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冀教版七年级下册数学期末试卷
一、选择题：（本大题共14 个小题，1～6 小题每题3 分，7～14 小题每题2 分，共34 分.在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．同旁内角都互补
C．直角的补角仍然是直角
D．对顶角相等
2．（3 分）目前世界上强大的显微镜的观测极限为0.0000000027mm，数据0.0000000027 用科
学记数法表示为（ ）
A．2.7×10﹣10
B．2.7×10﹣9
C．﹣2.7×1010
D．﹣2.7×109
3．（3 分）下列图形中，能确定∠1＝∠2 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3 分）下列因式分解正确的是（ ）
A．a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）（a+b）
B．a2﹣9b2＝（a﹣3b）2
C．a2+4ab+4b2＝（a+2b）2
D．a2﹣ab+a＝a（a﹣b）
5．（3 分）已知
是方程2x﹣ay＝3 的一组解，那么a 的值为（ ）
A．﹣1
B．3
C．﹣3
D．﹣15
6．（3 分）如图所示，△ABC 中AC 边上的高线是（ ）
A．线段DA
B．线段BA
C．线段BC
D．线段BD
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1
7．（2 分）已知三角形三边长分别为3，x，10，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．2
B．3
C．5
D．7
8．（2 分）对不等式
，给出了以下解答：
①去分母，得4（x﹣1）﹣（x+3）＞8；
②去括号，得4x﹣4﹣x+3＞8
③移项、合并同类项，得3x＞9；
④两边都除以3，得x＞3
其中错误开始的一步是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
9．（2 分）当n 为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被下列哪个数整除（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
10．（2 分）对于任意的底数a，b，当n 是正整数时，
其中，第二步变形的依据是（ ）
A．乘法交换律与结合律
B．乘法交换律
C．乘法结合律
D．乘方的定义
11．（2 分）如图，下列判断中错误的是（ ）
A．由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD
B．由AB∥CD 得到∠ABC+∠C＝180°
C．由∠1＝∠2 得到AD∥BC
D．由AD∥BC 得到∠3＝∠4
12．（2 分）已知直线AB，CB，l 在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符
合题意的图形可以是（ ）
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2
A．
B．
C．
D．
13．（2 分）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E 满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°
B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°
D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
14．（2 分）如图，是三个等边三角形随意摆放的图形，则∠1+∠2+∠3 等于（ ）
A．90°
B．120°
C．150°
D．180°
二、填空题：（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分.把答案写在题中横线上）
15．（3 分）计算：（﹣
a2b）2＝ ．
16．（3 分）长、宽分别为a、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
17．（3 分）有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3 件、乙2 件，丙1 件共需315 元钱，购甲1 件、乙
2 件、丙3 件共需285 元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元钱．
18．（3 分）若不等式组
的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2011＝ ．
19．（3 分）如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1 张，长为a、宽为b 的长方形卡片
4 张，边长为b 的正方形卡片4 张，用这9 张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方
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3
形的边长为 ．
20．（3 分）如图，△ABC 的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA 至点A1，B1，C1，使
A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长
A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2；使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，
B2，C2，得到△A2B2C2，…．按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过
次操作．
三、解答题：（本大题共6 个小题，共48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（8 分）计算：
（1）解不等式组：
，并把解集表示在数轴上；
（2）因式分解：﹣8ax2+16axy﹣8ay2．
