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沪教版七年级上册数学期末试卷
一、选择题（每题3 分，共18 分）
1．下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（ ）
A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy
B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y）
C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n）
D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2
2．如果x、y 同时扩大3 倍，那么分式
的值（ ）
A．扩大3 倍
B．扩大9 倍
C．变为原来的
D．不变
3．如图，不能推断AD∥BC 的是（ ）
A．∠1＝∠5
B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠4+∠5
D．∠B+∠1+∠2＝180°
4．下列语句中，正确的有（ ）个．
①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角；
④三角形的外角大于任何一个内角．
A．1
B．2
C．3
D．4．
5．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC 的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
6．如图，ABCD 是正方形，△CDE 绕点C 逆时针方向旋转90°后能与△CBF 重合，那么△CEF 是（
）
A．.等腰三角形
B．等边三角形
C．.直角三角形
D．.等腰直角三角形
二、填空题（每题3 分，共36 分）
7．分式
，
，
的最简公分母是 ．
8．当x 时，分式
有意义．
9．分解因式：9a﹣a3＝ ．
10．要使多项式x2﹣ax﹣20 在整数范围内可因式分解，给出整数a＝ ．
11．如果
，那么整数a＝ ．
12．如果方程
有增根，则k＝ ．
13．如图，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，则∠CBF＝ 度．
14．一个三角形的两边分别是3 和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ．
15．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是
（只需填写一个）．
16．如图，在3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑
一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种．
17 如图，将直角三角尺ABC（其中∠ABC＝60°）绕点B 顺时针旋转一个角度到A′BC′的位置，
使得点A、B、C′在同一条直线上，那么这个转动的角度等于 ．
18 如图在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交CB、DC 延长线于E、F 点且∠EAF＝45°，如果BE
＝1，DF＝7，则EF＝ ．
三、解答题（共67 分）
19 因式分解
（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；
（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．
20 化简或运算：
（1）
；
（2）
．
21 如图，已知AB∥CD，∠1+3＝90°，BC、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE，试说明AB∥EF 的理由．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（ ）．
∵∠1+∠3＝90°（已知），
∴∠2+∠3＝90°（ ）．
即∠BCF＝90°．
∵ ＝180°（三角形内角和等于180°），
∴ ＝90°（等式性质）．
∵BC、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE（已知），
∴ （ ）．
∴∠ABF+∠BFE＝180°（ ）．
∴AB∥FE（ ）．
22 正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花
卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．
（1）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；
（2）把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．
23 已知
是M 的立方根，而
是
的相反数，且M＝3a﹣7．
（1）求a 与b 的值；
（2）设
，
，求x 与y 平方和的立方根．
24 如图，CE 是△ABC 的外角平分线，F 是CA 延长线上的一点，FG∥EC 交AB 于G，已知∠DCE＝
50°，∠ABC＝40°，求∠FGA 的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共6 小题）
1．下列各等式中，从左到右的变形是正确的因式分解的是（ ）
A．2x•（x﹣y）＝2x2﹣2xy
B．（x+y）2﹣x2＝y（2x+y）
C．3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n）
D．x2+3x﹣2＝x（x+3）﹣2
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、（x+y）2﹣x2＝2xy+y2＝y（2x+y），把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，
故此选项符合题意；
C、3mx2﹣2nx+x＝x（3mx﹣2n+1），故此选项不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．如果x、y 同时扩大3 倍，那么分式
的值（ ）
A．扩大3 倍
B．扩大9 倍
C．变为原来的
D．不变
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
，
故选：A．
3．如图，不能推断AD∥BC 的是（ ）
A．∠1＝∠5
B．∠2＝∠4
C．∠3＝∠4+∠5
D．∠B+∠1+∠2＝180°
【分析】根据平行线的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠5 可根据内错角相等两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；
B、∠2＝∠4 可根据内错角相等两直线平行可得AB∥DC，故此选项符合题意；
C、∠3＝∠4+∠5 可根据同位角相等两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；
D、∠B+∠1+∠2＝180°可根据同旁内角互补，两直线平行可得AD∥BC，故此选项不合题意；
故选：B．
4．下列语句中，正确的有（ ）个．
①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；
②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角；
④三角形的外角大于任何一个内角．
