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北师大版七年级下册数学期中试卷
一．选择题（共12 小题，满分48 分，每小题4 分）
1．计算：（﹣a）2•a4的结果是（ ）
A．a8
B．﹣a6
C．﹣a8
D．a6
2．下列四个图形中，∠1＝∠2 一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在行进路程s、速度v 和时间t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的
是（ ）
A．变量只有速度v
B．变量只有时间t
C．速度v 和时间t 都是变量
D．速度v、时间t、路程s 都是常量
4．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．5，12，13
C．4，5，10
D．3，3，6
5．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣b﹣c）（﹣b+c）
B．﹣（x+y）
（﹣x﹣y）
C．（x+y）（x﹣y）
D．（x+y）（2x﹣2y）
6．如图，点E 在射线AB 上，要AD∥BC，只需（ ）
A．∠A＝∠CBE
B．∠A＝∠C
C．∠C＝∠CBE
D．∠A+∠D＝180°
7．把一个长为5，宽为2 的长方形的长减少x（0≤x＜5），宽不变，所得长方形的面积y 关于x
的函数表达式为（ ）
A．y＝10﹣x
B．y＝5x
C．y＝2x
D．y＝﹣2x+10
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8．下列各组图形中，AD 是△ABC 的高的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如果x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，那么k 的值是（ ）
A．3
B．±6
C．6
D．±3
10．如图，AB∥CD，BE 交AD 于点E，若∠B＝18°，∠D＝32°，则∠BED 的度数为（ ）
A．18°
B．32°
C．50°
D．60°
11．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40 先出发去学校，走了一段后，在
途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽
车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则
下列说法中错误的是（ ）
A．小明家和学校距离1200 米
B．小华乘公共汽车的速度是240 米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50 与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80 米/分
12．下列说法：
（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；
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2
（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；
（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；
（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．
其中正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）
13．若一个角和它的余角相等，则这个角的补角的度数为 ．
14．10 月30 日，钟南山院士表示，从全球视角来看，第二波新冠肺炎疫情已经开始，我们切不
可掉以轻心，要做好日常防护．导致新冠肺炎的新冠病毒比细菌小很多，平均直径仅为
0.000000098m．这个数用科学记数法表示为 m．
15．如图，三角形ABC 的高AD＝4，BC＝6，点E 在BC 上运动，若设BE 的长为x，三角形
ACE 的面积为y，则y 与x 的关系式为 ．
16．△ABC 的三边长分别为1，3，x，且x 为整数，则x 的值是 ．
17．若（2x﹣a）（x+1）的积中不含x 的一次项，则a 的值为 ．
18．如图，∠BCA＝64°，CE 平分∠ACB，CD 平分∠ECB，DF∥BC 交CE 于点F，则∠CDF 的
度数为 °．
三．解答题（共9 小题，满分78 分）
19．计算：
（1）a6﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣2（y﹣1）．
20．如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F．求证：BC∥EF．
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21．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200 千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储
油45 升，当行驶150 千米时，发现油箱余油量为30 升（假设行驶过程中汽车的耗油量是
均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q 的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3 升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在
汽车报警前回到家？请说明理由．
22．△ABC 中，∠B+∠C＝2∠A，∠A：∠B＝4：5，求三角形中各角的度数．
23．先化简，再求值：
（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，其中x＝2，y＝﹣1；
（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y），其中x＝﹣2，y＝
．
24．如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN 折叠，EF 为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝40°，求∠BEF 的度数．
25．2020 年，周至县小李家的猕猴桃喜获丰收．在销售过程中，猕猴桃的销售额y（元）与销量
x（千克）满足如下关系：
销售量x（千克）
1
2
3
4
5
6
7
8
销售额y（元）
6
12
18
24
30
36
42
48
（1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
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4
（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为 ；
（3）当猕猴桃销售量为100 千克时，销售额是多少元？
26．如图①，直线l1∥l2，直线EF 和直线l1、l2分别交于C、D 两点，点A、B 分别在直线l1、l2上，
点P 在直线EF 上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P 在线段CD 上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB 的大小为
度．