22．（7 分）对x，y 定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a，b 均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1．已知T（1，﹣1）
＝﹣2，T（﹣3，2）＝4．
（1）求a，b 的值；
（2）利用（1）的结果化简求值：（a﹣b）2﹣（a+2b）•（a﹣2b）+2a（1+b）．
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4
23．（8 分）如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P 是射线AM 上一动点（与A 不重合），BC、BD
分别平分∠ABP 和∠PBN，交射线AM 于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）
（1）求∠CBD 的度数．
（2）当点P 运动时，那么∠APB：∠ADB 的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出
这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P 运动到使∠ACB＝∠ABD 时，求∠ABC 的度数．
24．（8 分）发现：已知△ABC 中，AE 是△ABC 的角平分线，∠B＝72°，∠C＝36°
（1）如图1，若AD⊥BC 于点D，求∠DAE 的度数；
（2）如图2，若P 为AE 上一个动点（P 不与A、E 重合），且PF⊥BC 于点F 时，∠EPF＝
°．
（3）探究：如图2△ABC 中，已知∠B，∠C 均为一般锐角，∠B＞∠C，AE 是△ABC 的角平
分线，若P 为线段AE 上一个动点（P 不与E 重合），且PF⊥BC 于点F 时，请写出∠EPF
与∠B，∠C 的关系，并说明理由．
25．（8 分）某商场计划经销A、B 两种新型节能台灯共50 盏，这两种台灯的进价、售价如下表
所示．
价格/类型
A 型
B 型
进价（元/盏）
40
65
售价（元/盏）
60
100
（1）若该商场购进这批台灯共用去2500 元，问这两种台灯各购进多少盏？
（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400 元，
问至少需购进B 种台灯多少盏？
26．（9 分）嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
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5
问题发现
（1）他用1 张Ⅰ型、1 张Ⅱ型和2 张Ⅲ型卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据图形的面
积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；
（2）如果要拼成一个长为a+2b，宽为a+b 的大长方形，那么需要Ⅱ型卡片 张，Ⅲ
型卡片 张．
拓展探究
（3）若a+b＝5，ab＝6，求a2+b2的值；
（4）当他拼成如图③所示的长方形时，根据图形的面积，可把多项式a2+3ab+2b2分解因
式，其结果是 ．
解决问题
（5）请你依照嘉嘉的方法，画出图形并利用拼图分解因式：a2+5ab+6b2＝ ．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共14 个小题，1～6 小题每题3 分，7～14 小题每题2 分，共34 分.在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据线段定理、平行线的性质、对顶角和直角的性质判断即可．
【解答】解：A、两点之间，线段最短，是真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
C、直角的补角仍然是直角，是真命题；
D、对顶角相等，是真命题；
故选：B．
2．【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.0000000027＝2.7×10﹣9，
故选：B．
3．【分析】分别根据对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质、直角三角形的两个锐角
互余和余角的性质对四个选项进行逐一判断即可．
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【解答】解：A、∵∠1 与∠2 是对顶角，∴∠1＝∠2，故本选项符合题意；
B、若两条直线平行，则∠1＝∠2，若所截两条直线不平行，则∠1 与∠2 无法进行判断，故
本选项不符合题意；
C、∵∠1 是∠2 所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项不符合题意；
D、若已知三角形是直角三角形，则由直角三角形两锐角互余和同角的余角相等可判断出
∠1＝∠2，故本选项不符合题意．
故选：A．
4．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分别分解因式得出答案．
【解答】解：A、a（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝ （a﹣b）2，故此选项错误；
B、a2﹣9b2＝（a﹣3b）（a+3b），故此选项错误；
C、a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，正确；
D、a2﹣ab+a＝a（a﹣b+1），故此选项错误；
故选：C．
5．【分析】知道了方程的解，可以把这对数值代入方程，得到一个含有未知数a 的一元一次方
程，从而可以求出a 的值．
【解答】解：把
代入方程2x﹣ay＝3，得
2﹣a＝3，
解得a＝﹣1．
故选：A．
6．【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
【解答】解：由图可得，△ABC 中AC 边上的高线是BD，
故选：D．
7．【分析】先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出x 的取值
范围，然后根据若x 为正整数，即可选择答案．
【解答】解：∵10﹣3＝7，10+3＝13，
∴7＜x＜13，
∵若x 为正整数，
∴x 的可能取值是8，9，10，11，12 五个，故这样的三角形共有5 个．
故选：C．
8．【分析】去分母注意不要漏乘不含分母的项1，去括号注意括号前面的符号，移项也注意变
