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浙教版九年级下册数学期中试卷
一、选择题（每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不
选、多选、错选，均不得分）
1．（4 分）﹣2021 的相反数是（ ）
A．﹣2021
B．﹣
C．
D．2021
2．
（4 分）宁波籍诺贝尔科学奖获得者屠呦呦，发现的青蒿素曾挽救了撒哈拉以南非洲地区约
150 万疟疾患者的生命，其中150 万用科学记数法表示为（ ）
A．150×104
B．1.50×104
C．0.15×107
D．1.5×106
3．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6
B．a2•a2＝a4
C．（2a）4＝2a4
D．a6÷a3＝a2
4．（4 分）如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）某中学为了让学生的跳远在中考体育测试中取得满意的成绩，在锻炼一个月后，学
校对九年级一班的45 名学生进行测试，成绩如下表：
跳远成绩（cm）
160
170
180
190
200
220
人数
3
9
6
9
15
3
这些运动员跳远成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．190，200
B．9，9
C．15，9
D．185，200
6．（4 分）一个不透明的袋子里装有4 个红球和2 个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中
任意摸出一个球是红球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）能说明命题“当a 为实数时，则a2≥a”是假命题的反例是（ ）
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1
A．a＝2
B．a＝﹣1
C．a＝﹣0.5
D．a＝0.5
8．（4 分）圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．180°
9．（4 分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直
线x＝
．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x 的方程ax2+bx+c＝a 有两个不等的实数根；
③a＜﹣
．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
10．（4 分）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24 段魔尺（24 个等腰直角三角形，把等腰直角三角
形最长边看作1）围成的长为4、宽为3 的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
11．（5 分）分式
有意义的条件是 ．
12．（5 分）分解因式：2a2﹣18＝ ．
13．（5 分）若单项式
x3ya﹣b与
xa+by 是同类项，则ab 的值为 ．
14．（5 分）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：则第⑨个图案有 个
黑色棋子．
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2
15．（5 分）如图，以四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O，恰与边AB，CD 分别相切于点A，点
D，连接BD 交⊙O 于点P，连接CP，若∠ABC＝90°，BP＝4，r＝
，则CP＝ ．
16．（5 分）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，有一个Rt△ABC，满足∠C＝90°，AC＝3，
BC＝4，AC∥y 轴，当点A，点B 及△ABC 的内心P 在同一个反比例函数y＝
的图象上时，
则k 的值为 ．
三、解答题（第17-19 题各8 分，第20-22 题各10 分，第23 题12 分，第24 题14 分，共80 分）
17．（8 分）（1）计算：（
﹣2）0+（﹣
）﹣1；
（2）计算：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣1）．
18．（8 分）为改善民生，提高城市活力，某市有序推行“地摊经济”政策．某社区志愿者随机
抽取该社区部分居民，按四个类别：A 表示“非常支持”，B 表示“支持”，C 表示“不关
心”，D 表示“不支持”，调查他们对该政策态度的情况，将结果绘制成如图两幅不完整
的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 名居民进行调查统计，扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心
角的大小是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该社区共有2000 名居民，估计该社区表示“支持”的B 类居民大约有多少人？
