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2024-2025 学年八年级数学上学期期末押题卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。
2．测试范围：三角形~分式（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。）
1．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5
B．（﹣3x2y）2÷（xy）＝9x5y3
C．（2b2）3＝8b6
D．2x•3x5＝6x5
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则单项式乘多项式的法则计算，判断即可．
【解答】解：2a2与a3不能合并，A错误；
（﹣3x2y）2÷（xy）＝9x3y，B错误；
（2b2）3＝8b6，C正确；
2x•3x5＝6x6，D错误，
故选：C．
2．（3分）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．6x2y3＝2x2•3y3 B．a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a
1
C．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2 D．x2+1=x(x+ )
x
【分析】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可．
【解答】解：A、6x2y3＝2x2•3y3，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项不合题意；
B、a（a+1）（a﹣1）＝a3﹣a，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项不合题意；
C、a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项符合题意；1
D、x2+1=x(x+
)，此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项不合题意；
x
故选：C．
3．（3分）如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正
方形成轴对称图形，则选择的方法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5
种情况可使所得图案是一个轴对称图形．
【解答】解：如图，
将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5
种情况可使所得图案是一个轴对称图形，
故选：C．
x2y
4．（3分）将分式 中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
x−y
A．扩大6倍 B．扩大9倍 C．不变 D．扩大3倍
【分析】将原式中的x、y分别用3x、3y代替，化简，再与原分式进行比较．
x2y
【解答】解：∵把分式 中的x与y同时扩大为原来的3倍，
x−y
27x2y 9x2y x2y
∴原式变为： = =9× ，
3x−3 y x−y x−y
∴这个分式的值扩大9倍．
故选：B．
5．（3分）如图，点B、C、D共线，AC＝BE，AC⊥BE，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝13，DE＝6，则
CD的长是（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵AC⊥BE，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠A+∠ABE＝∠ABE+∠EBD＝90°，
∴∠A＝∠EBD，
在△ABC与△BDE中，
{∠ABC=∠BDE=90°
)
∠A=∠EBD ，
AC=BE
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝DE＝6，AB＝BD＝13，
∴CD＝BD﹣BC＝13﹣6＝7，
故选：A．
6．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则这个多边形的边数是（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【分析】多边形的内角和为（n﹣2）×180°，外角和为360°，根据多边形的内角和比它的外角和的
3倍少180°列出方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，
解得n＝7，
故选：A．
x−b
7．（3分）已知当x＝﹣4时，分式 无意义；当x＝2时，此分式的值为0，则
