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华师大版九年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题3 分，共36 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3 分）下列各数中，负数是（ ）
A．﹣（﹣2）
B．﹣|﹣2|
C．（﹣2）2
D．（﹣2）0
2．（3 分）中国华为麒麟985 处理器是采用7 纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸
上塞进了120 亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120 亿个用
科学记数法表示为（ ）
A．1.2×109个
B．12×109个
C．1.2×1010个
D．1.2×1011个
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．3a×2a＝6a
B．a8÷a4＝a2
C．﹣3（a﹣1）＝3﹣3a
D．（
a3）2＝
a9
4．（3 分）估计3
的值应在（ ）
A．4 和5 之间
B．5 和6 之间
C．6 和7 之间
D．7 和8 之间
5．（3 分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表
示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3 分）如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（ ）
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1
A．150°
B．180°
C．210°
D．240°
8．（3 分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足
四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8 钱，会多3 钱；每人出7 钱，
又差4 钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）
A．1，11
B．7，53
C．7，61
D．6，50
9．（3 分）一次函数y＝ax+b 与反比例函数y＝
的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）如图，在Rt△ABO 中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C 在边AB 上，且
＝
，点D 为
OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的
点P 的坐标为（ ）
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2
A．（2，2）
B．（
，
）
C．（
，
）
D．（3，3）
11．（3 分）如图，在△ABC 中，O 是AB 边上的点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与AC 相切
于点D，BD 平分∠ABC，AD＝
OD，AB＝12，CD 的长是（ ）
A．2
B．2
C．3
D．4
12．（3 分）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连接BD，把△BDC 沿BD 翻折，得到
△BDC′，DC′与AB 交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，B 到AC 的距离为
，
求点D 到BC′的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）
13．（3 分）函数y＝
中，自变量x 的取值范围是 ．
14．（3 分）分解因式：3a3﹣6a2+3a＝ ．
15．（3 分）若关于x 的分式方程
+
＝2m 有增根，则m 的值为 ．
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3
16．（3 分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜
x 时，x 的取值范围为
．
17．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，BF 平分∠ABC，交DE 的延长线于点F．若AD＝1，
BD＝2，BC＝4，则EF＝ ．
18．（3 分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直
角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，
y3），…均在反比例函数y＝
（x＞0）的图象上，则y1+y2+…+y100的值为 ．
三、解答题（共66 分）
19．（6 分）计算：（﹣1）3+
﹣（π﹣112）0﹣2
tan60°
20．（6 分）先化简，再求值：
÷（
+1），其中x 为整数且满足不等式组
21．（8 分）为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践
四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n 名学生作为样本，采用问卷调查的方
法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制
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成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求n 的值；
（2）若该校学生共有1200 人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）若调查到喜爱体育活动的4 名学生中有3 名男生和1 名女生，现从这4 名学生中任意
抽取2 名学生，求恰好抽到2 名男生的概率．
22．
（8 分）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2 所示，已知箱体长AB＝50cm，拉
杆BC 的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C 在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的
滚筒⊙A，⊙A 与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B 距离水平地面
38cm 时，点C 到水平面的距离CE 为59cm．设AF∥MN．
