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沪科版九年级上册数学期中试卷
一、选择题
1．（4 分）在下列函数关系式中，二次函数的是（ ）
A．
B．y＝x+2
C．y＝x2+1
D．y＝（x+3）2﹣x2
2．（4 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，
＝
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4 分）将抛物线y＝3x2 向上平移3 个单位，再向左平移2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3
B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3
D．y＝3（x﹣2）2﹣3
4．（4 分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a 上的三点，则y1，y2，y3
的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
5．（4 分）函数y＝
与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（4 分）已知函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2+bx+c+2＝0 的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
7．（4 分）如图，直线l⊥x 轴于点P，且与反比例函数y1＝
（x＞0）及y2＝
（x＞0）的图象分别交于
点A，B，连接OA，OB，已知△OAB 的面积为2，则k1﹣k2 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．﹣4
8．（4 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c 图象一部分，下面判断正确的有（ ）
A．a+b+c＝0
B．b＞2a
C．ax2+bx+c＝0 两根是﹣3 和1
D．a﹣2b+c＞0
9．（4 分）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边BC 上的高．其中正确的命题是（ ）
①AB2＝BD•BC；②AD2＝BD•CD；③AC2＝CD•CB；④AB•AC＝AD•CB．
A．①②③
B．①②③④
C．①④
D．①③④
10．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4 的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出
发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正
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方形OBCD 的面积为S，直线l 运动的时间为t（秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11．（5 分）把长度为20cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是 cm．（结果保留根号）
12．（5 分）在二次函数y＝ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
21
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
……
其中m 的值为 ．
13．（5 分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB 上取点P，使得△PAD 与△PBC 相似，则
这样的P 点共有 个．
14．（5 分）已知x＝2m+n+2 和x＝m+2n 时，多项式x2+4x+6 的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，
多项式x2+4x+6 的值等于 ．
三、解答题（共9 大题，满分90 分）
15．（8 分）已知线段MN 是AB，CD 的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN 的长．
16．（8 分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2 的图象过点（0，5）．
（1）求m 的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
17．（8 分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．
18．（8 分）如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O 为
位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到△A′B′C′．
（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C 的对应点为A′、B′、
C′）
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（2）求△A′B′C′的面积．
19．（10 分）如图，△ABC 中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2＝AB•AD．
20．（10 分）如图，一次函数y1＝kx+b 的图象与反比例函数y2＝
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，
2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2 时x 的取值范围．
21．（12 分）已知矩形ABCD 的一条边AD＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已
知折痕与边BC 交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：
＝
；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长．
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22．（12 分）某商品的进价为每件40 元．当售价为每件60 元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，且经
市场调查：每降价1 元，每星期可多卖出20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取
值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
23．（14 分）如图，抛物线与x 轴交于点A（﹣
，0）、点B（2，0），与y 轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N 为抛物线上的一个动点，过点N 作NP⊥x 轴于点P，设点N 的横坐标为t（﹣
＜t＜2），求△ABN
的面积S 与t 的函数关系式；
（3）若﹣
＜t＜2 且t≠0 时△OPN∽△COB，求点N 的坐标．
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参考答案
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．（4 分）在下列函数关系式中，二次函数的是（ ）
A．
B．y＝x+2
C．y＝x2+1
D．y＝（x+3）2﹣x2
解：A、y＝
是反比例函数关系，故此选项不符合题意；
B、y＝x+2 是一次函数关系，故此选项不符合题意；
C、y＝x2+1 是二次函数关系，故此选项符合题意；
D、y＝（x+3）2﹣x2 是一次函数关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（4 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，
＝
，则
＝（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵DE∥BC，
∴AD：AB＝DE：BC，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD：AB＝1：3，
