文档文本内容
浙教版九年级上册数学期末试卷
一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）
1．下列图形是中心对称图形的有几个？（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．若a 是方程x2﹣x﹣1＝0 的一个根，则﹣a3+2a+2020 的值为（ ）
A．2020
B．﹣2020
C．2019
D．﹣2019
3．如图是某小组做用频率估计概率“的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一
结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．掷一枚均匀的正六面体骰子，出现3 点朝上
4．如图，PA、PB 分别与⊙O 相切于A、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC、BC，若∠P＝78°，
则∠ACB 的度数为（ ）
A．102°
B．51°
C．41°
D．39°
5．某厂家2020 年1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从2 月份到4 月份，该厂家口罩产量的
平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461
B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442
D．368（1+x）2＝442
6．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为4cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．10cm2
B．10πcm2
C．20cm2
D．20πcm2
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝
x﹣1 分别交x 轴，y 轴于点A 和点B，分别交
反比例函数y1＝
（k＞0，x＞0），y2＝
（x＜0）的图象于点C 和点D，过点C 作CE⊥x 轴于
点E，连结OC，OD，若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣
（x+3）2+k 经过坐标原点O，与x 轴的另一个交
点为A．过抛物线的顶点B 分别作BC⊥x 轴于点C、BD⊥y 轴于点D，则图中阴影部分图形的面
积和为（ ）
A．18
B．12
C．9
D．6
9．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在CD 边上，DE＝1，△ADE 与△AFE 关于AE 所在直线对称，
将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG，则FG 的长为（ ）
A．5
B．
C．
D．4
10．七年级五个班的班长因为参加校会而没有看年级的乒乓球比赛．年级辅导员让他们猜比赛的
结果.1 班班长猜：2 班第三，3 班第五；2 班班长猜：1 班第一，5 班第四；3 班班长猜：5 班第
四，4 班第五；4 班班长猜：3 班第一，2 班第二；5 班班长猜：1 班第三，4 班第四．辅导员说，
每班的名次都至少被一人说对，那么1～5 班的名次依次是（ ）
A．1、2、3、4、5 B．3、2、1、5、4 C．1、3、2、5、4 D．3、2、1、4、5
二．填空题（共6 小题，满分30 分，每小题5 分）
11．如图，已知A（
，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝
图象上的两点，动点P（x，0）在x
轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 ．
12．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，
连结C′B、BB′．若AC＝2，则BC′＝ ．
13．已知实数x 满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020 的值为 ．
14．一只不透明的袋子里装有4 个黑球，2 个白球．每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意
模出1 个球，是黑球”的事件类型是 （填“随机事件”“不可能事件”或“必然事
件”）．
15．如图，△ABC 为等边三角形，D 为AB 上一点，点E 为CD 延长线上一点，CE＝CB，连接BE 并延
长交CA 的延长线于点F，若AD＝3，CF＝7，则CD＝ ．
16．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥
洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为
m．
三．解答题（共8 小题，满分80 分）
17．已知二次函数y＝x2﹣2x+1，求3≤x≤5 范围内y 的最小值．
18．有A、B 两个口袋，A 口袋中装有两个分别标有数字2，3 的小球；B 口袋中装有三个分别标有
数字﹣1，4，﹣5 的小球．小明先从A 口袋中随机取出一个小球，用m 表示所取球上的数字，
再从B 口袋中随机取出两个小球，用n 表示所取球上的数字之和．
（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的三个小球的所有可能结果；