（1）求⊙A 的半径长；
（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱
时，CE 为80cm，∠CAF＝64°．求此时拉杆BC 的伸长距离．
（精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.39，tan64°≈2.1）
23．（9 分）如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E，过点E 作EF⊥AB 于点F，
延长EF 交CB 的延长线于点G，且∠ABG＝2∠C．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若sin∠EGC＝
，⊙O 的半径是3，求AF 的长．
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24．（9 分）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购
了20000kg 淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10 天的
总成本为30.4 万元；放养20 天的总成本为30.8 万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．
（1）设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值；
（2）设这批淡水鱼放养t 天后的质量为m（kg），销售单价为y 元/kg．根据以往经验可知：m
与t 的函数关系为
；y 与t 的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50 和50＜t≤100 时，y 与t 的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大？并
求出最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）
25．（10 分）定义：点P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA 中，
若至少有一个三角形与△ABC 相似，则称点P 是△ABC 的自相似点．
例如：如图1，点P 在△ABC 的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，
故点P 是△ABC 的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M 是曲线y＝
（x＞0）上的任意一点，点N 是x 轴正半轴上
的任意一点．
（1）如图2，点P 是OM 上一点，∠ONP＝∠M，试说明点P 是△MON 的自相似点；当点M
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的坐标是（
，3），点N 的坐标是（
，0）时，求点P 的坐标；
（2）如图3，当点M 的坐标是（3，
），点N 的坐标是（2，0）时，求△MON 的自相似点的
坐标；
（3）是否存在点M 和点N，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若
不存在，请说明理由．
26．
（10 分）如图，抛物线y＝x2+bx+c 交x 轴于A、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于
点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AC，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的
交点，直线AQ、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN 是否为定值？如果是，
请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P 的坐标．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 个小题，每小题3 分，共36 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有
一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】直接利用绝对值以及零指数幂的性质、相反数的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，故此选项错误；
B、﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项正确；
C、（﹣2）2＝4，故此选项错误；
D、（﹣2）0＝1，故此选项错误；
故选：B．
2．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：120 亿个用科学记数法可表示为：1.2×1010个．
故选：C．
3．【分析】根据单项式乘法法则，同底数幂的除法的性质，去括号法则，积的乘方的性质，对
各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、3a×2a＝6a2，故本选项错误；
B、a8÷a4＝a4，故本选项错误；
C、﹣3（a﹣1）＝3﹣3a，正确；
D、（
a3）2＝
a6，故本选项错误．
故选：C．
4．【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．
【解答】解：∵3
＝
，36＜45＜49，
∴6
＜7，
故选：C．
5．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a 的不等式组进而求出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，
∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，
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8
∴
，
解得：a＜2．
则a 的取值范围在数轴上表示正确的是：
．
故选：C．
6．【分析】从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．
【解答】解：图中几何体的左视图如图所示：
故选：D．
7．【分析】过点E 作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．
【解答】解：过点E 作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故选：C．
8．【分析】设有x 人，物价为y，根据该物品价格不变，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，
