（苏科版）八年级数学第一次月考卷（全解全析）（苏科版2024）_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》8年级上册（七科全套）（人教、北师等多版本）

2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷
全解全析
（考试时间：120分钟，分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏科版2024八年级上册第1章~第2章。
第一部分（选择题 共 12 分）
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，5，10 D．6，9，2
【答案】B
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
【详解】解：A、123，
以线段1，2，3为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；
B、345，
以线段3，4，5为三角形的边长，能组成三角形，符合题意；
C、5510，
以线段5，5，10为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；
D、269，
以线段6，9，2为三角形的边长，不能组成三角形，不符合题意；
故选：B
2．下列计算正确的是（ ）
A． 9 3 B． 82 C．3 27 3 D．316 4
【答案】C
【分析】本题考查求算术平方根，立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据求算术平方根，立方根的方
法进行解题即可．
【详解】解：A、 9 3，故该选项错误，不符合题意；
第1页,共25页 更多资料加微信：13304227B、负数在实数范围内没有平方根，故该选项错误，不符合题意；
C、3 27 3，计算正确，故该选项符合题意；
D、因为43 64，
所以316 4，故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
3．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成
如图2所示．已知椅子腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子
宽度AC设计为45cm，此时BD的长度是（ ）
A．30cm B．35cm C．40cm D．45cm
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理SAS证得AOC≌BOD，利用该全等三角形的
对应边相等推知BD AC，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵椅子腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，
∴OAOB，OCOD，
在△AOC与BOD中 ，
OAOB

AOCBOD ，

OC OD
∴AOC≌BODSAS
∴BD AC45cm，
故选：D．
4．如图，在锐角三角形ABC中，AB6，V ABC的面积为18，BD平分ABC，若E，F分别是BD，BC上的动
点，则CEEF的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第2页,共25页 更多资料加微信：13304227【答案】B
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作CPAB于点P，交BD于点E，过点E作EFBC于F，则CP
即为CEEF的最小值，再根据三角形的面积公式求出CP的长，即为CEEF的最小值．
【详解】解：过点C作CP AB于点P，交BD于点E，过点E作EFBC于F，
∵BD平分ABC，PEAB，EFBC，
∴PE EF，
∴CPCEPECEEF，此时取最小值．
∵V ABC的面积为18，AB6，
1
∴ 6CP18，
2
∴CP6．
即CEEF的最小值为6，
故选：B．
5．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（ ）
A．32 B． 2 C．2 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看
懂运算程序是解题的关键．
【详解】解：当x64时，64算术平方根为 64 8，是有理数，
再取立方根382，是有理数，
倒回再取2的算术平方根为 2，是无理数，
∴输出的值为 2，
故选：B．
6．如图，在V ABC中，ABC45，过点C作CDAB于点D，过点B作BM  AC于点M，连接MD，过点D
作DNMD，交BM 于点N．CD与BM 相交于点E，若点E是CD的中点，则下列结论：①AC BE；②DM DN ；
第3页,共25页 更多资料加微信：13304227③S =3S 其中正确的有（ ）个．
△DEN △EMC
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角
形是解题的关键．
本题由ABC45，CD AB于点D，BM  AC于点M，得ÐADC=ÐEDB=ÐAMB=ÐCME=90°，则
DCBDBC 45，所以CDBD，推导出ACDEBD，进而证明△ACD≌△EBD，得AC BE，可判断
①正确；由DNMD，得EDM 90，推导出CDM BDN ，进而证明△CDM≌△BDN，得DM DN ，可判断
②正确；作DF MN于点F，则FN FM，所以S =S ，再证明△EFD≌△EMC ，得EF EM ，S =S ，
△DFN △DFM △EFD △EMC
则S =S =S ，所以S =S =2S =2S ，则S =3S ，可判断③正确，然后即可求解．
△EMD △EFD △EMC △DFN △DFM △EFD △EMC △DEN △EMC
【详解】解：∵ABC45，CDAB于点D，BM  AC于点M，
∴ÐADC=ÐEDB=ÐAMB=ÐCME=90°，
∴DCBDBC 45，ÐACD=ÐEBD= 90°-ÐA ，
∴CDBD，
在ACD和△EBD中，
ACDEBD

