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人教版九年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题共12 个小题，每小顾3 分，共36 分，在下列各题的四个选项中，只有一项
是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。）
1．（3 分）如图，点A 所表示的数的绝对值是（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a3÷a＝a3
C．（a2）3＝a5
D．（ab3）2＝a2b6
3．（3 分）今年4 月11 日，长沙GDP 与人口数据公布：GDP 方面，2021 年长沙全年实现地区
生产总值约11300 亿元，同比增长8.1%．数据“11300 亿”用科学记数法表示正确的是（
）
A．1.13×102亿
B．1.13×103亿
C．1.13×104亿
D．1.13×105亿
4．（3 分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具备对称性，下列汉字不
是轴对称图形的是（ ）
A．一
B．中
C．王
D．语
5．（3 分）已知三角形的三边长分别为4，5，x，则x 不可能是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
6．（3 分）如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠AED 的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
7．（3 分）如图要测量浏阳河两岸相对的两点P、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上
的一点C，测得PC＝300 米，∠PCA＝40°，则小河宽PA 为（ ）
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1
A．300sin40°米
B．300cos40°米
C．300tan40°米
D．300tan50°米
8．
（3 分）党的十八大报告中对教育明确提出“减负提质”要求．为了解我校九年级学生平均
每周课后作业时量，某校园小记者随机抽查了50 名九年级学生，得到如下统计表：
周作业时量/小时
4
6
8
10
12
人数
2
23
21
3
1
则这次调查中的众数、中位数是（ ）
A．6，8
B．6，7
C．8，7
D．8，8
9．（3 分）不等式组
解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＝120°，AD 是∠BAC 的角平分线，且AD＝6，以点
A 为圆心，AD 长为半径画弧
，交AB 于点E，交AC 于点F，将阴影部分剪掉，余下扇形
AEF，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆
锥的高为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
11．（3 分）在平面直角坐标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线
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2
（x＞0），经过点B，双曲线
（x＜0），经过点C，则
＝（ ）
A．﹣3
B．3
C．
D．
12．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，
OC＝2
，那么图中阴影部分的面积是（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）分解因式：m2﹣2m+1＝ ．
14．（3 分）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它
的面积S 可用公式S＝a+
b﹣1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计
算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积
S＝ ．
15．（3 分）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC＝1，CE＝3，H 是AF 的
中点，那么CH 的长是 ．
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3
16．（3 分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为
且经过点（2，
0）．下列说法：①若（﹣3，y1），（π，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；②c＝2b；③关于x
的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解；④
（其中m 为
实数）．其中说法正确的是 ．
三、解答题（本大题共8 个小题，第17，18，19 题每小题6 分，第20，21 题每小题6 分，第22，
23 题每小题6 分，第24，25 题每小题6 分，共72 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤.）
17．（6 分）计算：
．
18．（6 分）先化简、再求值：
，其中x＝2．
19．（6 分）下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D．
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC 长为半径画弧，交O'A'于点C'；
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4
（3）以点C'为圆心， ；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）完成作图过程第三步：以点C 为圆心， ；
（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
20．（8 分）学校为鼓励学生加强课后阅读，特组织八年级全体同学参加了“全民阅读，建设
书香校园”的课后海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示．
（1）扇形统计图中“5 本”所在扇形圆心角为 度，并将条形统计图补充完整；
（2）在八年级700 名学生中，读书15 本及以上（含15 本）的学生估计有多少人？
（3）在八年级六班共有50 名学生，其中读书达到25 本的有两位男生和两位女生，老师要
从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好
是两位男生分享心得的概率．
21．
（8 分）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN 对折，使A、C 重合，直线MN 交
AC 于O．
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段MN 的长度．
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22．（9 分）火炬村街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温
馨提示牌和垃圾箱，购买3 个垃圾箱和2 个温馨提示牌花费280 元，购买2 个垃圾箱和3
个温馨提示牌花费270 元．
（1）求垃圾箱和温馨提示牌的单价各多少元？