此题得解．
【解答】解：设有x 人，物价为y，可得：
，
解得：
，
故选：B．
9．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c 的正负，再根据抛物线的对称轴为x＝
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9
﹣
，找出二次函数对称轴在y 轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y1＝ax+b 图象过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣
＞0，
∴二次函数y3＝ax2+bx+c 开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c 对称轴在y 轴右侧；
∵反比例函数y2＝
的图象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴与y 轴交点在x 轴上方．
满足上述条件的函数图象只有选项A．
故选：A．
10．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D
（0 ，2），C（4，3），作D 关于直线OA 的对称点E，连接EC 交OA 于P，则此时，四边形
PDBC 周长最小，E（0，2），求得直线EC 的解析式为y＝
x+2，解方程组即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ABO 中，∠OBA＝90°，A（4，4），
∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，
∵
＝
，点D 为OB 的中点，
∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），
作D 关于直线OA 的对称点E，连接EC 交OA 于P，
则此时，四边形PDBC 周长最小，E（0，2），
∵直线OA 的解析式为y＝x，
设直线EC 的解析式为y＝kx+b，
∴
，
解得：
，
∴直线EC 的解析式为y＝
x+2，
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10
解
得，
，
∴P（
，
），
故选：C．
11．【分析】由切线的性质得出AC⊥OD，求出∠A＝30°，证出∠ODB＝∠CBD，得出
OD∥BC，得出∠C＝∠ADO＝90°，由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，BC＝
AB＝
6，AC＝
BC＝6
，得出∠CBD＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵AD＝
OD，
∴tanA＝
＝
，
∴∠A＝30°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴∠ABC＝60°，BC＝
AB＝6，AC＝
BC＝6
，
∴∠CBD＝30°，
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11
∴CD＝
BC＝
×6＝2
；
故选：A．
12．【分析】根据折叠的性质和点到直线的距离即可求解．
【解答】解：过B 作BM⊥DC 于M，过D 作DN⊥BC 于N，如下图所示，
∵把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC′，
∴CD＝C′D＝2，∠CDB＝∠C′DB，
∵AD＝AC′＝2，
∴△ADC′为等边三角形，
∴∠C′DA＝60°，
∴
，
∵BM⊥DC，
∴
，
∴
，
∴
，
∵S△BDC＝
，
∴DN＝
，
∵△BDC≌△BDC′，
∴点D 到BC′的距离＝DN＝
，
故选：D．
二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分）
13．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以
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求出x 的范围．
【解答】解：根据题意得：x+1≥0 且x﹣1≠0，
解得：x≥﹣1 且x≠1．
故答案为：x≥﹣1 且x≠1．
14．【分析】先提取公因式3a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2．
【解答】解：3a3﹣6a2+3a＝3a（a2﹣2a+1）＝3a（a﹣1）2．
故答案为：3a（a﹣1）2．
15．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，
让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2 时，m＝1
故m 的值是1，
故答案为1
16．【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝
x 也经过点A 从而确
定不等式的解集．
【解答】解：∵正比例函数y＝
x 也经过点A，
∴kx+b＜
x 的解集为x＞3，
故答案为：x＞3．
17．【分析】由DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质和平行线的性质解答
即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠F＝∠FBC，
∵BF 平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC，
∴∠F＝∠DBF，
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∴DB＝DF，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，即
，
解得：DE＝
，
∵DF＝DB＝2，
∴EF＝DF﹣DE＝2﹣
，
故答案为：
18．【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的
斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函
数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x 轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y＝
，
∴C1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y＝
得：a（4+a）＝4，
解得：a＝2
﹣2，即：y2＝2
﹣2，
同理：y3＝2
﹣2
，
y4＝2
﹣2
，
……
