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北师大版八年级下册数学期末试卷
一.选择题:(本题共10 道小题,每题3 分,共30 分)
1．（3 分）下列四个图形，中心对称图形的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．（3 分）下列式子从左到右的变形一定正确的是（ ）
A．
＝
B．
＝
C．
＝
D．
＝
3．
（3 分）平面直角坐标系中，将点A（﹣2，1）向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长
度得到点A'，则点A′的坐标为（ ）
A．（1，3）
B．（﹣5，1）
C．（﹣5，﹣1）
D．（1，﹣1）
4．（3 分）如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AB⊥AC，若AB＝AC＝
4，则BD 的长为（ ）
A．8
B．4
C．2
D．4
5．（3 分）如图，四边形ABCD 中，AD＝BC，点P 是对角线BD 的中点，E、F 分别是AB、CD 的
中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF 的度数为（ ）
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
6．（3 分）若关于x 的分式方程
﹣
＝1 有增根，则a 的值为（ ）
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1
A．2
B．﹣2
C．4
D．﹣4
7．（3 分）如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边长向正方形外作等边△CDE，AC 与BE
相交于点F，则∠AFD 的度数为（ ）
A．65°
B．60°
C．50°
D．45°
8．（3 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D 是AB 边上一点，且AD：BD＝1：
2，将△ACD 绕点C 顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE 的长为（ ）
A．3
B．2
C．
D．2
9．（3 分）如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别是AB、AD 的中点，连接EF 交对角线AC 于点
M，连接BM．若∠BAD＝120°，AE＝2，则BM 的长为（ ）
A．
B．2
C．4
D．3
10．（3 分）如图，已知直线l1：y＝﹣3x+6 与直线l2：y＝kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若
直线l2与x 轴的交点为A（﹣2，0），则k 的取值范围是（ ）
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2
A．﹣3＜k＜0
B．﹣3＜k＜3
C．0＜k＜3
D．0＜k＜6
二、填空题(每题3 分,共12 分)
11．（3 分）分解因式：a3﹣a＝ ．
12．（3 分）已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为 ．
13．（3 分）如图，矩形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，过点A 作BD 的垂线，垂足为E．已知
∠EAD＝3∠BAE，且AC＝8，则AE 的长为 ．
14．（3 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝6，点E 是矩形内一个动点，且满足S△BCE＝
S
矩形ABCD，点P 是△EBC 内一个点，则PE+PB+PC 的最小值为 ．
三、解答题(共10 道题,计78 分)
15．（5 分）解不等式组
．
16．（8 分）计算：（1）
﹣
；
（2）（
﹣
）÷
．
17．（10 分）解分式方程：
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3
（1）
﹣1＝
；
（2）
＝
﹣2．
18．（5 分）如图，已知△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，请用尺规在AC 边上作一个点P，使
得PA＝2PC．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（6 分）如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O，EF 过点O 且与AD、BC 分别交于点
E，F，猜想线段AF、CE 的关系，并说明理由．
20．
（8 分）今年是中国共产党成立100 周年，全国上下掀起了学习党史的热潮．某书店为了满
足广大读者的阅读需求，准备购进A、B 两种党史学习书籍．已知购进A、B 两种书各1 本
需86 元，购进A 种书5 本、B 种书2 本需340 元．
（1）求A、B 两种书的进价；
（2）书店决定A 种书以每本80 元出售，B 种书以每本58 元出售，为满足市场需求，现书店
准备购进A、B 两种书共100 本，且A 种书的数量不少于B 种书数量的3 倍，请问书店老板
如何进货，可获利最大？并求出最大利润．
21．（6 分）某市为鼓励居民节约用水，从今年5 月1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上
涨
，王老师家今年3 月份的水费是12 元，5 月份的水费是25.6 元．已知王老师家5 月份
的用水量比3 月份的用水量多3m3，求该市调整后居民用水的价格．
22．（8 分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BD 的垂直平分线分别交边AD、
BC 于点E、F，连接BE、DF．
（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若∠BOC＝120°，AB＝6，求FC 的长．
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4
23．（10 分）如图，平面直角坐标系中，直线y＝﹣
x+4 与x、y 轴分别相交于点A、B．点C 的
坐标为（0，﹣2），经过A、C 作直线．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）若点P 是直线AB 上的动点，点Q 是直线AC 上的动点，当以点O，A、P，Q 为顶点的四