 CDBD ，

ADCEDB
∴ACD≌EBDASA，
∴AC BE，
故①正确；
∵DNMD，
∴NDM 90，
∴ÐCDM =ÐBDN =90°-ÐCDN，
在VCDM 和BDN中，
CDM BDN

 CDBD ，

MCDNBD
第4页,共25页 更多资料加微信：13304227∴CDM≌BDNASA，
∴DM DN ，
故②正确；
作DF MN于点F，如图：
，
则FN FM ，DFE CME 90，
∴S =S ，
△DFN △DFM
∵点E是CD的中点，
∴DE CE，
在EFD和△EMC中，
DEF CEM

DFE CME，

DECE
∴EFD≌EMCAAS，
∴EF EM ，S =S ，
△EFD △EMC
∴S =S =S ，
△EMD △EFD △EMC
∴S =S =2S =2S ，
△DFN △DFM △EFD △EMC
∴S =S +S =2S +S =3S ，
△DEN △DFN △EFD △EMC △EMC △EMC
故③正确，
故选：A；
第二部分（非选择题 共 108 分）
二、填空题（本大题有10个小题，每小题2分，共20分）
7． 15 4．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】<
【分析】本题考查了实数的大小比较；
根据1516可得 15 16，问题得解．
第5页,共25页 更多资料加微信：13304227【详解】解：∵1516，
∴ 15 16，即 15 4，
故答案为：．
8．一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边
长是x，由此得到1x5，即可得到答案．解题关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：设三角形的第三边长是x，
由三角形三边关系定理得到：32x32，
1x5，
三角形三边均为整数，
三角形第三边的最大值为4.
故答案为：4.
π 9
9．在3.14， ， ，3 100，0，
3
，0.2020020002（每两个2之间依次多1个0），0.15中无理数有 个．
2 17
【答案】5
【分析】此题主要考查了算术平方根，立方根，无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环
小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定．
【详解】解：3.14，0.15是分数，0是整数，它们是有理数；
π 9
无理数有 ， ，3 100，
3
，0.2020020002（每两个2之间依次多1个0），共5个，
2 17
故答案为：5．
10．如图，已知AB∥DE，ABDE ，AF DC，则图中共有 对全等三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得BACEDF，再利用全等
三角形的判定与性质证明即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵AB∥DE，
∴BACEDF，
在△ABF和DEC中，
第6页,共25页 更多资料加微信：13304227ABDE

