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北师大九年级上册数学期末试卷
一、选择题(每小题3 分，共30 分)
01．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
02．将函数y＝2x2的图象向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位，可得到的抛物线是( )
A．y＝2(x－1)2－3 B．y＝2(x－1)2＋3
C．y＝2(x＋1)2－3 D．y＝2(x＋1)2＋3
03．一个半径为2cm 的圆内接正六边形的面积等于( )
A．24cm2 B．
cm2 C．
cm2 D．
cm2
04．同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子1 次，下列事件中是不可能事件的是(
)
A．朝上的点数之和为13 B．朝上的点数之和为12
C．朝上的点数之和为2 D．朝上的点数之和小于3
05．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD 的度数为(
)
A．35° B．45° C．55° D．75° (第5 题图)
06．函数y＝－2x2－8x＋m 的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2＜－2，则( )
A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1＝y2 D.y1、y2的大小不确定
07．下列关于x 的方程中，是一元二次方程的有( )
A．
B．ax2＋bx＋c＝0 C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy
－5y2＝0
08．已知关于x 的方程x2－kx－6＝0 的一个根为x＝3，则实数k 的值为( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
09．将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影
部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为( )
A ．
B ．
C ．
D．
10．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1 的规律拼成下列图案，若第n
个图案中有2017 个白色纸片，则n 的值为( )
A．671 B．672 C．673 D．674
二、填空题(每小题4 分，共28 分)
11．若关于x 的一元二次方程x2－3x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是
初三数学 （第1页） 期末检测
第9 题图
第5 题图
第2 个
第1 个
第3 个
。
12．抛物线y＝－x2＋bx＋c 的部分图象如图所示，若y＞0，则x 的取值范围是 。
13．若a 和b 分别是一元二次方程x2－2019x＋2020＝0 的两个根，则(a2－2021a＋2020)(b2－
2021b＋2020)＝ .
14．已知一元二次方程
的两根为x1、x2，
________。
15．如图，将Rt△ABC(其中∠B＝35°，∠C＝90°)绕点A 按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，
使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角为 。
16．已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为____。
17．如图，扇形 OMN 的圆心角为45°，正方形
A1B1C1A2的边长为2，顶点A1，A2在线段OM
上，顶点B1在弧MN 上，顶点C1在线段ON
上，在边A2C1上取点B2，以A2B2为边长继续
作正方形A2B2C2A3，使得点C2在线段ON 上，
点A3在线段OM 上，……，依此规律，继续
作正方形，则A2021M＝ 。
三、解答题(每小题6 分，共18 分)
18．解方程:(x－3)2＋2(x－3)＝0
19．方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，
△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：
(1) 画出将△ABC 向右平移3 个单位后得到的△A1B1C1，再画出将△A1B1C1绕点B1按逆时针方向旋
转90°后所得到的△A2B1C2；
(2) 求线段B1C1旋转到B1C2的过程中，点C1所经过的路径长．
20．某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙(墙长20 米)，另外三边用篱笆围成如图所
示，所用的篱笆长为36 米。
(1) 设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边为_______________米；
(2) 当花圃的面积为144 平方米时，求垂直于墙的一边的长为多少米？
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（第
15
题）图
（第12 题图）
（第
19
题
图）
C3
A4
A2
A1
B2
C1
B1
N
M
A3
O
C2
B3
四．解答题(二)(每小题8 分，共24 分)
21．如图，在△ABC 中，∠C＝90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经
过点D。
(1) 求证： BC 是⊙O 切线；(2) 若BD＝5, DC＝3, 求AC 的长。
22．如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，转盘A 被均匀地分成4 等份，每份分别标上
1、2、3、4 四个数字；转盘B 被均匀地分成6 等份，每份分别标上1、2、3、4、5、6 六个数
字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
(1) 同时自由转动转盘A 与B；
(2) 转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针停
留在某一数字为止)，用所指的两个数字作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到
的积是奇数，那么乙胜(如转盘A 指针指向3，转盘B 指针指向5,3×5＝15，按规则乙胜)。
你认为这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明
理由。
23．某旅馆有客房120 间，每间房的日租金为160 元，每天都客满，经市场调查，如果一间客房
日租金每增加10 元，则客房每天少出租6 间，不考虑其他因素，请解答下列问题：
(1) 旅馆将每间房的日租金提高多少元时，客房日租金的收入为19200 元？
(2) 旅馆将每间客房的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？
五、解答题(三)(每小题10 分，共20 分)
24．如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(a≠0)与x 轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，与y 轴交于
点C．
(1) 求抛物线的函数表达式；
(2) 若矩形EFMN 的顶点F、M 在位于x 轴上方的抛物线上，一边EN 在x 轴上(如图2．设点E 的坐
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O
A
C
D
B
标为(x，0)，矩形EFMN 的周长为m，求m 的最大值及此时点E 的坐标；
(3) 在(2)的前提下(即当m 取得最大值时)，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PMN 沿直
线PN 折叠后，点M 刚好落在y 轴上？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，
请说明理由。
25．如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的
线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP。
(1) 请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？
(2) 请判断OA、OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
(3) 在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y
的最大值。
答案
一、选择题（每小题3 分，共30 分）
01-05 DDBAA 06-10 ACCAB
二、填空题（每小题4 分，共24 分）
11.
