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沪科版八年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）每小题都给出A，B，C，D 四个选项，
其中只有一个是符合题目要求的.
1．（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．y＝3x2﹣1
B．（x+2）（x+3）＝x2﹣1
C．x2＝0
D．x2﹣
＝3
2．（3 分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）下列条件中，不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13
B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5
C．a＝9k，b＝40k，c＝41k（k＞0）
D．a＝32，b＝42，c＝52
4．（3 分）下列二次根式中，与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）某手机厂商一月份生产手机20 万台，计划二、三月份共生产手机45 万台，设二、三
月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为（ ）
A．20（1+x）2＝45
B．20（1+x）+20（1+x）2＝45
C．20（1+2x）＝45
D．20+20（1+x）+20（1+x）2＝45
6．（3 分）如图，数轴上A 点表示的数为﹣2，B 点表示的数是1．过点B 作BC⊥AB，且BC＝
2，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，弧与数轴的交点D 表示的数为（ ）
A．
B．
+2
C．
﹣2
D．﹣
+2
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1
7．（3 分）已知
，则（x+y）2000（x﹣y）2001的值为（ ）
A．
B．
C．﹣1
D．1
8．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，若CD＝6，AD＝10，
则BD 的长为（ ）
A．8
B．12
C．6
D．14
9．（3 分）关于x 的方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0，下列说法中正确的是（ ）
A．当a＝
时，方程的两根互为相反数
B．当a＝0 时，方程的根是x＝﹣1
C．若方程有实数根，则a≠0 且a≤
D．若方程有实数根，则a≤
10．（3 分）如图，在等腰Rt△ABC 中，AB＝BC＝4，点D 在边BC 上且CD＝1，点E，F 分别为
边AB，AC 上的动点，连接DE，EF，DF 得到△DEF，则△DEF 周长的最小值为（ ）
A．5
B．2
C．3
D．
+2
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．（3 分）化简：
＝ ．
12．（3 分）若式子
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
13．（3 分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其
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中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1 丈＝10
尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1 丈的正方形，
在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的
顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
14．（3 分）如图，将边长为12 的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x 的长方形，剩余的
部分面积为64，则根据题意可列出方程为 ．（方程化为一般式）
15．（3 分）一个直角三角形的两边长分别为6，8．则斜边上的高为 ．
16．（3 分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC．过点A，C 分别作AB，AC 的垂线交于点D，AD 与
BC 相交于点E．若BE＝4
，AD＝6，则AB 的长为 ．
三、（本大题共7 小题，满分52 分）
17．（5 分）计算：
（3﹣
）2+
+
×
．
18．（6 分）解方程：x2﹣8x＝4．
19．（7 分）已知关于x 的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为0 时，求m 的值及方程的另一根；
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（2）若该方程有两个不相等的实数根，求符合条件的正整数m 的值．
20．（8 分）如图，四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，∠B＝60°，AD＝2
，CD＝4．
（1）求∠BCD 的度数．
（2）求四边形ABCD 的面积．
21．
（8 分）如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，每个小格的顶点叫做格点，
以格点为顶点分别按下列要求画图．
（1）在图1 中，画一个正方形，使它的面积为10；
（2）在图2 中，西一个三角形ABC，使它的三边长分别为AB＝
，BC＝2
，AC＝5；
（3）请写出图2 中所画△ABC 的面积为 ．（直接写出结果）
22．（8 分）某超市经销一种销售成本为每件20 元的商品，据市场调查分析，如果按每件30 元
销售，一周能售出500 件，若销售单价每涨1 元，每周销售量就减少10 件．设销售单价为
每件x 元（x≥30），一周的销售量为y 件．
（1）直接写出y 与x 的函数关系式；
（2）在超市对该种商品投入不超过5000 元的情况下，使得一周销售利润达到8000 元，销
售单价应定为多少？
23．（10 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，分别以边AB，AC 为直角边向外作等腰直角
三角形ABD 和等腰直角三角形ACE，连接CD，BE，DE，CD 交BE 于点F．
（1）线段CD 与线段BE 有怎样的数量关系和位置关系，请给出你的证明；
（2）若AB＝3，AC＝5，求DE 的长．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，满分30 分）每小题都给出A，B，C，D 四个选项，
其中只有一个是符合题目要求的.
