（北师版）八年级数学第一次月考卷01（全解全析）_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》8年级上册（七科全套）（人教、北师等多版本）

2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~2章（勾股定理+实数）。
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的）
1．下列选项中的数，是无理数的是（ ）
22
A． B．3.14 C．π D． 16
7
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的定义（无限不循环小数），并能区分有理数与无理数．
明确有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的区别；逐个分析选项：A是
分数，B是有限小数，D化简后是整数，均为有理数；C是无限不循环小数，为无理数．
【详解】解：根据无理数的定义（无限不循环小数），对各选项分析如下：
选项A：是分数，属于有理数；
选项B：3.14是有限小数，属于有理数；
选项C：是无限不循环小数，属于无理数；
选项D： 16 4，是整数，属于有理数．
故选：C．
2．下列各式中运算正确的是（ ）
A． (2)2  2 B． 49 7 C． (4)2 4 D． (3)2 3
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的性质化简，据此相关性质内容进行分析计算，即可作答．
【详解】解：A、 (2)2 22，故该选项是不符合题意；
B、 49 77 ，故该选项是不符合题意；
C、 (4)2 44，故该选项是不符合题意；
第1页,共16页 更多资料加微信：13304227D、 (3)2 3，故该选项是符合题意；
故选：D
3．下列说法正确的是（ ）
A． 9 3 B．2的算术平方根是4
C．1的平方根是1 D．0没有平方根
【答案】C
【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点
是解题的关键．
【详解】解：A. 9 3，原说法错误；
B.2的算术平方根是 2，原说法错误；
C.1的平方根是1，说法正确；
D.0的平方根是0，原说法错误；
故选：C．
4．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A．12 B．7 C．12或7 D．以上都不对
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理．
分“4为斜边”、 “3和4都是直角边”两种情形，分别求出第三边，再求出三角形周长，然后作出判断．
【详解】解：当4为斜边时，
∵直角三角形两边的长为3和4，
∴第三边为 4232  169  7 ，
∴此三角形的周长为34 7 7 7；
当3和4都是直角边时，
∵直角三角形两边的长为3和4，
∴第三边为 42+32 =5 ，
∴此三角形的周长为34512，
故选：D．
5．在下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．3，4， 7 B．1，1， 2
C．6，12，13 D． 2， 3， 5
第2页,共16页 更多资料加微信：13304227【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 2
【详解】解：A、32 7 42，符合勾股定理的逆定理，不符合题意；
 2
B、1212  2 ，符合勾股定理的逆定理，不符合题意；
C、62122 132，不符合勾股定理的逆定理，符合题意；
 2  2  2
D、 2  3  5 ，符合勾股定理的逆定理，不符合题意；
故选：C．
6．若a，b均为正整数，且a 7，b 37，则ab的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是：确定a、b的值．
先估算 7、37的范围，然后确定a、b的值，即可计算ab的值．
【详解】解：  4  7  9，
 2  7  3 ，
∵a 7,a为正整数，
∴a的最小值为 3 ．
31 37  38 ，
1 3 7 2，
∵b 3 7,b为正整数，
∴b的最小值为 1 ，
∴ab的最小值为314．
故选：B．
7．已知，如图，长方形ABCD中，AB3,AD9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的
面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
第3页,共16页 更多资料加微信：13304227【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设BEDEBF x，AE  ADDE 9x，利用勾股定理建立方
程x2 329x2，解方程求出BF 5，问题随之得解．
【详解】解：由折叠的性质可得DE BE ，
设BE DE  x，AE  ADDE 9x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2  AB2AE2，
∴x2 329x2，
解得x5，
∴BE DE BF 5，
∴AE ADBE4，
1 1
∴S  AEAB  43 6，
△BEA
2 2
故选：A．
8．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO4m，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，
则梯子AB的长度为（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得AOBO，AO4m，
BD AC1m，ABCD，再设OB xm，则ODx1m，利用勾股定理求出AB2,CD2，然后根据AB2 CD2建
立方程，解方程可得x的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得：AOBO，AO4m，BD AC1m，ABCD，
∴OCOAAC3m，
设OB xm，则ODOBBDx1m，
∴AB2  AO2OB2 16x2，CD2 OC2OD2 9x12  x22x10，
又∵ABCD，
∴AB2 CD2，即16x2  x22x10，
解得x3，
∴OB3m，
∴ AB AO2OB2 5m ，
第4页,共16页 更多资料加微信：13304227故选：C．
9．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证
明勾股定理即可解决问题．
1
【详解】解：A、中间小正方形的面积c2 ab24 ab；化简得c2 a2b2，可以证明勾股定理，本选项不符
2
合题意．
B、不能证明勾股定理，本选项符合题意．
C、利用A中结论，本选项不符合题意．
1
D、中间小正方形的面积ba2 c24 ab；化简得a2b2 c2，可以证明勾股定理，本选项不符合题意，
2
故选：B．
10．如图，空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24，高是5，内底面的点A处有一只小虫，要吃到点B处的食物，需要
爬行的最短路径的长是（ ）
A．6 B．7 C．13 D．10
【答案】C
【分析】本题考查两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是正确理解题意．
画出圆柱侧面展开图，根据题意得出线段长度，由两点之间线段最短，确定最短路径，用勾股定理解直角三角形即
可．
【详解】解：如图，矩形AKEF为圆柱侧面展开图，
根据题意可知，AF 5，AK EF 24，点B为EF的中点，
1
∴BF 24 12，F 90，
2
∴ AB 52122 13 ，
第5页,共16页 更多资料加微信：13304227∵两点之间线段最短，
∴需要爬行的最短路径的长是13，
故选：C．
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．要使 3x 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x3
【分析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，依据二次根式被开
方数大于等于零求解即可．
【详解】解：

