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浙教版九年级上册数学期中试卷
一、选择题（共10 小题，每小题4 分，共40 分）.
1.下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）
A. 瓜熟蒂落 B. 守株待兔 C. 旭日东升 D. 夕阳西下
2.如果将抛物线 y = x
2−2 平移，使平移后的抛物线与抛物线 y = x
2−8 x +9 重合，那么它平移的过程
可以是（ ）
A. 向右平移4 个单位，向上平移11 个单位 B. 向左平移4 个单位，向上平移11 个单位
C. 向左平移4 个单位，向上平移5 个单位 D. 向右平移4 个单位，向下平移5 个单位．
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=40°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转得到△A'BC'，使点C 的对应点
C'恰好落在边AB 上，则∠CAA'的度数是( )
A. 50° B. 70° C. 110° D. 120°
4.如图所示，在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB＝16cm ， OC⊥AB 于点C ， 则OC 等于（ ）
A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm
5.将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ）
A. 2
3 B. 1
2 C. 1
3 D. 1
6
6.如图，点A,B,C,D 在⊙O 上， ∠AOC =120° ，点B 是弧AC 的中点，则 ∠D 的度数是（ ）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
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7.如图，半径为10 的扇形 AOB 中， ∠AOB =90° ， C 为弧AB 上一点， CD⊥OA ，
CE⊥OB ，垂足分别为 D 、 E .若 ∠CDE 为 36° ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 10 π B. 9 π C. 8 π D. 6 π
8.从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间（单位：s）之间的函数关
系如图所示，
下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3 秒后，速度越来越快；③小球抛出3 秒时速
度为0；④小球的高度h=30m 时，t=1.5s．其中正确的是（ ）
A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③
9.如图，正方形ABCD 和等边△AEF 都内接于圆O，EF 与BC，CD 别相交于点G，H.若AE＝6，则EG 的
长为（ ）
A. √3 B. 3﹣ √3 C. √2 D. 2 √3 ﹣3
10.函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 的图象与x 轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中 n>0 ，以下结
论正确的是（ ）
① abc>0 ；
②函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 在 x =1, x =−2 处的函数值相等；
③函数 y =kx +1 的图象与的函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 图象总有两个不同的交点；
④函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 在 −3≤x ≤3 内既有最大值又有最小值．
A. ①③ B. ①②③ C. ①④ D. ②③④
2
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二、填空题（本题有6 小题，每小题5 分，共30 分）
11.已知某抛物线的顶点是 (2,−1) ，与 y 轴的交点到原点的距离为3，则该抛物线的解析式为
________．
12.如图，▱BCDE 的顶点B、C、D 在半圆O 上，顶点E 在直径AB 上，连接AD，若∠CDE＝68°，则
∠ADE 的度数为________°．
13.在一个不透明的袋子里有50 个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一
个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复实验后，发现摸到红球的频率稳定在0.4，由此估计袋中红球
的个数为________．
14.如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所
示的直角坐标系，跨度AB=44 米，∠A=45°，AC1=4 米，点D2的坐标为(-13，-1.69)，则桥架的拱高
OH=________米.
15.如图，将边长为2 的正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，得到正方形AB'C'D'，连接BB'、
BC'，在旋转角从0°到180°的整个旋转过程中，当BB'＝BC'时，△BB'C'的面积为________.
16.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4 与x 轴、 y 轴正半轴分别交于点A、B、D， 且点B 的坐标为
（4，0），点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，点E 在x 轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE 的
中点F，则BF 的长为________．
三、解答题（本题有8 小题，共80 分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
3
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17.甲、乙、丙、丁4 人聚会，每人带一件礼物，4 件礼物从外盒包装看完全相同，将4 件礼物放在一
起．
（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是________；
（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2 人抽到的都不是自己带来的
礼物的概率．
18.已知二次函数的图象经过点（0，3），顶点坐标为（1，4）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若将该抛物线绕原点旋转180°，请直接写出旋转后的抛物线函数表达式。
19.如图，⊙O 的半径OA ⊥ 弧BC 于E，D 是⊙O 上一点.
（1）求证： ∠ADC = 1
2 ∠AOB ；
（2）若AE=2，BC=6，求OA 的长.