BAF EDC，

AF DC
∴ABF≌DECSAS，
∴AFBDCE，BF CE，
∵CFB180AFB ，ECF 180DCE ，
∴ECF BFC，
在VBCF 和EFC中，
BF EC

BFCECF ，

FC CF
∴BCF≌EFCSAS，
∵AF DC，
∴AFCF CDCF，即AC DF ，
在V ABC和DEF中，
ABDE

BACEDF，

ACDF
∴ABC≌DEFSAS，
综上所述，图中共有3对全等三角形，
故答案为：3．
11．如图，V ABC中，点D是BC的中点，2AE ED，且V ABC的面积为8．则阴影部分的面积是 ．
4
【答案】
3
【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分．
根据题意可知：△ADC 是阴影部分的面积的3倍，V ABC的面积是△ADC 的面积的2倍，依此可求解．
【详解】解：点D是BC的中点，
1
∴S  S ，
ADC 2 ABC
第7页,共25页 更多资料加微信：13304227∵2AE ED，
1
∴S  S ，
△AEC
3
△ADC
∵V ABC的面积为8，
1 1 4
∴S  S 4，S  S  ，
△ADC 2 △ABC AEC 3 ADC 3
4
故答案为：
3
12．如图，在ACD中，ACD90，点B在CD上，满足BC  AC，过点A作EA AD，且EADA，连接AB，
1 BD
EB，过E点作EG∥CD交AC的延长线于点G，AG与EB交于点F ，若CF BC，则  ．
3 AF
1
【答案】
2
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设CF x，则BC AC3x，AF 4x，证明△ACD≌△EGAAAS，
得出ACEG3x，CD AG，再证明BCF≌EGF AAS，得出FG CF x，求出BD2x，即可得解，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：设CF x，则BC3x，
∴BC AC3x，AF ACCF  4x ，
∵EG∥CD，EA AD，
∴ACDAGE90，
∴DACD90DACEAG，
∴DEAG，
∴△ACD≌△EGAAAS，
∴ACEG3x，CD AG，
∴BCEG，
∵EFG CFB，BCF G，
∴BCF≌EGF AAS，
∴FGCF  x，
∴AG5x，
∴CD AG5x，
第8页,共25页 更多资料加微信：13304227∴BD2x，
BD 1
∴  ，
AF 2
1
故答案为： ．
2
13．如图，在ABC中，AB2AC，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M、N，再分别以
1
点M、N为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若S 12，则ABC的
2 ABD
面积是 ．
【答案】18
【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由
作图过程可知，AP为BAC的平分线，则点D到边AC和AB的距离相等，进而可得ACD的面积为6，即可得出
答案．
【详解】解：过点D作DE  AB于点E，作DF  AC，交AC的延长线于点F．
由作图过程可知，AP为BAC的平分线，
DE DF．
S 12，
ABD
1 1
 ABDE  2ACDE  ACDF 12，
2 2
1 1
S  ACDF  126，
ACD 2 2
ABC的面积是S S 18．
ABD ACD
故答案为：18．
14．若(x2023)2  2024 y  2025m 0，则(x y)m  ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了偶次方，绝对值，二次根式的非负性，乘方运算，解题的关键是熟练掌握非负性．
先利用非负性求出各未知数的值，代入代数式即可求解．
【详解】解：由(x2023)2  2024 y  2025m 0得，
第9页,共25页 更多资料加微信：13304227x20230,2024y0,2025m0，
解得x2023,y2024,m2025，
(xy)m 202320242025 12025 1，
故答案为：1．
15．如图，过边长为2的等边V ABC的边AB上一点P，作PE AC 于E，Q为BC延长线上一点，当PACQ时，
连PQ交AC边于D，则DE的长为 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关
知识点并能加以综合运用是解题的关键．
过P作PFBC交AC于F ，由等边三角形的性质及平行线的性质可证得APF是等边三角形，于是可得
APPF  AF ，由三线合一可得AEEF，利用AAS可证得△PFD≌△QCD，于是可得FDCD，进而可推出
1
DE AC，于是得解．
2
【详解】解：如图，过P作PFBC交AC于F ，
ABC是等边三角形，
BACABCACB60，
PF∥BC，
APF ABC60，AFPACB60，PFDQCD，
又PAF BAC60，
△APF 是等边三角形，
APPF AF ，
PE AC，
AEEF ，
APPF，APCQ，
PF CQ，
第10页,共25页 更多资料加微信：13304227在PFD和QCD中，
PDF QDC