边形是平行四边形时，求点P 的坐标．
24．（12 分）已知正方形ABCD 的边长为8，点E 在边AD 上，点F 在边DC 的延长线上，且AE
＝CF．
（1）如图1，分别连接BE、BF、EF，则△BEF 的形状是 ；
（2）如图2，连接EF 交对角线AC 于点M，若AE＝2，求DM 的长；
（3）如图3，若点G、H 分别在AB、CD 上，且GH＝4
，连接EF 交GH 于点O，当EF 与
GH 的夹角为45°时，求AE 的长．
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5
参考答案与试题解析
一.选择题:(本题共10 道小题,每题3 分,共30 分)
1．【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转
180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这
个点叫做对称中心．
【解答】解：第一、三、四共3 个图形均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后
与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
第二个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所
以不是中心对称图形；
故选：B．
2．【分析】根据分式的基本性质去判断即可．
【解答】解：A 选项，分式没有这样的性质，故该选项不符合题意；
B 选项，题中没有说c≠0，故该选项不符合题意；
C 选项，∵bc≠0，
∴c≠0，故该选项符合题意；
D 选项，分式没有这样的性质，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．【分析】利用点平移的坐标规律，把A 点的横坐标加3，纵坐标减2 即可得到点A′的坐标．
【解答】解：将点A（﹣2，1）向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到点A'，
则点A′的坐标是（﹣2+3，1﹣2），即A′（1，﹣1）．
故选：D．
4．【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO 的长，进而可求出BD 的长
【解答】解：∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，
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6
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AB⊥AC，AB＝AC＝4，
∴AO＝2，
∴BO＝
＝
＝2
，
∴BD＝2BO＝4
．
故选：D．
5．【分析】根据三角形中位线定理得到PF＝
BC，PE＝
AD，进而证明PF＝PE，根据等腰
三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵P、F 分别是BD、CD 的中点，
∴PF＝
BC，
同理可得：PE＝
AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝
×（180°﹣130°）＝25°，
故选：A．
6．【分析】先求出分式方程的解，根据分式方程有增根，得到x＝2，从而得到a 的值．
【解答】解：去分母得：x+x﹣a＝x﹣2，
∴x＝a﹣2，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
∴a﹣2＝2，
∴a＝4，
故选：C．
7．【分析】由“SAS”可证△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，由等腰三角形的性质和外
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7
角的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF＝45°，
在△ABF 和△ADF 中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFB．
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB．
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∴∠CBE＝15°．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．
∴∠AFD＝60°，
故选：B．
8．【分析】由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，得∠A＝∠CBE＝45°，从而∠DBE＝90°，利
用勾股定理可求出DE 的长．
【解答】解：在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3
，∠A＝∠ABC＝45°，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD＝
，BD＝
，
由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝
，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴DE＝
＝
，
故选：C．
9．【分析】因为四边形ABCD 是菱形，可知AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，进而可知
∠BAC＝60°，又因为点E、F 分别为AB、AD 的中点，可得AB，利用两次勾股定理可求
BM．
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8
【解答】解：如图，连接BD 交AC 于O，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，∠BAC＝∠DAC，AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝DAC＝
∠BAD＝60°，
∵点E、F 分别为AB、AD 的中点，四边形ABCD 是菱形，
∴AE＝EB，AF＝FD，AM＝MO，AC⊥BD，
∵AE＝2，
∴AB＝2AE＝4，
在Rt△AOB 中，∠ABO＝30°，