A．1
B．2
C．3
D．4．
【分析】根据全等三角形的判定可判断出①②的说法的正误；根据三角形的内角和可判断出
③④的正误．
【解答】解：①一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等说法正确，可利用AAS 或ASA 判
定两直角三角形全等；
②两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等错误；如果这两个三角形一个是锐角三角
形，一个是钝角三角形时，有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不全等，原说法错
误；
③三角形的三个内角中至少有两个锐角，说法正确；
④三角形的外角大于任何一个内角，错误．
故选：B．
5．根据下列已知条件，能作出唯一△ABC 的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，
∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 时，根据“ASA”可判断△ABC 的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．如图，ABCD 是正方形，△CDE 绕点C 逆时针方向旋转90°后能与△CBF 重合，那么△CEF 是（
）
A．.等腰三角形
B．等边三角形
C．.直角三角形
D．.等腰直角三角形
【分析】根据旋转的性质推出相等的边CE＝CF，旋转角推出∠ECF＝90°，即可得到△CEF 为
等腰直角三角形．
【解答】解：∵△CDE 绕点C 逆时针方向旋转90°后能与△CBF 重合，
∴∠ECF＝90°，CE＝CF，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
故选：D．
二．填空题（共10 小题）
7．分式
，
，
的最简公分母是
12
xy
2
．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：
，
，
的最分母分别是2x、3y2、4xy，故最简公分母为12xy2．
故答案是：12xy2．
8．当x ≠
2
时，分式
有意义．
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【解答】解：根据题意，得x﹣2≠0．
解得x≠2．
故答案是：≠2．
9．分解因式：9a﹣a3＝
a （
3+
a ）（
3 ﹣
a ）
．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：9a﹣a3，
＝a （9﹣a2），
＝a（3+a）（3﹣a）．
10．要使多项式x2﹣ax﹣20 在整数范围内可因式分解，给出整数a＝
±1
或
±19
或
±8
．
【分析】把﹣20 分成20 和﹣1，﹣2 和10，5 和﹣4，﹣5 和4，2 和﹣10，﹣20 和1，进而得出
即原式分解为（x+20）（x﹣1），（x﹣2）（x+10），（x+5）（x﹣4），（x﹣5）（x+4），
（x+2）（x﹣10），（x﹣20）（x+1），即可得到答案．
【解答】解：当x2﹣ax﹣20＝（x+20）（x﹣1）时，a＝20+（﹣1）＝19，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣2）（x+10）时，a＝﹣2+10＝8，
当x2﹣ax﹣20＝（x+5）（x﹣4）时，a＝5+（﹣4）＝1，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣5）（x+4）时，a＝﹣5+4＝﹣1，
当x2﹣ax﹣20＝（x+2）（x﹣10）时，a＝2+（﹣10）＝﹣8，
当x2﹣ax﹣20＝（x﹣20）（x+1）时，a＝﹣20+1＝﹣19，
综上所述：±1 或±19 或±8．
故答案为：±1 或±19 或±8．
11．如果
，那么整数a＝
3
．
【分析】首先估算
大小，再确定整数a 的值即可．
【解答】解：∵
＜
＜
，
∴3＜
＜4，
∵
，
∴整数a＝3．
故答案为：3．
12．如果方程
有增根，则k＝
1
．
【分析】先化简原式，再将x＝2 代入求解．
【解答】解：方程
两边同时乘以x﹣2 可得，
1＝2（x﹣2）+k，
∵方程有增根x＝2，
∴将x＝2 代入1＝2（x﹣2）+k，
可得k＝1．
故答案为：1．
13．如图，已知EF∥GH，AC⊥CD，∠DCH＝35°，则∠CBF＝
125
度．
【分析】首先根据垂直定义可得∠ACD＝90°，再根据余角的定义可得∠ACH 的度数，然后再根
据平行线的性质可得∠FBC+∠ACH＝180°，进而可得答案．
【解答】解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∵∠DCH＝35°，
∴∠ACH＝90°﹣35°＝55°，
∵EF∥GH，
∴∠FBC+∠ACH＝180°，
∴∠FBC＝180°﹣55°＝125°，
故答案为：125．
14．一个三角形的两边分别是3 和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是
9
．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取
值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a 为整数，
∴a 的最大值为9．
故答案为：9．
15．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是
AB
＝
DE
或∠
ACB
＝∠
DCE
（只需填写一个）．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案．
【解答】解：添加AB＝DE，利用SSS 可得△ABC≌△DEC；
添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS 可得△ABC≌△DEC；
故答案为：AB＝DE 或∠ACB＝∠DCE．
16．如图，在3×3 的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑
一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有
5
种．
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，
那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3 个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1 处，3 处，7 处，6 处，5 处，选择的位置共有5 处．
故答案为：5．
17 如图，将直角三角尺ABC（其中∠ABC＝60°）绕点B 顺时针旋转一个角度到A′BC′的位置，
使得点A、B、C′在同一条直线上，那么这个转动的角度等于 ．
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】120°．
【分析】根据旋转的性质得出对应边位置进而得出旋转角度．
【解答】解：∵将直角三角形ABC（其中∠ABC＝60°）绕点B 顺时针旋转一个角度到三角形
A′BC′的位置，使得点A，B，C′在同一直线上，
∴∠A′BC′＝∠ABC＝60°，
∴这个转动的角度是：∠ABA′＝180°﹣∠A′BC′＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
18 如图在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交CB、DC 延长线于E、F 点且∠EAF＝45°，如果BE