PFDQCD ，

PF CQ
PFD≌QCDAAS，
FDCD，
AEEF，
EFFDAECD，
1
AECDDE AC，
2
AC2，
1 1
DE AC 21，
2 2
故答案为：1．
16．如图，AB6cm，BC8cm，BC，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，
点Q从C点出发沿射线CD运动，若经过t秒后，ABP与VCQP全等，则t的值是 ．
【答案】1或2/2或1
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当△ABP≌△PCQ和
②当△ABP≌△QCP时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程
是解题的关键．
【详解】解：由题意知，BP2tcm，PC82tcm，
AB6cm，
①当△ABP≌△PCQ时，
∴BACP，
82t 6，
t1；
②当△ABP≌△QCP时，
1
∴BPCP BC  4cm，
2
\ 2t= 4，
第11页,共25页 更多资料加微信：13304227t2，
综上，当t的值是1或2时，能够使ABP与VCQP全等，
故答案为：1或2．
三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，
共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
(1) 912 327 36
(2) 2x3 125
【答案】(1)7
(2)x3
【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算法则进行计算即可；
（2）利用立方根求解即可．
【详解】（1）解： 912 327 36
3136
7；
（2）解：2x3 125
∴2x5
∴x3．
18．已知在V ABC中，AB22，BC10，AC2m2．
(1)求m的取值范围；
(2)若V ABC为等腰三角形，求V ABC的周长．
【答案】(1)5m15
(2)54
【分析】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，解不等式组等知识，掌握三角形三边关系是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系求解即可；
（2）分AB AC，BC  AC两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意，得ABBC AC ABBC，
即22102m22210，
解得5m15；
（2）解：当ABAC  22时，
第12页,共25页 更多资料加微信：13304227V ABC的周长为22221054；
当BC  AC 10时，BCAC20AB，
∴V ABC不存在，故舍去，
∴V ABC的周长为54．
19．如图，在ABC中，BAC90，AD为BC边上的高，BE为三角形的角平分线，AD与BE相交于点F ．
(1)求证：AFE AEF ；
(2)若BC13，AC12，AB5，求AD的长度．
【答案】(1)见解析；
60
(2)AD ．
13
【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平
分线的定义．
（1）先根据角平分线的定义得到ABE DBF，再根据等角的余角相等得到BFDAEF ，然后利用
BFDAFE得到AFE AEF ；
（2）利用等面积法计算AD的长．
【详解】（1）证明：BE平分ABC，
ABE DBF ，
AD是ABC的高，
ADBC，
BDF 90，
DBFBFD90，ABEAEF 90，
BFDAEF，
BFDAFE，
AFE AEF；
（2）解：BAC90，
BA AC，ADBC，
1 1
S  AD·BC  AB·AC，
ABC 2 2
512 60
AD  ．
13 13
第13页,共25页 更多资料加微信：1330422760
即AD的长度为 ．
13
20．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种：
(1)如图①，BC平分ABD，AC∥BD，则AB AC；
(2)如图②，AE∥BC，AE平分DAC，则V ABC是等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边．
（1）由角平分线的定义求得ABCCBD，由平行线的性质求得CCBD，推出
ABC C，再根据等角对等边即可证明AB AC；
（2）由平行线的性质求得EAC C，EADB，再由角平分线的定义求得EADEAC，推出BC，
即可证明V ABC是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵BC平分ABD，
∴ABCCBD，
∵AC∥BD，
∴CCBD，
∴ABC C，
∴AB AC；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴EAC C，EADB，
∵AE平分DAC，
∴EADEAC，
∴BC，
∴AB AC，即V ABC是等腰三角形．
21．如图所示，a，b，c是数轴上三个点A，B，C所对应的实数．其中a是4的一个平方根，b是27的立方根，
c是13 2的相反数．
(1)填空：a ，b ，c ；
第14页,共25页 更多资料加微信：13304227(2)先化简，再求值： a2|ba| c
【答案】(1)2，3，3 21
(2)bc； 4  3 2
【分析】本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据数轴可得ba0c，根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；
（2）根据数轴可得a0,ba0,c0，化简各式，再代入数据计算即可求解．
【详解】（1）根据数轴可得ba0c
∵a是4的一个平方根，
∴a2
根据数轴可得a0
∴a2，
27的立方根为3，则b3，
∵c是13 2的相反数
∴c3 21，
故答案是：2，3，3 21；
（2）∵ba0c
∴a0,ba0,c0，
∴ a2|ba| c
aabc
bc
当b3，c3 21时，
原式3  3 21 
33 21
43 2
22．如图，CBCD，DABC180，CE AD于点E，CF AB交AB的延长线于点F．
(1)求证：AC平分DAB．
第15页,共25页 更多资料加微信：13304227(2)若AE 18，DE3，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）通过证明CDE≌CBFAAS，再根据其性质得出CECF，再根据角平分线的判定进行证明即可；
（2）先证明EAC≌FACAAS，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可．
【详解】（1）证明：CE AD，CF  AB，
DEC CFB90，
DABC180，CBFABC180 ，
DCBF ，
DCBF

在CDE与VCBF中，DECBFC，

CDCB
CDECBFAAS，
CECF，
AC平分DAB；
（2）由（1）知AC平分DAB，
∴EAC FAC，
在EAC和FAC中，
AECAFC

EACFAC ，

AC AC
EAC≌FACAAS，
AE  AF 18，
由（1）知CDE≌CBF，
BF DE3，
AB AF BF 18315．
23．（1）如图1，V ABC和VADE是顶角相等的等腰三角形，即ABAC ，AD AE，且BAC DAE，分别连
接BD，CE．求证：BDCE；
（2）如图2，V ABC和VADE都是等腰三角形，即AB AC,AD AE，且BAC DAE 90，B，C，D在同一
条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由．
第16页,共25页 更多资料加微信：13304227【答案】（1）见解析；（2）BDCE，BDCE，理由见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是
解题的关键．
（1）先得出BADCAE，再证明△ABD≌△ACESAS，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先得出BADCAE，再证明△ABD≌△ACESAS，得到BDCE，ADBAEC，由
ECDADBEADAEC，得到ECDEAD90，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵BAC DAE，
∴BACCADDAECAD，
∴BADCAE，
在△ABD和△ACE中，
 ABAC

BADCAE ，

 ADAE
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BDCE；
（2）解：BDCE，BDCE，理由如下：
∵AB AC，AD AE，BAC DAE 90，
∴BACCADCADDAE，
即BADCAE，
在△ABD和△ACE中，
 ABAC