∴AO＝
AB＝2，
∴BO＝
＝2
，
∴MO＝AM＝
AO＝1，
在Rt△BOM 中，BM＝
＝
．
故选：A．
10．【分析】利用直线l2与x 轴的交点为A（﹣2，0），求出k 与b 的关系，即b＝2k．联立方程组
求出点M 的坐标，再利用点M 在第一象限，列出不等式组，从而求出k 的取值范围．
【解答】解：由题意得：当x＝﹣2 时，y＝﹣2k+b＝0．
∴b＝2k．
∴直线l2的解析式为y＝kx+2k（k≠0）．
由
得：
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9
∴M（
，
）．
又∵M 在第一象限，
∴
＞0 且
＞0．
∴（﹣2k+6）（k+3）＞0 且12k（k+3）＞0．
令g＝（﹣2k+6）（k+3），则该二次函数图象开口向下且与x 轴的交点为（﹣3，0）、（3，0）
∴若g＝（﹣2k+6）（k+3）＞0，则﹣3＜k＜3．
令h＝12k（k+3），则该二次函数的图象开口向上且与x 轴交点为（0，0）、（﹣3，0）．
∴若h＝12k（k+3）＞0，则k＜﹣3 或k＞0
∴0＜k＜3．
故选：C．
二、填空题(每题3 分,共12 分)
11．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
＝a（a2﹣1），
＝a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
12．【分析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出
这个正多边形的内角和．
【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，
则这个多边形是正八边形，
所以该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
13．【分析】由矩形的性质和∠EAD＝3∠BAE 可求出∠BAE＝22.5°，∠EAO＝45°，由AC＝8，
＝可求出OA＝4，进而求得AE 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD＝90°，OA＝OB＝
AC＝
×8＝4，
∵∠EAD＝3∠BAE，
∴∠BAE+3∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°，
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10
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠OAB＝67.5°，
∴∠OAE＝67.5°﹣22.5°＝45°，
∴△OAE 为等腰直角三角形，
∴AE＝OAsin45°＝4×
＝2
，
故答案为：2
．
14．【分析】作EF⊥BC 交BC 于点F，根据
＝
，得EF＝2，
可知点E 在与BC 平行，且距离BC 为2 的直线上运动，将△BCP 绕点C 逆时针旋转60°得
△B'CP'，则当B'、P'、P、E 共线，且B'P'⊥BC 时，PE+PB+PC 最小，其值为B'E'的长，根据图
形求出B'H 的长即可．
【解答】解：如图，作EF⊥BC 交BC 于点F，
由题意得：
＝
，
∴EF＝2，
∴点E 在与BC 平行，且距离BC 为2 的直线上运动，
将△BCP 绕点C 逆时针旋转60°得△B'CP'，连接PP'，
则△PCP'是等边三角形，
∴PC＝PP'，B'P'＝BP，
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11
∴当B'、P'、P、E 共线，且B'P'⊥BC 时，PE+PB+PC 最小，其值为B'E'的长，
设B'E'交BC 于H 点，
∵∠BCB'＝60°，B'C＝BC＝6，
∴B'H＝sin60°×B'C＝3
，
∴B'E'＝B'H+HE'＝3
+2，
∴PE+PB+PC 最小值为3
+2，
故答案为：3
+2．
三、解答题(共10 道题,计78 分)
15．【分析】先分别解两个不等式得到x＜2 和x≥﹣1，然后根据“大小小大中间找”确定不
等式组的解集．
【解答】解：
，
解①得x＜2，
解②得x≥﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
16．【分析】（1）先通分，然后根据同分母分式的加法的法则计算即可；
（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）
﹣
＝
＝
＝
＝
；
（2）（
﹣
）÷
＝
＝
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12
＝
＝
．
17．【分析】（1）先分解因式、再去分母、去括号、移项、合并同类项、把x 系数化为一，最后一
定检验；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、把x 系数化为一，最后一定检验．
【解答】（1）解：
﹣1＝
，
﹣1＝
，
x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝6，
x2+2x﹣x2+4＝6，
2x＝2，
x＝1，
检验：把x＝1 代入（x+2）（x﹣2）≠0，
∴原方程的解是x＝1．
（2）
＝
﹣2，
＝
﹣2，
2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），
2﹣x＝﹣1﹣2x+6，
﹣x+2x＝﹣1+6﹣2，
x＝3，
检验：把x＝3 代入（x﹣3）＝0，
x＝3 不是原方程的解，
∴原方程无解．
18．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质画出图形解答即可．
【解答】解：如图所示：点P 即为所求：
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13
19．【分析】根据平行四边形的性质得OA＝OC，AD∥BC，则，然后证明△AOE≌△COF 得到
AF＝CE．
【解答】解：AF＝CF 且AF∥CE，
证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO
在△AOE 和△COF 中
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE 是平行四边形，
∴AF＝CE 且AF∥CE（平行四边形的对边相等且平行）．
20．【分析】（1）设A 种书的进价为x 元，B 种书的进价为y 元，由购进A、B 两种书各1 本需