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3
19．（8 分）图1，图2 都是由边长为1 的小等边三角形构成的网格，△ABC 为格点三角形．请
仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．
（1）在图1 中，画出△ABC 中AB 边上的中线CM；
（2）在图2 中，画出∠APC，使∠APC＝∠ABC，且点P 是格点（画出一个即可）．
20．（10 分）某海域有A，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60 海里，
有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的
C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）．
21．（10 分）宁波市政府为了进一步促进城乡环境改善、布局合理、功能提升，制定了“三改
一拆”三年专项行动，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷部分违章建筑的拆除，
若两个工程队合做，则恰好用12 天完成任务；若甲、乙合做9 天后，由甲再单独做5 天也
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4
恰好完成，如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2 万元，0.7 万元．
试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？
（2）要使整个工程费用不超过22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？
22．（10 分）如图1 是一架菱形风筝，它的骨架由如图2 的4 条竹棒AC，BD，EF，GH 组成，其
中E，F，G，H 分别是菱形ABCD 四边的中点，现有一根长为80cm 的竹棒，正好锯成风筝
的四条件架，是BD＝xcm，菱形ABCD 的面积为ycm2．
（1）写出y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
（2）如图3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC 长度必须大于骨架BD 长度且小于BD
长度的两倍，现已知菱形ABCD 的面积为375cm2，则骨架BD 和AC 的长为多少？
23．（12 分）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等
积三角形．
（2）如图2，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC，BC 为边向外作正方形
ABDE，正方形ACFG 和正方形BCMN，连接EG．
①求证：△ABC 与△AEG 为偏等积三角形．
②若AC＝3，BC＝4，则图中以点A、B、C、D、E、F、G、M、N 为顶点构成的三角形与△ABC
是偏等积三角形的个数是 ．
（3）在△ABC 中，∠A＝30°，AC＝8，点D 在线段AC 上，连接BD，△ABD 和△BCD 是偏等
积三角形，将△ABD 沿BD 所在的直线翻折，得到△A′BD，若△A′BD 与△BCD 重合部
分的面积等于△BCD 面积的一半，求△ABC 的面积．
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5
24．（14 分）如图1，把△AOB 放置在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（6，
6），点B 的坐标为（8，0），AH 是OB 边上的高线，P 是线段OB 上一动点（点P 与点O，H．
B 均不重合），过A，P，H 三点的外接圆分别交AO，AB 于点C，D．
（1）求OA 的长及tan∠BAH 的值；
（2）如图2，连接CD，当CD∥OB 时，
①求CD 的长；②求点P 的坐标；
（3）当点P 在线段OB 上运动时，
AD 的值是否发生变化？若不变，请求出该定值；
若变化，请说明理由．
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6
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，不
选、多选、错选，均不得分）
1．【分析】利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣2021 的相反数是：2021．
故选：D．
2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且n
比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：150 万＝1500000＝1.5×106．
故选：D．
