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沪科版七年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．（4 分）﹣
的绝对值是（ ）
A．
B．﹣
C．
D．
2．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x2＝x3
B．（3x）2＝3x2
C．（x2）3＝x5
D．x2•x3＝x5
3．（4 分）估计65 的立方根大小在（ ）
A．8 与9 之间
B．3 与4 之间
C．4 与5 之间
D．5 与6 之间
4．（4 分）在3.14，
，﹣
，
，π 这几个数中，无理数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（4 分）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64 时，输出的y 是（ ）
A．
B．
C．
D．8
6．（4 分）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．a﹣1＜b﹣1
B．2a＜2b
C．﹣
＞﹣
D．a2＜b2
7．（4 分）不等式组
的整数解之和为（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
8．（4 分）下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）
B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2
D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
9．
（4 分）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释
一些代数恒等式，例如图1 可以用来解（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，那么通过图2 中阴影部分
面积的计算验证的恒等式是（ ）
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1
A．
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2
D．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2
10．（4 分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．
如果分给每位老人4 盒牛奶，那么剩下28 盒牛奶；如果分给每位老人5 盒牛奶，那么最后
一位老人分得的牛奶不足4 盒，但至少1 盒．则这个敬老院的老人最少有（ ）
A．29 人
B．30 人
C．31 人
D．32 人
二、填空题（本大题4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11．（5 分）比较大小：﹣4
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（5 分）某种生物孢子的直径为0.00058m．把0.00058 用科学记数法表示为 ．
13．（5 分）已知a+b＝3，ab＝2，则a﹣b＝ ．
14．（5 分）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]
＝﹣4．如果[
]＝4，那么x 的取值范围是 ．
三、（本大题2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．（8 分）计算：
16．（8 分）解不等式组
，并把解集在数轴上表示出来．
四、（本大题2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．（8 分）因式分解：16x3﹣9xy2．
18．（8 分）先化简、再求值：（2a+3b）2﹣（2a+b）（2a﹣b），其中a＝1，b＝﹣1．
五、（本大题2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．（10 分）观察下列关于自然数的等式：
32﹣4×12＝5 ①
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2
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：92﹣4× 2＝ ；
（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．
20．（10 分）如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2 个单位长度到达点B，点A 表示﹣
，
设点B 所表示的数为m．
（1）写出m 的值；
（2）求|m﹣1|﹣
的值．
六、（本大题满分12 分）
21．（12 分）将幂的运算逆向思维可以得到am+n＝am•an，am﹣n＝am÷an，amn＝（am）n，ambm＝
（ab）m，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化
难为易，使问题巧妙获解．
（1）52021×（
）2021＝ ；
（2）若3×9m×27m＝311，求m 的值；
（3）比较大小：a＝255，b＝344，c＝533，d＝622，则a、b、c、d 的大小关系是什么？（提示：如
果a＞b＞0，n 为正整数，那么an＞bn）
七、（本大题满分12 分）
22．（12 分）某商家欲购进甲、乙两种抗疫用品共180 件，其进价和售价如表：
甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
43
（1）若商家计划销售完这批抗疫用品后能获利1240 元，问甲、乙两种用品应分别购进多少
件？（请用二元一次方程组求解）
（2）若商家计划投入资金少于5040 元，且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314 元，请
问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
八、（本大题满分14 分）
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3
23．（14 分）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
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4
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案．
【解答】解：﹣
的绝对值是
，
故选：C．
2．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同底数幂的乘法以及幂的乘方
与积的乘方法则进行运算，然后即可作出判断．
【解答】解：A、x6÷x2＝x4，故本选项错误；
B、（3x）2＝9x2，故本选项错误；
C、（x2）3＝x6，故本选项错误；
D、x2•x3＝x5，故本选项正确．
故选：D．
3．【分析】由
＜
＜
求解可得．
【解答】解：∵
＜
＜
，
∴4＜
＜5，
∴估计65 的立方根大小在4 与5 之间，
故选：C．
4．【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：
＝3，
﹣
，π 是无理数，共有2 个，
故选：B．
5．【分析】把x＝64 代入数值转换器中计算确定出y 即可．
【解答】解：由题中所给的程序可知：把64 取算术平方根，结果为8，
∵8 是有理数，
∴结果
为无理数，
∴y＝
＝2
．
故选：A．
6．【分析】由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．
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5
【解答】解：A、在不等式a＜b 的两边同时减去1，不等式仍成立，即a﹣1＜b﹣1，故本选项
错误；
B、在不等式a＜b 的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误；
C、在不等式a＜b 的两边同时乘以﹣
，不等号的方向改变，即﹣
＞﹣
，故本选项错误；
D、当a＝﹣5，b＝1 时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确；
故选：D．
