1,0，, 0见,1解析
【分 析 】=（ 1 ）+① 根 据平方和绝对值的非负性，求出a和b的值，即可得出点A和点B的坐标；②通过证明
，得出 ，则 ，再推出 ，即可得出 ，即可△求 证 ≌△
； AAS = , = = = ∠ =∠ =45° ⊥
（ 2 ）根据题意进行分类讨论：①当点 在线段 上，过点 作 交 延长线与点 ，通过证明
，得出 ，即可得出 结论；② 当点 在 延长 线∥上 ， 过 点 作 交 延长线与△点 ，≌通△过证
明 AAS = ， 得出 ，即可得出结 论 ． ∥
【详△解 】 （ 1≌）△解 ： ①A∵AS = ，
2
∴ ，−1 + 3−3 =0
解得 −：1=0,3−3 ，=0
∴点A 的=坐1标, 为=1 ，点B的坐标为 ，
故答案为： ，1,0 ； 0,1
②证明：过点1,0作 0,1 交 轴于点
⊥
∵ ，
∴ ⊥ ，
∵∠ +∠， =90°
∴ ⊥ ，
∴∠ +∠ ，=90°
∵∠ =∠ ， ， ，
∠ =∠ ∠ ， =∠ =
∴△ ≌△ AAS，
∴ = ，, =
∵ = ，
∴ = ，
∵ − = − 第22页,共24页 更多资料加微信：13304227，
∴ = ，
∴ = ，
∴∠ =∠ ， 即=45° ；
（∴2∠） 解 ：=①9当0°点 在 线 段⊥ 上，
过点 作 交 延长 线与点 ，
∥
，
，
∴∠ =∠ ,∠ = ∠
∵∠ =∠ ，
∴∠ =∠ ，
∴ = ，
∵∠ =90°, ，⊥
∴∠ =∠ ，
∴∠ =∠ ，
∵∠ =∠ =45°，
∴∠ =∠ =45°
∵ = ，
∴△ ≌△， AAS
∴ = ，
∵ = + ；
∴② 当 点= 在 +延 长线上，
过点 作 交 延长线与点 ，
∥
第23页,共24页 更多资料加微信：13304227，
，
∴∠ =∠ ,∠ =∠
∵∠ =∠ ，
∴∠ =∠ ，
∴ = ，
∵ ⊥ ,∠ ， =90°
∴∠ =∠，
∴∠ =∠ ，
∵∠ =∠ = ∠ =45°
∵ = ，
∴△ ≌△， AAS
∴ = ，
∵ = + ．
∴ = +
第24页,共24页 更多资料加微信：13304227
