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北师大版九年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题12 个小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑.
1．（4 分）在﹣4，2，﹣1，3 这四个数中，比﹣2 小的数是（ ）
A．﹣4
B．2
C．﹣1
D．3
2．
（4 分）新型冠状病毒有包膜，直径在60﹣220 纳米之间，平均直径为110 纳米左右，颗粒呈
圆形或者椭圆形，对紫外线和热敏感，在75%酒精乙醚、甲醛、含氯消毒液等可使其灭活，
将110 纳米用科学记数法表示为（ ）（1 纳米＝10﹣9米）
A．11×10﹣7米
B．1.1×10﹣7米
C．11×10﹣8米
D．1.1×10﹣8米
3．（4 分）函数y＝
的自变量x 的取值范围是（ ）
A．x＞﹣5
B．x≠﹣5
C．x≥﹣5
D．x＞﹣5 且x≠0
4．（4 分）如图所示的两个几何体都是由若干个相同的小正方体搭成的，在它们的三视图中，
相同的视图是（ ）
A．主视图
B．左视图
C．俯视图
D．三视图
5．（4 分）下列命题是假命题的是（ ）
A．算术平方根等于它本身的数一定是1 和0
B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
C．为了解我校初三学生寒假网课期间平均每天的体锻时间，随机选择了该年级200 名学
生进行调查，则200 名学生是总体的一个样本
D．正八边形的每个内角为135°
6．（4 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB＝50°，则∠ABO 的大小为（ ）
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1
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
7．（4 分）估算
﹣
的值离下列哪个整数较近（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．（4 分）如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，点O 是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC
＝5，则S△A′B′C′等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（4 分）按照如图的程序计算：如果输入y 的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y
值有（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
10．（4 分）重庆李子坝轻轨站穿楼而过成网红，小明想要测量轻轨站穿楼时轨道与大楼连接
处M 距离地面N 的高度，他站在点A 处测得轨道与大楼连接处顶端M 的仰角为45°，向
前走了1 米到达B 处，再沿着坡度为1：2.4，长度为13 米台阶到达C 处，测得轨道与大楼
连接处顶端M 的仰角为53°，已知小明的身高为1.6 米，则MN 的高度约为（ ）米（精
确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
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2
A．28.0
B．29.6
C．32.0
D．33.6
11．（4 分）若数m 使关于x 的不等式组
有解且至多有3 个整数解，且使关于y 的
分式方程
的解满足﹣3≤y≤4，则满足条件的所有整数m 的个数是
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
12．
（4 分）如图，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过正方形ABCD 的顶点D，反比例函数y
＝（x＜0）的图象经过正方形ABCD 的顶点A 和顶点B，AD 边交y 轴于点E，若
＝
，
且顶点C 的纵坐标为1，则A 点坐标为（ ）
A．（﹣1，8）
B．（﹣2，12）
C．（﹣2，10）
D．（﹣1，10）
二、填空题（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应
的横线上.
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3
13．（4 分）
+（﹣
）﹣1+（3.14﹣π）0＝ ．
14．（4 分）将一枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，
记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使得a+b≥10 的概率为 ．
15．（4 分）已知矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，以AD 为直径的半圆与BC 相切于点，则图中
阴影部分的面积为 （结果保留π）
16．（4 分）如图，在平行四边形ABCD 中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC 沿AC 翻折至
△AB′C，AB′交CD 于点E，连接B′D．若AB＝3
，则B′D 的长度为 ．
17．（4 分）一天早上小飞和妈妈一起从家出发，小飞向西去学校，妈妈向东去单位上班（学校、
家和妈妈单位在一条直线上），当妈妈出发5 分钟后发现小飞的备用口罩还留在家里，立
即掉头，提速回家取备用口罩，她返回家只用了一分钟，然后以提速后的速度去追小飞，
妈妈追上小飞后，立即把口罩交给小飞，然后再以提速前的速度返回单位上班（妈妈取口
罩和把口罩交给小飞的时间忽略不计）．已知妈妈和小飞离家的距离之和y（米）与妈妈出
发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，则小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离为
米．
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18．（4 分）三峡之巅•诗橙奉节，奉节脐橙是重庆市奉节县特产，中国地理标志产品，营养丰
富，橙香味浓．每年12 月是奉节脐橙大批量上市的时候，奉节脐橙品种较多，主要包含纽
荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣1 脐橙．某超市准备购进纽荷尔脐橙、福本脐橙、奉园72﹣
1 脐橙，三种品种的橙子共1000 件（每件均为同一品种的脐橙），其中奉园72﹣1 脐橙每
件12 个，福本脐橙每件8 个，纽荷尔脐橙每件6 个．为了推广，超市还计划将三个品种的
脐橙各取
出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价销售：甲套装为每
件奉园72﹣1 脐橙4 个、福本脐橙4 个；乙套装为每件奉园72﹣1 脐橙4 个、纽荷尔脐橙2
个，取出的件数和套装的件数均为正整数，若纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量
（件）的
，则福本脐橙最多购进 件．
三、解答题（本大题共8 个小题，第26 题8 分，其余每小题0 分，共78 分）解答时每小题必须
给出必要的演算过程或推理步骤．