BADCAE ，

 ADAE
∴△ABD≌△ACESAS，
∴BDCE，ADBAEC，
第17页,共25页 更多资料加微信：13304227∵ECDADBEADAEC，
∴ECDEAD90，
∴BDCE．
24．先观察下列等式，再回答问题：
1 1 1 1 1
第一个等式： 1  1  1 ；
12 22 1 2 2
1 1 1 1 1
第二个等式： 1  1  1 ；
22 32 2 3 6
1 1 1 1 1
第三个等式： 1  1  1 ．
32 42 3 4 12
1 1
(1)根据上述三个等式提供的信息填空， 1   = ；
52 62
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a，[a]表示不超过a的最大整数，如[3]3，[ 5]2，计算：
 1 1 1 1 1 1 1 1 
 1   1   1    1   的值．

12 22 22 32 32 42 20232 20242

1 1 1
【答案】(1)1  ,1
5 6 30
1 1 1 1 1
(2) 1  1  1
n2 (n1)2 n n1 n(n1)
(3)2023
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键．
（1）根据题中所给信息可判结果；
（2）根据第一问的结果用字母代替数字即可；
（3）根据规律将原式进行正确变形求解；
1 1 1 1 1
【详解】（1）∵第一个等式 1  1  1 ；
12 22 1 2 2
1 1 1 1 1
第二个等式 1  1  1 ；
22 32 2 3 6
1 1 1 1 1
第三个等式 1  1  1 ；
32 42 3 4 12
1 1 1 1 1
故根据规律可猜测第五个等式为 1  1  1 ；
52 62 5 6 30
1 1 1
故答案为：1  ,1 ．
5 6 30
1 1 1 1 1
（2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为 1  1  1 ；
n2 (n1)2 n n1 n(n1)
 1 1 1 1 1 1 1 1 
（3）根据规律可化简 1   1   1    1  

12 22 22 32 32 42 20232 20242

第18页,共25页 更多资料加微信：13304227 1  1  1   1 
 1 1 1  1 
 2  6  12  2023 2024
 1 1 1 1 


12023   

 12 23 34 20232024
 1 1 1 1 1 1 1 


20231      

 2 2 3 3 4 2023 2024
 1 
 20231
 
 2024
 2023
 2023
 
 2024
2023．
25．【教材呈现】
(1)如图1，连接V ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做V ABC的边BC上的中线．写出图1
中的一个等量关系 ．
【尝试感悟】
(2)小明学了中线这个知识后，遇到这样一个问题：在V ABC中，AB8，AC 6，D是BC的中点，求BC上的中线AD
的取值范围．于是小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到E，使DEAD，请完
成证明“VADC≌VEDB”的推理过程．
①求证：VADC≌VEDB．
②求AD的取值范围．
【问题解决】
(3)如图3，在V ABC中，B90，AB2，AD是V ABC的中线，CE BC，CE 4，且ADE 90，求AE长．
【答案】(1)BDCD
(2)①见解析；②1 AD7
(3)6
【分析】本题主要考查了中线的定义，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的性质和判定，构造全
等三角形来解决中线的取值范围和求解线段长度的问题，构造辅助线是解本题的关键．
（1）根据中线的定义求解即可．
（2）①利用已知条件证明VADC≌VEDB即可；②根据三角形三边关系可得ABBE AE ABBE，再用全等三
角形的性质可得AD的取值范围．
第19页,共25页 更多资料加微信：13304227（3）延长AD交EC的延长线于F，求证ABD≌FCDASA，可得出CF  AB2,ADDF，再利用垂直平分线
的性质即可求得AE的长．
【详解】（1）解：AD是V ABC的边BC上的中线，
BDCD，
故答案为：BDCD；
（2）①由（1）可得BDCD，
在△EDB和△ADC中，
 DE AD

EDBADC，

 BDCD
ADC≌EDBSAS，
②ADC≌EDB，
BE AC 6，
在ABE中，AB8，BE6，
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，
即ABBE AE ABBE，
AE2AD ，
862AD86，
1 AD7；
（3）延长AD交EC的延长线于F，如图所示：
ABBC,EF BC，
.ABDFCD90，
在△ABD和FCD中，
ABDFCD