（2）购买垃圾箱和温馨提示牌共100 个，如果垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3 倍，
请你写出总费用w 元与垃圾箱个数m 个之间的关系式，并说明采用怎样的方案可以使总
费用最低，最低为多少？
23．（9 分）如图，点A，B，C 是半径为2 的⊙O 上三个点，AB 为直径，∠BAC 的平分线交圆于
点D，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E，延长ED 交AB 的延长线于点F．
（1）判断直线EF 与⊙O 的位置关系，并证明；
（2）若DF＝
，求tan∠EAD 的值．
24．（10 分）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y 满足m≤y≤n，
且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k 属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当
1≤x≤3 时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x 为“3
属和合函数”．
（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4 属和合函数”，求k 的值；
（2）反比例函数
（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k 属和合函数”，且a+b＝3，请求
出a﹣b 的值；
（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1 时，y 是“k 属和合函数”，求k 的取值范
围．
25．（10 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c 为常数）与x 轴交于A、C 两点，与y 轴交
于B 点，A（﹣4，0），C（1，0），B（0，3）．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）已知点M（m，0）是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l，分别与直线AB 和
抛物线交于D、E 两点，当m 为何值时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；
（3）在（2）问条件下，当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记
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6
为点M′，将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
（Ⅰ）：探究：线段OB 上是否存在定点P（P 不与O、B 重合），无论ON 如何旋转，
始终
保持不变，若存在，试求出P 点坐标：若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）：试求出此旋转过程中，
的最小值．
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7
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 个小题，每小顾3 分，共36 分，在下列各题的四个选项中，只有一项
是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项。）
1．【分析】先从数轴上得出点A 所表示的数，再根据负数的绝对值是其相反数解答即可．
【解答】解：由数轴得，点A 表示的数为：﹣2，
∴|﹣2|＝2，
故选：B．
2．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则以及积的
乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、a3÷a＝a2，故本选项不合题意；
C、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
D、（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；
故选：D．
3．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将11300 亿用科学记数法表示为：1.13×104亿．
故选：C．
4．【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【解答】解：A、“一”是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、“中”是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“王”是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“语”不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x 的
范围，也就可以求出x 的不可能取得的值．
【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，则x 的不可能的值是9，
故选：D．
6．【分析】根据三角形的外角性质计算，得到答案．
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【解答】解：∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
则∠AED＝∠ACE+∠A＝45°+30°＝75°，
故选：D．
7．【分析】在直角三角形APC 中根据∠PCA 的正切函数可求小河宽PA 的长度．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APC＝90°，
∵PC＝300 米，∠PCA＝40°，
∴tan40°＝
，
∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝300tan40°米．
故选：C．
8．【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．
【解答】解：由统计表可知，学生平均每周课后作业时量为6 小时的有23 人，人数最多，故
众数是6；
因表格中数据是按从小到大的顺序排列的，一共50 个人，中位数为第25 位和第26 位的
平均数，它们分别是6，8，故中位数是
＝7．
故选：B．
9．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，
解不等式
，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
故选：C．
10．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等
于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝
，解
得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝
，解得r＝2，
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9
这个圆锥的高h＝
＝4
，
故选：D．
11．【分析】作AM⊥x 轴于M，BN⊥x 轴于N，由反比例函数系数k 的几何意义得到k1＝
2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，解直角三角形求得
＝tan30°＝
，通过证得△AOM∽△OBN，
得到
＝（
）2＝3，进而得到
＝﹣3．