2x+a
2a 1 a b
( ) 2 ⋅ − ÷ 的值是（ ）
b a−b b 4
3 8 4 4
A． B． C． D．
4 3 5 3
【分析】先根据分式有意义的条件和分式的值为0的条件得到﹣8+a＝0，2﹣b＝0，解得a＝8，b＝
4a
2，再进行乘方运算、通分、约分得到原式= ，然后把a、b的值代入计算即可．
b(a−b)x−b
【解答】解：∵当x＝﹣4时，分式 无意义，当x＝2时，此分式的值为0，
2x+a
∴﹣8+a＝0，2﹣b＝0，
解得a＝8，b＝2，
2a 1 a b 4a2 1 a
∴( ) 2 ⋅ − ÷ = • − •
b a−b b 4 b2 a−b b
4 4a2 4a 4a2−4a(a−b) 4a2−4a2+4ab 4ab 4a
= − = = = = ，
b b2 (a−b) b2 b2 (a−b) b2 (a−b) b2 (a−b) b(a−b)
4×8 8
当a＝8，b＝2时，原式= = ．
2×(8−2) 3
故选：B．
8．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，连接AF、DC，将△ADC沿DC
所在直线折叠得到△FDC，点F是点A的对应点，FC与AB交于点E，下列结论一定正确的是（
）
A．DC＝DB B．∠AFC＝∠DCB C．CE＝CB D．AD⊥DF
【分析】延长CD交AF于点G，根据折叠的性质可得AC＝CF，∠ACD＝∠FCD，利用等腰三角形
“三线合一”性质可得AG⊥AF，利用等角的余角相等可推出∠AFC＝∠DCB，即可判断B选项；
根据直角三角形斜边上的中线性质可知当D为AB中点时，才有BD＝CD，则可判断A选项；假设
BAC＝30°，∠B＝60°，且点D为AB中点时，易得△BCD为等边三角形，得到BC＞BE，根据三角
形内角和定理可算出∠ADC＝∠CDF＝120°，以此求得∠ADF＝120°，即可判断C、D选项．
【解答】解：如图，延长CD交AF于点G，根据折叠的性质可得，AC＝CF，∠ACD＝∠FCD，
∴△ACF为等腰三角形，∠CAF＝∠AFC，AG⊥AF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠CAF＝∠ACD+∠AFC＝90°，
∴∠AFC＝∠DCB，故B选项正确，符合题意；
当点D为AB的中点时，
∵∠ACB＝90°，
∴AD＝BD＝CD，
∴只有当D为AB中点时，才有BD＝CD，故A选项错误，不符合题意；
在Rt△ABC中，当∠BAC＝30°，∠B＝60°，且点D为AB中点时，
1 1
∴BC= AB，AD＝BD＝CD= AB，
2 2
∴BC＝BD＝CD，
∴BC＞BE，故C选项错误，不符合题意；
此时，∠CAD＝∠ACD＝∠FCD＝∠CFD＝30°，
∴∠ADC＝∠CDF＝120°，
∴∠ADF＝120°，故D选项错误，不符合题意．
故选：B．
9．（3分）已知x，y，z都是正整数，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，设a＝x﹣z，则[（3a﹣1）
（a+2）﹣5a+2]÷a＝（ ）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
【分析】先把已知条件中的x2﹣xz﹣xy+yz＝23的左侧分解因式，根据已知条件求出x﹣z的值即a，
然后把所求式子进行化简，再求出答案即可．
【解答】解：x2﹣xz﹣xy+yz＝23，
x2﹣xz﹣xy+yz＝23，x（x﹣z）﹣y（x﹣z）＝23，
（x﹣y）（x﹣z）＝23，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x﹣z＝1，x﹣y＝23或x﹣z＝23，x﹣y＝1，
∴a＝x﹣z＝1或23，
[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a
＝（3a2+6a﹣a﹣2﹣5a+2）÷a
＝3a2÷a
＝3a，
∵a＝x﹣z，
∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a
＝3a
＝3（x﹣z），
当x﹣z＝1时，3a＝3，
当x﹣z＝23时，3a＝69，
∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3或69，
故选：C．
10．（3分）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（a+b）n（其中n为自然数）展开式
中各项的系数直观地体现了出来，其中（a+b）n展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第（n+1）
行的每一项，如图所示：
2
根据上述材料，则(x− ) 6 的展开后含x2项的系数为（ ）
x
A．12 B．﹣12 C．60 D．﹣60