探究：如图①，若点P 在线段CD 上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD 之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD
之间的数量关系．
27．观察下列各式：
1﹣
＝1﹣
＝
＝
×
；
1﹣
＝1﹣
＝
＝
×
；
1﹣
＝1﹣
＝
＝
×
；
1﹣
＝1﹣
＝
＝
×
；
…
（1）用你发现的规律填空：1﹣
＝ × ，1﹣
＝ × ；
（2）用你发现的规律进行计算：
（1﹣
）×（1﹣
）×（1﹣
）×…×（1﹣
）×（1﹣
）．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题，满分48 分，每小题4 分）
1．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（﹣a）2•a4＝a6．
故选：D．
2．【分析】根据邻补角的概念、对顶角的概念、三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A、∠1 与∠2 是邻补角，不一定相等，本选项不符合题意；
B、∵∠2 是三角形的一个外角，
∴∠2＞∠1，本选项不符合题意；
C、∵∠1 与∠2 是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项符合题意；
D、∠1 与∠2 不一定相等，本选项不符合题意；
故选：C．
3．【分析】利用常量和变量的定义解答即可．
【解答】解：在行进路程s、速度v 和时间t 的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则速度v
和时间t 是变量，行进路程s 是常量，
故选：C．
4．【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进
行进行逐一分析即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、5+12＞13，能够组成三角形，符合题意；
C、4+5＜10，不能够组成三角形，不符合题意；
D、3+3＝6，不能够组成三角形，不符合题意．
故选：B．
5．【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项
分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项
不符合题意；
B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，
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故本选项符合题意；
C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本
选项不符合题意．
故选：B．
6．【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【解答】解：要AD∥BC，只需∠A＝∠CBE，
故选：A．
7．【分析】用代数式表示出变化后长方形的长，面积即可．
【解答】解：变化后长方形的长为（5﹣x），宽为2，因此面积y＝2（5﹣x）＝﹣2x+10，
故选：D．
8．【分析】根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解
答．
【解答】解：△ABC 的高AD 是过顶点A 与BC 垂直的线段，只有D 选项符合．
故选：D．
9．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．
【解答】解：∵x2﹣kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±6．
故选：B．
10．【分析】由平行线的性质推知∠A＝∠D＝32°，然后由三角形外角性质解答．
【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠D＝32°，
∴∠A＝∠D＝32°，
∵∠B＝18°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝18°+32°＝50°．
故选：C．
11．【分析】根据已知信息和函数图象的数据，一次解答每个选项
【解答】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200 米，故A 正确；
根据图象，小华乘公共汽车，从出发到到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的
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速度为1200÷5＝240（米/分），故B 正确；
小明先出发8 分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与
小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50 相
遇，故C 正确；
小明从家到学校的时间为20 分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D 错
误．
故选：D．
12．【分析】根据三角形的分类判断即可．
【解答】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，说法正确；
（2）一个钝角三角形可能是等腰三角形，说法错误；
（3）一个等腰三角形可能是锐角三角形，说法错误；
（4）一个直角三角形可能是等腰三角形，说法错误；
故选：A．
二．填空题（共6 小题，满分24 分，每小题4 分）
13．【分析】根据互为补角的两个角的和等于180°，互为余角的两个角的和等于90°进行计算
即可得解．
【解答】解：∵一个角和它的余角相等，
∴这个角是90°÷2＝45°，
它的补角是180°﹣45°＝135°．
故答案为：135°．
14．【分析】绝对值小于1 的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数
的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n 由原数左边起第一个不为零的数
字前面的0 的个数所决定．
【解答】解：0.000000098m＝9.8×10﹣8m．
故答案为：9.8×10﹣8．
15．【分析】根据线段的和差，可得CE 的长，根据三角形的面积，可得答案．
【解答】解：由线段的和差，得CE＝6﹣x，
由三角形的面积，得
y＝
×4×（6﹣x）
化简，得y＝﹣2x+12，
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故答案为：y＝﹣2x+12．
16．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，
进行分析．
【解答】解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x 满足：3﹣1＜x＜3+1，即2＜x＜4，
∵x 为整数，
∴x＝3，
故答案为：3．
17．【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再
把所得的积相加．
【解答】解：（2x﹣a）（x+1）＝2x2+（2﹣a）x﹣a，
∵积中不含x 的一次项，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
18．【分析】根据角平分线的定义可求∠BCF 的度数，再根据角平分线的定义可求∠BCD 的
度数，再根据平行线的性质可求∠CDF 的度数．