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号，不等式两边同时乘以或除以一个负数注意不等号的改变，利用这些即可求解．
【解答】解：依题意得，
②中应该4x﹣4﹣x﹣3＞8，
∴错误的是②．
故选：B．
9．【分析】先将代数式（n+1）2﹣（n﹣3）2分解因式，进而可求解．
【解答】解：（n+1）2﹣（n﹣3）2
＝（n+1+n﹣3）（n+1﹣n+3）
＝4（2n﹣2）
＝8（n﹣1），
∴当n 为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8 整除，
故选：D．
10．【分析】根据题目中的运算过程，可以发现第二步的依据是乘法交换律和结合律．
【解答】解：由题意可得，
第二步变形的依据是乘法交换律和结合律，
故选：A．
11．【分析】根据平行线的性质与判定，逐一判定．
【解答】解：A、由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
B、由AB∥CD 得到∠ABC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
C、由∠1＝∠2 得到AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确；
D、由AD∥BC 得到∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误．
故选：D．
12．【分析】根据题意画出图形即可．
【解答】解：根据题意可得图形
，
故选：C．
13．【分析】过点C 作CG∥AB，过点D 作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝
∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示
出∠C 整理即可得解．
【解答】解：如图，过点C 作CG∥AB，过点D 作DH∥EF，
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8
则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．
故选：C．
14．【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3 表示
出△ABC 各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
故选：D．
二、填空题：（本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分.把答案写在题中横线上）
15．【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣
a2b）2＝
a4b2．
故答案为：
a4b2．
16．【分析】由周长和面积可分别求得a+b 和ab 的值，再利用因式分解把所求代数式可化为
ab（a+b），代入可求得答案
【解答】解：
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∵长、宽分别为a、b 的矩形，它的周长为14，面积为10，
∴a+b＝
＝7，ab＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝10×7＝70，
故答案为：70．
17．【分析】设出购甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．
【解答】解：设购甲、乙、丙三种商品各一件，分别需要x 元、y 元、z 元，
根据题意有：
，
把这两个方程相加得：4x+4y+4z＝600，
4（x+y+z）＝600，
∴x+y+z＝150．
∴三种商品各一件共需150 元钱．
18．【分析】解出不等式组的解集，与已知解集﹣1＜x＜1 比较，可以求出a、b 的值，然后相加
求出2011 次方，可得最终答案．
【解答】解：由不等式得x＞a+2，x＜
b，
因为﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，
b＝1
所以a＝﹣3，b＝2，
因此（a+b）2011＝（﹣1）2011＝﹣1，
故答案为：﹣1．
19．【分析】先计算出这9 张卡片的总面积，其和为一完全平方式，因式分解即可求得大正方
形的边长．
【解答】解：由题可知，9 张卡片总面积为a2+4ab+4b2，
∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴大正方形边长为a+2b．
故答案为：a+2b．
20．【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求
解即可．
【解答】解：连接A1C，
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∵AB＝A1B，
∴△ABC 与△A1BC 的面积相等，
∵△ABC 面积为1，
∴S△A1BC＝1．
∵BB1＝2BC，
∴S△A1B1B＝2S△A1BC＝2，
同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C＝2，
∴S△A1B1C1＝S△C1B1C+S△AA1C+S△A1B1B+S△ABC＝2+2+2+1＝7；
同理可证△A2B2C2的面积＝7×△A1B1C1的面积＝49，
第三次操作后的面积为7×49＝343，
第四次操作后的面积为7×343＝2401．
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2021，最少经过4 次操作．
故答案为：4．
三、解答题：（本大题共6 个小题，共48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．【分析】（1）根据一元一次不等式组的解法求解即可；
（2）先提公因式﹣8a，再利用完全平方公式即可进行因式分解．
【解答】解：（1）解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜3．
在数轴上表示为：
（2）原式＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）＝﹣8a（x﹣y）2．
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22．【分析】（1）根据新定义运算法则列出方程组即可求出a 与b 的值．