19．化简：
（1）（a﹣2b）2﹣2b（b﹣2a）；
（2）（a+2﹣
）÷
．
20．如图，四边形ABCD 为平行四边形，∠BAD 的
平分线
⻆
AE 交CD 于点F，交BC 的延长线
于点E，且AF＝FE．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若∠D＝54°，求∠BFC．
（3）若tan∠BEA＝
，AB＝4，求平行四边形ABCD 的面积．
21．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量
少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区
为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒
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肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020 年新型冠状病毒防治全国统一考
试（全国卷）》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20 名人员的答卷成绩，并对
他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据
甲小区：85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 90 90 70 90
100 80 80 90 95 75
乙小区：80 60 80 95 65 100 90 85 85 80 95 75 80 90
70 80 95 75 100 90
整理数据
成绩x（分）
60≤x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
甲小区
2
5
a
b
乙小区
3
7
5
5
分析数据
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
c
乙小区
83.5
d
80
应用数据
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若甲小区共有800 人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90 分的人数；
（3）社区管理员看完统计数据，认为甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好，请你
写出社区管理员的理由．
22．有这样一个问题：探究函数y＝
的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝
的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥﹣1 时，y＝ ，当x＜﹣1 时y＝ ；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝
的图象；
（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质： ．
（4）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程ax+1＝
的只有一个实
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数根，直接写出实数a 的取值范围： ．
23．阅读材料：规定若一个正整数x 能表示成a2﹣b2（a，b 是正整数，且a＞b）的形式，则称这
个数为“风月同天数”，a 与b 是x 的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5 是
“风月同天数”，3 与2 是5 的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣
y2（x，y 是正整数），所以M 也是“风月同天数”，（x+y）与y 是M 的一个平方差分解．
（1）判断：7 “风月同天数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k（x，y 是正整数，k 是常数，且x+1＞y），要使N 是“风月同天
数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；
（3）对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数
为“岂无衣数”．若m 既是“岂无衣数”，又是“风月同天数”，请求出m 的所有平方差
分解．
24．2019 年度双十一在九龙坡区杨家坪的各大知名商场举行“国产家用电器惠民抢购日”
优惠促销大行动，许多家用电器经销商都利用这个契机进行打折促销活动．商社电器某国
产品牌经销商的某款超高清大屏幕Led 液晶电视机每套成本为4000 元，在标价6000 元
的基础上打9 折销售．
（1）现在该经销商欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于30%？
（2）据媒体爆料，有一些经销商先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．重百电器
另一个该品牌的经销商也销售相同的超高清大屏幕Led 液晶电视机，其成本、标价与商社
电器的经销商一致，以前每周可售出20 台，现重百的经销商先将标价提高（2m﹣12）%，
再大幅降价150m 元，使得这款电视机在2019 年11 月11 日那一天卖出的数量就比原来
一周卖出的数量增加了
m%，这样一天的利润达到22400 元，求m 的值．（利润＝售价﹣
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成本）
25．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+4 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点
C．
（1）求点A 的坐标和直线BC 的解析式；
（2）点P 为抛物线上位于第一象限内的点，当S△PBC＝
S△ABC时，求点P 的坐标；
（3）当点P 满足（2）中的条件，且位于对称轴右侧时，点M 为线段CP 上一动点，点N 为直
线OP 上的动点，请问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点Q，使得由M、N、P、Q 构
成的四边形是以PM 为边的菱形？若能，求出菱形的边长；若不能，说明理由．
26．如图1，△ABC 与△EDC 为等腰直角三角形，AC＝BC＝12，DE＝DC＝4，∠ACB＝∠CDE
＝90°，将△EDC 绕着点C 旋转．
（1）【初步尝试】如图2，在旋转过程中，当A、C、E 三点共线（E 在AC 延长线上）时，连接
BE，过D 点作AE 的垂线交AE 于点G，交BE 于点F，则BF 的长为 ．
（2）【探究证明】如图3，在旋转过程中，连接AE、BE，过D 点作AE 的垂线交AE 于点G，
交BE 于点F，猜想EF 与BF 的数量关系并证明．
（3）【探究拓展】如图4，在（2）的条件下，连接CF、AF，当AF 最小时，请直接写出△ACF
的面积．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题12 个小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑.