∴DE：BC＝1：3．
故选：A．
3．（4 分）将抛物线y＝3x2 向上平移3 个单位，再向左平移2 个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x+2）2+3
B．y＝3（x﹣2）2+3
C．y＝3（x+2）2﹣3
D．y＝3（x﹣2）2﹣3
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝3x2 向上平移3 个单位所得抛物线的解析式为：y＝3x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝3x2+3 向左平移2 个单位所得抛物线的解析式为：y＝3（x+2）
2+3．
故选：A．
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4．（4 分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a 上的三点，则y1，y2，y3
的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y3＞y1＞y2
解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是x＝﹣1，
∴点A 关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．
5．（4 分）函数y＝
与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：①当k＞0，则﹣k＜0，双曲线在二、四象限，抛物线开口向上，顶点在y 轴负半轴上；
②k＜0 时，则﹣k＞0，双曲线在一、三象限，抛物线开口向下，顶点在y 轴正半轴上；
故选项B 符合题意；
故选：B．
6．（4 分）已知函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax2+bx+c+2＝0 的根的情况是（ ）
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A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
解：∵y＝ax2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是﹣3，
∵方程ax2+bx+c+2＝0，
∴ax2+bx+c＝﹣2 时，即是y＝﹣2 求x 的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选：D．
7．（4 分）如图，直线l⊥x 轴于点P，且与反比例函数y1＝
（x＞0）及y2＝
（x＞0）的图象分别交于
点A，B，连接OA，OB，已知△OAB 的面积为2，则k1﹣k2 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．﹣4
解：根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为
，△BOP 的面积为
，
∴△AOB 的面积为
，
∴
＝2，
∴k1﹣k2＝4，
故选：C．
8．（4 分）已知二次函数y＝ax2+bx+c 图象一部分，下面判断正确的有（ ）
A．a+b+c＝0
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B．b＞2a
C．ax2+bx+c＝0 两根是﹣3 和1
D．a﹣2b+c＞0
解：A、∵由图象可知当x＝1 时，y＝a+b+c＝0，
∴a+b+c＝0 正确；
B、∵由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c 的对称轴x＝﹣
＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b＞2a 错误；
C、∵二次函数y＝ax2+bx+c 的对称轴x＝﹣1，与x 轴的一个交点为（1，0）
∴另一个交点是（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0 两根是﹣3 和1 正确；
D、∵b＝2a，
∴a﹣2b+c＝﹣3a+c，
∵a＞0，c＜0，
∴﹣3a+c＜0，
∴a﹣2b+c＞0 错误；
故选：AC．
9．（4 分）如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边BC 上的高．其中正确的命题是（ ）
①AB2＝BD•BC；②AD2＝BD•CD；③AC2＝CD•CB；④AB•AC＝AD•CB．
A．①②③
B．①②③④
C．①④
D．①③④
解：①∵AD 是斜边BC 上的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴
，
即AB2＝BD•BC，
故①正确；
②∵△BAD∽△BCA，
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9
∴∠C＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△BAD∽△ACD，
∴
，
即AD2＝BD•CD，
故②正确；
③∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C
，
∴△BAC∽△ACD，
∴
，
即AC2＝CD•CB，
故③正确；
④∵
，
∴AB•AC＝AD•CB，
故④正确．
故选：B．
10．（4 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4 的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出
发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正
方形OBCD 的面积为S，直线l 运动的时间为t（秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：①当0≤t≤4 时，S＝
×t×t＝
t2，即S＝
t2．
该函数图象是开口向上的抛物线的一部分．
故B、C 错误；
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10
②当4＜t≤8 时，S＝16﹣
×（8﹣t）×（8﹣t）＝﹣
t2+8t﹣16．
该函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
故A 错误．
故选：D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分）
11．（5 分）把长度为20cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是 （
10
﹣
10
）
cm．（结果保留根号）
解：∵把长度为20cm 的线段进行黄金分割，
∴较长的线段＝20×
＝（10
﹣10）cm．
故答案为：（10
﹣10）．
12．（5 分）在二次函数y＝ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
……
y
……
21
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
m
……
其中m 的值为
5
．
解：∵当x＝1 时，y＝﹣3；当x＝3 时，y＝﹣3，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
∴（﹣1，5）的对称点是（5，5），
∴m＝5，
故答案为5．
13．（5 分）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB 上取点P，使得△PAD 与△PBC 相似，则
这样的P 点共有
3
个．
解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，
当△PDA∽△CPB 时，
，即
，
解得：x＝1 或x＝6，
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当△PDA∽△PCB 时，
，即
，
解得：x＝
，
则这样的点P 共有3 个，
故答案为：3
14．（5 分）已知x＝2m+n+2 和x＝m+2n 时，多项式x2+4x+6 的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，
多项式x2+4x+6 的值等于
3
．
解：∵x＝2m+n+2 和x＝m+2n 时，多项式x2+4x+6 的值相等，