y100＝2
﹣2
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14
∴y1+y2+…+y100＝2+2
﹣2+2
﹣2
……2
﹣2
＝20，
故答案为20．
三、解答题（共66 分）
19．【分析】根据实数的运算法则，特殊角的三角函数值，算术平方根的运算分别进行化简即
可；
【解答】解：原式＝﹣1+3﹣1﹣2
×
＝1﹣2×3＝﹣5；
20．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出其整数解，
继而代入计算可得．
【解答】解：原式＝
÷（
+
）
＝
•
＝
，
解不等式组
得2＜x≤
，
则不等式组的整数解为3，
当x＝3 时，原式＝
＝
．
21．【分析】（1）用喜爱社会实践的人数除以它所占的百分比得到n 的值；
（2）先计算出样本中喜爱看电视的人数，然后用1200 乘以样本中喜爱看电视人数所占的
百分比可估计该校喜爱看电视的学生人数；
（3）画树状图展示12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到2 名男生的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：（1）n＝5÷10%＝50；
（2）样本中喜爱看电视的人数为50﹣15﹣20﹣5＝10（人），
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1200×
＝240，
所以估计该校喜爱看电视的学生人数为240 人；
（3）画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中恰好抽到2 名男生的结果数为6，
所以恰好抽到2 名男生的概率＝
＝
．
22．
【分析】（1）作BH⊥AF 于点K，交MN 于点H，则△ABK∽△ACG，设圆形滚轮的半径AD
的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x 的值；
（2）求得CG 的长，然后在直角△ACG 中，求得AC 即可解决问题．
【解答】解：（1）作BH⊥AF 于点K，交MN 于点H．
则BK∥CG，△ABK∽△ACG．
设圆形滚轮的半径AD 的长是xcm．
则
＝
，即
＝
，
解得：x＝8．
则圆形滚轮的半径AD 的长是8cm；
（2）在Rt△ACG 中，CG＝80﹣8＝72．
则sin∠CAF＝
＝0.9，
∴AC＝80，
∴BC＝AC﹣AB＝80﹣50＝30（cm）．
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23．【分析】（1）连接EO，由∠EOG＝2∠C、∠ABG＝2∠C 知∠EOG＝∠ABG，从而得
AB∥EO，根据EF⊥AB 得EF⊥OE，即可得证；
（2）由∠ABG＝2∠C、∠ABG＝∠C+∠A 知∠A＝∠C，即BA＝BC＝6，在Rt△OEG 中求
得OG＝
＝5、BG＝OG﹣OB＝2，在Rt△FGB 中求得BF＝BGsin∠EGO，根据
AF＝AB﹣BF 可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接EO，则OE＝OC，
∴∠EOG＝2∠C，
∵∠ABG＝2∠C，
∴∠EOG＝∠ABG，
∴AB∥EO，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
又∵OE 是⊙O 的半径，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A，
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∴∠A＝∠C，
∴BA＝BC＝6，
在Rt△OEG 中，∵sin∠EGO＝
，
∴OG＝
＝
＝5，
∴BG＝OG﹣OB＝2，
在Rt△FGB 中，∵sin∠EGO＝
，
∴BF＝BGsin∠EGO＝2×
＝
，
则AF＝AB﹣BF＝6﹣
＝
．
24．【分析】（1）由放养10 天的总成本为30.4 万元；放养20 天的总成本为30.8 万元可得答案；
（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100 两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；
②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数
性质和二次函数性质求得最大值即可得．
【解答】解：（1）由题意，得：
，
解得
，
答：a 的值为0.04，b 的值为30；
（2）①当0≤t≤50 时，设y 与t 的函数解析式为y＝k1t+n1，
将（0，15）、（50，25）代入，得：
，
解得：
，
∴y 与t 的函数解析式为y＝
t+15；
当50＜t≤100 时，设y 与t 的函数解析式为y＝k2t+n2，
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将点（50，25）、（100，20）代入，得：
，
解得：
，
∴y 与t 的函数解析式为y＝﹣
t+30；
②由题意，当0≤t≤50 时，
W＝20000（
t+15）﹣（400t+300000）＝3600t，
∵3600＞0，
∴当t＝50 时，W 最大值＝180000（元）；
当50＜t≤100 时，W＝（100t+15000）（﹣
t+30）﹣（400t+300000）
＝﹣10t2+1100t+150000
＝﹣10（t﹣55）2+180250，
∵﹣10＜0，
∴当t＝55 时，W 最大值＝180250（元），
综上所述，放养55 天时，W 最大，最大值为180250 元．
25．【分析】（1）由∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P 是
△MON 的自相似点；过P 作PD⊥x 轴于D，则tan∠POD＝
，求出∠AON＝60°，
由点M 和N 的坐标得出∠MNO＝90°，由相似三角形的性质得出∠NPO＝∠MNO＝90°，
在Rt△OPN 中，由三角函数求出OP＝
，OD＝
，PD＝
，即可得出答案；
（2）作MH⊥x 轴于H，由勾股定理求出OM＝2
，直线OM 的解析式为y＝
x，ON＝
2，∠MOH＝30°，分两种情况：①作PQ⊥x 轴于Q，由相似点的性质得出PO＝PN，OQ＝
ON＝1，求出P 的纵坐标即可；
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②求出MN＝
＝2，由相似三角形的性质得出
，求出PN＝
，在
求出P 的横坐标即可；
（3）证出OM＝2
＝ON，∠MON＝60°，得出△MON 是等边三角形，由点P 在△MON 的
内部，得出∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON，
∴△NOP∽△MON，
∴点P 是△MON 的自相似点；
过P 作PD⊥x 轴于D，则tan∠POD＝