86 元，购进A 种书5 本、B 种书2 本需340 元列出方程组求解即可；
（2）设购进A 种书a 本，购进B 种书（100﹣a）本，获利为w 元，根据总利润等于A，B 两种
书的利润之和列出函数关系式，再根据函数的性质以及a 的范围求出最大利润．
【解答】解：（1）设A 种书的进价为x 元，B 种书的进价为y 元，
由题意得：
，
解得：
，
答：A，B 两种书的进价分别为56 元，30 元；
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（2）设购进A 种书a 本，购进B 种书（100﹣a）本，获利为w 元，
由题意得：w＝（80﹣56）a+（58﹣30）（100﹣a）＝﹣4a+2800，
∵a≥3（100﹣a），
∴a≥75，
∵﹣4＜0，
∵w 随a 增大而减小，
∴当a＝75 时，w 最大，最大值为2500 元，
此时100﹣a＝100﹣75＝25（本）．
答：购进A 种书75 本，B 种书25 本时总获利最大，最大利润为2500 元．
21．【分析】设调整前该市居民用水的价格为x 元/立方米，根据王老师今年5 月份的用水量比
3 月份的用水量多3m3，列出分式方程解之即可．
【解答】解：设调整前该市居民用水的价格为x 元/立方米，则调整后用水价格为（1+
）x
元/立方米．
根据题意得
﹣
＝3，
解得x＝2.4．
经检验，x＝2.4 是原方程的根．
所以（1+
）x＝3.2．
答：该市调整后居民用水的价格是3.2 元/立方米．
22．【分析】（1）由EF 垂直平分BD 可得EB＝ED，FB＝FD，再由△EOD≌△FOB 可得DE＝
BF，得出EB＝ED＝FB＝FD，即可得出结论；
（2）由∠BOC＝120°结合矩形的性质可求出∠OBC＝30°，CD＝6，根据菱形的性质可求出
∠DFC＝60°，根据直角三角形的性质即可求出FC 的长．
【解答】（1）证明：∵EF 垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，BO＝DO，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OBF＝∠ODE，
∵∠DOE＝∠BOF，
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∴△EOD≌△FOB（AAS），
∴DE＝BF，
∴EB＝ED＝FB＝FD，
∴四边形BEDF 是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB＝OC，CD＝AB＝6，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∵四边形EBFD 为菱形，
∴FB＝FD，
∴∠FBD＝∠FDB＝30°，
∴∠DFC＝60°，
∴∠FDC＝30°，
设CF＝x，则FD＝2x，
根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62，
解得：x＝2
，
∴FC 的长为2
．
23．
【分析】（1）由y＝﹣
x+4 得A（3，0），设直线AC 的解析式为y＝kx+b，将A（3，0）、C（0，
﹣2）代入即得直线AC 的解析式为y＝
x﹣2；
（2）设P（m，﹣
m+4），Q（n，n﹣2），而A（3，0），O（0，0），①以PQ、AO 为对角线，则
PQ、AO 的中点重合，可得
，解得
；故P（2，）；②以PA、QO
为对角线，则PA、QO 的中点重合，同理得P（2，）；③以PO、QA 为对角线，则PO、QA
的中点重合，可得P（4，﹣
）．
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【解答】解：（1）在y＝﹣
x+4 中，令y＝0 得x＝3，
∴A（3，0），
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，将A（3，0）、C（0，﹣2）代入得：
，解得
，
∴直线AC 的解析式为y＝
x﹣2；
（2）设P（m，﹣
m+4），Q（n，
n﹣2），而A（3，0），O（0，0），
①以PQ、AO 为对角线，则PQ、AO 的中点重合，
∴
，解得
；
∴P（2，
）；
②以PA、QO 为对角线，则PA、QO 的中点重合，
∴
，解得
，
∴P（2，
）；
③以PO、QA 为对角线，则PO、QA 的中点重合，
∴
，解得
，
∴P（4，﹣
）；
综上所述，点P 的坐标为（2，
）或（4，﹣
）．
24．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，可证∠EBF
＝90°，即可求解；
（2）过点E 作EN⊥AD，交AC 于N，由“ASA”可证△ENM≌△FCM，可得EM＝FM，由
勾股定理和直角三角形的性质可求解；
（3）连接BE，BF，由（1）可知：△BEF 是等腰直角三角形，可得∠BFE＝∠BEF＝45°，可证
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四边形GBFH 是平行四边形，可得GH＝BF＝4
，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCF＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF，
∴∠ABE+∠EBC＝∠CBF+∠EBC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）如图2，过点E 作EN⊥AD，交AC 于N，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAC＝45°，AD⊥CD，
∵EN⊥AD，
∴∠EAN＝∠ANE＝45°，EN∥CD，
∴AE＝EN＝CF＝2，∠F＝∠NEM，∠FCM＝∠ENM，
∴△ENM≌△FCM（ASA），
∴EM＝FM，
∵DE＝AD﹣AE＝8﹣2＝6，DF＝DC+CF＝8+2＝10，
∴EF＝
＝
＝2
，
∵∠ADF＝90°，EM＝MF，
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∴DM＝
EF＝
；
（3）如图3，连接BE，BF，
由（1）可知：△BEF 是等腰直角三角形，
∴∠BFE＝∠BEF＝45°，
∵∠EOG＝45°，
∴∠EOG＝∠EFB，
∴GH∥BF，
又∵AB∥CD，
∴四边形GBFH 是平行四边形，
∴GH＝BF＝4
，
∴CF＝
＝
＝4，
∴AE＝4．
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