1．【分析】根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．
【解答】解：∵正数和0 大于负数，
∴排除2 和3．
∵|﹣2|＝2，|﹣1|＝1，|﹣4|＝4，
∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣2＜﹣1．
故选：A．
2．【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零
的数字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：110 纳米×0.000 000 001＝1.1×10﹣7（m）．
故选：B．
3．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0 列出不等式，解不等式得到
答案．
【解答】解：由题意得，x+5＞0，
解得，x＞﹣5，
故选：A．
4．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上面看得到
的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从左边看两个图都是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：B．
5．【分析】利用算术平方根的定义、三角形的外心的性质、正多边形的性质等知识分别判断后
即可确定正确的选项．
【解答】解：A、算术平方根等于它本身的数一定是1 和0，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、为了解我校初三学生寒假网课期间平均每天的体锻时间，随机选择了该年级200 名学
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生进行调查，则200 名学生的锻炼时间是总体的一个样本，故原命题错误，是假命题，符合
题意；
D、正八边形的每个内角为135°，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
6．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧
所对的圆心角的一半可得∠AOB＝100°，再根据三角形内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°，
∵AO＝BO，
∴∠ABO＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
故选：B．
7．【分析】分别故出
与
的大小即可．
【解答】解：∵
，
，
∴
，
∴
﹣
的值离整数7 较近．
故选：C．
8．【分析】△ABC 与△A′B′C′是位似图形，由OA＝2AA′可得两个图形的位似比，面积
的比等于位似比的平方．
【解答】解：△ABC 与△A′B′C′是位似图形且由OA＝2AA′．
可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，
又∵S△ABC＝5，
∴S△A'B'C'＝5×
＝
．
故选：D．
9．【分析】当输出结果是94，代入3y+1，求得y，再把求得的这个y 值作为输出结果代入
3y+1，求得y，一直下去，即可得出正整数y 的值的个数．
【解答】解：当3y+1＝94 时，
解得y＝31，
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当3y+1＝31 时，
解得y＝10，
当3y+1＝10 时，
解得y＝3，
当3y+1＝3 时，
解得y＝
，不是整数，舍去，
故选：B．
10．【分析】如图，作EG⊥MN 于G，FH⊥MN 于H，延长MN 交AB 的延长线于D，延长EC 交
