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沪科版八年级下册数学第一次月考试卷
一、选择题：（每小题3 分，共30 分）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的
最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这
四个条件对四个选项进行验证即可．
【详解】解：A、
是分式方程，故A 排除；
B、
（
）才是一元二次方程，故B 排除；
C、
是二元二次方程，故C 排除；
D、
是一元二次方程，故D 当选；
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首
先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2．
2. 估计
的值应在（ ）
A. 3 和4 之间
B. 4 和5 之间
C. 5 和6 之间
D. 6 和7
之间
【答案】C
【解析】
【分析】先用二次根式乘法进行计算，再估算即可．
【详解】解：
，
∵
，
∴
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的计算和估算，解题关键是熟练进行二次根式计算和估算．
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1
3. 下列运算，结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法法则及乘除法法则逐一计算即可得答案．
【详解】解：A、
，故该选项计算正确；
B、
，故该选项计算错误；
C、
，故该选项计算错误；
D、
与
不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
4. 一元二次方程
化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数
为﹣1，则
的值为（ ）
A. ﹣1
B. 1
C. ﹣2
D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】方程整理为一般系数，根据二次项系数为1，一次项系数为﹣1，即可确定出a 的
值．
【详解】方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0
（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
在一般形式中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c 分别叫二次项系数，
一次项系数，常数项．
5. 一元二次方程
的根的情况是（ ）
A. 有一个实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】运用一元二次方程根的判别式进行解答即可．
【详解】解：∵△＝（-2）
2-4×（-3）×1＝4+12=16＞0
∴一元二次方程
有两个不相等的实数根．
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2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与一元二次方程根的关系是解
答本题的关键．
6. 用配方法解方程
时，应将其变形
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系
数为1 时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写
成完全平方形式．
【详解】∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：C.
【点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为
1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最
好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．
7. 实数a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简
的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据数轴上两点
位置确定
和
的正负，由此计算即可．
【详解】解：观察数轴可得，
，
，
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3
故
，
，
，
故选C．
【点睛】本题结合数轴上点的位置考查了
的计算性质，熟练掌握该性质是解答的关键．
8. 如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面
积为（ ）
A. 78 cm2
B.
cm2
C.
cm2
D.
cm2
【答案】D
【解析】
【分析】根据两小正方形的面积求出大正方形的边长及面积，然后减去两个小正方形的面
积，即可求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2
两个小正方形，
大正方形的边长是
，
留下部分（即阴影部分）的面积是：
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出大正方形的面积是关键．
9. 已知a 满足
，则
（ ）
A. 0
B. 1
C. 2021
D. 2020
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件得到a 的取值范围，根据a 的取值范围去绝对值，化
简即可得出答案．
【详解】解：由题意知：
，解得：
，
∴
＜0，
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4
∴
，
∴
，
∴
，
∴
2021，
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，出现二次根式中有未知数的题，想到二次根
式有意义是解题的关键．
10. 定义：如果一元二次方程
满足
，那么我们称这个方
程为“凤凰”方程． 已知
是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
则下列结论正确的是（ ）
A. a=c
B. a=b
C. b=c
D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-
a-c，代入b2-4ac=0 得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a 与c 的关系．
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
∴△=b2−4ac=0，
又a+b+c=0，即b=−a−c，
代入b2−4ac=0 得(−a−c)2−4ac=0，
即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，
∴a=c
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系
数之间的关系．
二、填空题：（每小3 分，共24 分）
11.
的立方根是________．
【答案】－3.
【解析】
【分析】根据立方根的定义求解即可.
【详解】解：－27 的立方根是－3，故答案为－3.
【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键.
12. 一元二次方程
的解为________
【答案】x1＝3，x2＝1
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5
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵x（x−3）＝x−3，
∴x（x−3）−（x−3）＝0，
则（x−3）（x−1）＝0，
∴x−3＝0 或x−1＝0，
解得：x1＝3，x2＝1，
故填：x1＝3，x2＝1．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是
解题的关键．
13. 如果代数式
有意义，那么字母x 的取值范围是_____．
【答案】x≥﹣1 且x≠2
【解析】
【详解】解：由题意得
，解得x≥﹣1 且x≠2．
故答案为：x≥﹣1 且x≠2．
14. 二次根式：已知
，
，求
___________．
【答案】
【解析】
【分析】先算
、
的值，再利用因式分解和整体代入求解即可.
【详解】∵
，
，
∴
，
，
∴
，
故填：
【点睛】本题考查了因式分解和整体代入求值，熟练掌握提取公因式是关键.