（2）求
的值是整数的概率．
19．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使圆心O 在BC 边，且⊙O 经过A，B 两点（不写作法，保留作图痕
迹）；
（2）连接AO，求证：AO 平分∠CAB．
20．某地区2018 年投入教育经费2000 万元，2020 年投入教育经费2880 万元．
（1）求2018 年至2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021 年该地区将投入教育经费多少万元．
21．在⊙O 中，直径AB⊥弦CD 于点F，点E 是弧AD 上一点，连BE 交CD 于点N，点P 在CD 的延长
线上，PN＝PE．
（1）求证：PE 是⊙O 的切线；
（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN 的长．
22．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+2 和双曲线y＝
相交于A、B 两点．
（1）连结AO、BO，求出△AOB 的面积．
（2）已知点E 在双曲线y＝
上且横坐标为1，作EF 垂直于x 轴垂足为F，点H 是x 轴上一点，
连结EH 交双曲线于点I，连结IF 并延长交y 轴于点G，若点G 坐标为（0，﹣
），请求出H 点
的坐标．
（3）已知点M 在x 轴上，点N 是平面内一点，以点O、E、M、N 为顶点的四边形是菱形，请你
直接写出N 点的坐标．
23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）．
（1）求证：抛物线总与x 轴有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x 轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）且AB＝2，求此抛物线的解析式；
（3）已知x 轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段
CD 有交点，请写出m 的取值范围．
24．如图，点P 在y 轴的正半轴上，⊙P 交x 轴于B、C 两点，交y 轴于点A，以AC 为直角边作等
腰Rt△ACD，连接BD 分别交y 轴和AC 于E、F 两点，连接AB．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD 的长；
（3）当⊙P 的大小发生变化而其他条件不变时，
的值是否发生变化？若不发生变化，请求
出其值；若发生变化，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10 小题，满分40 分，每小题4 分）
1．解：从左到右第一、第二、第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形．
故选：C．
2．解：∵a 是方程x2﹣x﹣1＝0 的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
故选：C．
3．解：A、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是
＝0.5，故本选项错误；
B、从一个装有2 个红球和1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率是
≈0.33，故本
选项正确；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是
＝0.25，故本
选项错误；
D、掷一个正六面体的骰子，出现3 点朝上的频率约为：
≈0.17，故本选项错误；
故选：B．
4．解：连接OA、OB，
∵PA、PB 分别与⊙O 相切于A、B 两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣78°＝102°，
∴∠ACB＝
∠AOB＝
×102°＝51°．
故选：B．
5．解：从2 月份到4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180
（1+x）2＝461，
故选：B．
6．解：圆锥的侧面积＝2π×4×5÷2＝20πcm2．
故选：D．
7．解：由题意可求B（0，﹣1），
∵直线y＝
x﹣1 与y1＝
交于点C，
∴S△OCE＝
k，
设D（x，
），
∴S△BOD＝
×1×（﹣x）＝﹣
x，
∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，
∴
k＝﹣
x，
∴k＝﹣x，
∴D（﹣k，﹣2），
∵D 点在直线y＝
x﹣1 上，
∴﹣2＝﹣
k﹣1，
∴k＝2，
故选：C．
8．解：把（0，0）代入y＝﹣
（x+3）2+k，得﹣
（0+3）2+k＝0，
解得k＝6，
∴抛物线解析式为y＝﹣
（x+3）2+6，
∴B 点坐标为（﹣3，6），
∵BC⊥x 轴于C，
∴图中阴影部分图形的面积和＝S 矩形OCBD＝3×6＝18．
故选：A．
9．解：如图，连接BE，
∵△AFE 与△ADE 关于AE 所在的直线对称，
∴AF＝AD，∠EAD＝∠EAF，
∵△ADE 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABG，
∴AG＝AE，∠GAB＝∠EAD．
∴∠GAB＝∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF＝∠BAF+∠EAF．