20.某水果超市以每千克20 元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40 元，经
市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如
下表所示：
每千克售价x（元）… 25 30 3
5 …
日销售量y（千克）… 11
0
10
0
9
0 …
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）该超市要想获得1000 的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（3）当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
21.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C、D 在⊙O 上，∠D＝60°，且AB＝6，过O 点作OE⊥AC，垂足
为E．
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（1）求OE 的长；
（2）若OE 的延长线交⊙O 于点F，求弦AF、AC 和弧CF 围成的图形（阴影部分）的面积．（结果精确
到0．01）
22.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往
新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右
转的频率为 2
5 ，向左转和直行的频率均为 3
10 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000 辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30 秒，在绿灯总时间不变的条件下，
为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
23.如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB＝AD，∠C＝120°，点E 在上．
（1）求∠AED 的度数；
（2）若⊙O 的半径为2，则弧AD 的长为多少？
（3）连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE 恰好是⊙O 内接正n 边形的一边，求n 的值．
24.抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴相交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），且A（-1，0）、B（4，0），
与y 轴交于点C，点C 的坐标为（0，-2），连接BC，以BC 为边，点O 为中心作菱形BDEC，
点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m，0），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q，交BD 于
点M．
5
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（1）求抛物线的解析式；
（2）x 轴上是否存在一点P，使三角形PBC 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存
在，请说明理由；
（3）当点P 在线段OB 上运动时，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？请说明理由
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答案
一、选择题
1.解：A．瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，发生的可能性很小，符合题意；
C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故答案为：B．
2.解：抛物线 y = x
2−2 的顶点坐标为：（0， −2 ），
∵ y = x
2−8 x +9=( x−4)
2−7 ，则顶点坐标为：（4， −7 ），
∴顶点由（0， −2 ）平移到（4， −7 ），需要向右平移4 个单位，再向下平移5 个单位，
故答案为：D.
3.解：∵BA=BA'，
∴∠BAA'=（180°-∠ABA'）÷2=（180°-40）÷2=70°，
∵∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-90°-40°=50°，
∴∠CAA'=∠BAC+∠BAA'=50°+70°=120°.
故答案为：D.
4.解：连接OA ， 如图：
∵AB＝16cm ， OC⊥AB ，
∴AC＝ 1
2 AB＝8cm ，
在Rt △ OAC 中，OC＝ √O A
2−A C
2 ＝ √10
2−8
2 ＝6（cm），
故答案为：D ．
5.解：三个不同的篮子分别用A、B、C 表示，根据题意画图如下：
共有9 种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6 种，
则恰有一个篮子为空的概率为 6
9 = 2
3 ．
故答案为：A．
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6.解：连接OB，
∵点B 是 AC
⏜ 的中点，
∴∠AOB＝ 1
2 ∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝ 1
2 ∠AOB＝30°，
故答案为：A.
7.连接OC 交DE 为F 点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO 为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积.
S阴影= S
AOB
扇
形−S
AOC
扇
形= 90• π •10
2
360
−54• π •10
2
360
=10 π .
故答案为：A.
8.①图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①不符合题意；
②小球抛出3 秒后，速度越来越快；故②符合题意；
③小球抛出3 秒时达到最高点即速度为0；故③符合题意；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，把O（0，0）代入得0=a（0-3）2+40，解得a= −40
9 ，
∴函数解析式为h= −40
9 （t-3）2+40，把h=30 代入解析式得，30= −40
9 （t-3）2
+40，解
得：t=4.5 或t=1.5，
∴小球的高度h=30m 时，t=1.5s 或4.5s，故④不符合题意；
故答案为：D．
9.连接AC、BD、OF，AC 与EF 交于P 点，则它们的交点为O 点，如图，
8
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∵正方形ABCD 和等边△AEF 都内接于圆O，
∴正方形ABCD 和等边△AEF 都是轴对称图形，直径AC 是对称轴，
∴∠COF＝60°，AC⊥BD，AC⊥EF，∠BCA＝45°，
∴PE＝PF＝ 1
2 EF＝3，
在Rt△OPF 中，OP＝ 1
2 OF＝ 1
2 OC，
∵OP＝ √3
3 PF＝ √3 ，
∴PC＝OP＝ √3 ，
∵△PCG 为等腰直角三角形，
∴PG＝PC＝ √3 ，
∴EG＝PE﹣PG＝3﹣ √3 .
故答案为：B.