【解答】解：作AM⊥x 轴于M，BN⊥x 轴于N，
∴S△AOM＝
|k1|，S△BON＝
|k2|，
∵k1＞0，k2＜0，
∴k1＝2S△AOM，k2＝﹣2S△BON，
在Rt△AOB 中，∠BAO＝30°，
∴
＝tan30°＝
，
∵∠AOM+∠BON＝90°＝∠AOM+∠OAM，
∴∠OAM＝∠BON，
∵∠AMO＝∠ONB＝90°，
∴△AOM∽△OBN，
∴
＝（
）2＝3，
∴
＝﹣
＝﹣3，
故选：A．
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10
12．【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝
∠BOD，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结
论．
【解答】解：连接OD，BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD 是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△DBC，
∴图中阴影部分的面积＝扇形COB 的面积＝
＝2π，
故选：B．
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11
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题3 分，共12 分）
13．【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方
公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
14．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数b，再代入公式S＝a+
b﹣
1，即可得出格点多边形的面积．
【解答】解：a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面
积，
通过图象可知a＝4，b＝6，
∴该五边形的面积S＝4+
×6﹣1＝6，
故答案为：6．
15．【分析】根据正方形的性质求出AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD 交EF 于
M，连接AC、CF，求出AM＝4，FM＝2，∠AMF＝90°，根据正方形性质求出∠ACF＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH＝
AF，根据勾股定理求出AF 即可．
【解答】解：∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD 交EF 于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD 和四边形GCEF 是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H 为AF 的中点，
∴CH＝
AF，
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12
在Rt△AMF 中，由勾股定理得：AF＝
＝
＝2
，
∴CH＝
，
故答案为：
．
16．【分析】①根据点（﹣3，y1）离对称轴为
要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，即可判
断；
②根据对称轴为x＝
，且经过点（2，0），可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），可
得
＝﹣1×2＝﹣2，即c＝﹣2a，即可判断；
③根据Δ＝b2﹣4a 且a＜0，即可判断；
④根据抛物线的对称轴x＝
，可得当x＝
时，y 有最大值，即
a+
b+c＞am2+bm+c（其
中m≠
），根据a＝﹣b，即可进行判断．
【解答】解：∵点（﹣3，y1）离对称轴为
要比点（π，y2）离对称轴要远且a＜0，
∴y1＜y2，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣
＝
，
∴b＝﹣a，
∵抛物线经过点（2，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴
＝﹣1×2＝﹣2，
∴c＝﹣2a＝2b，所以②正确；
∵Δ＝b2﹣4a 且a＜0，
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13
∴Δ＞0，
∴关于x 的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）一定有两个不同的解，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝
，
∴当x＝
时，y 有最大值，
∴
a+
b+c＞am2+bm+c（其中m≠
），
∴
a+
b＞m（am+b）（其中m≠
），
∵a＝﹣b，
∴﹣
b+
b＞m（am+b），
∴
b＞m（am+b），所以④正确．
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共8 个小题，第17，18，19 题每小题6 分，第20，21 题每小题6 分，第22，
23 题每小题6 分，第24，25 题每小题6 分，共72 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤.）
17．【分析】首先计算乘方、负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后
从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣1+3+2×
﹣2
＝2+
﹣2
＝
．
18．【分析】利用分式的混合运算法则把原式变形，把x 的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
﹣
×
＝
﹣
＝
，
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14
当x＝2 时，原式＝
＝3．
19．【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）完成作法；
（2 ）利用作法得到OC ＝OD ＝O′ C′ ＝O′ D′ ，CD ＝C′ D′ ，则可判断
△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】解：（1）完成作图过程第三步：以点C 为圆心，CD 为半径画弧，交弧C′E′于点
D′；
（2）证明过程为：
由作法得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠O＝∠O′，
即∠A'O'B'＝∠AOB．
20．【分析】（1）根据C 的人数和所占的百分比，可以求得本次共抽查学生人数，即可解决问
题；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出读书15 本及以上（含15 本）的学生估计有多少
人；
（3）画出树状图，从而可以求出恰好是两位男生分享心得的概率．
【解答】解：（1）本次共抽查学生人数为：14÷28%＝50（人），
则扇形统计图中“5 本”所在扇形圆心角为：360°×
＝72°，
读书10 本的学生有：50﹣10﹣14﹣6﹣4＝16（人），
故答案为：72，
补全的条形统计图如下：
（2）700×
＝336（人），
即在八年级700 名学生中，读书15 本及以上（含15 本）的学生估计有336 人；
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15
（3）画树状图如下图所示：
一共有12 种可能性，其中恰好是两位男生分享心得的有2 种，