∴∠GAF＝∠EAB．
在△GAF 和△EAB 中，
，
∴△GAF≌△EAB（SAS）．
∴FG＝BE，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4．
∵DE＝1，
∴CE＝3．
在Rt△BCE 中，BE＝
＝
＝5，
∴FG＝5，
故选：A．
10．解：如图所示：
一班名次
二班名次
三班名次
四班名次
五班名次
一班班长猜
3
5
二班班长猜
1
4
三班班长猜
5
4
四班班长猜
2
1
五班班长猜
3
4
正确结果
∵每班的名次都至少被他们中的一人说对了，
∴五班名次一定是第4，
∴四班名次为第5，
进而可知三班名次为第1，
一班名次为第3，
二班名次为第2．
综上所述：1～5 班的名次依次是：3、2、1、5、4．
故选：B．
二．填空题（共6 小题，满分30 分，每小题5 分）
11．解：∵把A（
，y1），B（2，y2）代入反比例函数y＝
得：y1＝2，y2＝
，
∴A（
，2），B（2，
）．
在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，
∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA﹣PB＝AB，
即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，
设直线AB 的解析式是y＝ax+b（a≠0）
把A、B 的坐标代入得：
，
解得：
，
∴直线AB 的解析式是y＝﹣x+
，
当y＝0 时，x＝
，即P（
，0）；
故答案为：（
，0）．
12．解：如图，延长BC'交AB'于点H，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴AB＝2
，
∵将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，
∴AB＝AB′＝2
，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA＝60°，BB′＝BA；
在△BB′C′与△BAC 中，
，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′＝∠ABC′＝30°，且AB＝BB'，
∴BH⊥AB'，AH＝B'H＝
，
∴BH＝
AH＝
，
∵AC'＝B'C'，∠AC'B'＝90°，C'H⊥AB'
∴AH＝C'H＝
，
∴BC'＝BH﹣C'H＝
﹣
，
故答案为：
﹣
．
13．解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x
）2﹣
≥
，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3 或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴
原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
14．解：∵袋子里装有4 个黑球，2 个白球，
∴从中任意模出1 个球，可能是黑球，有可能是白球，
∴事件“从中任意模出1 个球，是黑球”的事件类型是随机事件，
故答案为：随机．
15．解：以点C 为圆心，CA 为半径作⊙C，在AC 上截取AG＝BD，设∠ABE＝α，
∴点A、E、B 都在⊙C 上，
∴∠ACE＝2∠ABE＝2α，∠BCE＝60°﹣2α，
∵AG＝BD，∠BAG＝60°＝∠CBD，AB＝BC，
在△ABG 和△BCD 中，
，
∴△ABG≌△BCD，
∴BG＝CD，∠ABG＝∠BCD＝60°﹣2α，
∴∠FBG＝∠ABE+∠ABG＝60°﹣α，
又∵∠F＝∠BAC﹣∠ABF＝60°﹣α，
∴∠FBG＝∠F，
∴BG＝FG，
∴CD＝FG，
∵BD＝AG，AB＝AC，
∴CG＝AC﹣AG＝AB﹣BD＝AD＝3，
∴FG＝CF﹣CG＝4，
∴CD＝4．
故答案为4．
16．解：如图：
以水面为x 轴、桥洞的顶点所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y＝ax2+5，
把A（5，0）代入，得a＝﹣
，
所以抛物线解析式为：y＝﹣
x2+5，
当x＝3 时，y＝
，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为
m．
故答案为
．
三．解答题（共8 小题，满分80 分）
17．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大，
∴当3≤x≤5 时，x＝3 时，取得最小值，此时y＝32﹣2×3+1＝4，
即3≤x≤5 范围内y 的最小值是4．
18 ．解：（1 ）用树状图表示取出的三个小球上的数字所有可能结果如下：
∴共有12 种等可能的情况；
（
2
）
由
树
状
图
可
知
，
所
有
可
能
的
值
分
别
为
：
，
共有12 种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中
的值是整数的情况有6 种．
所以
的值是整数的概率P＝
．
19．（1）解：如图，⊙O 为所作；
（2）证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
而∠CAB＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠CAO＝∠BAO＝30°，
∴OC 平分∠CAB．