3．【分析】根据合并同类项，只把系数相加，字母部分不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂
相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把
幂相乘进行分析即可．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故原题计算错误；
B、a2•a2＝a4，故原题计算正确；
C、（2a）4＝16a4，故原题计算错误；
D、a6÷a3＝a3，故原题计算错误；
故选：B．
4．【分析】找到从几何体的左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视
图中．
【解答】解：从几何体的左面看，是一行两个矩形．
故选：A．
5．【分析】根据中位数和众数的定义，第23 个数就是中位数，出现次数最多的数为众数．
【解答】解：在这一组数据中200 是出现次数最多的，
故众数是200cm；
在这45 个数中，处于中间位置的第23 个数是190，所以中位数是190．
所以这些学生跳远成绩的中位数和众数分别是190，200．
故选：A．
6．【分析】根据概率公式计算．
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7
【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝
＝
．
故选：D．
7．【分析】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则解答即可．
【解答】解：当a＝0.5 时，a2＝0.25，则a2＜a，
∴命题“当a 为实数时，则a2≥a”是假命题，
故选：D．
8．【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的
弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，
∵它的轴截面是正三角形，
∴R＝2r，
∴2πr＝
，
解得n＝180°，
故选：D．
9．【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴﹣
＝
，判断a，b 与0 的关系，得到abc
＜0，即可判断①；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x 轴上方，即可判断②；
根据抛物线y＝ax2+bx+c 经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝
，
∴点（2，0）关于直线x＝
的对称点的坐标为（﹣1，0），
∵c＞1，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝
，
∴ab＜0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x 轴有两个交点，
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8
∴顶点在x 轴的上方，
∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a 有两个交点，
∴关于x 的方程ax2+bx+c＝a 有两个不等的实数根；故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c 经过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∵b＝﹣a，
∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，
∴﹣2a＝c，
∵c＞1，
∴﹣2a＞1，
∴a＜﹣
，故③正确，
故选：C．
10．【分析】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3 个，
【解答】解：∵长为4、宽为3 的长方形，
∴周长为2×（3+4）＝14
14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，
∴能围出不全等的长方形有3 个，
故选：A．
二、填空题（每小题5 分，共30 分）
11．【分析】根据分式的分母不为0 列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：要使分式
有意义，必须x+1≠0，
解得，x≠﹣1，
故答案是：x≠﹣1．
12．【分析】首先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：2a2﹣18＝2（a2﹣9）
＝2（a+3）（a﹣3）．
故答案为：2（a+3）（a﹣3）．
13．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，求出a，b
的值，再代入代数式计算即可．
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9
【解答】解：∵单项式
x3ya﹣b与
xa+by 是同类项，
∴
，
解得
，
故可得ab＝2．
故答案为：2．
14．【分析】观察图形的变化可得前几个图形中黑色棋子的个数，进而可得第⑨个图案黑色