AD 于K．设MH＝HF＝x，想办法构建方程求出x 即可解决问题；
【解答】解：如图，作EG⊥MN 于G，FH⊥MN 于H，延长MN 交AB 的延长线于D，延长EC
交AD 于K．
∵∠FHN＝90°，∠MFH＝45°，
∴MH＝FH，设FH＝MH＝x．
在Rt△BCK 中，∵BC＝13，CK：BK＝1：2.4，
∴CK＝DN＝5，BK＝12，
∴AK＝AB+BK＝13，
∴GE＝DK＝x﹣13，
∵MG＝DM﹣DG＝x+1.6﹣5﹣1.6＝x﹣5，
在Rt△MEG 中，tan37°＝
＝0.75，
∴
＝0.75，
∴x＝37m，
∴MN＝DM﹣DN＝37+1.6﹣5＝33.6m，
故选：D．
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11．【分析】根据不等式组求出a 的范围，然后再根据分式方程求出m 的范围，从而确定的m
的可能值．
【解答】解：由不等式组可知：x≤5 且x≥
，
∵有解且至多有3 个整数解，
∴2＜
≤5，
∴2＜m≤8
由分式方程可知：y＝m﹣3，
将y＝m﹣3 代入y﹣2≠0，
∴m≠5，
∵﹣3≤y≤4，
∴﹣3≤m﹣3≤4，
∵m 是整数，
∴0≤m≤7，
综上，2＜m≤7，
∴所有满足条件的整数m 有：3、4、6、7，4 个，
故选：C．
12．【分析】过A 作AF⊥x 轴于点F，过B 作BG⊥AF 于点G，过D 作DH⊥AF 于点H，过点C
作CM⊥DH 于点M，过E 作EN⊥AF 于点N，设A 点坐标为（m，n），则NE＝﹣m，根据平
行线截三角形所得三角形三边与原三角形的三边对应成比例，用m 表示D 点坐标，进而
证明△ADH≌△CDM 得DH＝CM，由此等量关系求得m 的值，再由△ADH≌△BDG 得出
B 点的坐标，进而将A、B 点坐标代入反比例函数y＝
中得n 的方程求得n 的符合题意的
值便可．
【解答】解：过A 作AF⊥x 轴于点F，过B 作BG⊥AF 于点G，过D 作DH⊥AF 于点H，过
点C 作CM⊥DH 于点M，过E 作EN⊥AF 于点N，如图所示，
设A 点坐标为（m，n），则NE＝﹣m，
∵
，
∴
，
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∵EN∥DH，
∴
，
∴DH＝3EN＝﹣3m，
∴D 点的横坐标为﹣3m﹣（﹣m）＝﹣2m，
∵点D 在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，
∴D（﹣2m，﹣
），
∴HF＝﹣
，
∵C 点的纵坐标为1，
∴CM＝
，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∵CM⊥DH，DH⊥AF，
∴∠AHD＝∠DMC＝90°，
∴∠ADH+∠CDM＝∠CDM+∠DCM＝90°，
∴∠ADH＝∠DCM，
∴△ADH≌△CDM（AAS），
∴DH＝CM，即﹣3m＝
，
解得，m＝﹣2，或m＝
（∵m＜0，舍），
类似证明△ADH≌△CDM 的方法可得，△ADH≌△BDG，
∴AG＝DH＝﹣3m＝6，BG＝AH＝n+
＝n﹣7，
∴B 点的横坐标为：m﹣（n﹣7）＝﹣2﹣n+7＝5﹣n，
GF＝AF﹣AG＝n﹣6，
∴B（5﹣n，n﹣6），
∵A（﹣2，n）和B（5﹣n，n﹣6）都在反比例函数y＝
（x＜0）的图象上，
∴k＝﹣2n＝（5﹣n）（n﹣6），
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解得，n＝10 或3，
当n＝3 时，B 点的纵坐标n﹣6＝﹣3＜0，与已知B 点在二象限不符，应舍去，
∴n＝10，
∴A（﹣2，10），
故选：C．
二、填空题（本大题6 个小题，每小题4 分，共24 分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应
的横线上.
