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沪科版八年级下册数学期末试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．（4 分）下列根式为最简二次根式的是（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（4 分）下列四组数据中不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A．3，4，5
B．13，14，15
C．1，
，2
D．8，15，17
3．（4 分）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2＝0 时，原方程可变形为（ ）
A．（x+1）2＝2
B．（x﹣1）2＝2
C．（x+1）2＝3
D．（x﹣1）2＝3
4．（4 分）下列二次根式中，与
是同类二次根式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）一个多边形的内角和是外角和的4 倍，这个多边形的边数是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
6．（4 分）某班篮球爱好小组10 名队员进行定点投篮练习，每人投篮20 次，将他们投中的次
数进行统计，制成如表：
投中次数
12
13
15
16
17
18
人数
1
2
3
2
1
1
则关于这10 名队员投中次数组成的数据，下列说法错误的是（ ）
A．平均数为15
B．中位数为15
C．众数为15
D．方差为5
7．（4 分）在▱ABCD 中，下列说法不正确的是（ ）
A．若点M 是BC 的中点，∠MAD＝∠MDA，则▱ABCD 是矩形
B．若∠BAC＝∠DAC，则▱ABCD 是菱形
C．若点E、F 分别是AB、CD 的中点，且AF＝DE，则▱ABCD 是矩形
D．若边AB、BC、CD、DA 的中点分别为P、Q、H、I 且PQ＝QH＝HI＝IP，则▱ABCD 是菱
形
8．（4 分）元旦来临前，某商场将一件原价为a 元的衬衫以一个给定的百分比提升价格，元旦
那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格比原
价降低了0.16a 元，则这个给定的百分比为（ ）
A．16%
B．36%
C．40%
D．50%
9．（4 分）如图，点E 在▱ABCD 边AB 上，点F、G 两点在边CD 上，若AF 与DE 相交于M 点，
AG 与DE 相交于N 点，则下列三角形面积的大小关系正确的是（ ）
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1
A．S△AEF＞S△AEG，S△AMD＞S△NEG
B．S△AEF＜S△AEG，S△AMD＜S△NEG
C．S△AEF＝S△AEG，S△AMD＞S△NEG
D．S△AEF＝S△AEG，S△AMD＜S△NEG
10．（4 分）如图，l1∥l2∥l3，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C 分别为l1，l2，l3上的动点，
连接AB、AC、BC，AC 与l2交于点D，∠ABC＝90°，则BD 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11．（5 分）若
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
12．（5 分）若关于x 的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0 的一个实数根是x＝3，则m 的值为
．
13．
（5 分）如图，△ABC 与△ADE 均是等腰直角三角形，点B，C，D 在同一直线上，AB＝AC＝
2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，则CD＝ ．
14．（5 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＞BC，点D 为边AC 上一点，连接BD，将
△ABD 沿BD 翻折得△BDE，连接CE，
（1）若DE⊥AC，则∠BDC 的度数为 °；
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2
（2）若四边形BDEC 是平行四边形，AC＝4，则AB＝ ．
三、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．（8 分）计算：（
+1）2﹣
+（﹣2）2
16．（8 分）解方程：2x2﹣4x＝15．
四、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．（8 分）先化简，再求值：
，其中
．
18．
（8 分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC⊥BD 于点O，过点D 作DE∥AC 交
BC 的延长线于点E，且BC＝CE．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若OD＝DE，OC＝1，求菱形ABCD 的周长．
五、（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．（10 分）已知：关于x 的方程2x2+kx+k﹣3＝0．
（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若k＝5，请解此方程．
20．（10 分）观察下列等式：
第1 个等式：
；
第2 个等式：
；
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3
第3 个等式：
；
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4 个等式： ；
（2）写出你猜想的第n 个等式： （用含n 的式子表示），并证明．
六、（本题满分12 分）
21．（12 分）春季是传染病的高发期，某校为了调查学生对传染病预防知识的了解情况，从全
校学生中随机抽取了部分学生进行相关知识的测试，并将测试成绩（x）分为五个等级：A
（90≤x≤100），B（80≤x＜90），C（70≤x＜80），D（60≤x＜70），E（50≤x＜60），整理后分
别绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（部分信息不完整）．
（1）求测试等级为C 的学生人数，并补全频数分布直方图；
（2）求扇形统计图中等级为B 所对应的扇形圆心角的度数；