20．解：（1）设2018 年至2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018 年至2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2880×（1+20%）＝3456（万元）．
答：预计2021 年该地区将投入教育经费3456 万元．
21．（1）证明：连接OE，如图1 所示：
∵PN＝PE，
∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE．
∵AB⊥CD，
∴∠OBE+∠BNF＝90°，
∴∠OEB+∠PEN＝90°，
即∠OEP＝90°，
∴PE⊥OE，
∴PE 是⊙O 的切线．
（2）解：连接CE，如图2 所示：
∵DE∥AB，AB⊥CD，
∴∠EDC＝90°
∴CE 为⊙O 的直径．
∵AB⊥CD，
∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．
∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，
∴CD＝
＝
＝8，
由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．
在Rt△PDE 和Rt△PCE 中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，
即x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得：x＝
，
∴PD＝
．
∴PE＝
＝
＝
，
∴PN＝PE＝
．
22．解：（1）如图1 中，设AB 交y 轴于C．
由
，解得
或
，
∴A（2，4），B（﹣4，﹣2），
∵直线AB 交y 轴于C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△OCB＝
×2×2+
×2×4＝6．
（2）如图2 中，
由题意E（1，8），F（1，0），
∵G（0，﹣
），
∴直线FG 的解析式为y＝
x﹣
，
由
，解得
或
，
∴I（
，
），
∴直线EH 的解析式为y＝
x+
令y＝0，解得x＝
，
∴H（
，0）．
（3）如图3 中，
∵E（1，8），
∴OE＝
＝
，
当OM1是菱形的对角线时，E，N1关于x 轴对称，可得N1（1，﹣8）．
当OM 为菱形的边时，可得N2（1+
，8），N4（1﹣
，8）．
当OE 为菱形的对角线时，连接M3N3交OE 于T，EN3交y 轴于P．
∵M3N3⊥OE，
∴∠OTM3＝90°，
∵∠POE＝∠TM3O，
∴sin∠POE＝sin∠OM3T，
∴
＝
，
∴OM3＝
，
∴M3（
，0），
∵TN3＝TM3，T（
，4），
∴可得N3（﹣
，8），
综上所述，满足条件的点N 的坐标为（1，﹣8）或（1+
，8）或（1﹣
，8）或（﹣
，
8）．
23．（1）证明：△＝64m2﹣4m•（16m﹣1）
＝4m，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴抛物线总与x 轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1＝0 的两根，
∴x1+x2＝
＝8，x1•x2＝
，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＝4，
∴82﹣4•
＝4，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝
＝4，
∵抛物线开口向上，
∴当x＝2，y≥0 时，抛物线与线段CD 有交点，
∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，
∴m≥
．
24．（1）证明：∵OA⊥BC，且OA 过圆心点P，
∴OB＝OC，
在△AOB 和△AOC 中，
，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴AB＝AC，
∵以AC 为直角边作等腰Rt△ACD，
∴AD＝AC，
∴AB＝AD；
（2）如图1，过点A 作AM⊥BD 于M，
由（1）知，AB＝AD，
∴DM＝
BD，
∵BF＝4，DF＝6，
∴BD＝10，
∴DM＝5，
∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA，
∴△ADM∽△FDA，
∴
，
∴
，
∴AD＝
，
在等腰直角三角形ADC 中，CD＝
AD＝2
；
（3）
的值是不发生变化，
理由：如图2，过点D 作DH⊥y 轴于H，作DQ⊥x 轴于Q，
∴∠AHD＝90°＝∠COA，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠CAO+∠DAH＝90°，
∴∠ADH＝∠CAO，
∵AD＝AC，
∴△ADH≌△ACO（AAS），
∴DH＝AO，AH＝OC，
∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°，
∴四边形OQDH 是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH，
又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ，
∴DQ＝BQ，
∴△DBQ 为等腰直角三角形，
∴∠DBQ＝45°，
∴∠DEH＝∠BEO＝45°，
∴sin∠DEH＝
，
∴
＝
，
∴
，
∴
．