1．【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．整理后为5x+7＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．【分析】直接利用二次根式的性质结合最简二次根式化简得出答案．
【解答】解：A、
＝
，不是最简二次根式，不合题意；
B、
是最简二次根式，符合题意；
C、
＝2
，不是最简二次根式，不合题意；
D、
＝3，不是最简二次根式，不合题意；
故选：B．
3．【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、因为a：b：c＝5：12：13，设a＝5x，b＝12x，c＝13x，（5x）2+（12x）2＝（13x）2，
故△ABC 是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝2：3：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝180°×
＝90°，故
△ABC 是直角三角形；
C、因为（9k）2＝（41k）2﹣（40k）2，故△ABC 是直角三角形；
D、因为（32）2≠（52）2﹣（42）2，故△ABC 不是直角三角形．
故选：D．
4．【分析】各式化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝
，符合题意；
B、原式＝2
，不符合题意；
C、原式＝3
，不符合题意；
D、原式不能化简，不符合题意．
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6
故选：A．
5．【分析】考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月
份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产45 万台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月平均每月增长率为x，根据题意列出方程为20（1+x）+20（1+x）2＝
45，
故选：B．
6．【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段CA 的长度，然后根据AC＝AD
即可求出AD 的长度，接着可以求出数轴上点D 所表示的数．
【解答】解：∵CA＝
＝
，
∴AC＝AD＝
，
∴D 到原点的距离是
﹣2．
∴点D 所表示的数是
﹣2．
故选：C．
7．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y 的值，进而利用积的乘方运算法则计算
得出答案．
【解答】解：∵
，
∴x＝2，y＝﹣
，
则（x+y）2000（x﹣y）2001＝（2﹣
）2000×（2+
）2001
＝[（2+
）×（2﹣
）]2000×（2+
）
＝（4﹣3）2000×（2+
）
＝1×（2+
）
＝2+
．
故选：B．
8．【分析】如图，过点D 作DE⊥AB 于点E，根据角平分线的定义得到DE＝DC＝6，根据勾股
定理得到AE＝
＝
＝8，由全等三角形的性质得到BC＝BE，设BC
＝BE＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，过点D 作DE⊥AB 于点E，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠EBD，
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7
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝6，
∵AD＝10，
∴AE＝
＝
＝8，
在Rt△CBD 与Rt△EBD 中，
，
∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BC＝BE，
设BC＝BE＝x，
∴AB＝8+x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴162+x2＝（8+x）2，
∴x＝12，
∴BC＝12，
∴BD＝
＝
＝6
，
故选：C．
9．【分析】根据根与系数的关系及根的判别式可得出答案．
【解答】解：当a＝
时，方程a2x2+（2a﹣1）x+1＝0 没有实数根，故A 选项不符合题意，
当a＝0 时，方程的根是x＝1，故B 选项不符合题意，
若方程有实数根，则a≤
，故C 选项不符合题意，
故选：D．
10．【分析】作D 关于AB 的对称点G，作D 关于AC 的对称点H，连接BG，CH，FH，GH，当
G，E，F，H 在同一条直线上时，△DEF 的周长最小，由对称性求出GH 即可．
【解答】解：如图，作D 关于AB 的对称点G，作D 关于AC 的对称点H，
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8
连接BG，CH，FH，GH，
∵∠ABC＝90°，
∴∠GBE＝∠ABC＝90°，
∴G，B，D，C 在同一条直线上，
由对称性可知，
GB＝DB＝3，CH＝CD＝1，∠FCH＝∠FCD＝45°，
FH＝FD，EG＝ED，
∴∠HCG＝90°，GC＝GB+BD+DC＝3+3+1＝7，
∴GH＝
＝
＝5
，
∴DE+EF+FD＝GE+EF+FH≥GH＝5
，
∴△DEF 的周长的最小值5
．
故选：A．
二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，满分18 分）
11．【分析】先算出（﹣3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝3，
故答案为：3．
12．【分析】利用分式和二次根式有意义的条件确定关于x 的不等式，从而确定答案．
【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1．
13．【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：设水池里水的深度是x 尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
答：水池里水的深度是12 尺．
故答案为：12．
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14．【分析】如果设剪去的边长为x，那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64．
【解答】解：设剪去的边长为x，
那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64，
化为一般形式为：x2﹣24x+80＝0，
故答案为：x2﹣24x+80＝0．
15．【分析】分为两种情况：①斜边是8 有一条直角边是6，再由三角形面积即可得出结果；
②6 和8 都是直角边，根据勾股定理求出斜边，由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：分为两种情况：
①斜边是8 有一条直角边是6，