＝1，DF＝7，则EF＝ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】6．
【分析】把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD，交CD 于点G，证明△AEF≌△AGF 即可求得EF
＝DF﹣BE＝7﹣1＝6．
【解答】解：如图，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到DA，交CD 于点G，
由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠BAF＝45°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＝45°，
在△AEF 和△AGF 中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF，
∵BE＝1，DF＝7，
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6，
故答案为6．
19 因式分解
（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；
（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．
【考点】因式分解﹣运用公式法；因式分解﹣分组分解法．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（x﹣3）（5x﹣2y）；
（2）（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．
【分析】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行
因式分解；
（2）利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）
＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）
＝（x﹣3）（5x﹣2y）；
（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）
＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]
＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．
20 化简或运算：
（1）
；
（2）
．
【考点】实数的运算；分数指数幂；分式的加减法．菁优网版权所有
【专题】实数；分式；运算能力．
【答案】（1）﹣
；
（2）﹣
﹣6．
【分析】（1）先通分变成同分母的分式相减，再根据同分母的分式相减法则求出答案即可；
（2）先算乘方，再算开方，最后算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝
﹣
﹣
＝
＝
＝﹣
＝﹣
；
（2）原式＝4
×（﹣
）﹣3﹣3
＝﹣
﹣6．
21 如图，已知AB∥CD，∠1+3＝90°，BC、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE，试说明AB∥EF 的理由．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（ ）．
∵∠1+∠3＝90°（已知），
∴∠2+∠3＝90°（ ）．
即∠BCF＝90°．
∵ ＝180°（三角形内角和等于180°），
∴ ＝90°（等式性质）．
∵BC、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE（已知），
∴ （ ）．
∴∠ABF+∠BFE＝180°（ ）．
∴AB∥FE（ ）．
【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，
∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】根据平行线的性质结合三角形的内角和定理可求解∠4+∠5＝90°，由角平分线的定
义可求得∠ABF+∠BFE＝180°，进而可证明结论．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠3＝90°（已知），
∴∠2+∠3＝90°（等量代换）．
即∠BCF＝90°．
∵∠BCF+∠4+∠5＝180°（三角形内角和等于180°），
∴∠4+∠5＝90°（等式性质）．
∵BC、CF 分别平分∠ABF 和∠BFE（已知），
∴∠ABF＝2∠5，∠BFE＝2∠4（角平分线的定义）．
∴∠ABF+∠BFE＝180°（等式的性质）．
∴AB∥FE（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为两直线平行，内错角相等；等量代换；∠BCF+∠4+∠5；∠4+∠5；∠ABF＝2∠5，
∠BFE＝2∠4；角平分线的定义；等式的性质；同旁内角互补，两直线平行．
22 正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花
卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分．
（1）请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；
（2）把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．
【考点】正方形的性质；利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案．菁优网版权所有
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）图形如图①②所示．
（2）图形如图③所示，点P 即为所求作．
23 已知
是M 的立方根，而
是
的相反数，且M＝3a﹣7．
（1）求a 与b 的值；
（2）设
，
，求x 与y 平方和的立方根．
【考点】立方根；实数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）a＝5，b＝﹣2；
（2）2．
【分析】（1）根据立方根得出a+b＝3，M＝6﹣b，再根据已知条件求出答案即可；
（2）求出x、y 的值，再求出x2+y2的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）∵
是M 的立方根，而
是
的相反数，
∴a+b＝3，M＝6﹣b，
∵M＝3a﹣7，
∴6﹣b＝3a﹣7，
解得：a＝5，b＝﹣2；
（2）∵a＝5，b＝﹣2，M＝6﹣（﹣2）＝8，
∴
＝
＝2，y＝
＝﹣2，
∴x2+y2＝22+（﹣2）2＝8，
∴x 与y 平方和的立方根是
＝2．
24 如图，CE 是△ABC 的外角平分线，F 是CA 延长线上的一点，FG∥EC 交AB 于G，已知∠DCE＝
50°，∠ABC＝40°，求∠FGA 的度数．
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线定义得到∠3＝∠1＝50°，再根据平行线的性质由FG∥CE，∠F＝∠3＝
50°，再根据三角形外角性质得∠1+∠3＝∠4+∠ABC，原式可计算出∠4＝60°，然后再次根
据三角形外角性质由∠2＝∠4﹣∠F 进行计算即可．
【解答】解：∵CE 平分∠ACD，
∴∠3＝∠1，
∴∠3＝50°，
∵FG∥CE，
∴∠F＝∠3＝50°，
∵∠1+∠3＝∠4+∠ABC，
∴∠4＝50°×2﹣40°＝60°
∴∠2＝∠4﹣∠F＝60°﹣50°＝10°．