【解答】解：∵∠BCA＝64°，CE 平分∠ACB，
∴∠BCF＝32°，
∵CD 平分∠ECB，
∴∠BCD＝16°，
∵DF∥BC，
∴∠CDF＝∠BCD＝16°．
故答案为：16．
三．解答题（共9 小题，满分78 分）
19．【分析】（1）先根据幂的乘方和积的乘方算乘方，再合并同类项即可；
（2）先根据乘法法则和平方差公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）a6﹣（a2）3﹣（﹣2a3）2
＝a6﹣a6﹣4a6
＝﹣4a6；
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（2）（y+2）（y﹣2）﹣2（y﹣1）
＝y2﹣4﹣2y+2
＝y2﹣2y﹣2．
20．
【分析】由∠A＝∠EDF 利用“同位角相等，两直线平行”可得出AC∥DF，由“两直线平
行，内错角相等”可得出∠C＝∠CGF，结合∠C＝∠F 可得出∠CGF＝∠F，再利用“内
错角相等，两直线平行”即可证出BC∥EF．
【解答】证明：∵∠A＝∠EDF（已知），
∴AC∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠CGF（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠C＝∠F（已知），
∴∠CGF＝∠F（等量代换），
∴BC∥EF（内错角相等，两直线平行）．
21．【分析】（1）根据平均每千米的耗油量＝总耗油量÷行驶路程即可得出该车平均每千米的
耗油量，再根据剩余油量＝总油量﹣平均每千米的耗油量×行驶路程即可得出Q 关于x 的
函数关系式；
（2）代入x＝280 求出Q 值即可；
（3）根据行驶的路程＝耗油量÷平均每千米的耗油量即可求出报警前能行驶的路程，与景
点的往返路程比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280 时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q 的值为17L．
（3）（45﹣3）÷0.1＝420（千米），
∵420＞400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
22．【分析】设∠A＝4x，∠B＝5x，利用三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：设∠A＝4x，∠B＝5x，
则∠C＝180°﹣4x﹣5x＝180°﹣9x，
∵∠B+∠C＝2∠A，
∴5x+180°﹣9x＝2×4x，
解得x＝15°，
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∴∠A＝4×15°＝60°，∠B＝5×15°＝75°，∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
综上所述，三角形中各角的度数为∠A＝60°，∠B＝75°，∠C＝45°．
23．【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则计算，再把已知数据代入得出答案；
（2）直接利用整式的混合运算法则计算，再把已知数据代入得出答案．
【解答】解：（1）6x2y（﹣2xy+y3）÷xy2，
＝（﹣12x3y2+6x2y4）÷xy2
＝﹣12x2+6xy2，
当x＝2，y＝﹣1 时，
原式＝﹣12×22+6×2×（﹣1）2
＝﹣36；
（2）（x+2y）（x﹣2y）+（x﹣2y）2﹣（6x2y﹣2xy2）÷（2y）
＝x2﹣4y2+x2﹣4xy+4y2﹣3x2+xy
＝﹣x2﹣3xy，
当x＝﹣2，y＝
时，
原式＝﹣（﹣2）2﹣3×（﹣2）×
＝﹣4+3
＝﹣1．
24．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠MEB＝∠NFD，∠NEA′＝∠MFC′，根据角的和
差即可得到结论；
（2）由折叠知，∠C′FN＝
＝70°，根据平行线的性质得到∠A′EN＝
∠C′FN＝70°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥C′F，
∴∠MEA′＝∠MFC′，
∴∠MEA′﹣∠MEB＝∠MFC′﹣∠MFD，
即∠1＝∠2；
（2）由折叠知，∠C′FN＝
＝70°，
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∵A′E∥C′F，
∴∠A′EN＝∠C′FN＝70°，
∵∠1＝∠2，
∴∠BEF＝70°+40°＝110°．
25．【分析】（1）依据自变量与因变量的概念进行判断即可；
（2）依据表格中猕猴桃的销售额y（元）与销量x（千克）满足的关系，即可得到关系式；
（3）依据自变量的值，即可得到因变量的值．
【解答】解：（1）在这个变化过程中，自变量是猕猴桃的销量，因变量是猕猴桃的销售额，
故答案为：猕猴桃的销量，猕猴桃的销售额；
（2）猕猴桃的销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系式为y＝6x，
故答案为：y＝6x；
（3）将x＝100 代入y＝6x，可得y＝6×100＝600，
答：当猕猴桃销售量为100 千克时，销售额是600 元．
26．【分析】猜想：如图①，根据平行线的性质和∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，即可得∠APB 的
大小；
探究：如图①，结合猜想即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD 之间的数量关系；
拓展：如图②，分两种情况画出图形，当点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，结合探究过
程即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD 之间的数量关系．
【解答】解：猜想：如图①，过点P 作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB 的大小为55 度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
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∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB 或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P 在射线CE 上时，
过点P 作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P 在射线DF 上时，
过点P 作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P 在射线CE 上或在射线DF 上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB 或∠PAC＝
∠APB+∠PBD．
27．【分析】（1）先根据平方差公式进行变形，再求出答案即可；
（2）先根据得出的规律展开，再根据有理数的乘法法则求出答案即可．
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【解答】解：（1）1﹣
＝（1﹣
）×（1+
）
＝
，
1﹣
＝（1﹣
）×（1+
）
＝
，
故答案为：
，
，
，
；
（2）原式＝
×
×
×
×
×
×…×
×
×
×
＝
×
＝
．
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