∴恰好是两位男生分享心得的概率是
＝
．
21．
【分析】（1）根据A 与C 关于直线MN 对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM＝90°，从而
得到在矩形ABCD 中∠COM＝∠B，最后证得△COM∽△CBA；
（2）利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM 的长．
【解答】（1）证明：∵沿直线MN 对折，使A、C 重合．
∴A 与C 关于直线MN 对称，
∴AC⊥MN，
∴∠COM＝90°．
在矩形ABCD 中，∠B＝90°，
∴∠COM＝∠B，
又∵∠ACB＝∠ACB，
∴△COM∽△CBA；
（2）解：∵在Rt△CBA 中，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10，
∴OC＝5，
∵△COM∽△CBA，
∴
＝
，即
＝
∴OM＝
．
同理推知：△AON∽△ADC，则ON＝
．
∴MN＝OM+ON＝
．
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22．【分析】（1）设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是x 元与y 元，根据题意列出方程即可求
出答案．
（2）先根据垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3 倍，求出m 的范围，然后列出w 与m 的
函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是x 元与y 元，
，
解得：
，
答：垃圾箱和温馨提示牌的单价分别是60 元与50 元；
（2）由题意得：w＝60m+50（100﹣m）＝10m+5000，
∵垃圾箱个数不少于温馨提示牌个数的3 倍，
∴m≥3（100﹣m），
解得，m≥75，
∵10＞0，
∴w 随着m 的增大而增大，
∴当m＝75 时，w 取得最小值，此时w＝10×75+5000＝5750，100﹣75＝25，
答：购买垃圾箱75 个，温馨提示牌共25 个，可以使总费用最低，最低为5750 元．
23．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD 知∠OAD＝∠ODA，由AD 平分∠EAF 知∠DAE＝
∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF 即可得证；
（2）根据勾股定理得到OF＝
＝2
，根据平行线分线段成比例定理和三角函
数的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD 平分∠EAF，
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∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）解：在Rt△ODF 中，OD＝2，DF＝2
，
∴OF＝
＝2
，
∵OD∥AE，
∴
＝
＝
，
∴
＝
＝
，
∴AE＝
，ED＝
，
∴tan∠EAD＝
＝
．
24．【分析】（1）分两种情况：利用“k 属和合函数”的定义即可得出结论；
（2）先判断出函数的增减性，利用“k 属和合函数”的定义得出ab＝1，即可得出结论；
（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k 属和合函数”的定义即可得
出结论；
【解答】解：（1）当k＞0 时，y 随x 的增大而增大，
∵1≤x≤3，
∴k﹣1≤y≤3k﹣1，
∵函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4 属和合函数”，
∴（3k﹣1）﹣（k﹣1）＝4（3﹣1），
∴k＝4；
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当k＜0 时，y 随x 的增大而减小，
∴3k﹣1≤y≤k﹣1，
∴（k﹣1）﹣（3k﹣1）＝4（3﹣1），
∴k＝﹣4，
综上所述，k 的值为4 或﹣4；
（2）∵反比例函数y＝
，k＞0，
∴在第一象限，y 随x 的增大而减小，
当a≤x≤b 且0＜a＜b 是“k 属和合函数”，
∴
﹣
＝k（b﹣a），
∴ab＝1，
∵a+b＝3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣4＝5，
∴a﹣b＝﹣
；
（3）∵二次函数y＝﹣x2+2ax+3 的对称轴为直线x＝a，
∵当﹣1≤x≤1 时，y 是“k 属和合函数”，
∴当x＝﹣1 时，y＝2﹣2a，
当x＝1 时，y＝2+2a，
当x＝a 时，y＝a2+3，
①如图1，当a≤﹣1 时，
当x＝﹣1 时，有y 最大值＝2﹣2a，
当x＝1 时，有y 最小值＝2+2a
∴（2﹣2a）﹣（2+2a）＝k•[1﹣（﹣1）]＝2k，
∴k＝﹣2a，
而a≤﹣1，
∴k≥2，
②如图2，当﹣1＜a≤0 时，
当x＝a 时，有y 最大值＝a2+3，
当x＝1 时，有y 最小值＝2+2a，
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∴a2+3﹣（2+2a）＝2k，
∴k＝
，
∴
≤k＜2，
③如图3，当0＜a≤1 时，
当x＝a 时，有y 最大值＝a2+3，
当x＝﹣1 时，有y 最小值＝2﹣2a，
∴a2+3﹣（2﹣2a）＝2k，
∴k＝
，
∴
＜k≤2，
④如图4，当a＞1 时，
当x＝1 时，有y 最大值＝2+2a，
当x＝﹣1 时，有y 最小值＝2﹣2a，
∴（2+2a）﹣（2﹣2a）＝2k，
∴k＝2a，
∴k＞2，
综上所述，当﹣1≤x≤1 时，y 是“k 属和合函数”，k 的取值范围为k≥
．
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25．【分析】（1）将A（﹣4，0），C（1，0），B（0，3）代入y＝ax2+bx+c 中，即可求解析式；
（2）求出直线AB 的解析式为y＝
x+3，则可得D（m，m+3），E（m，﹣
m2﹣
m+3），
DE 的中点为（m，﹣
m2﹣
m+3），由等腰三角形的性质可得﹣
m2﹣
m+3＝3，即可求
m；
（3）（Ⅰ）当△NOP∽△BON 时，
＝
＝
＝
为定值；（Ⅱ）NA+
BN＝
NA+NP≥AP，当NA+
BN＝AP 时值最小，求得AP＝
即为所求．
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【解答】解：（1）将A（﹣4，0），C（1，0），B（0，3）代入y＝ax2+bx+c 中，
，
∴
，
∴y＝﹣
x2﹣
x+3；
（2）设直线AB 的解析式为y＝kx+b，
∴
，
∴
，
∴y＝
x+3，
∵M（m，0），MD⊥OA，
∴D（m，
m+3），E（m，﹣
m2﹣
m+3），
∴DE 的中点为（m，﹣
m2﹣
m+3），
∵△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形，
∴过B 点作DE 的高与DE 的交点即为DE 的中点，
∴﹣
m2﹣
m+3＝3，
∴m＝0（舍）或m＝﹣2，
∴m＝﹣2；
（3）（Ⅰ）存在，理由如下：
由（2）知M'（﹣2，0），
∴OM'＝2，
∵将OM′绕原点O 顺时针旋转得到ON，
∴ON＝2，
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当△NOP∽△BON 时，
＝
＝
，
∵OB＝3，
∴
＝
为定值，
∴
＝
，
∴OP＝
，
∴P（0，
）；
（Ⅱ）∵
＝
，
∴NP＝
BN，
∴NA+
BN＝NA+NP，
∴NA+
BN≥AP，
∴当NA+
BN＝AP 时值最小，
∴AP＝
＝
，
∴NA+
BN 的最小值为
．
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