（2）根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a 与b 的值代入原式即可求出答
案．
【解答】解：（1）由T（1，﹣1）＝﹣2，T（﹣3，2）＝4，
得：a﹣2b﹣1＝﹣2，﹣3a+4b﹣1＝4，
即
，
解得：
．
（2）原式＝a2﹣2ab+b2﹣（a2﹣4b2）+2a+2ab
＝a2﹣2ab+b2﹣a2+4b2+2a+2ab
＝2a+5b2．
当a＝﹣3，b＝﹣1 时，
原式＝2×（﹣3）+5×（﹣1）2＝﹣1．
23．【分析】（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得
∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得
结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝
∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC 的度数．
【解答】解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC 平分∠ABP，BD 平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
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∵BD 平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD 时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
24．【分析】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；
（2）根据平行线的性质可得结论；
（3）如图2，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠B＝72°，∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°；
又∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC＝
∠BAC＝36°，
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝36°+36°＝72°
又∵AD⊥BC 于D，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣72°＝18°．
（2）如图2，∵PF⊥BC，AD⊥BC，
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∴PF∥AD，
∴∠EPF＝∠DAE＝18°；
故答案为：18；
（3）如图2，∠EPF 与∠B，∠C 的关系：∠EPF＝
；
理由是：△ABC 中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
又∵AE 平分∠BAC，
∴∠EAC＝
∠BAC＝
，
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝90°+
﹣
∠B，
又∵AD⊥BC 于D，
∴∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣（90°+
﹣
∠B）＝
，
∵PF⊥BC，AD⊥BC，
∴PF∥AD，
∴∠EPF＝∠DAE＝
．
25．【分析】（1）首先设购进A 种新型节能台灯x 盏，B 种新型节能台灯y 盏，由题意可得两个
等量关系：①A、B 两种新型节能台灯共50 盏，②这批台灯共用去2500 元，根据等量关
系列出方程组，解方程组可得答案；
（2）设购进B 种新型节能台灯a 盏，则购进A 种新型节能台灯（50﹣a）盏，由题意可得不
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等关系：a 盏B 种新型节能台灯的利润+（50﹣a）盏B 种新型节能台灯的利润≥1400 元，
根据不等关系列出不等式，解可得答案．
【解答】解：（1）设购进A 种新型节能台灯x 盏，B 种新型节能台灯y 盏，由题意得：
，
解得：
，
答：购进A 型节能台灯30 盏，B 型节能台灯20 盏；
（2）设购进B 种新型节能台灯a 盏，则购进A 种新型节能台灯（50﹣a）盏，由题意得：
（100﹣65）a+（60﹣40）（50﹣a）≥1400，
解得：a≥26
，
∵a 表示整数，
∴至少需购进B 种台灯27 盏，
答：至少需购进B 种台灯27 盏．
26．【分析】（1）通过观察图形和面积计算可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由面积计算（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2可得共需Ⅰ型卡片1 张，Ⅱ型卡片2 张，Ⅲ型
卡片3 张；
（3）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝25﹣12＝13；
（4）由图形可得a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）
（5）由拼图（如图）可得a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）．
【解答】（1）由题意得（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由面积计算（a+2b）（a+b）
＝a2+3ab+2b2
可得共需Ⅱ型卡片2 张，Ⅲ型卡片3 张；
（3）∵（a+b）2
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＝a2+2ab+b2
可得，a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝52﹣2×6＝25﹣12
＝13；
（4）由图形可得a2+3ab+2b
＝（a+b）（a+2b）；
（5）由拼图（如图）
可得a2+5ab+6b2
＝（a+2b）（a+3b）．
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