∴二次函数y＝x2+4x+6 的对称轴为直线x＝
＝
，
又∵二次函数y＝x2+4x+6 的对称轴为直线x＝﹣2，
∴
＝﹣2，
∴3m+3n+2＝﹣4，m+n＝﹣2，
∴当x＝3（m+n+1）＝3（﹣2+1）＝﹣3 时，
x2+4x+6＝（﹣3）2+4×（﹣3）+6＝3．
故答案为：3．
三、解答题（共9 大题，满分90 分）
15．（8 分）已知线段MN 是AB，CD 的比例中项，AB＝4cm，CD＝9cm，求MN 的长．
解：∵线段MN 是AB，CD 的比例中项，
∴AB：MN＝MN：CD，
∴MN 2＝AB•CD，
∴MN＝
，
∵AB＝4cm，CD＝9cm，
∴MN＝
＝6（cm）．
16．（8 分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2 的图象过点（0，5）．
（1）求m 的值，并写出二次函数的解析式；
（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
解：（1）把（0，5）代入y＝（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2 得m+2＝5，
解得m＝3
所以二次函数解析式为y＝x2+6x+5；
（2）因为y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
所以此二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴为直线x＝﹣3．
17．（8 分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．
解：（1）当k＝3 时，函数y＝2x+1 是一次函数．
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∵一次函数y＝2x+1 与x 轴有一个交点，
∴k＝3．
（2）当k≠3 时，y＝（k﹣3）x2+2x+1 是二次函数．
∵二次函数y＝（k﹣3）x2+2x+1 的图象与x 轴有交点，
∴b2﹣4ac≥0．
∵b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）＝﹣4k+16，
∴﹣4k+16≥0．
∴k≤4 且k≠3．
综合（1）（2）可知，k 的取值范围是k≤4．
18．（8 分）如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）、B（﹣3，1）、C（﹣1，1），以坐标原点O 为
位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC 放大，放大后得到△A′B′C′．
（1）画出放大后的△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标．（点A、B、C 的对应点为A′、B′、
C′）
（2）求△A′B′C′的面积．
解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．
A′（﹣4，8）；B′（﹣6，2）；C′（﹣2，2）．
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（2）∵S△ABC＝
×2×3＝3，
又∵△A′B′C′与△ABC 的相似比为2：1，
∴
＝4，
S△A′B′C′＝4S△ABC＝12．
19．（10 分）如图，△ABC 中，DG∥EC，EG∥BC．求证：AE2＝AB•AD．
解：∵DG∥EC，
∴AD：AE＝AG：AC，
∵EG∥BC，
∴AG：AC＝AE：AB，
∴AD：AE＝AE：AB，
即：AE2＝AB•AD．
20．（10 分）如图，一次函数y1＝kx+b 的图象与反比例函数y2＝
（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，
2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2 时x 的取值范围．
解：（1）把A（1，6）代入y2＝
得m＝1×6＝6，
所以反比例函数解析式为y2＝
；
把B（a，2）代入y2＝
得2a＝6，解得a＝3，
所以B 点坐标为（3，2），
把A（1，6）和B（3，2）代入y1＝kx+b 得
，解得
，
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所以一次函数解析式为y1＝﹣2x+8；
（2）当1＜x＜3 时，y1＞y2．
21．（12 分）已知矩形ABCD 的一条边AD＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已
知折痕与边BC 交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：
＝
；
（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长．
【解答】证明：（1）由折叠的性质可知，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠APD+∠OPC＝90°，又∠POC+∠OPC＝90°，
∴∠APD＝∠POC，又∠D＝∠C＝90°，
∴△OCP∽△PDA，
∴
＝
；
（2）∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，
∴△OCP 与△PDA 的相似比为1：2，
∴PC＝
AD＝4，
设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，
在Rt△APD 中，AP2＝AD2+PD2，即x2＝82+（x﹣4）2，
解得，x＝10，即AB＝10；
22．（12 分）某商品的进价为每件40 元．当售价为每件60 元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，且经
市场调查：每降价1 元，每星期可多卖出20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取
值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
解：（1）y＝（60﹣x）（300+20x）﹣40（300+20x），
即y＝﹣20x2+100x+6000．
因为降价要确保盈利，所以40＜60﹣x≤60（或40＜60﹣x＜60 也可）．
解得0≤x＜20（或0＜x＜20）；
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（2）当
时，
y 有最大值
，
即当降价2.5 元时，利润最大且为6125 元．
23．（14 分）如图，抛物线与x 轴交于点A（﹣
，0）、点B（2，0），与y 轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N 为抛物线上的一个动点，过点N 作NP⊥x 轴于点P，设点N 的横坐标为t（﹣
＜t＜2），求△ABN
的面积S 与t 的函数关系式；
（3）若﹣
＜t＜2 且t≠0 时△OPN∽△COB，求点N 的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题可得：
，
解得：
，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣
x2+
x+1；
（2）当﹣
＜t＜2 时，yN＞0，
∴NP＝|yN|＝yN＝﹣
t2+
t+1，
∴S＝
AB•PN
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＝
×（2+
）×（﹣
t2+
t+1）
＝
（﹣
t2+
t+1）
＝﹣
t2+
t+
；
（3）∵△OPN∽△COB，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴PN＝2PO．
①当﹣
＜t＜0 时，PN＝
＝yN＝﹣
t2+
t+1，PO＝
＝﹣t，
∴﹣
t2+
t+1＝﹣2t，
整理得：3t2﹣9t﹣2＝0，
解得：t1＝
，t2＝
．
∵
＞0，﹣
＜
＜0，
∴t＝
，此时点N 的坐标为（
，
）；
②当0＜t＜2 时，PN＝
＝yN＝﹣
t2+
t+1，PO＝
＝t，
∴﹣
t2+
t+1＝2t，
整理得：3t2﹣t﹣2＝0，
解得：t3＝﹣
，t4＝1．
∵﹣
＜0，0＜1＜2，
∴t＝1，此时点N 的坐标为（1，2）．
综上所述：点N 的坐标为（
，
）或（1，2）．
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