7．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数
解即可．
【解答】解：解不等式x﹣1＞2（x﹣2），得：x＜3，
解不等式x≤
+2，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴不等式组整数解之和为1+2＝3，
故选：D．
8．【分析】直接利用提取公因式以及公式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），无法分解因式，故此选项错误；
C、x2﹣2xy+4y2，无法直接利用公式法分解因式，故此选项错误；
D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此选项正确．
故选：D．
9．【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小
正方形的面积列式整理即可得解．
【解答】解：阴影部分的面积：（a﹣b）2，
还可以表示为：a2﹣2ab+b2，
∴此等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：A．
10．
【分析】首先设这个敬老院的老人有x 人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给
每位老人5 盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4 盒，但至少1 盒”可得不等式组
，解出不等式组后再找出符合条件的整数．
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【解答】解：设这个敬老院的老人有x 人，依题意得：
，
解得：29＜x≤32，
∵x 为整数，
∴x 可取值30，31，32，
∴x 最少为30，
故选：B．
二、填空题（本大题4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11．【分析】先把﹣4 化为﹣
的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：∵﹣4＝﹣
，16＞13，
∴
＞
，
∴﹣
＜﹣
，即﹣4＜﹣
．
故答案为：＜．
12．【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.00058＝5.8×10﹣4；
故答案为：5.8×10﹣4．
13．【分析】首先根据完全平方公式将（a﹣b）2用（a+b）与ab 的代数式表示，然后把a+b，ab
的值整体代入求值，然后利用平方根的意义求得a﹣b 的值．
【解答】解：∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1，
∴a﹣b＝±1．
故答案是：±1．
14．【分析】根据定义得出4≤
＜5，求出即可．
【解答】解：根据题意得：4≤
＜5，
解得7≤x＜9．
三、（本大题2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．【分析】原式利用平方根、立方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝3﹣2+2﹣
＝3﹣
．
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16．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：
，
由①得，x≤2，
由②得，x＞﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
解集在数轴上如下图：
四、（本大题2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝x（16x2﹣9y2）
＝x（4x﹣3y）（4x+3y）．
18．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：（2a+3b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）
＝4a2+12ab+9b2﹣4a2+b2
＝10b2+12ab，
当a＝1，b＝﹣1 时，原式＝10×（﹣1）2+12×1×（﹣1）＝﹣2．
五、（本大题2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．【分析】由①②③三个等式可得，被减数是从3 开始连续奇数的平方，减数是从1 开始
连续自然数的平方的4 倍，计算的结果是被减数的底数的2 倍减1，由此规律得出答案即
可．
【解答】解：（1）32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
所以第四个等式：92﹣4×42＝17；
（2）第n 个等式为：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，
左边＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，
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右边＝4n+1．
左边＝右边
∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1．
20．【分析】（1）利用数轴上点的移动可求．
（2）先去绝对值，再化简求值．
【解答】解：（1）由题意得：m＝﹣
+2．
（2）原式＝|﹣
+2﹣1|﹣
＝
﹣1﹣
＝﹣1．
六、（本大题满分12 分）
21．【分析】（1）可利用积的乘方的逆运算计算求解；
（2）可利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算可求解m 值；
（3）将a，b，c 化为相同的指数，再比较大小即可求解．
【解答】解：（1）52021×（
）2021＝
，
故答案为1；
（2）∵3×9m×27m＝311，
∴3×32m×33m＝31+5m＝311，
∴1+5m＝11，
解得m＝2；
（3）∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，d＝622＝（62）11
＝3611，32＜36＜81＜125，
∴3211＜3611＜8111＜12511，
∴a＜d＜b＜c．
七、（本大题满分12 分）
22．【分析】（1）设购进甲种用品x 件，乙种用品y 件，根据“购进甲、乙两种抗疫用品共180
件，且销售完这批抗疫用品后能获利1240 元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解
之即可得出结论；
（2）设购进甲种用品m 件，则购进乙种用品（180﹣m）件，根据“投入资金少于5040 元，
且销售完这批抗疫用品后获利不少于1314 元”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，
解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数即可得出各购货方案，再利用总利润＝销
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售每件的利润×销售数量，可分别求出3 个购货方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进甲种用品x 件，乙种用品y 件，
依题意得：
，
解得：
．
答：购进甲种用品100 件，乙种用品80 件．
（2）设购进甲种用品m 件，则购进乙种用品（180﹣m）件，
依题意得：
，
解得：60＜m≤63，
又∵m 为正整数，
∴m 可以取61，62，63，
∴共有3 种购货方案，
方案1：购进甲种用品61 件，乙种用品119 件；
方案2：购进甲种用品62 件，乙种用品118 件；
方案3：购进甲种用品63 件，乙种用品117 件．
方案1 可获得的利润为（20﹣14）×61+（43﹣35）×119＝1318（元）；
方案2 可获得的利润为（20﹣14）×62+（43﹣35）×118＝1316（元）；
方案3 可获得的利润为（20﹣14）×63+（43﹣35）×117＝1314（元）．
∵1318＞1316＞1314，
∴获利最大的购货方案为：购进甲种用品61 件，乙种用品119 件．
八、（本大题满分14 分）
23．【分析】（1）根据等式的规律填空即可；
（2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．
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