12. -3＜x＜1 13. 8080 14.
15. 125°
16. 6π 17.
三、解答题（每小题6 分，共18 分）
18.解：分解因式，得：（x-3）[（x-3）+2]=0
∴x-3=0 或 x-1=0
解得： x1=3, x2=1
19.解： （1）如图所示，△A1B1C1和△A2B1C2即为所求作。
（2）解：由（1）知：
点C1绕点B1逆时针旋转了90°，
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题25 图①
P
Q
O
D
C
B
A
B
A
P
D
C
O
Q
题25 图②
A1
B1
C2
A2
C1
∴点C1旋转到点C2的路径长为：
答：点C1绕点B1旋转到点C2的路径长为2π。
四、解答题（每小题8 分，共24 分）
20. 解：（1）（36-2x）
（2）依题意，得：
x（36-2x）=144
-2x2+36x-144=0
x2-18x+72=0
（x-6）（x-12）=0
∴x-6=0 或 x-12=0
∴x1=6，x2=12
当x=6 时，36-2x=24＞20，故x=6 （舍去）
当x=12 时，36-2x=12＜20
∴x=12
答：垂直于墙的一边的长为12 米。
21.证明：（1）连接OD.
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵AD 平分∠BAC
∴∠CAD=∠OAD
∴∠ODA=∠CAD
∴OD∥AC
∵∠C=90°
∴∠ODB=∠C=90°
∴OD⊥BC
∴BC 是⊙O 的切线。
（2）过点D 作DE⊥
AB 于点E。
∵AD 是∠BAC 的平分线，
DE⊥AB
DC⊥AC
∴DE=DC=3，AE=AC
在Rt△BED 中
BE2+DE2=BD2
设AC=x，则AB=x+4，BC=5+3=8
在Rt△ABC 中
AB2=AC2+BC2
∴（x+4）2=x2+82
∴x2+8x+16=x2+64
∴8x=48
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O
A
C
D
B
O
A
C
D
B
E
x=6
即AC=6
22.解：依题意，画树状图如下：
开 始
共有24 种等可能的结果，其中乘积为奇数的（记为事件A）有6 种。
∴这个游戏不公平。
若要使游戏公平，可把两数之积为奇（偶）数，改为两数之和为奇（偶）数，则
答：这个游戏不公平。若要使游戏公平，可把两数之积为奇（偶）数改为两数之和为奇（偶）数。
23. 解：（1）设旅馆每间客房的日租金提高x 元，依题意，得：
整理，得：x2-40x=0
解之，得：x1=0，x2=40
答：当日租金不变或提高40 元时，客房日租金总额为19200 元。
（2）设旅馆每间客房的日租金提高m 元，客房日租金的总额为y 元。依题意，得：
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4
1
1
1
2
2
2
5
2
3
3
3
5
3
6
6
4
4
4
1
1
2
3
4
5
5
6
6
∵
，∴当m=20 时，y 有最大值19440
答：旅馆每间客房的日租金提高20 元时，旅馆客房日租金的总收入最高。
24. （1）解：把A（-1,0），B（3,0）代入解析式，得：
-（-1）2+b×（-1）+c=0
-32+3b+c=0
解之，得： b=2
c=3
∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3
（2）∵抛物线y=-x2+2x+3 的对称轴为直线x=1，设对称轴与x 轴的交点为
D,则D（1，0），所以
ED=1-x，EN=2-2x
EF=MN=-x2+2x+3
∴m=EF+FM+MN+NE
=2（EF+EN）
=2（-x2+2x+3+2-2x）
=-2x2+10
∵a=-2＜0，∴当x=0 时，m 有最大值10，此时E（0,0）。
（3）由（2）得：E（0,0），F（0,3），M（2,3），N（2,0），
设存在满足条件的点P（1，y），
并设折叠后的M 的对应点为M1，
∴∠NPM=∠NPM1=90°
PM=PM1
PG=3-y，GM=1，PH=|y|，HN=1，
∵∠NPM=90°，
∴PM2+PN2=MN2
∴（3-y）2+12+y2+12=32
∴y2-3y+1=0
当点P
的坐标为
连接
PC,
∵PG 是CM 的垂直平分线，
∴PC=PM，
∵PM=PM1，
∴PC=PM=PM1，
∴∠M1CM=90°
∴点M1在y 轴上。
同理可得，当点P 的坐标
为
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N
M
O
G
C
（F
）
A
（
E
）
x
y
P
M1
H
点M1 也在y 轴上。
故
存在满足条件的点P，点P 的坐标为
25.
（1）平行四边形；
（2）OA=OP 且OA⊥OP。
证明：
由∠OBQ=45°，
易得：∠OQB=45°，
且△BOQ 为等腰直角三角形，
∴OB=OQ，
又AB=PQ=2，
∴易得△ABO≌△PQO（SAS)
∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，
∴∠AOP=∠AOB+∠BOP
=∠POQ+∠BOP
=90°
∴OA=OP 且OA⊥OP；
（3）过O 点作OE⊥BD 于E，
由题意易得：
①当点P 在点B 右侧时，
又∵0≤x≤2，
∴当x=2 时，y 有最大值2。
②如图②，当点P 在点B 左侧时，
BQ=2-x，
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题25 图①
P
Q
O
D
C
B
A
B
A
P
D
C
O
Q
题25 图②
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