【分析】利用杨辉三角的规律得到（a+b）6的展开式中的各项系数，依此规律解答即可得出结论．【解答】解：由题意得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6，
2
∴(x− ) 6 的展开式中含字母x的部分依次为：x6，x4，x2，x﹣2，x﹣4，x﹣6，
x
系数分别为：1，﹣12，60，240，﹣192，64，
2
∴(x− ) 6 的展开式中含x2项的系数为60，
x
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如果a2+6a+m是一个完全平方式，那么m是 9 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：∵（a+3）2＝a2+6a+9，
∴m＝9，
故答案为：9．
1
12．（3分）已知a﹣c＝1，c﹣b＝4，则2a+b﹣2c＝ ．
8
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵a﹣c＝1，c﹣b＝4，
∴b﹣c＝﹣4，
1
∴2a+b−2c=2a−c ⋅2b−c=21×2−4=2−3=
．
8
1
故答案为： ．
8
4x+5 a b
13．（3分）如果 = − （a，b均为常数），则a+b＝ 5 ．
(x−1)(2x+1) x−1 2x+1
【分析】利用分式的减法的法则进行求解即可．
4x+5 a b
【解答】解：∵ = − ，
(x−1)(2x+1) x−1 2x+1
4x+5 a(2x+1)−b(x−1)
∴ = ，
(x−1)(2x+1) (x−1)(2x+1)
4x+5 2ax+a−bx+b
= ，
(x−1)(2x+1) (x−1)(2x+1)
4x+5 (2a−b)x+a+b
= ，
(x−1)(2x+1) (x−1)(2x+1)
∴2a﹣b＝4，a+b＝5，
故答案为：5．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝70°，AF平分∠CAB，交BC于点D．过点
C作CE⊥AF于点E，则∠ECD的度数为 25 ° ．
1
【分析】先根据角平分线定义求出∠CAD＝∠BAD= ∠CAB＝45°，再根据直角三角形两锐角互余
2
求出∠ACB及∠ACE，再通过∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA求解．
【解答】解：∵∠CAB＝90°，AD是∠CAB的角平分线，
1
∴∠CAD＝∠BAD= ∠CAB＝45°，
2
∵CE⊥AD，
∴∠ECA＝90°﹣∠CAE＝45°，
∵∠BCA＝90°﹣∠B＝20°，
∴∠ECD＝∠ACE﹣∠BCA＝25°，
故答案为：25°．
2 m
15．（3分）若关于x的分式方程 =1− 的解为非负数，则m的取值范围是 m ≤ 5 且 m ≠ 2
x−3 3−x
．
【分析】先解分式方程得x＝5﹣m，再由题意可得5﹣m≥0，5﹣m≠3，从而求解即可．
2 m
【解答】解： = 1− ，
x−3 3−x
2＝x﹣3+m，
x＝5﹣m，
∵方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0，
∴m≤5，
∵x≠3，
∴5﹣m≠3，
∴m≠2，
∴m的取值范围为m≤5且m≠2，
故答案为：m≤5且m≠2．16．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，D、E两点分别是边AC、AB上的动点，
且式BE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转45°得到线段DF，连接BF，当线段BF最短时，
∠ABF＝ °．
【分析】在CD上截取DM＝AE，连接FM，CF，作点B关于CF的对称点N，连接CN，BN，先证
明△ADE≌△MFD，得到AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°，当B、F、N三点共线时，2BF＝BF+NF
的值最小，最小值为BN，此时BF最小，再证明△BCN为等腰直角三角形，可得∠CBN＝45°即可
解答．
【解答】解：在CD上截取DM＝AE，连接FM，CF，作点B关于CF的对称点N，连接CN，BN，
∵∠A＝45°，∠EDF＝45°，∠A+∠AED＝∠EDM＝∠EDF+∠FDM，
∴∠AED＝∠FDM，
∴DE＝DF，
∴△ADE≌△MFD（SAS），
∴AD＝FM，∠A＝∠DMF＝45°，
∵AB＝AC，
∴AE+BE＝AD+CD，
∵BE＝2AD，
∴CD＝AE+AD．
∵CD＝DM+CM，
∴CM＝AD，
∴FM＝CM，
∴∠MCF＝∠MFC，∵∠DMF＝45°，
∴∠FCM＝∠MFC＝22.5°，
∴F点在射线CF上运动，
∵点B与点N的关于CF对称，
∴BF＝NF，CN＝BC，
∴BF+FN＝2BF≥BN，
当B、F、N三点共线时，BF+FN＝2BF的值最小，即此时BF最小，最小值为BN，