由勾股定理得：第三边长＝
＝2
，
设斜边上的高为h，
由同一三角形面积相等得：
×8h＝
×6×2
，
解得：h＝
，
②6 和8 都是直角边，
由勾股定理得：第三边长＝
＝10，
设斜边上的高为a，
由同一三角形面积相等得：
×10×a＝
×6×8，
解得：a＝
，
故答案为：
或
．
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16．【分析】过点B 作BM⊥AB，在BM 上截取BN＝CD，得到△ABN 和△ACD，则BN＝CD，
AN＝AD＝6，再根据等腰三角形的性质等得到DE＝CD，最后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：过点B 作BM⊥AB，在BM 上截取BN＝CD，
∵DC⊥AC，BM⊥AB，
∴∠ABN＝∠ACD＝90°，
在△ABN 和△ACD 中，
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴BN＝CD，AN＝AD＝6，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠AEB＝90°，∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠DCE，
∵∠AEB＝∠CED，
∴∠CED＝∠DCE，
∴CD＝DE，
在Rt△ABN 中，
AB2＝AN2﹣BN2＝36﹣BN2，
在Rt△ABE 中，
AB2＝BE2﹣AE2＝
﹣（6﹣DE）2＝48﹣36+12DE﹣DE2＝12+12BN﹣BN2，
∴36﹣BN2＝12+12BN﹣BN2，
∴BN＝2，
∴AB＝
＝
＝
＝4
，
故答案为：4
．
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三、（本大题共7 小题，满分52 分）
17．【分析】先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次
根式后合并即可．
【解答】解：原式＝9﹣6
+3+4
+
＝9﹣6
+3+4
+2
＝12．
18．【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣8x＝4，
∴x2﹣8x+16＝4+16，即（x﹣4）2＝20，
∴x﹣4＝±2
，
∴x1＝4+2
，x2＝4﹣2
．
19．【分析】（1）求出m＝2，解方程可得出答案；
（2）两个不相等实数根结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即
可得出m 的取值范围，则可得出答案．
【解答】解：（1）当x＝0 时，0+0+m﹣2＝0
∴m＝2，
∴x2+2x＝0，
∴x＝0 或x＝﹣2，
即方程的另一根是﹣2；
（2））∵关于x 的方程x2+2x+m﹣2＝0 有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4（m﹣2）＝﹣4m+12＞0，
∴m＜3，
∵m 为正整数，
∴m＝1，2．
20．【分析】（1）连接AC，根据AB＝BC＝2，∠B＝60°，得出△ABC 是等边三角形，求得AC＝
2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形BDC 是直角三角形，从而求得∠BCD＝150°；
（2）根据四边形的面积等于三角形ABC 和三角形ACD 的和即可求得．
【解答】解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝2，∠B＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
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∴AC＝2，∠ACB＝60°，
∵AD＝2
，CD＝4，
则AC2+CD2＝22+42＝20，AD2＝（2
）2＝20，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝150°；
（2）S＝S△ABC+S△ACD＝
BC•
BC+
AC•CD＝
×2×
×2+
×2×4＝4+
．
21．【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）根据要求作出图形即可．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，正方形ABCD 即为所求作．
（2）如图，△ABC 即为所求作．
（3）S△ABC＝
×5×2＝5，
故答案为：5．
22．【分析】（1）根据一周的销售量＝500﹣10×单价上涨的金额，即可得出y 与x 的函数关系
式；
（2）利用一周的销售利润＝每件的销售利润×一周的销售量，即可得出关于x 的一元二次
方程，解之即可得出x 的值，再结合超市对该种商品投入不超过5000 元，即可确定结论．
【解答】解：（1）依题意得：y＝500﹣10（x﹣30）＝﹣10x+800（x≥30）．
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（2）依题意得：（x﹣20）（﹣10x+800）＝8000，
整理得：x2﹣100x+2400＝0，
解得：x1＝40，x2＝60．
当x＝40 时，20（﹣10x+800）＝8000（元），8000＞5000，不合题意，舍去；
当x＝60 时，20（﹣10x+800）＝4000（元），4000＜5000，符合题意．
答：销售单价应定为60 元．
23．【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，由角的数
量关系可证CD⊥BE；
（2）由勾股定理可得BC2+DE2＝BD2+CE2，即可求解．
【解答】解：（1）CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：
∵等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE，
∴AB＝DA，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC 和△ABE 中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠ADC+∠BDC+∠ABD＝90°，
∴∠ABE+∠CDB+∠ABD＝90°，
∴∠BFD＝90°，
∴CD⊥BE；
（2）∵AB＝3，AC＝5，∠ABC＝90°，
∴BC＝
＝
＝4，
∵等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE，
∴BD＝
AB＝3
，CE＝
AC＝5
，
∵CD⊥BE，
∴BC2＝CF2+BF2，BD2＝BF2+DF2，CE2＝CF2+EF2，DE2＝DF2+EF2，
∴BC2+DE2＝BD2+CE2，
∴16+DE2＝18+50，
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∴DE＝2
．
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