（湘教版）八年级数学第一次月考卷（全解全析）_初中全科目《第一次月考试卷》7-9年级上册_2026版初中《第一次月考》8年级上册（七科全套）（人教、北师等多版本）

2025-2026 学年八年级数学上学期第一次月考
数 学
（考试时间：120分钟 分值：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：湘教版（2024）八年级上册1.1-2.2
5．难度系数：0.75
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．x23x1 x(x3)1 B．(x2)(x2) x24
C．a29(a3)(a3) D．a24a4(a4)2
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据此进
行解答即可．
【详解】解：A．x23x1 x(x3)1，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项
不符合题意；
B．(x2)(x2)x24 ，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意；
C．a29(a3)(a3)，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意；
D．a24a4(a2)2计算错误，故此项不符合题意．
故选：C．
2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a22a1 B．a2 4 C．a2a D．a24a
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式分解因式．
根据平方差公式a2b2 abab，判断各选项是否符合该结构即可．
【详解】解：A：a22a1a12，不符合平方差公式；
第1页,共13页 更多资料加微信：13304227B：a2 4符合平方差公式，分解为a2a2，正确；
C：a2a，可提取公因式a，分解为aa1，不符合平方差公式；
D：a24a，可提取公因式a，分解为aa4，不符合平方差公式；
故选：B
3．下列各式中，属于分式的是（ ）
x2 5 y ab 1
A． 1 B． C． D． n
3 π ab 2
【答案】C
【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如（A、B是整式，B中含有字母且B0）的
式子叫做分式．
根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各
选项进行分析判断．
A
【详解】解：分式的定义为：形如 （A、B是整式，B中含有字母且B0）的式子叫做分式．
B
x2
选项A： 1，式子中没有分母含字母的形式，属于整式．
3
5 y
选项B： ，分母是常数，不是字母，属于整式．

ab
选项C： ，分母为ab，其中含有字母a和b，符合分式的定义，属于分式．
ab
1
选项D：n，式子中没有分母含字母的形式，属于整式．
2
故选：C．
4．下列分式中属于最简分式的是（ ）
4 2x2 x2 x1
A． B． C． D．
2x x21 xy x21
【答案】B
【分析】本题考查最简分式，掌握最简分式的概念是解题关键．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不
能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化
化为相同的因式从而进行约分，据此判断即可．
4 2
【详解】解：A、  ，故此选项不符合题意；
2x x
2x2
B、 是最简分式，故此选项符合题意；
x21
x2 x
C、 = ，故此选项不符合题意；
xy y
x1 1
D、  ，故此选项不符合题意；
x21 x1
第2页,共13页 更多资料加微信：13304227故选：B．
x2 xy
5．计算  x y的结果为（ ）
xy xy
A．x B．y C．xy D．xy
【答案】A
【分析】本题考查了同分母分式相减，根据同分母分式相减法则：分母不变，分子相减，即可作答．
x2 xy
【详解】解： 
xy xy
x2xy