∵∠A＝45°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠ABC＝67.5°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠FCM＝45°，
由对称性得：∠NCF＝∠BCF＝45°，
∴∠BCN＝90，
∵△BCN是等腰直角三角形，
∴∠CBN＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBN＝22.5°，
故答案为：22.5．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）因式分解：
（1）3x2﹣12x+12；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）3x2﹣12x+12
＝3（x2﹣4x+4）
＝3（x﹣2）2；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
18．（8分）如图，点C、A、B、D在同一条直线上，BE∥DF，AB＝FD，∠EAB＝∠F．
（1）求证：AE＝FC；
（2）若∠C＝25°，∠EAB＝110°，求∠EBD的度数．【分析】（1）根据BE∥DF，可得∠ABE＝∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可；
（2）利用全等三角形的性质和三角形的外角和内角的关系即可求解．
【解答】（1）证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE＝∠D，
在△ABE和△FDC中，
{∠ABE=∠D
)
AB=FD ，
∠EAB=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE＝FC；
（2）解：∵△ABE≌△FDC，
∴∠E＝∠C＝25°，
∴∠EBD＝∠E+∠EAB＝25°+110°＝135°．
3 a2−4
19．（8分）先化简，再求值：( −a+1)÷ ，其中a从﹣1、1、﹣2、2中取一个你认
a+1 a2+2a+1
为合适的数代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子
进行计算，即可解答．
3 a2−4
【解答】解：( −a+1)÷
a+1 a2+2a+1
3 (a+1) 2
＝[ −（a﹣1）]•
a+1 (a+2)(a−2)
3−(a2−1) (a+1) 2
= •
a+1 (a+2)(a−2)
4−a2 (a+1) 2
= •
a+1 (a+2)(a−2)
(2+a)(2−a) (a+1) 2
= •
a+1 (a+2)(a−2)＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵a+1≠0，a+2≠0，a﹣2≠0，
∴a≠﹣1，a≠﹣2，a≠2，
∴当a＝1时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2．
20．（8分）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的
顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果
用实线）．
（1）画△ABC关于y轴对称的△A B C ；
1 1 1
（2）画出△ABC的高BE；
（3）在x轴上作点P，使AP+PB的和最小；
（4）已知M是线段AB上一点，画M关于y轴的对称点N．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）根据三角形的高的定义画图即可．
（3）取点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，交x轴于点P，则点P即为所求．
（4）过点M作x轴的平行线，交A B 于点N，则点N即为所求．
1 1
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）如图，BE即为所求．
（3）如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，交x轴于点P，连接BP，
此时AP+PB＝AP+PB'＝AB'，为最小值，
则点P即为所求．
（4）如图，点N即为所求．21．（8分）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，
可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （ a + b + c ） 2 ＝ a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2
的值．
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可．