3-x有意义，
3x0，
解得：x3．
故答案为：x3．
12．若 31.732，则 300  ， 0.0003 ，若 a 1732，则a ．
【答案】 17.32 0.01732 3000000
【分析】此题主要考查了算术平方根的性质，如果被开方数扩大为原来的100倍，其算术平方根也在扩大，但只扩
1 1
大为原来的10倍；同理，如果被开方数缩小为原来的 ，其算术平方根也在缩小，但只缩小为原来的 ．
100 10
根据算术平方根的性质结合题意即可求解．
【详解】解：∵ 31.732,
∴ 300 17.32， 0.0003 0.01732，
∵ a 1732，
∴a3000000
故答案为：17.32，0.01732，3000000．
13．如图，一棵高为8米的树木在离地3米处折断，则树木的顶端离树木底端 米．
【答案】4
第6页,共16页 更多资料加微信：13304227【分析】此题是勾股定理的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．
由题意得，C90,BC3,AB835，再对Rt△ABC运用勾股定理求解AC即可．
【详解】解：由题意得，C90,BC3,AB835，
∴ AC AB2BC2 4 ，
故答案为：4．
14．设x 7 6，y 7 6，则x2024y2025的值是 ．
【答案】 7 6
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，平方差公式，熟练掌握运算法则
是解题的关键．逆用同底数幂的乘法和积的乘方变形后，代入利用平方差公式求值即可．
【详解】解：∵x 7 6，y 7 6，
∴x2024y2025
x2024y2024y
xy2024y

7 6

7 6
 2024


7 6

 
762024  7 6 
 7 6．
故答案为： 7 6．
15．如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AB4，BC 2，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，连结CE，
则BCE的面积为 ．
3
【答案】
2
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出CE AE，故
AB= BE+AE = BE+CE，设BEx，则CE AE4x，在Rt△CBE中根据勾股定理求出x的值，利用面积公式
计算即可．
【详解】解： DE垂直平分AC，
CE AE，
第7页,共16页 更多资料加微信：13304227\ AB= BE+AE = BE+CE，
设BEx，则CE AE4x，
在Rt△CBE中，BC2BE2 CE2，
22 x2 4x2，
3
解得：x ，
2
3
BE ，
2
1 1 3 3
则BCE的面积= BC�BE 创2 = ，
2 2 2 2
3
故答案为： ．
2
16．如图，OP1，过点P作PPOP且PP1，得OP  2；再过点P作PP OP且PP 1，得OP  3；又
1 1 1 1 1 2 1 1 2 2
过点P 作PP OP且PP 1，得OP 2；…依此法继续作下去，得OP  ．
2 2 3 2 2 3 3 2025
【答案】 2026
【分析】本题考查了勾股定理的应用、用代数式表示图形的规律，理解题意找到图形变化的规律是解题的关键．根
据题意以及勾股定理算出OP，OP，OP的长，依此类推可知OP  n1（n为正整数），据此即可求解．
1 2 3 n
【详解】解：由勾股定理得
OP  12 12  2  11，
1
OP   2 2 1 3  21，
2
OP   3 2 12 31 ，
3
……
依此类推，OP  n1（n为正整数），
n
当n2025时， n1 20251 2026，
∴OP  2026．
2025
故答案为： 2026．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
第8页,共16页 更多资料加微信：13304227(1) 912 327 36
(2) 2x3 125
【答案】(1)7
(2)x3
【分析】本题考查了平方根，立方根，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）根据算术平方根，立方根，有理数的乘方运算法则进行计算即可；
（2）利用立方根求解即可．
【详解】（1）解： 912 327 36
3136
7；
（2）解：2x3 125
∴2x5
∴x3．
18．（8分）计算：
( ) 1 10
(1) 27- 24 ¸ 3+2 - ；
2 2 5
  