13．【分析】原式利用立方根性质，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣3﹣2+1
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．【分析】画树状图得出共有36 种等可能的结果数，使得a+b≥10 的结果有6 个，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：画树状图如图：
共有36 个等可能的结果，使得a+b≥10 的结果有6 个，
∴使得a+b≥10 的概率＝
＝
；
故答案为：
．
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15．【分析】连接OE，由圆的半径得出OD＝2，由切线的性质得OE⊥BC，易证四边形OECD
为正方形，利用S 正方形OECD﹣S 扇形EOD计算出由弧DE、线段EC、CD 所围成的面积，然后
利用三角形的面积减去由弧DE、线段EC、CD 所围成的面积，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：方法1：
连接OE，如图所示：
∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E，
∴OD＝2，OE⊥BC，
∵矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，
∴∠C＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝2，
∴四边形OECD 是矩形，OD＝CD，
∴四边形OECD 为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD 所围成的面积＝S 正方形OECD﹣S 扇形EOD＝22﹣
＝4
﹣π，
∵由弧DE、线段EC、CD 所围成的面积＝由弧AE、线段EB、AB 所围成的面积，
∴阴影部分的面积＝S△ABC﹣由弧AE、线段EB、AB 所围成的面积＝
×2×4﹣（4﹣π）＝
π，
故答案为：π．
方法2：连接OE 交AC 于F，如图所示：
由方法1 知，OA＝OD＝CE，∠AOF＝∠CEF＝90°，
在△EFC 和△OFA 中，
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，
∴△EFC≌△OFA（AAS），
∴阴影部分的面积＝扇形AOE 的面积＝
×π×22＝π，
故答案为：π．
16．【分析】作CM⊥AB 于M，由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，
AB'＝AB＝CD，由平行四边形的性质得出AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，求出
AD＝AC，AM＝BM＝
AB＝
，∠BAC＝∠B＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ACD
＝∠ADC＝30°，由直角三角形的性质得出CM＝
，证出AD＝BC＝2CM＝3，再由勾股定
理即可得出结果．
【解答】解：作CM⊥AB 于M，如图所示：
由折叠的性质得：B'C＝BC＝AC，∠AB'C＝∠B＝∠CAB'＝30°，AB'＝AB＝CD，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝CB，AB＝CD，∠ADC＝∠B＝30°，∠BAD＝∠BCD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠B'AD＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵BC＝AC，
∴AM＝BM＝
AB＝
，∠BAC＝∠B＝30°，
∴CM＝
，
∴AD＝BC＝2CM＝3，
在Rt△AB'D 中，由勾股定理得：B'D＝
＝
＝6；
故答案为：6．
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17．【分析】设小飞的速度为v1，妈妈出发时速度为v2，妈妈提速后的速度为v3，相遇后t 分小
飞到达学校，由图象可得x＝5 时，y＝600，妈妈提速回家用了一分钟，可得5v2＝v3，x＝6
时，妈妈以提速后的速度去追小飞，x＝10 时追上小飞，求出v1，v2，可得x＝10 时，妈妈和
小飞离家的距离，根据题意结合图象中的数据求出t，即可求出小飞到达学校时，妈妈和小
飞的距离．
【解答】解：设小飞的速度为v1，妈妈出发时速度为v2，妈妈提速后的速度为v3，相遇后t 分
小飞到达学校，
由图象可得x＝5 时，y＝600，
∴5（v1+v2）＝600，v1+v2＝120，
妈妈提速回家用了一分钟，
∴5v2＝v3，
x＝6 时，妈妈以提速后的速度去追小飞，x＝10 时追上小飞，
∴（10﹣6）（v3﹣v1）＝（5+1）v1，