xy
xx y

xy
 x，
故选：A
6．若m2 n2 6，且mn3，则mn的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或 D．4
【答案】B
【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到mnmn6，即可得到mn的值．
【详解】解：∵m2 n2 6，
∴mnmn6，
∵mn3，
∴mn2
故选：B．
7．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（ ）
分解因式：2a  x21  2b  x21  ．
解：原式2  x2 1  ①
= ②
A．①填ab B．②填x1x1
C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法
【答案】B
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：2a  x21  2b  x21 
第3页,共13页 更多资料加微信：133042272  x21 ab
2x1x1ab，
故①填ab，②填2x1x1ab，同时用到了提公因式法和公式法，
故选：B．
8．长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2bab2ab的值为（ ）
A．2560 B．490 C．80 D．49
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解和代数式求值，准确计算、整体代入求值是解题的关键．
根据题意得到ab10，ab7，然后将a2bab2ab因式分解整体代入求解即可．
【详解】长方形的长为a，宽为b
∴长方形的面积为ab10，周长为2ab14，
ab7，
a2bab2ababab1107180．
故选：C．
9．已知多项式2x29xa有一个因式为x5，则a的值为（ ）
A．5 B．10 C．5 D．20
【答案】A
【分析】根据多项式的次数为2以及最高次项的系数为2，设多项式2x29xa另一个因式为(2xb)，则
2x29xa(x5)(2xb)，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出b的值及
a的值．
【详解】解：根据题意，设多项式2x29xa另一个因式为(2xb)，则
2x29xa (x5)(2xb)，
等式右边展开，得2x2(10b)x5b，
2x29xa2x2(10b)x5b ，
10b9，5ba，
解得b1，a5，
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题关键．
10．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例32212，83212， ，3和8都是一个．所
有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ）
第4页,共13页 更多资料加微信：13304227A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，
就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设mn，即杨梅数m2n2 mnmn，因为m，n
是正整数，因而mn和mn就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两
个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数2k1，有
2k1k12k2k 1,2 
所以大于1的奇正整数都是“流星数”，
对于被4整除的偶数4k，有4k k12 k12k 2,3, ，
即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”，
对于被4除余2的数4k2k 0，1，2，3，，
设4k2x2y2 xyxy，其中x，y为正整数，
当x，y奇偶性相同时，xyxy被4整除，而4k2不被4整除；
当x，y奇偶性相异时，xyxy为奇数，而4k2为偶数，矛盾，
所以不存在自然数x，y使得x2y2 4k2．即形如4k2的数均不为“流星数”，
因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”，
此后，每连续四个数中有三个“流星数”．
∴第4个“流星数”为8，
第7个“流星数”为12，
第10个“流星数”为16，
∴第13个流星数为20，206242
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式：x2y4y
【答案】yx2x2
【分析】此题考查了分解因式．先提取公因式再用平方差公式分解因式即可．
第5页,共13页 更多资料加微信：13304227【详解】解：x2y4y y  x24   yx2x2．
故答案为：yx2x2．
12．若分解因式：x23xxxk，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查因式分解与整式的乘法，由xxk x2kx可得结论．
【详解】解：x23x xxk，
而xxk x2kx，
k 3，
故答案为：3．
4x2
13．若分式 的值为0，那么x的值是 ．
x2
【答案】2
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知
分式的值为0时要满足的条件是解题的关键．
4x2
【详解】解：∵分式 的值为0，
x2
4x2 0
∴ ，
x20
解得x2，
故答案为：2．
1 2
14．分式 与 的最简公分母是 ．
6x2 9xy
【答案】18x2y/18yx2
【分析】本题考查了最简公分母，解题的关键是掌握确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么
最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，
然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
根据求最简公分母的方法求解即可．
1 2
【详解】解：分式 与 的最简公分母18x2y．
6x2 9xy
故答案为：18x2y．
x1
15．若分式 有意义，则x应该满足的条件是 ．
x1
【答案】x1
第6页,共13页 更多资料加微信：13304227【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，是解题的关键．根据分式有意义，分母
不等于0，列出不等式，即可求解．
x1
【详解】解：∵分式 有意义，
x1
∴x10，
解得x1．
故答案为：x1．
16．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例如：将一个多项式a3a因式分解为a(a1)(a1)，
当a20时，a119，a121，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：192021，根据上述
方法.当x15时，多项式16x39x分解因式后形成的加密数据是 .
【答案】155763
【分析】先将多项式16x39x分解因式，再计算当x15时各个因式的值，然后将得到的各因式的数字按照从小到大
的顺序排列即得答案．
【详解】解：16x39x x  16x29   x4x3 4x3，当x15时，4x357，4x363．
∴多项式16x39x分解因式后形成的加密数据是：155763．
故答案为：155763．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是解答的关键．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分.解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤.）
17．（8分）用提公因式法将下列各式分解因式．
(1)4a3b212a2b4ab；
(2)
 a2ab  cab．
【答案】(1)4ab  a2b3a1 
(2)
ab(ac)
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）4a3b212a2b4ab
4aba2b4ab3a4ab1
4ab  a2b3a1  ；
第7页,共13页 更多资料加微信：13304227（2）  a2ab  cab
aabcab
ab(ac)．
2 a1
18．（8分）先化简，再求值：  ，其中a2．
a1 a2 1
1 1
【答案】 ， ．
a1 3
【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分，再利用平方差公式约分，化简后代入求值即可．
2a1 a1 2a1a1 a1 1
【详解】解：原式     ，
a1a1 a1a1 a1a1 a1a1 a1
1 1 1
当a2时，   ．
a1 21 3
19．（8分）利用因式分解简化运算：
(1)20252025220252026；
(2)56.22026462202.6．
【答案】(1)0
(2)20260
【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：20252025220252026
2025120252026
0；
（2）56.22026462202.6
562202.6462202.6
202.6562462
202.6100
20260．
20．（8分）先分解因式，再求值：m3n6m2n2 9mn3，其中m2,n3．
【答案】mnm3n2
,294
【分析】本题考查了因式分解，求代数式的值，先提取公因式mn，然后根据完全平方公式进行因式分解，最后把m、
n的值代入计算即可．
第8页,共13页 更多资料加微信：13304227【详解】解：m3n6m2n2 9mn3
mn
 m26mn9n2
mnm3n2．
当m2,n3时，
原式23