(2) 2 2 31 2 2 31 ．
3 2
【答案】(1)3
2
(2)42 3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题
的关键．
（1）先把除法运算化为乘法运算，再根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后利用完全平方公式计算．
  1 10
【详解】（1）解： 27 24  32 
2 2 5
1 10
= 27¸ 3- 24¸ 3+2 -
2 2 5
2 2
=3-2 2+2´ -
2 2
2
=3-2 2+ 2-
2
第9页,共16页 更多资料加微信：133042273 2
3 ；
2
  
（2） 2 2 31 2 2 31
 2 2  31  2 2  31 
  
 2  2
 2 2  31
 
8 32 31
=8-3+2 3-1
42 3．
19．（8分）已知2a1的平方根是3，3ab9的立方根是2，c是
5
的整数部分．
(1)求a、b、c的值；
(2)求abc的平方根．
【答案】(1)a=5,b=2,c=2
(2) 5
【分析】本题考查了平方根，立方根的概念，熟练掌握平方根与立方根的概念是解决本题的关键．
（1）根据平方根与立方根的概念可求解a与b的值，再由
5
的大小范围即可求解c的值；
（2）先求出abc的值，再根据平方根的概念即可求解．
【详解】（1）解：∵2a1的平方根是3，3ab9的立方根是2，
2a1329 ìïa=5
∴ ，∴í ，
3ab9238 ïîb=2
( )2
∵22 =4< 5 =5<32 =9 ，
∴2 53，
∵c是
5
的整数部分，
∴c2，
综上a=5,b=2,c=2 ；
（2）解：∵a=5,b=2,c=2 ，
∴abc5225，
∵5的平方根为 5，
∴abc的平方根为 5．
20．（8分）去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向
由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为AC 300km，BC400km，且AB500km．根据实测
第10页,共16页 更多资料加微信：13304227数据，台风中心半径260km范围内的地区会受到台风影响．
(1)海港C受台风影响吗？为什么？
(2)若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续8h，求台风中心的移动速度．
【答案】(1)海港C受台风影响
(2)25km/h
【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键；
（1）利用勾股定理的逆定理得出V ABC是直角三角形，进而得出ACB的度数；利用三角形面积得出CD的长，进
而得出海港C是否受台风影响；
（2），利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风中心的移动速度．
【详解】（1）解：海港C受台风影响．
过C作CDAB于点D，
AC 300km，BC400km，AB500km，
AC2BC2 AB2 ，
ABC 是直角三角形，；
∴ACB90
1 1
∴S  ·ACBC  CDAB，
ABC 2 2
∴CD240km．
∵240km260km ，
∴海港C受台风影响．
（2）设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港．
由题意，得CE CF 260km．
又∵CD240km，CDAB，
∴ EDFD CE2CD2 100km ，
∴EF 2ED200km ．
又∵t 8h，
第11页,共16页 更多资料加微信：13304227200
∴v 25km/h．
8
答：台风中心的移动速度为25km/h．
21．（8分）如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB15m，CD8m，AD17m．从点A修了一条垂直BC的
小路AE（垂足为E），E恰好是BC的中点，且AE 12m．
(1)求边BC的长；
(2)连接AC，判断△ADC的形状；
(3)求这块空地的面积．
【答案】(1)18m
(2)△ADC 是直角三角形
(3)这块空地的面积为168m2
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键．
（1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可．
（2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状．
（3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算．
【详解】（1）解： AEBC，
AEB 90．
在RtABE中，
 AB15m，AE 12m，
 BE AB2AE2  152122 9m ．
E是BC的中点，
BC2BE18m．
（2）解：如图，
 AEBC，E是BC的中点，
第12页,共16页 更多资料加微信：13304227 AC  AB 15m．
 AD17m，CD8m，
CD2AC2  AD2，
ACD=90，
△ADC是直角三角形．
（3）解：由（2）可知，△ADC是直角三角形，AC 15m，
1 1
S  ACCD 15860m2，
ACD 2 2
由（1）可知，BC18m，
1 1
S  BCAE  1812108m2
ABC 2 2
这块空地得面积为：S S 10860168m2．
△ABC △ADC
22．（10分）（1）填空：（只填写符号：，，）
①当a2,b3时，ab_________2 ab；
1
②当a2,b 时，ab_________2 ab；
2
③当a5,b5时，ab_________2 ab；
（2）观察以上式子，猜想ab与2 aba0,b0的数量关系，并证明；（提示：  a b 2 0）
（3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多