10.如图，根据题意作图，
故a＜0，b＜0，c＞0
∴ abc>0 ，①符合题意；
∵对称轴为x=-1
∴函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 在 x =1, x =−3 处的函数值相等，故②不符合题意；
图中函数 y =kx +1 的图象与的函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 图象无交点，故③不符合题意；
当 −3≤x ≤3 时，x=-1 时，函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 有最大值
x=3 时，函数 y =a x
2+bx +c(a≠0) 有最小值，故④符合题意；
故答案为：C．
二、填空题
9
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11.抛物线顶点是 (2,−1) ，
∴设这个抛物线解析式为 y =a( x−2)
2−1 ( a≠0 )，
∵抛物线与 y 轴的交点到原点的距离是3，
∴交点坐标为 (0,3) 或 (0,−3) ，把 (0,3) 代入 y =a( x−2)
2−1 ，得 3= 4 a−1 ，解得 a=1 ，
则这个二次函数的解析式为 y =( x −2)
2−1 ；
把 (0,−3) 代入 y =a( x−2)
2−1 ，得 −3= 4 a−1 ，解得 a=−1
2 ，
则这个二次函数的解析式 y =−1
2 ( x−2)
2−1 .
12.解：∵四边形BCDE 为平行四边形，
∴∠B＝∠CDE＝68°，
∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣68°＝112°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝112°﹣68°＝44°．
故答案为44．
13.解：设袋中红球的个数为x 个，
根据题意得：x
50 =0.4 ，
解得x=20，
∴ 袋中红球的个数为20 个.
故答案为：20.
14.设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2 ， 将x=-13，y=-1.69 代入，解得a=- 1
100
∵横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m
∴点D1的横坐标是-18，代入y=- 1
100 x2里可得y=3.24
又∵∠A=45°，
∴D1C1=AC1=4m
∴OH=3.24+4=7.24m．
15.解：当点D'在直线AB 右侧时，如图，过点B 作BE⊥B'C'于E，延长EB 交AD'于F，
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∵将边长为2 的正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转，
∴AB=AB'=B'C'=AD'=2，∠BAD=∠B'AD'=90°=∠C'B'A，
∵BB'=BC′，BE⊥B'C'，
∴B'E=C'E=1，
∵BE⊥B'C'，∠B'AD'=∠AB'C'=90°，
∴四边形B'EFA 是矩形，
∴AF=B'E=1，EF=AB'=2，
∴BF= √A B
2−A F
2=√4−1=√3 ，
∴BE= 2−√3 ，
∴△BB′C′的面积= 1
2 B'C'×BE= 1
2 ×2×（ 2−√3 ）= 2−√3 ；
若点D'在直线AB 的左侧时，过点B 作BM⊥B'C'于M，交A'D'于N，
同理可求BN= √3 ，
∴BM=MN+BN=2+ √3 ，
∴△BB′C′的面积= 1
2 B'C'×BM= 1
2 ×2×（2+ √3 ）=2+ √3 ；
综上所述：△BB′C′的面积为2+ √3 或2 −√3 .
16.解：∵点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D（0，4），B（4，0），
∴BD＝ √4
2+ 4
2=4√2 ，
∵A、B 关于对称轴对称，C、D 关于对称轴对称，
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∴AC＝BD＝ 4√2 ，
连AC， BE=AB，CE 的中点是F，
∴BF＝ 1
2 AC＝ 2√2 .
故答案为： 2√2 ．
三、解答题
17. （1）3
4
（2）解： 设甲、乙、丙、丁带的礼物分别为1、2、3、4，
根据题意画出树状图如下：
共有12 种等可能的结果，其中甲、乙2 人抽到的都不是自己带来的礼物共有7 种结果，
∴ 甲、乙2 人抽到的都不是自己带来的礼物的概率= 7
12.
解：（1）根据概率公式得：
P（甲抽到不是自己带来的礼物 ）=3
4 .
故答案为：3
4 ；
18. （1）解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4，把点（0，3）代入得a+4＝3，
解得：a＝﹣1，∴这个二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）解：y＝（x+1）2-4
19. （1）证明：∵ 半径OA⊥BC 于E，
∴AB
⏜
= AC
⏜ ，
∴∠ADC=1
2∠AOB；
（2）解：∵ 半径OA⊥BC 于E，
∴∠OEB=90°，BE=1
2BC=1
2×6=3，
∴OB2=OE2+BE2 ，
∵OB=OA，OE=OA-AE=OA-2，
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∴OA2=（OA-2）2+32 ，
∴OA=13
4 .