15. 观察下列各式：
，
，
，
，请你将猜想到的规律用含自然数
的等式表示出来是
__________．
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6
【答案】
【解析】
【分析】根据观察可以得出等式左边的规律为
，等式右边的规律为
由此求解即可．
【详解】解：如表所示：
标序号
1
2
3
4
…
n
等式左边
…
…
等式左边
规律
…
等式右边
…
…
等式右边
规律
…
综上所述，第n 个式子为
．
故答案
：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简问题．此题难度适中，属于规律性题目，注意掌
握二次根式的化简知识是解此题的关键．
16. 已知关于x 的方程
可以配方成
，则
_____________
【答案】1
【解析】
【分析】将配方后的方程转化成一般方程即可求出m、n 的值，由此可求得答案．
【详解】解：由（x+m）
2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，
∴2m＝4，m2﹣3＝n，
∴m＝2，
∴n＝1，
∴（m﹣n）
2＝1，
故答案为：1．
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7
【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
17. 若关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2+4x+1=0 有实数根，则k 的取值范围是_____．
【答案】k≤5 且k≠1．
【解析】
【详解】试题解析：∵一元二次方程（k
1
﹣）x2+4x+1=0 有实数根，
k
1≠0
∴﹣
，且b2
4ac=16
4
﹣
﹣（k
1
﹣）≥0，
解得：k≤5 且k≠1.
考点：根的判别式．
18. 已知
，则
_____________．
【答案】1010
【解析】
【分析】设
，
，故
，原式＝
，即可利用完全平方公
式进行求解．
【详解】解：设
，
，故
，
∵
，即：
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：1010．
【点睛】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式和换元法是解决此类问题的关
键．完全平方公式为：（a±b）
2＝a2±2ab＋b2．
三、解答题
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
，（2）
.
【解析】
【分析】（1）先将二次根式化简成最简二次根式，之后合并即可.
（2）根据完全平方公式、绝对值、乘法将二次根式化简，之后合并即可求出答案.
【详解】解：（1）
，
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8
=
，
=
，
=
，
=
，
=
.
（2）
，
=
，
=
.
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础
题型．
20. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
，
；（2）
，
【解析】
【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
；
（2）∵
，
∴
，
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9
∴
，
∴
，
解得
，
．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解．
21. 设
的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y 的值与
的平方．
【答案】x=2，y=
，
【解析】
【分析】根据无理数的估算求出x，y，求出代数式的值，再计算平方即可；
【详解】∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算和二次根式的运算，准确计算是解题的关键．
22. 已知关于x
一元二次方程
．
（1）若
是方程的一个解，写出a，b 满足的关系式？
（2）当
时，利用根的判别式判断方程根的情况．
【答案】（1）
；（2）当a≤
时，方程有实数根；当a＞
时，方程无实
数根
【解析】
【分析】（1）代入法可求a、b 满足的关系式；
（2）由方程的系数结合根的判别式、b＝1，可得出Δ＝12−2a，分两种情况进行讨论判断.
【详解】解：（1）把x＝1 代入方程可得a＋b＋
＝0；
（2）Δ＝b2−4a×
＝b2−2a，
∵b＝1，
∴Δ＝12−2a，
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∴当a≤
时，方程有实数根；
当a＞
时，方程无实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac 有如下关系：当Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0
时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0 时，方程无实数根．
23. 已知a=
，求
+
的值.
【答案】-3-2
【解析】
【详解】试题分析：先对a=
进行变形，确定出a-1 的范围，然后再对式子
+
进行化简，代入a 的值进行计算即可.
试题解析：∵a=
，
∴a=2-
，
∴a-1=2−
−1＝1−
＜0，
∴
+
=
+
=a−3+
=a-3-
=2−
−3−
= -1-
−(2+
)= -1-
−2−
= -3-2
.
24. 综合与探究：如果关于x 的一元二次方程
有两个实数根，且其
中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程
的两个根是
，
，则方程：
是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①
；
②
．
（2）已知关于x 的一元二次方程
（m 是常数）是“邻根方程”，求m
的值．
（3）若关于x 的一元二次方程
（a、b 是常数，且
）是“邻根方程”，
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11
令
，求t 的最大值．
【答案】（1）x2＋x−6＝0 不是“邻根方程”；
是“邻根方程”；（2）m＝
−1 或−3；（3）2
【解析】
【分析】本题是一元二次方程的解法与新定义“邻根方程”的综合题，运用一元二次方程的
解法，结合新定义便可解答．
（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定
方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m 的方程，注意有两种情况；
（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出a 与b 的关系式，再由t＝2－b2，得t
与b 的关系，求解即可．
【详解】解：（1）①解方程得：（x＋3）（x−2）＝0，
∴x1＝−3，x2＝2，
∵2≠−3＋1，
∴x2＋x−6＝0 不是“邻根方程”；
②a＝2，b＝
，c＝2，
∴
，
，
，
∵
，
∴
是“邻根方程”，
（2）解方程得：（x−m）（x＋2）＝0，
∴x1＝m，x2＝−2，
∵方程x2−（m−1）x−m＝0（m 是常数）是“邻根方程”，
∴m＝−2＋1 或m＝−2−1，
∴m＝−1 或−3；
（3）解方程ax2＋bx＋2＝0，
，
，
，
∵关于x 的方程ax2＋bx＋2＝0（a、b 是常数，a<0）是“邻根方程”，
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12
∴
，
整理得：b2＝a2＋8a，
∵b2=a2＋8a
，且a<0，
∴a
-8，
∵
，
∴
，
∴
，
∵-1<0，
∴当a<－4 时，t 的值随a 的增大而增大，
∴当a=－8 时，t 最大=2．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理
解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
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