少？
【答案】（1）；；；（2）ab2 ab；证明见解析；（3）16
【分析】本题考查了二次根式非负性的应用，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
（1）把各组a、b的值分别代入ab和2 ab中计算，即可判断它们的大小关系；
 2
（2）由 a b 0，利用完全平方公式展开，变形后即可得到ab2 ab ；
（3）设长方形的长宽分别为x，y，则xy16，利用(2)中的结论得到ab2 ab，则x y6，进而可确定花坛
周长的最小值；
【详解】解：（1）①当a2，b3时，ab5，2 ab 2 6，5 25 24 2 6，则ab2 ab；
1 5
②当a2，b 时，ab ，2 ab 2，则ab2 ab；
2 2
③当a5，b5时，ab10，2 ab 10，则ab2 ab ；
故答案为：；；；
（2）ab2 ab．
第13页,共16页 更多资料加微信：13304227 2
证明：∵ a b 0，
∴a2 abb0，
∴ab2 ab；
（3）设矩形花坛的长为x，宽是y，则xy16，
∵xy2 xy，
∴xy8，
∴2xy16，
即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是16．
23．（10分）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA AB于点A，CB AB于点B，
已知DA10 km，CB5 km，现在计划在公路的AB段上建一个土特产品收购站E．
(1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
(2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，计算得到距离的和最
短值为 km．
65
【答案】(1) km
8
(2)图见解析，25
【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的
关键．
（1）设AEx km，则BE20x km，在RtADE与RtBCE中，由勾股定理结合DE CE得出方程，求出x的
值即可求解；
（2）作点C关于AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则点E即为所求，DC长即为距离的和最短值，过点C
作CF DA交DA的延长线于点F ，在RtDFC中由勾股定理求出DC的长即可．
【详解】（1）解：（1）设AEx km，则BE20x km，
在RtADE与RtBCE中，由勾股定理得，
AD2AE2 DE2，BE2BC2 CE2，
∵DE CE，
第14页,共16页 更多资料加微信：13304227∴AD2AE2 BE2BC2，
∴102x2 20x252，
65
解得x ，
8
65
即收购站E应建在离A点 km处；
8
（2）如图，作点C关于AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则点E即为所求，DC长即为距离的和最短值，
过点C作CF DA交DA的延长线于点F ，
则DC DF2FC2  (105)2202 25 km．
故答案为：25．
24．（12分）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！
AI
(1)直接填空：如图①，若a1，b3，则c ；若ab4，c3，则直角三角形的面积是 ；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明
a2b2 c2；
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F 处，已知ABCD8，BC  AD10，求EF
的长．
7
【答案】(1) 10 ， ；
4
(2)见解析；
(3)5
【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用，
S S
（1）运用勾股定理可得c的值，根据S  梯形ABCD △CDE ，代入求值即可；
△ADE
2
1 1 1 1 1
（2）图②的面积=S +S +S = ab+ ab+ c2，又图②的面积S  abab   ab2，
DAE CBE DEC 2 2 2 四边形ABCD 2 2
第15页,共16页 更多资料加微信：13304227由此即可求解；
（3）根据折叠，矩形的性质，在RtABF中，运用勾股定理AB2BF2  AF2，可得BF 6，设EF x，则DE x，
在RtECF中，运用勾股定理得EC2+CF2 = EF2即可求解．
【详解】（1）解：根据勾股定理得， c a2b2  1232  10 ，
∵ab4，c3，
S S abab 1  1 44 1  1 7
∴S △ADE  梯形ABCD
2
△CDE  
 2

2
c 2 


2
 
 2

2
 32 


2

4
，
7
故答案为： 10， ；
4
1 1 1
（2）证明：图②的面积=S +S +S = ab+ ab+ c2，
DAE CBE DEC 2 2 2
1 1
又图②的面积S  abab ab 2，
四边形ABCD
2 2
1 1 1 1
∴ ab ab c2  ab2，
2 2 2 2
∴ab+ab+c2 =a2+2ab+b2，
∴a2b2 c2；
（3）解：由折叠的性质得：AF  AD10，DE FE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC  AD10，CD AB8，BC 90，
在RtABF中，AB2BF2  AF2，即82+BF2 =102，
解得：BF 6，
∵BC10，
∴CF BCBF 1064，
设EF x，则DE x，
∴EC  DCDE 8x，
在RtECF中，EC2+CF2 = EF2，
即8x242  x2，
解得：x5，
∴EF 5．
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