∴4（v3﹣v1）＝6v1，
∴4（5v2﹣v1）＝6v1，20v2＝10v1，
∴v1＝2v2，
∴v1+v2＝2v2+v2＝120，
∴v2＝40 米/分，v1＝80 米/分，
y＝1880 时，小飞到达学校，妈妈还没到家，
x＝10 时，妈妈和小飞离家的距离均为10v1＝800（米），
∴x＝10 时，y＝800×2＝1600（米），
∴v1t﹣v2t＝1880﹣1600＝280，
∴t＝
＝7（分钟），
∴（v1+v2）t＝（40+80）×7＝840（米），
∴小飞到达学校时，妈妈和小飞的距离为840 米．
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18
故答案为：840．
18．【分析】设购进纽荷尔脐橙20x 件，福本脐橙20y 件，则购进奉园72﹣1 脐橙20（x+
y）件，
根据三种品种的橙子共购进1000 件，即可得出关于x，y 的二元一次方程，解之可得出x＝
25﹣
y，结合纽荷尔脐橙的进货量（件）不低于总进货量（件）的
，即可得出关于y 的一
元一次不等式，解之即可得出y 的取值范围，由取出的件数和套装的件数均为正整数，可
得出y 为3 的倍数，结合y 的取值范围，即可找出y 的最大值，进而可得出福本脐橙最多购
进的数量．
【解答】解：设购进纽荷尔脐橙20x 件，福本脐橙20y 件，
∵将三个品种的脐橙各取
出来，拆开后重新组合包装，制成甲、乙两种套装进行特价
销售：甲套装为每件奉园72﹣1 脐橙4 个、福本脐橙4 个；乙套装为每件奉园72﹣1 脐橙4
个、纽荷尔脐橙2 个，
∴购进奉园72﹣1 脐橙20（x+
y）件．
依题意得：20x+20y+20（x+
y）＝1000，
∴x＝25﹣
y．
又∵20x≥
×1000，
∴500﹣
y≥200，
解得：y≤18．
又∵取出的件数和套装的件数均为正整数，
∴y 为3 的倍数，
∴y 的最大值为18，
∴福本脐橙最多购进18×20＝360（件）．
故答案为：360．
三、解答题（本大题共8 个小题，第26 题8 分，其余每小题0 分，共78 分）解答时每小题必须
给出必要的演算过程或推理步骤．
19．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
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19
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣2b2+4ab
＝a2+2b2．
（2）原式＝
•
＝
•
＝2a+6．
20．【分析】（1）证明∠BAE＝∠BEA 即可．
（2）注意到BF 是等腰△ABE 的角平分线，因此∠BFC＝∠ABF＝
∠ABE，而∠ABE＝
∠D，于是问题得解．
（3）由于平行四边形的面积为△ABF 面积的2 倍，因此只需求△ABF 的面积即可．BF 与
EF 的比值是确定的，BE＝AB＝4，然后算出BF、AF 的长度即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE 平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝CD．
（2）∵AF＝EF，BE＝BA，
∴BF⊥AE，∠EBF＝∠ABF，
∵∠D＝54°，
∴∠ABC＝∠D＝54°，
∴∠ABF＝∠CBF＝27°，
又∵AB∥CD，
∴∠BFC＝∠ABF＝27°．
（3）∵tan∠BEA＝
＝
，
∴设EF＝3x，BF＝4x，则BE＝5x，
∵BE＝BA＝4，
∴5x＝4，
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20
∴x＝
，
∴EF＝
，BF＝
，BE＝
，
∴AF＝EF＝
，
∴S△ABF＝
AF•BF＝
．
∴平行四边形的面积为2S△ABF＝
．
21．
【分析】（1）数出甲小区80＜x≤90 的数据数可求a；甲小区90＜x≤100 的数据数可求b；
根据中位数的意义，将乙小区的抽查的20 人成绩排序找出处在中间位置的两个数的平均
数即可为中位数，从甲小区成绩中找出出现次数最多的数即为众数；
（2）抽查甲小区20 人中成绩高于90 分的人数有5 人，因此甲小区成绩大于90 分的人数
占抽查人数
，求出甲小区成绩大于90 分的人数即可；
（3）依据表格中平均数、中位数、众数等比较做出判断即可．
【解答】解：（1）a＝8，b＝5，
甲小区的出现次数最多的是90，因此众数是90，即c＝90．
中位数是从小到大排列后处在第10、11 位两个数的平均数，
由乙小区中的数据可得处在第10、11 位的两个数的平均数为（80+85）÷2＝82.5，
因此d＝82.5．
（2）800×
＝200（人）．
答：估计甲小区成绩大于90 分的人数是200 人．
（3）根据（1）中数据，甲小区对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握得更好，理由是：甲小区的