棋子的个数．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第①个图案黑色棋子个数为：2×3﹣1＝5（个），
第②个图案黑色棋子个数为：2×4＝8（个），
第③个图案黑色棋子个数为：2×5﹣1＝9（个），
第④个图案黑色棋子个数为：2×6＝12（个），
第⑤个图案黑色棋子个数为：2×7﹣1＝13（个），
…，
所以第⑧个图案黑色棋子个数为：2×10＝20（个），
第⑨个图案黑色棋子个数为：2×11﹣1＝21（个），
故答案为：21．
15．【分析】连接AP，过点P 作EF∥AD 交DC 于点E，交AB 于点F，证明△ADP∽△BDA，由
相似三角形的性质得出
，设PD＝x，则BD＝4+x，得出
＝x•（x+4），解得x
＝1，求出DP，AP 的长，证明△EDP∽△PAD，得出比例线段
，求出DE 和PE
的长，求出CE 的长，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：连接AP，过点P 作EF∥AD 交DC 于点E，交AB 于点F，
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10
∵⊙O 与边AB，CD 分别相切于点A，点D，
∴∠ADC＝∠DAB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形DAFE 是矩形，
∴EF＝DA，
∵AD 为⊙O 的直径，
∴∠APD＝90°，
∴∠DAP+∠ADP＝90°，
∵∠ADP+∠ABD＝90°，
∴∠DAP＝∠ABD，
∵∠ADP＝∠BDA，
∴△ADP∽△BDA，
∴
，
∵r＝
，
∴AD＝
，
设PD＝x，则BD＝4+x，
∴
＝x•（x+4），
解得x＝1（负值舍去），
∴DP＝1，
∴AP＝
＝2，
∴AB＝
＝2
，
∵∠EDP+∠ADP＝∠ADP+∠DAP＝90°，
∴∠EDP＝∠DAP，
∴△EDP∽△PAD，
∴
，
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11
∴
，
∴DE＝
，PE＝
，
∴CE＝CD﹣DE＝
，
∴CP＝
＝
．
故答案为：
．
16．
【分析】连接PA、PB，作PD⊥AC 于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AB 于F，根据勾股定理求得AB
＝5，根据三角形内心的性质求得PD＝CD＝CE＝PE＝1，设B（m，n），则A（m﹣4，n+3），
P（m﹣3，n+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝mn＝（m﹣3）（n+1）＝（m﹣
4）（n+3），解得即可．
【解答】解：连接PA、PB，作PD⊥AC 于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AB 于F，
∵∠C＝90°，
∴四边形PDCE 是矩形，
∵点P 是△ABC 的内心，
∴PD＝PE＝PF，
∴四边形PDCE 是正方形，
∴PD＝CD＝CE＝PE，
设PD＝CD＝CE＝PE＝x，
∵AC＝3，BC＝4，
∴BF＝BE＝4﹣x，AF＝AD＝3﹣x，
∵AB＝
＝5，
∴4﹣x+3﹣x＝5，解得x＝1，
∴PD＝CD＝CE＝PE＝1，
设B（m，n），则A（m﹣4，n+3），P（m﹣3，n+1），
∵点A，点B 及△ABC 的内心P 在同一个反比例函数y＝
的图象上，
∴k＝mn＝（m﹣3）（n+1）＝（m﹣4）（n+3），
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12
整理得
，解得
，
∴k＝mn＝
×
＝
，
故答案为
．
三、解答题（第17-19 题各8 分，第20-22 题各10 分，第23 题12 分，第24 题14 分，共80 分）
17．【分析】（1）根据零指数幂和负整数幂的运算法则计算即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2＝﹣1；
（2）原式＝a2+2a+1﹣a2+1＝2a+2．
18．【分析】（1）由C 类别的人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以样本中D
类别人数占被调查人数的比例即可得出答案；
（2）根据A、B、C、D 四个类别人数之和等于被调查的总人数求出A 的人数，从而补全图形；
（3）用总人数乘以样本中B 类别人数所占比例可得答案．
【解答】解：（1）这次抽取的居民数量为9÷15%＝60（名），
扇形统计图中，D 类所对应的扇形圆心角的大小是360°×
＝18°，
故答案为：60，18°；
（2）A 类别人数为60﹣（36+9+3）＝12（名），
补全条形图如下：
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13
（3）估计该社区表示“支持”的B 类居民大约有2000×
＝1200（名）．
19．【分析】（1）根据三角形中线的定义即可得到结论；
（2）根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示，线段CM 即为所求．