（3）若全校1200 名学生都参加测试，请根据抽样测试的结果，估计该校测试不低于80 分
的学生有多少人？
七、（本题满分12 分）
22．（12 分）合肥百货大楼以进价120 元/件购进某种新商品，在5 月份试销阶段发现，在售价
不低于130 元的情况下每件售价（元）与商品的日销量（件）始终存在如表中的数量关系：
每件销售
价格/元
130
135
140
…
180
…
日销售
量/件
70
65
60
…
a
…
（1）请你观察表格中数据的变化规律，填写表中的a 值为 ．
（2）若百货大楼该商品柜组想日盈利达到1600 元，应将售价定为多少元？
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4
（3）柜组售货员小李发现销售该种商品m 件与n 件的利润相同，且m≠n，请直接写出m
与n 所满足的关系式．
八、（本题满分14 分）
23．（14 分）在▱ABCD 中，点M 为AB 的中点．
（1）如图1，若∠A＝90°，连接DM 且∠BMD＝3∠ADM，试探究AB 与BC 的数量关系；
（2）如图2，若∠A 为锐角，过点C 作CE⊥AD 于点E，连接EM，∠BME＝3∠AEM，
①求证：AB＝2BC；
②若EA＝EC，求
的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A 选项，2
是最简二次根式，符合题意；
B 选项，原式＝
，不是最简二次根式；
C 选项，原式＝
，不是最简二次根式；
D 选项，原式＝2
，不是最简二次根式；
故选：A．
2．【分析】利用勾股定理逆定理进行分析即可．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项不合题意；
B、132+142≠152，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、12+（
）2＝22，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、82+152＝172，能构成直角三角形，故此选项不合题意．
故选：B．
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5
3．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后
即可．
【解答】解：∵x2+2x＝2，
∴x2+2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，
故选：C．
4．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．
【解答】解：A.
与
的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B.
，与
不是同类二次根式；
C.
，与
被开方数相同，故是同类二次根式；
D.
，与
被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选：C．
5．【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为360°即可列出
关于n 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得：（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得：n＝10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：C．
6．【分析】依次根据加权平均数、中位数、众数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的平均数为
＝15，故A 选项正确，
不符合题意；
将数据从小到大排列，第5 第6 个数都是15，中位数为
＝15，故B 选项正确，不符
合题意；
15 出现的次数最多，众数为15，故C 选项正确，不符合题意；
方差为
×[（12﹣15）2+2×（13﹣15）2+3×（15﹣15）2+2×（16﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）
2]＝3.2，故D 选项错误，符合题意；
故选：D．
7．【分析】依据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定以及中点四边形，对四个选项进
行判断，即可得出结论．
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6
【解答】解：A．如图所示，∵点M 是BC 的中点，
∴BM＝CM，
又∵平行四边形ABCD 中，AB＝DC，∠MAD＝∠MDA，
∴△ABM 与△DCM 全等，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴平行四边形ABCD 是矩形，故本选项正确；
B．如图所示，∵平行四边形ABCD 中，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠DAC＝∠ACB，
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD 是菱形，故本选项正确；
C．如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB＝DC，
∵点E、F 分别是AB、CD 的中点，
∴AE＝DF，
又∵DE＝AF，AD＝DA，
∴△ADE 与△DAF 全等，
∴∠DAE＝∠ADF，
又∵∠DAB+∠ADF＝180°，
∴∠DAE＝∠ADF＝90°，
∴平行四边形ABCD 是矩形，故本选项正确；
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7
D．如图所示，∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC，
又∵边AB、BC、CD、DA 的中点分别为P、Q、H、I，
∴AI＝DI＝BQ＝CQ，AP＝DH＝PB＝HC，
又∵PQ＝QH＝HI＝IP，
∴△API≌△DHI≌△BPQ≌△CHQ，
∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C，
又∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠A＝∠D＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD 是矩形，故本选项错误；
故选：D．
8．【分析】设这个给定的百分比为x，根据“衬衫的价格比原价降低了0.16a 元”列出方程求