233

2
294．
21．（8分）某些形如ax2bxc的二次三项式可利用十字相乘法分解因式．十字相乘法：先分解二次项系数，分别
写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代
数和，使其等于一次项系数．如：将式子x23x2和2x2x3分解因式，如图，x23x2x1x2；
2x2x3x12x3．
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式：
(1)x25x6；
(2)2x27x3．
【答案】(1)x25x6x2x3
(2)2x27x32x1x3
【分析】本题考查用十字相乘法分解因式：
（1）仿照题干，利用十字相乘法分解因式；
（2）仿照题干，利用十字相乘法分解因式．
【详解】（1）解：如图①
由答图①知x25x6x2x3．
（2）解：如图②．
第9页,共13页 更多资料加微信：13304227由答图②可知2x27x32x1x3．
22．（10分）［阅读材料]
下面是某同学对多项式(x24x2)(x24x6)4进行因式分解的过程．
设x2 4x y
原式= y2y64（第一步）
 y28y16（第二步）
y42（第三步）
=(x24x4)2（第四步）
请问：
(1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果．
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(a22a)(a22a2)1进行因式分解．
【答案】(1) x24
(2)
a14
【分析】（1）根据完全平方公式可知x24x4可继续分解，从而可得答案；
（2）设a22am，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
【详解】（1）解： ( x2-4x+4 )2 =(x-2)4，
该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为：x24；
（2）设a22am，
 a22a  a22a2  1
mm21
m22m1
m12
  a22a1 2
a14．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用．
第10页,共13页 更多资料加微信：1330422723．（10分）【阅读学习】
阅读下面的解题过程：
x 1 x2
已知：  ，求 的值．
x21 3 x41
x 1 x21 1
解：由  知x≠0，所以 3，即x 3
x21 3 x x
x41 1  1 2
所以  x2 x  23227
x2 x2  x
x2 1
故 的值为 ．
x41 7
【类比探究】
x x2
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知 1，求 的值．
x2-3x1 x4-7x21
【拓展延伸】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
（2）已知   ，   ，   ，求 的值．
a b 6 b c 9 a c 15 abbcac
1 180
【答案】（1） ；（2）
5 31
【分析】（1）已知等式变形求出x 1 2，原式变形后，将x 1 2代入计算即可；
x x
1 1 1 31
（2）已知三等式变形后相加求出    ，原式变形后代入计算即可求出值．
c a b 180
x
【详解】解：（1）∵ 1
x2-3x1
∴x≠0，
x2-3x1
∴ 1，即x 1 2
x x
x4-7x21 1  1 2
∴  x27 x  272295
x2 x2  x
x2 1
∴ =- ；
x4-7x21 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）∵   ，   ，   ，
a b 6 b c 9 a c 15
1 1 1 1 1 1 31
∴（2   ）=    ，
c a b 6 9 15 90
1 1 1 31
∴   
c a b 180
abbcac 1 1 1
∵    ，
abc c a b
abc 180
∴ 
abbcac 31
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第11页,共13页 更多资料加微信：1330422724．（12分）我们在课堂上曾利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱
长为a的正方体进行以下探索：
(1)在其一角截去一个棱长为bba的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为_____；
(2)将图1中的几何体分割成三个长方体①，②，③，如图2所示。因为BCa，ABab，CF b，所以长方体
①的体积为abab．类似地，长方体②的体积为___，长方体③的体积为_____．（结果不用化简）
(3)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为______．
(4)已知ab2，ab1，求a3b3的值．
【答案】(1)a3b3
(2)b2ab，a2ab
(3)a3b3 ab a2abb2
(4)14
【分析】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表
示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键．
（1）由大的正方体的体积为a3截去的小正方体的体积为b3从而可得答案；
（2）由EDODb，DM ab，GH HJ a，HN ab利用长方体的体积公式直接可得答案；
（3）由（1）（2）的结论结合等体积的方法可得答案；
（4）利用a2b2 ab22ab先求解a2b2再利用a3b3 ab a2abb2 ，再整体代入求值即可得到答案．
【详解】（1）解：由大的正方体的体积为a3，截去的小正方体的体积为b3，
所以截去后得到的几何体的体积为：a3b3
故答案为：a3b3
（2）∵EDODb，DM ab，
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为b2ab，
∵GH HJ a，HN ab，所以长方体③的体积为a2ab
故答案为：b2ab，a2ab
第12页,共13页 更多资料加微信：13304227（3）由题意得：ababb2aba2ab ab a2abb2
由（1）（2）的结论，可以得到的等式为：a3b3 ab a2abb2
故答案为：a3b3 ab a2abb2
（4）∵ab2，ab1，
∴a2b2 ab2 2ab42 6
∴a3b3 ab a2abb2 26114．
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