20. （1）解：设一次函数表达式为 y =kx +b ，
将 (25,110),(30,100) 代入，得 {25k +b=110,
30k +b=100.
解得 {k =−2,
b=160.
∴y =−2 x +160 .
（2）解：根据题意，得 (−2 x +160)( x−20)=1000 ，
整理，得 x
2−100 x +2100=0 ，
解得 x1=30, x2=70 （不合题意，舍去）.
答：该超市要想获得1000 元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为30 元.
（3）解：方法1：
设日销售利润为w 元.
∴w =( x−20)(−2 x +160)
=−2 x
2+200 x−3200 .
∵a=−2<0 ，
∴ 抛物线开口向下，
又 ∵x =−b
2a =50 ，
∴ 当 20⩽x⩽40 时，w 随x 的增大而增大.
∴ 当 x = 40 时，w 有最大值， w最大=1600 （元）.
答：当每千克樱桃的售价定为40 元时，可获得最大利润，最大利润是1600 元.
方法2：
设日销售利润为w 元.
w =( x −20)(−2 x +160)=−2( x −50)
2+1800 ，
∵a−2<0 ，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线 x =50 .
∴ 当 20⩽x⩽40 时，w 随着x 的增大而增大，
∴ 当 x = 40 时，w 有最大值， w最大=1600 （元）.
答：当每千克樱桃的售价定为40 元时，可获得最大利润，最大利润是1600 元.
21.（1）解：∵∠D=60°，
∴∠B=60°（圆周角定理），
又∵AB=6，
∴BC=3，
∵AB 是⊙O 的直径，
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∴∠ACB=90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O 是AB 中点，
∴OE 是△ABC 的中位线，
∴OE= 1
2 BC = 3
2
（2）解：连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积=扇形FOC 的面积，
S 扇形FOC= 60 π ×3
2
360
= 3
2 π．
即可得阴影部分的面积为 3
2 π．
22. （1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× 3
10 ＝1500(辆)，(2 分)在此右转的车辆数为5000× 2
5
＝2000(辆)，(4 分)在此直行的车辆数为5000× 3
10 ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ 3
10 ， P(汽车向右转)＝ 2
5 ， P(汽车直
行)＝ 3
10 .(9 分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× 3
10 ＝27(秒)，右转绿灯亮的时
间为90× 2
5 ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× 3
10 ＝27(秒)
23. （1）解：连接BD,∵四边形ABCD 是 O 的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠C=120°,
∴∠BAD=60°,
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∵AB=AD,
∴△ABD 是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∵四边形ABDE 是 O 的内接四边形,
∴∠AED+∠ABD=180°,
∴∠AED=120°
（2）解：∵∠AOD=2∠ABD=120°,
∴弧AD 的长= 120×π ×2
180
= 4 π
3
（3）解：连接OA,
∵∠ABD=60°,
∴∠AOD=2∠ABD=120°,
∵∠DOE=90°,
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,
∴n= 360°
30° =12 .
24. （1）解：由题意可设抛物线的解析式为：y=ax2+bx-2，∵抛物线与x 轴交于A（-1，0），B（4，
0）两点，故抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），即-4a=-2，解得：a= 1
2 ，∴抛
物线的解析式为：y= 1
2 x2- 3
2 x-2
（2）解：设点P 的坐标为（m，0），则PB2=（m-4）2 ， PC2=m2+4，BC2=20，
①当PB=PC 时，（m-4）2=m2+4，解得：m= 3
2 ；
②当PB=BC 时，同理可得：m=4±2 √5 ；
③当PC=BC 时，同理可得：m=±4（舍去4），
故点P 的坐标为：（ 3
2 ，0）或（4+2 √5 ，0）或（4-2 √5 ，0）或（-4，0）
（3）解：∵C（0，-2）∴由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（0，2），设直线BD 的解析式为
y=kx+2，又B（4，0）解得k=- 1
2 ，∴直线BD 的解析式为y=- 1
2 x+2；则点M 的坐标为（m，- 1
2
m+2），点Q 的坐标为（m， 1
2 m2- 3
2 m-2），如图，当MQ=DC 时，四边形CQMD 是平行四边
形，∴（- 1
2 m+2）-（ 1
2 m2- 3
2 m-2）=2-（-2），
解得m1=0（不合题意舍去），m2=2，∴当m=2 时，四边形CQMD 是平行四边形
15