平均数、中位数、众数都比乙小区的大．
故答案为：8，5，90，82.5；甲，甲小区的平均数、中位数、众数都比乙小区的大．
22．【分析】（1）分两种情况讨论：当x≥﹣1 时，y＝x，当x＜﹣1 时y＝﹣1；
（2）依据函数解析式直接画出函数图象；
（3）根据图象可知：函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1 时，y 随x 的增大而增大；
（3）由图象可知，当a≤0 或a≥1 时，函数y＝ax+1 与y＝
的只有一个交点，
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21
即关于x 的方程ax+1＝
的只有一个实数根．
【解答】解：（1）化简函数y＝
，
当x≥﹣1 时，y＝
＝x，当x＜﹣1 时y＝
＝﹣1
故答案为x，﹣1；
（2）图象如图所示．
（3）函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1 时，y 随x 的增大而增大（此题答案不唯一）
故答案为 函数有最小值﹣1，函数无最大值，x≥﹣1 时，y 随x 的增大而增大．
（3）由图象可知，当a≤0 或a≥1 时，函数y＝ax+1 与y＝
的只有一个交点，
即关于x 的方程ax+1＝
的只有一个实数根．
故答案为a≤0 或a≥1．
23．【分析】（1）由题意可得7＝42﹣32，即可得到7 是“风月同天数”；
（2）由题意可得N＝x2﹣y2+6x﹣4y+9﹣4＝（x+3）2﹣（y+2）2，即可求k 的值；
（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，则符合条件的x 为1 或2；当x＝1 时，这个三位数
是178，此时m 不是“风月同天数”；当x＝2 时，这个三位数是279，m＝482﹣452＝202﹣
112，则可得48 与45 是m 的平方差分解；20 与11 是m 的平方差分解；140 与139 是m 的
平方差分解．
【解答】解：（1）∵7＝42﹣32，
∴7 是“风月同天数”，
故答案为：是；
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22
（2）∵N 是“风月同天数”，
∵x+1＞y，
∴x+3＞y+2，
∴N＝x2﹣y2+6x﹣4y+9﹣4＝（x+3）2﹣（y+2）2，
∵N＝x2﹣y2+6x﹣4y+k＝（x+3）2﹣（y+2）2，
∴k＝5；
（3）设百位数字是x，则个位数字是x+7，
∴x＝1 或x＝2，
当x＝1 时，这个三位数是178，
∴m＝178＝2×89＝1×178，
此时m 不是“风月同天数”；
当x＝2 时，这个三位数是279，
∴m＝279＝3×93＝9×31，
∴m＝482﹣452＝202﹣112＝1402﹣1392，
∴48 与45 是m 的平方差分解；20 与11 是m 的平方差分解；140 与139 是m 的平方差分
解．
24．【分析】（1）设降价x 元，根据“利润率不低于30%”列出不等式求解即可；
（2）根据“电视机在2019 年11 月11 日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加
了
m%，这样一天的利润达到22400 元”列出方程即可求得m 的值．
【解答】解：（1）设降价x 元，列不等式（6000×0.9﹣x）≥4000（1+30%）
解得：x≤200
答：最多降价200 元，才能使得利润不低于30%；
（
2
）
根
据
题
意
得
：
整理得：3m2﹣8m﹣640＝0
解得：m1＝16，m2＝﹣
（舍去）
∴m＝16
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23
答：m 的值为16．
25．【分析】（1）根据解析式求出点A，B，C 的坐标，再用待定系数法求求出直线的解析式；
（2）设出点P 坐标，先求出△ABC 的面积，再得出△BCP 的面积，将△BCP 的面积用含点
P 坐标的式子表示出来，即可求出点P 的坐标；
（3）先假设M、N、P、Q 构成的四边形是以PM 为边的菱形，设菱形的边长为t，用t 对应的
M，N，Q 的坐标，根据点Q 在抛物线上可建立等式．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4 与x 轴交于A，B 两点，
令﹣x2+3x+4＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC 的解析式为y＝kx+b，
将B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b，可得
，
解得
，
∴直线BC 的解析式为：y＝﹣x+4；
（2）如图1，过点P 作PD⊥x 轴于点D，交直线BC 于点E，
设P（m，﹣m2+3m+4），则E（m，﹣m+4），