【解答】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝121﹣76
＝45．
22．（10分）小美和小聪家住水果湖，周末相约到东湖绿道游玩，小美乘坐地铁，小聪乘坐公交车，
同时出发到梨园公交车站汇合．
（1）已知乘坐地铁和公交车的路程都是5千米，地铁的平均速度是公交车的两倍，虽然小美进站和出站比小聪上下公交车多花了5分钟，但还是比小聪早到两分半钟．求地铁的平均速度．
（2）游玩途径东湖绿道有一家酥饼店，酥饼标价a元/斤，小美买了两斤，小聪买了20元钱的酥
饼．两人游玩结束返回时，发现酥饼标价变成了b元/斤（a≠b），小美又买了两斤，小聪又买了
20元钱的酥饼．
a+b
①用a，b表示小美购买酥饼的平均价格P小美 ＝
2
（元 / 斤） ，小聪购买酥饼的平均价格P
2ab
小聪 ＝ a+b （元 / 斤） ；
②小美和小聪谁的平均价格低？说明理由．
【分析】（1）设公交车的平均速度是x千米/小时，则地铁的平均速度是2x千米/小时，利用时间＝
路程÷速度，结合小美乘坐地铁比小聪乘坐公交车少用（5+2.5）分钟，可列出关于x的分式方程，
解之经检验后可得出公交车的平均速度，再将其代入2x中，即可求出地铁的平均速度；
（2）①利用平均价格＝两次购买酥饼的费用之和÷两次购买酥饼的质量之和，即可用含a，b的代
数式表示出小美及小聪购买酥饼的平均价格；
(a−b) 2 (a−b) 2
②二者作差后，可得出P小美 ﹣P小聪 =
2(a+b)
，结合a≠b，可得出
2(a+b)
＞0，即P小美 ﹣P小聪
＞0，进而可得出小聪购买酥饼的平均价格低．
【解答】解：（1）设公交车的平均速度是x千米/小时，则地铁的平均速度是2x千米/小时，
5 5 5+2.5
根据题意得： − = ，
x 2x 60
解得：x＝20，
经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×20＝40（千米/小时）．
答：地铁的平均速度为40千米/小时；
2a+2b a+b
（2）①根据题意得：小美购买酥饼的平均价格P小美 =
2+2
=
2
（元/斤）；
20+20 2ab
= =
小聪购买酥饼的平均价格P小聪 20
+
20 a+b（元/斤）．
a b
a+b 2ab
故答案为： （元/斤）， （元/斤）；
2 a+b
②小聪购买酥饼的平均价格低，理由如下：
a+b 2ab (a+b) 2 4ab (a+b) 2−4ab (a−b) 2
P小美 ﹣P小聪 =
2
−
a+b
=
2(a+b)
−
2(a+b)
=
2(a+b)
=
2(a+b)
，
∵a≠b，∴a+b＞0，（a﹣b）2＞0，
(a−b) 2
∴ ＞0，即P小美 ﹣P小聪 ＞0，
2(a+b)
∴小聪购买酥饼的平均价格低．
23．（10分）（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝ （0＜ ＜180°），CD平分∠ACB交AB于D，过C
点作DC的垂线交AB的垂直平分线于M，连AM，N在AC的延长线上．求证：CM平分∠BCN；
α α
（2）把（1）中的“CD平分∠ACB交AB于D”换成“CD平分∠ACB的外角∠ACF交直线AB于
1
D”，其他条件不变，请在图2中补全图形，并直接写出∠BAM的度数 （用含 的式子表
2
示）； α α
（3）在（1）的条件下，若 ＝90°（如图3），且BC＝2AC＝10，作MH⊥BC于H，求MH的长
度．
α
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠DCM＝90°，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，得到
∠NCM＝∠BCM；
（2）连接MA、MB，过点M作ME⊥BC于E，MH⊥CA交CA的延长线于H，根据题意得到
∠HME＝180°﹣ ，证明Rt△BME≌Rt△AMH，得到∠BME＝∠AMH，根据等腰三角形的性质计
算，得到答案；
α
（3）连接MB，过点M作ME⊥AC交AC的延长线于E，根据角平分线的性质得到MH＝ME，证明
Rt△BHM≌Rt△AEM，得到AE＝BH，根据题意列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵DC⊥CM，
∴∠DCM＝90°，
∴∠DCB+∠BCM＝90°，∠ACD+∠NCM＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠NCM＝∠BCM，即CM平分∠BCN；
（2）解：如图2，连接MA、MB，过点M作ME⊥BC于E，MH⊥CA交CA的延长线于H，则∠HME＝180°﹣ ，
由（1）可知：∠ACM＝∠BCM，
α
∵ME⊥BC，MH⊥CA，
∴ME＝MH，
∵点M在AB的垂直平分线上，
∴MB＝MA，
在Rt△BME和Rt△AMH中，
{MB=MA)
，
ME=MH
∴Rt△BME≌Rt△AMH（HL），
∴∠BME＝∠AMH，