（2）如图所示，点P 即为所求．
20．【分析】作AD⊥BC 于D，根据题意求出∠ABD＝45°，得到AD＝BD＝30
海里，求出
∠C＝60°，根据正切的概念求出CD 的长，得到答案．
【解答】解：作AD⊥BC 于D，
∵∠EAB＝30°，AE∥BF，
∴∠FBA＝30°，又∠FBC＝75°，
∴∠ABD＝45°，又AB＝60（海里），
∴AD＝BD＝30
（海里），
∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠C＝60°，
在Rt△ACD 中，∠C＝60°，AD＝30
（海里），
则tanC＝
，
∴CD＝
＝10
（海里），
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14
∴BC＝（30
+10
）海里，
故该船与B 港口之间的距离CB 的长为（30
+10
）海里．
21．【分析】（1）设单独完成这项工程甲公司需要x 天，则乙公司需要
天，根据“若甲、
乙合做9 天后，由甲再单独做5 天恰好完成”，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验
后即可得出结论；
（2）设乙公司施工y 天，则甲公司施工
天，根据整个工程费用不超过22.5 万元，即
可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设单独完成这项工程甲公司需要x 天，则乙公司需要
天，
依题意得：
+
＝1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20 是原方程的解，且符合题意，
∴
＝
＝30．
答：单独完成这项工程甲公司需要20 天，乙公司需要30 天．
（2）设乙公司施工y 天，则甲公司施工
天，
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15
依题意得：0.7y+1.2×
≤22.5，
解得：y≥15．
答：乙公司最少应施工15 天．
22．【分析】（1）根据中位线定理可得EF＝
BD＝
x，由菱形的面积＝对角线乘积的一半可
列函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可；
（3）根据菱形ABCD 的面积为375cm2，即y＝375，求出x 的值，结合骨架AC 长度必须大
于骨架BD 长度且小于BD 长度的两倍确定x 的值可得．
【解答】解：（1）∵E、F 为AB、AD 中点，
∴EF＝
BD＝
x，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴y＝
x（80﹣2x）＝﹣x2+40x，
自变量x 的取值范围是：0＜x＜40；
（2）函数图象如下：
（3）∵y＝﹣（x﹣20）2+400＝375，
∴（x﹣20）2＝25，
解得：x＝25 或x＝15，
∵AC 的长度必须大于BD 的长度且小于BD 长度的2 倍，
∴x＝25，
即BD＝25cm，AC＝30cm．
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16
23．【分析】（1）作BC 边上的中线或AC 边上的中线即可；
（2）①过点E 作EK⊥GA，交GA 的延长线于点K，根据已知得出△EAK≌△BAC，进而得
出EK＝BC，再根据三角形面积公式即可得出结论；
②根据已知找到跟△ABC 等底等高的三角形即可；
（3）①根据已知得出AD＝CD，然后根据折叠得出AD＝A'D，然后根据△A′BD 与△BCD
重合部分的面积等于△BCD 面积的一半得出三角形面积之间的关系，然后得出A'O＝
DO，BO＝CO，即可证明四边形A'CBD 为平行四边形，即可得到A'B＝CD，过点C 作
CM⊥AB 于点M，利用∠A＝30°可以证明点B 与点M 重合，进而得出AB 的长度，即可求
得结果；
②首先根据已知得出AD＝CD，然后根据折叠得出AD＝A'D，然后根据△A'BD 与BCD 重
合部分的面积等于△BCD 面积的一半得出A'O＝DO，BO＝CO，进而得到四边形A'CDB
是平行四边形，然后得出A'B＝CD，过点B 作BQ⊥AD 于点Q，根据∠A＝30°得出BQ 的
长度，即可求出结果．
【解答】解：（1）作BC 边上的中线或AC 边上的中线即可．
（2）①证明：过点E 作EK⊥GA，交GA 的延长线于点K，
∴∠K＝90°，
∵四边形ABDE 和ACFG 都是正方形，
∴∠BAE＝90°，AB＝AE，∠GAC＝90°，AC＝AG，
∵∠GAC+∠KAC＝180°，
∴∠KAC＝180°﹣∠GAC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EAK+∠BAK＝∠BAC+∠BAK＝90°，即∠EAK＝∠BAC，
又∵∠K＝∠ACB＝90°，AE＝AB，
∴△EAK≌△BAC（AAS），
∴EK＝BC，
∴
，
∴△ABC 和△AEG 为偏等积三角形；
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17
②如图，与△ABC 是偏等积三角形有△EAG，△BCG，△GCM，△ANC，△CNF，△CFD，
△CME，△DBN；
故答案为：8 个