 BDCD ，

ADBFDC
ABD≌FCDASA，
CF  AB2,AD DF，
第20页,共25页 更多资料加微信：13304227ADE90，
ED垂直平分AF ，
AEEF ，
EF CECF CEAB426，
AE6．
26．在V ABC，ABAC ，BAC ，点D在平面内，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转(180)得到AE．
(1)如图1，当120时，点D、E都在BC边上，求证：BD2AD；
(2)点D在V ABC内，点E在V ABC外，连接BD，CE，F为的CE中点，连接AF ．
i）如图2，求证：BD2AF；
ii）令90，当A，F，D三点在同一直线上时，BD4，AFC120，求DF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)i）证明见解析；ii）2
【分析】（1）先推出△AED是等边三角形，进而得到AE EDBE，即可证明；
（2）i）先证明△AFE≌△GFCSAS，再证得△BAD≌△ACGSAS，推出BD AG，即可证明；ii）由i）ADBFGC90，
即可判断点D为BC中点，即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB AC，BAC120，
1
∴B 180BAC30 ，
2
∴EAD60，
由旋转得AE  AD，
∴△AED是等边三角形，
∴AEED，AED60，
∴BAE AEDB30B，
∴AE EDBE，
∴BD2AD．
（2）i）证明：延长AF 至点G，使FG AF，连接CG，
第21页,共25页 更多资料加微信：13304227∵F为的CE中点，
∴EF CF
∵AFE GFC，且AF GF，
∴△AFE≌△GFCSAS，
∴AE CG，且EAF G，
∴AE∥CG，
由旋转性质，AD AE，
∴ADCG，
∵BAC，DAE180，
∴BADCAE180，
∵AE∥CG，
∴ACGCAE180，
∴ACGBAD，
∴△BAD≌△ACGSAS，
∴BD AG，
∵AG AF FG  2AF ，
∴BD2AF．
ii）解：当90时，V ABC是等腰直角三角形，BAC 90，旋转角DAE1809090，
∴AD AE，且DAE=90。
由ⅰ)知BD2AF，且BD4，△AFE≌△GFCSAS，
∴AF 2，DAEFGC90，
∴ADBFGC90，
则点D为BC中点，
∴BD  AD 4，
当A，F，D三点在同一直线上时，
则DF  AF 2．
第22页,共25页 更多资料加微信：13304227【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，直角三角形的性
质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
27．已知V ABC是等边三角形，点D是AB所在直线左侧的一动点，且在BC边的上方．
(1)如图1，CD平分ACB，连接AD,BD,DAC 90．求证：DBBC；
(2)如图2，若BADBCD，点G是BC延长线上一点，连接DG交AC于点E．
①求BDC的度数；
②若点E为AC的中点，ABDG，探究线段EG,DE,AD之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)①BDC60；②EGEDAD，见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上
知识，合理作出辅助线是关键．
（1）根据题意可证ACD≌BCDSAS， 得到CADCBD90，由此即可求解；
（2）①在CD上截取CF  AD，连接BF，可证BCF≌BADSAS，得到BF BD,CBF ABD ，
DBF ABC 60，则△BFD为等边三角形，由此即可求解；
②在EG上取点H，使EH DE，连接CH ，可证AED≌CEHSAS，由①知，△BFD为等边三角形，则
ADF ADBBDF 60，ADF DFB，FB∥CH ，ABDCBF G，所以AD GH ，由
EGEHGH EDAD即可求解．
【详解】（1）证明：∵V ABC是等边三角形，
∴ACBC，
∵CD平分ACB，
∴ACDBCD，
∵CDCD，
∴ACD≌BCDSAS，
∴CAD CBD 90，
∴DBBC；
（2）解：①在CD上截取CF  AD，连接BF，
第23页,共25页 更多资料加微信：13304227∵V ABC是等边三角形，
∴BC AB,ABC  60 ，
ABCB

∵BADBCF ，

ADCF
∴BCF≌BADSAS，
∴BF  BD,CBF ABD，
∴CBFABF ABDABF，
∴DBF ABC 60，
∴△BFD为等边三角形，
∴BDC60；
②在EG上取点H，使EH DE，连接CH ，
∵E为AC的中点，
∴AECE，
AE CE

∵AEDCEH ，

DE EH
∴AED≌CEHSAS，
∴ADCH， EADECH，
∴DA∥CH，
由①知，△BFD为等边三角形，
∴BDF DFB60，
∵BCF≌BAD，
第24页,共25页 更多资料加微信：13304227∴ADBCFB，
∵CFBDFB180，
∴ADBCFB120，
∴ADF ADBBDF 60，
∴ADF DFB，
∴DA∥BF ，
∴FB∥CH，
∴CBF GCH ，
∵ABDCBF G，
∴GGCH ，
∴CH GH ，
∴AD GH ，
∴EGEHGH EDAD．
第25页,共25页 更多资料加微信：13304227