∴∠BMA＝∠EMH＝180°﹣ ，
∵MB＝MA，
α
1 1
∴∠BAM= （180°﹣180°+ ）= ，
2 2
1 α α
故答案为： ；
2
（3）解：如图α 3，连接MB，过点M作ME⊥AC交AC的延长线于E，
∵∠ACB＝ ＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
α
∵CD⊥CM，
∴∠MCH＝∠MCE＝45°，
∵MH⊥BC，ME⊥AC，
∴MH＝ME，
在Rt△BHM和Rt△AEM中，
{MH=EM)
，
MB=AM
∴Rt△BHM≌Rt△AEM（HL），
∴AE＝BH，
∴10﹣MH＝5+MH，
解得：MH＝2.5．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，0）是x轴正半轴上一点，点B（0，b）是y轴正
半轴上一点，且a＝（﹣2）×（﹣2）4×（﹣2）3÷64，b是多项式（6m3+12m2﹣7m）÷3m中一次项
的系数．
（1）直接写出A，B两点的坐标：A（ 4 ， 0 ），B（ 0 ， 4 ）．
（2）如图1，点C为线段OA上一点（点C不与O、A重合）且满足：BC＝CE，连AE，点D为x
轴上一点（点D在点A的右边），若∠DAE＝45°，求证：BC⊥CE．
（3）如图2，过点O作OF⊥AB于点F，以OB为边在y轴左侧作等边△OBQ，连接AQ交OF于点
P，请探究线段PQ、OP、AP三者之间的数量关系并证明你的结论．
【分析】（1）根据整式的运算求出a，b的值即可得解；
（2）如图1，在OB上取一点M，使OM＝OC，过点B作BF⊥CM的延长线于点F，过点A作
AN⊥MC的延长线于点N，根据等腰直角三角形的性质与判定求出∠BMF＝∠FBM＝45°，∠ACN＝∠CAN＝45°，N、A、E三点共线，利用ASA证明△BMF≌△CAN，根据全等三角形的性质得出
BF＝CN，再利用HL证明Rt△BCF≌Rt△CEN，则∠BCF＝∠CEN，结合直角三角形的性质及平角
定义求出∠BCE＝180°﹣90°＝90°，根据垂直的定义即可得解；
（3）在AQ上取QH＝OP，连接BH并延长交x轴于点G，根据等边三角形的性质、等腰三角形的
性质及角的和差求出∠OAQ＝∠OQA＝15°，∠AQB＝45°，∠BAQ＝30°，∠AOP＝45°＝∠BQH，
利用SAS证明△BQH≌△AOP，根据全等三角形的性质得出BH＝AP，∠QBH＝∠OAP＝15°，根据
角的和差求出∠ABG＝90°，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：∵a＝（﹣2）×（﹣2）4×（﹣2）3÷64，
∴a＝（﹣2）1+4+3÷26＝28÷26＝22＝4，
∴A（4，0），
7
∵（6m3+12m2﹣7m）÷3m＝2m2+4m− ，b是多项式（6m3+12m2﹣7m）÷3m中一次项的系数，
3
∴b＝4，
∴B（0，4），
故答案为：4，0；0，4；
（2）证明：如图1，在OB上取一点M，使OM＝OC，过点B作BF⊥CM的延长线于点F，过点A
作AN⊥MC的延长线于点N，
则△OCM是等腰直角三角形，
∴∠OMC＝∠CCM＝45°，
∴∠BMF＝∠OMC＝45°，
∵BF⊥CM，
∴∠FBM＝90°﹣∠BMF＝45°，
同理∠ACN＝∠CAN＝45°，
∵∠DAE＝45°，∴N、A、E三点共线，
由（1）得，OA＝OB＝4，
又OM＝OC，
∴BM＝AC，
在△BMF和△CAN中，
{∠FBM=∠ACN=45°
)
BM=CA ，
∠BMF=∠CAN=45°
∴△BMF≌△CAN（ASA），
∴BF＝CN，
在Rt△BCF和Rt△CEN中，
{BC=CE)
，
BF=CN
∴Rt△BCF≌Rt△CEN（HL），
∴∠BCF＝∠CEN，
∵∠CEN+∠ECN＝90°，
∴∠BCF+∠ECN＝90°，
∴∠BCE＝180°﹣90°＝90°，
∴BC⊥CE；
（3）解：PQ﹣OP＝AP，理由如下：
如图2，在AQ上取QH＝OP，连接BH并延长交x轴于点G，
在等边△OBQ中，OB＝OQ＝BQ，∠OBQ＝∠OQB＝∠BOQ＝60°，
∴∠GOQ＝90°﹣60°＝30°，
∵OA＝OB，∴OA＝OQ＝BQ，
∴∠OAQ＝∠OQA，
∵∠OAQ+∠OQA＝∠GOQ，
∴∠OAQ＝∠OQA＝15°，
∴∠AQB＝∠OQB﹣∠OQA＝45°，
在等腰直角△OAB中，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∴∠BAQ＝∠OAB﹣∠OAQ＝30°，
∵OF⊥AB，
∴∠AOP＝90°﹣45°＝45°＝∠BQH，
在△BQH和△AOP中，
{
BQ=AO
)
∠BQH=∠AOP ，
QH=OP
∴△BQH≌△AOP（SAS），
∴BH＝AP，∠QBH＝∠OAP＝15°，
∴∠OBG＝∠OBQ﹣∠QBH＝45°，
∴∠ABG＝∠OBG+∠OBA＝90°，
在Rt△AB中，∠BAH＝30°，
∴AH＝2BH＝2AP，
∵AH＝AQ﹣QH＝AP+PQ﹣OP，
∴PQ﹣OP＝AP．