，
∴∠MON＝60°，
∵当点M 的坐标是（
，3），点N 的坐标是（
，0），
∴∠MNO＝90°，
∵△NOP∽△MON，
∴∠NPO＝∠MNO＝90°，
在Rt△OPN 中，OP＝ONcos60°＝
，
∴OD＝OPcos60°＝
×
＝
，PD＝OP•sin60°＝
×
＝
，
∴P（
，
）；
（2）作MH⊥x 轴于H，如图3 所示：
∵点M 的坐标是（3，
），点N 的坐标是（2，0），
∴OM＝
＝2
，直线OM 的解析式为y＝
x，ON＝2，∠MOH＝30°，
分两种情况：
①如图3 所示：∵P 是△MON 的相似点，
∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x 轴于Q，
∴PO＝PN，OQ＝
ON＝1，
∵P 的横坐标为1，
∴y＝
×1＝
，
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20
∴P（1，
）；
②如图4 所示：
由勾股定理得：MN＝
＝2，
∵P 是△MON 的相似点，
∴△PNM∽△NOM，
∴
，即
，
解得：PN＝
，
即P 的纵坐标为
，代入y＝
得：
＝
x，
解得：x＝2，
∴P（2，
）；
综上所述：△MON 的自相似点的坐标为（1，
）或（2，
）；
（3）存在点M 和点N，使△MON 无自相似点，M（
，3），N（2
，0）；理由如下：
∵M（
，3），N（2
，0），
∴OM＝2
＝ON，∠MON＝60°，
∴△MON 是等边三角形，
∵点P 在△MON 的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M 和点N，使△MON 无自相似点．
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26．【分析】（1）把点A、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b、c 的值．
（2）设点Q 横坐标为t，用t 表示直线AQ、BN 的解析式，把x＝﹣1 分别代入即求得点M、
N 的纵坐标，再求DM、DN 的长，即得到DM+DN 为定值．
（3）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H，使AH
＝AB 构造等腰△ABH，作BH 中点G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO 的三
角函数值，求BG、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式
联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的
对称点H'，求得直线AH'的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c 经过点A（1，0），C（0，﹣3），
∴
解得：
，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3．
（2）结论：DM+DN 为定值．
理由：∵抛物线y＝x2+2x﹣3 的对称轴为：直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1，
设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），
设直线AQ 解析式为y＝dx+e
∴
解得：
，
∴直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，
当x＝﹣1 时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6，
∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6，
设直线BQ 解析式为y＝mx+n，
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∴
解得：
，
∴直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，
当x＝﹣1 时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2，
∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2，
∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值．
（3）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H，使AH＝AB，过点B 作BI⊥x 轴，连接
BH，作BH 中点G，连接并延长AG 交BI 于点F，过点H 作HI⊥BI 于点I．
∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴B（﹣3，0），
∵A（1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，AC＝
＝
，AB＝4，
∴Rt△AOC 中，sin∠ACO＝
＝
，cos∠ACO＝
＝
，
∵AB＝AH，G 为BH 中点，
∴AG⊥BH，BG＝GH，
∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG，
∵∠PAB＝2∠ACO，
∴∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△ABG 中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝
＝
，
∴BG＝
AB＝
，
∴BH＝2BG＝
，
∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO，
∴Rt△BHI 中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝
＝
，cos∠HBI＝
＝
，
∴HI＝
BH＝
，BI＝
BH＝
，
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∴xH＝﹣3+
＝﹣
，yH＝﹣
，即H（﹣
，﹣
），
设直线AH 解析式为y＝kx+a，
∴
解得：
，
∴直线AH：y＝
x﹣
，
∵
解得：
（即点A）或
，
∴P（﹣
，﹣
）．
②若点P 在x 轴上方，如图2，在AP 上截取AH'＝AH，则H'与H 关于x 轴对称．
∴H'（﹣
，
），
设直线AH'解析式为y＝k'x+a'，
∴
解得：
，
∴直线AH'：y＝﹣
x+
，
∵
解得：
（即点A）或
，
∴P（﹣
，
）．
综上所述，点P 的坐标为（﹣
，
）或（﹣
，﹣
）．
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