解即可．
【解答】解：设这个给定的百分比为x，根据题意得，
a（1+x）（1﹣x）＝a﹣0.16a，
解得x1＝0.4，x2＝﹣0.4（舍去），
即这个给定的百分比为40%．
故选：C．
9．【分析】根据平行四边形性质和平行线间距离相等的性质，可得S△AEF＝S△AED＝S△AEG，再
结合S△AED＝S△AEM+S△AMD，S△AEG＝S△AEN+S△NEG，S△AEM＞S△AEN，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AEF、△AEG、△AED 的边AE 上的高相等，
∴S△AEF＝S△AED＝S△AEG，
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8
∴S△AEM+S△AMD＝S△AEN+S△NEG，
∵S△AEM＞S△AEN，
∴S△AMD＜S△NEG，
故选：D．
10．【分析】求BD 的最小值可以转化为求点B 到直线AC 的距离，当BD⊥AC 时，BD 有最小
值，根据题意求解即可．
【解答】解：由题意可知当BD⊥AC 时，BD 有最小值，
此时，AD＝CD，∠ABC＝90°，
∴BD＝AD＝BD＝
AC＝2，
∴BD 的最小值为2．
故选：A．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11．【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．
【解答】解：∵使
在实数范围内有意义，
∴2x﹣6≥0，
解得x≥3．
故答案为：x≥3．
12．【分析】将方程的解代入原方程求解．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0 的一个实数根是x＝3，
∴2×32﹣3×3+m＝0，
解得：m＝﹣9，
故答案为：﹣9．
13．【分析】由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，在
Rt△ECD 中，由勾股定理可求CD 的长．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，AD＝AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴BC＝
AB＝2
，DE＝
AE＝3
，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝45°＝∠ACB，
在△BAD 和△CAE 中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
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9
∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE＝45°，
∴∠ECB＝∠ECD＝90°，
∴DE2＝EC2+CD2，
∴18＝（2
+CD）2+CD2，
解得：CD＝
﹣
，CD＝﹣
﹣
（不合题意舍去），
故答案为：
﹣
．
14．【分析】（1）由翻折的性质可得△ABC≌△BDE，由此可证得90°+∠CDB＝∠ADB＝180°
﹣∠CDB，即可求∠CDB；
（2）由已知可得∠CDB＝∠CBD，则CD＝BC，进一步得到ED＝AD＝BD＝CB＝CD，所以
AC＝2BC，在Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝2，勾股定理可求AB＝2
．
【解答】解：（1）∵△ABD 沿BD 翻折得△BDE，
∴△ABC≌△BDE，
∴∠EDB＝∠ADB，
∵DE⊥AC，
∴∠EDC＝90°，
∴90°+∠CDB＝∠ADB＝180°﹣∠CDB，
∴2∠CDB＝90°，
∴∠CDB＝45°，
故答案为45°；
（2）∵四边形BDEC 是平行四边形，
∴ED∥BC，
∴∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠ADB+∠CDB＝180°，
∵∠EDB＝∠ADB，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝BC，
∵ED＝BC，
∴ED＝AD＝CB＝CD，
∵∠A+∠ACB＝90°，∠A＝∠DEB，∠ACB＝∠EDC，
∴∠EOD＝90°，
∵EO＝BO，
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10
∴△EBD 是等腰三角形，
∴ED＝BD，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC 中，AC＝4，
∴BC＝2，
∴AB＝2
，
故答案为2
．
三、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．【分析】先根据完全平方公式、二次根式的性质、乘方的运算法则计算，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝2+2
+1﹣2
+4＝7．
16．【分析】利用配方法解一元二次方程．
【解答】解：2x2﹣4x＝15，
二次项系数化1，得：x2﹣2x＝
，
配方，得：x2﹣2x+1＝
+1，
（x﹣1）2＝
，
∴x﹣1＝±
，
∴x1＝
，x2＝
．
四、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：原式＝a2﹣3﹣a2+6a＝6a﹣3，
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当a＝
时，
原式＝6
+3﹣3＝6
．
18．【分析】（1）先证明四边形ACED 是平行四边形，进而可证明四边形ABCD 是平行四边形，
再由AC⊥BD，即可证得结论；
（2）根据四边形ACED 是平行四边形，可得出AC＝DE，进而可推出OD＝AC，再利用菱形
性质和勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，DE∥AC，
∴四边形ACED 是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵BC＝CE，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴▱ABCD 是菱形；
（2）由（1）知，四边形ACED 是平行四边形，
∴AC＝DE，
∵OD＝DE，
∴OD＝AC，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA＝OC＝1，
∴OD＝AC＝2，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝
＝
＝
，
∴菱形ABCD 的周长＝4CD＝4
．
五、（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．【分析】（1）由Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0 可得结论；
（2）将k＝5 代入方程得2x2+5x+2＝0，利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0，
∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
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（2）当k＝5 时，原方程为：2x2+5x+2＝0，
∴（2x+1）（x+2）＝0，
∴
，x2＝﹣2．
20．【分析】（1）根据数字规律求解；
（2）根据数字规律及二次根式的性质计算．
【解答】解：（1）由题意：
第1 个等式：
，
第2 个等式：
，
第3 个等式：
，
第4 个等式：
，
∴第4 个等式为：
，
故答案为：
；
（2）由（1）可得：
第n 个等式为：
，
证明：左边＝
，
左边＝右边，
∴等式成立．
故答案为：
．
六、（本题满分12 分）
21．【分析】（1）根据D 等级的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它成绩的
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人数，求出C 等级的人数，从而补全统计图；
（2）用360°乘以等级B 所占的百分比即可；
（3）用总人数乘以不低于80 分人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）调查的总人数有：25÷12.5%＝200（人），
测试等级为C 的学生人数有：200﹣15﹣25﹣80﹣32＝48（人），补全统计图如下：
（2）扇形统计图中等级为B 所对应的扇形圆心角的度数是：360°×
＝144°；
（3）1200×
＝672（人），
答：估计该校测试不低于80 分的学生有672 人．
七、（本题满分12 分）
22．【分析】（1）由130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200 可知每件的售价与产品的日销
量之和为200，然后求出a；
（2）设每件产品定价为x 元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）元，根据该商品柜组想
日盈利达到1600 元列出方程求解；
（3）当销售该种商品m 件时，定价为：（200﹣m）元，销售该种商品n 件时，定价为：（200﹣
n）元，然后由利润相等列出关系式，得出m、n 的关系．
【解答】解：（1）∵130+70＝200，135+65＝200，140+60＝200，
∴每件的售价与产品的日销量之和为200，
∴a＝200﹣180＝20，
故答案为：20；
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.（2）由（1）知：当每件产品每涨价1 元时，日销售量减少1 件，
设每件产品定价为x 元（x＞120），则产品的日销量为（200﹣x）件，
依题意得：（x﹣120）（200﹣x ）＝1600，
整理得：x2﹣320x+25600＝0，
解得：x1＝x2＝160．
答：每件产品定价为160 元时，每日盈利可达到1600 元；
（3）由（1）知：当每件产品每涨价1 元时，日销售量减少1 件，
∴当销售该种商品m 件时，定价为：（200﹣m）元，
销售该种商品n 件时，定价为：（200﹣n）元，
由题意得：（200﹣m﹣120）m＝（200﹣n﹣120）n，
整理得：（m﹣n）（m+n﹣80）＝0，
∵m≠n，
∴m+n﹣80＝0，
即m+n＝80．
八、（本题满分14 分）
23．
【分析】（1）由∠BMD＝3∠ADM，可得∠A＝2∠ADM，∠ADM＝45°，从而△ADM 是等腰
直角三角形，AD＝AM，根据四边形ABCD 是平行四边形，M 是AB 中点，即得BC＝
AB；
（2）①取CD 的中点N，连接MN 并延长交CE 于F，先证明四边形AMND、四边形BCNM
是平行四边形，可得EF＝CF，根据CE⊥AD 于点E，可得MF 是CE 的垂直平分线，从而
∠EMF＝∠CMF，设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，由∠BME
＝3∠AEM，即可得∠BMC＝∠MCB＝α，AB＝2BC；
②设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），Rt△CDE 中，ED2+EC2＝CD2，
有x2+y2＝4（y﹣x）2，解得x＝
y 或x＝
y，即可得
＝
．
【解答】解：（1）BC＝
AB，理由如下：
∵∠BMD＝3∠ADM，
∴∠A+∠ADM＝3∠ADM，
∴∠A＝2∠ADM，
∵∠A＝90°，
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∴∠ADM＝45°，
∴△ADM 是等腰直角三角形，
∴AD＝AM，
∵四边形ABCD 是平行四边形，M 是AB 中点，
∴AD＝BC，AM＝
AB，
∴BC＝
AB；
（2）①取CD 的中点N，连接MN 并延长交CE 于F，如图：
∵四边形ABCD 是平行四边形，M 是AB 中点，N 是CD 的中点，
∴DN＝CN＝
CD＝
AB＝AM＝BM，CD∥AB，
∴四边形AMND、四边形BCNM 是平行四边形，
∴MN∥AD∥BC，
∴
＝
，∠AEM＝∠EMF，∠CMF＝∠MCB，
∴EF＝CF，
∵CE⊥AD 于点E，
∴MN⊥CE，
∴MF 是CE 的垂直平分线，
∴ME＝MC，
∴∠EMF＝∠CMF，
设∠AEM＝α，则∠EMF＝∠CMF＝∠MCB＝α，∠EMC＝2α，
∵∠BME＝3∠AEM，
∴∠BME＝3α，
∴∠BMC＝∠BME﹣∠EMC＝α，
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16
∴∠BMC＝∠MCB＝α，
∴BC＝BM＝
AB，
∴AB＝2BC；
②如图：
由①知：AB＝2BC，
∴CD＝2AD
设ED＝x，EC＝y，则EA＝y，AD＝y﹣x，CD＝2（y﹣x），
Rt△CDE 中，ED2+EC2＝CD2，
∴x2+y2＝4（y﹣x）2，
化简整理得：3x2﹣8xy+3y2＝0，
解得x＝
y 或x＝
y，
∵DE＜AE，
∴x＝
y，
∴
＝
，即
＝
．
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