（3）①如图，连接A'C，
∵△ABD 和△BCD 是“偏等积三角形”，
∴S△ABD＝S△BCD，
∴AD＝CD＝
，
∵沿BD 折叠，使得A 与A'重合，
∴AD＝A'D＝4，
∵△A'BD 与△BCD 重合部分的面积等于△BCD 面积的一半，
∴
，
∴A'O＝BO，CO＝DO，
∴四边形A'CBD 是平行四边形，
∴BC＝A'D＝4，
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18
过点C 作CM⊥AB 于点M，
∵∠A＝30°且AC＝8，
∴CM＝
AC＝4＝BC，即点B 与点M 重合，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝
＝
，
∴
；
②如图，连接A'C，
∵△ABD 和△BCD 是“偏等积三角形”，
∴S△ABD＝S△BCD，易得：AD＝CD＝
，
∵沿D 折叠使A 与A'重合，
∴AD＝A'D＝4，∠A＝∠A'＝30°，
∵△A'BD 与BCD 重合部分的面积等于△BCD 面积的一半，
∴
，
∴A'O＝DO，BO＝CO，
∴四边形A'CDB 是平行四边形，
∴A'B＝CD＝4，
过点B 作BQ⊥AD 于点Q，
∵∠A'＝30°且A'B＝4，
∴BQ＝
A'B＝2，
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19
∴
，
综上所述，△ABC 的面积为8 或
．
24．
【分析】（1）由点A 坐标根据两点间距离公式即可求OA 的长；由点B 坐标及AH 为OB 边
上的高可求AH、BH 的长，在Rt△ABH 中有tan∠BAH＝
，代入计算即可．
（2）①连接CH，则根据圆周角定理有∠DCH＝∠DAH，再由CD∥OB 得到内错角∠DCH
＝∠CHE，所以∠CHE＝∠DAH，其正切值相等（应用（1）的结论）．过点C 作x 轴垂线段
CE，构造Rt△CEH，进而由tan∠CHE＝tan∠DAH 求得CE 与EH 的关系．由易求得
∠AOH＝45°，故CE＝OE，得
的值．由CE∥AH 和CD∥OB，根据平行线分线段定理，
可得
，即求得CD 的长．
②连接CP，由∠AHP＝90°可得AP 为圆的直径，故∠ACP＝90°，所以有AP2＝AC2+CP2
＝AH2+PH2．由①可求得点C 坐标，AC 的长，设点P 横坐标为p，则能用p 表示CP2和
PH．把含p 的式子代入AC2+CP2＝AH2+PH2解方程即求得p 的值．
（3）连接CP、DP，设点P 横坐标为p，先用p 表示OP、PB 的长．利用△OCP 为等腰直角三
角形可以p 表示OC 的长，进而用p 表示AC 的长．由∠BPD＝∠BAH 可得其正切值也相
等，可计算得到BD 与BP 的关系，即能用p 表示BD 的长．求AB 即能用p 表示AD 的长．
计算并化简AC+
AD 得到一个常数，即值不变．
【解答】解：（1）∵A（6，6），AH 是OB 边上的高线
∴AH⊥x 轴，∠AHO＝∠AHB＝90°
∴OH＝AH＝6
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∴OA＝
∵B（8，0），即OB＝8
∴BH＝OB﹣OH＝8﹣6＝2
∴Rt△ABH 中，tan∠BAH＝
（2）①如图1，连接CH，过点C 作CE⊥x 轴于点E
∴∠DCH＝∠DAH，∠CEO＝∠CEH＝90°
∵CD∥OB
∴∠DCH＝∠CHE
∴∠CHE＝∠DAH
∴tan∠CHE＝tan∠DAH＝
∴Rt△CEH 中，tan∠CHE＝
∴EH＝3CE
∵Rt△OAH 中，AH＝OH
∴∠AOH＝45°
∴Rt△CEO 中，OE＝CE
∴OH＝OE+EH＝CE+3CE＝4CE
∴
∵CE∥AH
∴
∵CD∥OB
∴
∴CD＝
OB＝6
②如图1，连接PC
∵
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∴AC＝
OA＝
∴OC＝OA﹣AC＝
∴CE＝OE＝
，即C（
，
）
设P（p，0）（0＜p＜8 且p≠6）
∴PH＝6﹣p，CP2＝（p﹣
）2+（
）2
∵∠AHP＝90°
∴AP 为圆的直径
∴∠ACP＝90°
∴AP2＝AC2+CP2＝AH2+PH2
∴（
）2+（p﹣
）2+（
）2＝62+（6﹣p）2
解得：p＝3
∴点P 坐标为（3，0）
（3）AC+
AD 的值不发生变化．
如图2，连接CP、DP
∵AP 是圆的直径
∴∠OCP＝∠ACP＝∠ADP＝∠PDB＝90°
设P（p，0）（0＜p＜8 且p≠6）
∴OP＝p，PB＝8﹣p
∵∠OCP＝90°，∠COP＝45°
∴OC＝
OP＝
p
∴AC＝OA﹣OC＝6
﹣
p
∵∠BPD＝∠BAH
∴Rt△BDP 中，tan∠BPD＝
＝
∴PD＝3BD
∴PB2＝PD2+BD2＝9BD2+BD2＝10BD2
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∴BD＝
PB＝
（8﹣p）
∵AB＝
∴AD＝AB﹣BD＝2
﹣
（8﹣p）＝
+
p
∴
AD＝
（
+
p）＝6
+
p
∴AC+
AD＝6
﹣
p+6
+
p＝12
∴AC+
AD 的值为12
，不发生变化．
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