∴PE＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∴S△PBC＝S△PEC+S△PEB
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24
＝
•PE•（xP﹣xC）+
•PE•（xB﹣xP）
＝
•PE•（xB﹣xC）
＝
×（﹣m2+4m）×（4﹣0）
＝﹣2m2+8m，
∵S△ABC＝
•AB•OC＝
×（4+1）×4＝10；
∴S△PBC＝
S△ABC＝
×10＝6，
∴﹣2m2+8m＝6，解得m＝1 或m＝3，
∴P（1，6）或P（3，4）；
（3）存在，理由如下：
∵点P 在对称轴x＝
右侧，
∴P（3，4），
∵C（0，4），P（3，4），
∴PC∥x 轴，
∵四边形是以PM 为边的菱形，
∴PM∥NQ，NQ∥x 轴，
∴∠PNH＝∠POD，
设直线OP 的解析式为y＝kx，
将P（3，4）代入可得4＝3k，解得得k＝
，
∴直线OP 的解析式为y＝
x；
如图2，当四边形PMNQ 是菱形时，设菱形的边长为t，
则NQ＝PQ＝t，
过点Q 作QF⊥PN 于点F，过点P 作PD⊥x 轴交NQ 于点H，
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25
∴∠PDO＝∠PHN＝∠QFN＝90°，
∴△POD∽△PNH∽△QNF，
∴OD：PD：OP＝NH：PH：NP＝NF：FQ：NQ＝3：4：5，
∵PQ＝NQ＝t，
∴NF＝PN＝
，NP＝
t，
∴FH＝
NP＝
t，PH＝
NP＝
t，
∴HQ＝NQ﹣NH＝t﹣
t＝
t，
∴Q（3+
t，4﹣
t），
∵点Q 在抛物线y＝﹣x2+3x+4，
∴﹣（3+
t）2+3（3+
t）+4＝4﹣
t，
解得t＝
（t＝0 舍去）；
此时Q（
，
）符合题意，
如图3，过点P 作PD⊥x 轴于点D，过点Q 作QK⊥MP 于点K，
∴∠PDO＝∠QKM＝90°，
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26
∵PC∥x 轴，
∴∠POD＝∠PNQ＝∠QMP，
∴△POD∽△QMK，
∴OD：PD：OP＝MK：QK：QM＝3：4：5，
当四边形PNQM 是菱形时，设菱形的边长为m，
则NQ＝MQ＝m，
∴MK＝
m，QK＝
m，
∴PK＝MP﹣MK＝m﹣
m＝
m，
∴Q（3﹣
m，4+
m），
∵点Q 在抛物线y＝﹣x2+3x+4，
∴﹣（3﹣
m）2+3（3﹣
m）+4＝4+
m，
解得m＝
（m＝0 舍去），
此时Q（2，6），符合题意．
综上，符合题意的菱形的边长为：
或
．
26．【分析】（1）根据平行线等分线段定理解决问题即可．
（2）结论：EF＝FB．如图3 中，过点C 作CT⊥CE 交ED 的延长线于T，连接BT 交AE 于J，
设AE 交BC 于点O．证明△ACE≌△BCT（SAS），推出∠CAE＝∠CBT，推出∠AJB＝90°，
即BT⊥AE，证明BT∥DF 即可．
（3）如图4 中，取BC 的中点T，连接AT，FT．求出AT，FT 即可解决问题．
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27
【解答】解：（1）如图2 中，
∵DC＝DE，DF⊥EC，
∴CG＝EG，∠CGF＝∠ACB＝90°，
∴GF∥BC，
∴EF＝FB，
∵DC＝DE＝4，∠CDE＝90°，
∴EC＝
＝
＝4
，
∵BC＝12，∠ECB＝90°，
∴BE＝
＝
＝4
，
∴BF＝
BE＝2
．
故答案为2
．
（2）结论：EF＝FB．
理由：如图3 中，过点C 作CT⊥CE 交ED 的延长线于T，连接BT 交AE 于J，设AE 交BC
于点O．
∵∠TCE＝90°，∠CET＝45°，
∴∠CTE＝∠CET＝45°，
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28
∴CE＝CT，
∵CD⊥ET，
∴DT＝DE，
∵∠ACB＝∠TCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCT，
∵CA＝CB，CE＝CT，
∴△ACE≌△BCT（SAS），
∴∠CAE＝∠CBT，
∵∠AOC＝∠BOJ，
∴∠ACO＝∠BJO＝90°，
∴∠AJB＝90°，即BT⊥AE，
∵DF⊥AE，
∴DF∥BT，
∵ED＝DT，
∴EF＝BF．
（3）如图4 中，取BC 的中点T，连接AT，FT．
∵AC＝12，CT＝TB＝6，∠ACT＝90°，
∴AT＝
＝
＝6
，
∵CT＝BT，EF＝FB，
∴FT＝
EC＝2
，
∵AF≥AT﹣FT，
∴AF≥6
﹣2
，
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29
∴AF 的最小值为6
﹣2
，此时A，F，T 共线，如图5 中，
∴S△ACF＝
•S△ACT＝
×
×6×12＝36﹣
．
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30
