文档文本内容
沪教版（上海）八年级上册数学期末试卷
一．选择题（共6 小题）
1．下列二次根式中最简二次根式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
3．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（ ）
A．y＝3x
B．
C．y＝﹣3x
D．
4．某厂今年十月份的总产量为500 吨，十二月份的总产量达到720 吨．若平均每月增长率是x，
则可以列出方程（ ）
A．500（1+2x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720
D．720（1﹣x）2＝500
5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
6．下列说法错误的是（ ）
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点P 距离等于1 cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆
C．到直线l 距离等于2 cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线
D．等腰△ABC 的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线
二．填空题（共12 小题）
7．计算：
＝ ．
8．
＝ ．
9．已知x＝3 是方程x2﹣2x+m＝0 的一个根，那么m＝ ．
10．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
11．函数
的定义域为 ．
12．已知反比例函数
的图象有一分支在第二象限，那么常数m 的取值范围是 ．
13．已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝ ．
14．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题（填“真”或
“假”）．
15．如图：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线EF 分别交BC、AB 于点E、F，∠AEF＝
65°，那么∠CAE＝ ．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD 的长是
．
17．如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AF⊥BC 于F，M 是CD 中点，AM 的延长线交BC 的延长线于E，
AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝
，则梯形的面积是 ．
18．如图，在Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D 在边BC 上，BD＝2CD．把△ABC 绕着
点D 逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt△ABC 的边上，那么m＝
．
三．解答题（共8 小题）
19．计算：
+
（
﹣
）+
．
20．解方程：
+
＝x
21．关于x 的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0，其根的判别式的值为9，求m 的值及这个方程
的根．
22．如图在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB 的度数．
23．已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x 成反比例．当x＝2 时，y＝5；当x＝
﹣2 时，y＝﹣9．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）求当x＝8 时的函数值．
24．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBD．
（1）求证：CD 平分∠ACB；
（2）点E 是AD 延长线上一点，CE＝CA，CF∥BD 交AE 于点F，若∠CAD＝15°，求证：EF＝
BD．
25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，正比例函数y＝
x 的图象与反比例函数y＝
（x＞0）的图象都经过点A（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B 在x 轴上，且OA＝BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC＝90°，求点C 坐标．
26．已知：如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E 分别是边AB、AC
上动点，点D 不与点A、B 重合，DE∥BC．
（1）如图1，当AE＝1 时，求BD 长；
（2）如图2，把△DEA 沿着直线DE 翻折得到△DEF，设CE＝x．
①当点F 落在斜边BC 上时，求x 的值；
②如图3，当点F 落在Rt△ABC 外部时，EF、DF 分别与BC 相交于点H、G，如果△ABC 和△DEF
重叠部分的面积为y，求y 与x 的函数关系式及定义域．（直接写出答案）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6 小题）
1．下列二次根式中最简二次根式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝
，不符合题意；
B、原式＝
，不符合题意；
C、原式＝|x|
，不符合题意；
D、原式为最简二次根式，符合题意，
故选：D．
2．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答．
【解答】解：A、
＝2
，被开方数是3，与
的被开方数2 不同，不是同类二次根式，故
本选项不符合题意．
B、
＝
＝
，被开方数是3，与
的被开方数2 相同，是同类二次根式，故本选项符合
题意．
C、
＝|b|
，被开方数是ab，与
的被开方数2ab 不同，不是同类二次根式，故本
选项不符合题意．
D、
和
的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．下列函数中，y 随着x 的增大而减小的是（ ）
A．y＝3x
B．
C．y＝﹣3x
D．
【分析】根据正比例函数的性质及反比例函数的性质解得即可．
【解答】解：A、y＝3x 中k＝3＞0，y 随着x 的增大而增大，不符合题意；
B、
中k＝3＞0，在每个象限内y 随着x 的增大而减小，不符合题意；
C、y＝﹣3x 中k＝﹣3＜0，y 随着x 的增大而减小，符合题意；
D、y＝﹣
中k＝﹣3＜0，在每个象限内y 随着x 的增大而增大，不符合题意；
故选：C．
4．某厂今年十月份的总产量为500 吨，十二月份的总产量达到720 吨．若平均每月增长率是x，
则可以列出方程（ ）
A．500（1+2x）＝720
B．500（1+x）2＝720
C．500（1+x2）＝720
D．720（1﹣x）2＝500
【分析】设平均每月增长率是x，根据该厂今年十月份及十二月份的总产量，即可得出关于x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设平均每月增长率是x，
依题意，得：500（1+x）2＝720．
故选：B．
5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两个锐角分别对应相等
B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等
D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意；
B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或HL 判定两三角形全等，不符合题意；
D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意．
故选：A．
6．下列说法错误的是（ ）
A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
B．到点P 距离等于1 cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆
C．到直线l 距离等于2 cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线
D．等腰△ABC 的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线
【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．
【解答】解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，
A 正确；
到点P 距离等于1 cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆，B 正确；
到直线l 距离等于2 cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线，C 正确；
等腰△ABC 的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线（BC 的中点除外），D 错误，
故选：D．
二．填空题（共12 小题）
7．计算：
＝
2
．
【分析】本题需先对二次根式进行化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可求出结果．
【解答】解：
，
＝2
×
，
＝2．
故答案为：2．
8．
＝
﹣
2
．
【分析】根据简
＝|a|得到原式＝|2﹣
|，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
【解答】解：原式＝|2﹣
|＝﹣（2﹣
）＝
﹣2．
故答案为
﹣2．
9．已知x＝3 是方程x2﹣2x+m＝0 的一个根，那么m＝ ﹣
3
．
【分析】将x＝3 代入原方程即可求出m 的值．
【解答】解：将x＝3 代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
10．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝
．
【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式
分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x＝
＝
，
∴x2﹣3x﹣2＝
．
故答案为：
．
11．函数
的定义域为
x ＞
5
．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得x﹣5＞0，
解得x＞5．
故答案为：x＞5．
12．已知反比例函数
的图象有一分支在第二象限，那么常数m 的取值范围是
m ＜
．
【分析】由反比例函数的性质列出不等式3m﹣1＜0，解出m 的范围．
【解答】解：∵反比例函数
的图象有一分支在第二象限，
∴3m﹣1＜0，
解得 m＜
，
故答案是：m＜
．
13．已知直角坐标平面上点P（3，2）和Q（﹣1，5），那么PQ＝
5
．
【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
【解答】解：∵P（3，2）和Q（﹣1，5），
∴PQ＝
，
故答案为：5
14．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 真 命题（填“真”或
“假”）．
【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明后即可得到该命题为真命题．
【解答】已知：△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B′，∠B、∠B′的角平分线，
BD＝B′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：∵∠B＝∠B'且∠B、∠B′的角平分线分别为BD 和B′D′，
∴∠ABD＝∠A′B′D′＝
∠B，
∵BD＝B'D'，∠A＝∠A′，
∴△ABD≌△A′B′D′，
∴AB＝A′B′，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′．
∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题，
故答案为：真．
15．如图：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线EF 分别交BC、AB 于点E、F，∠AEF＝
65°，那么∠CAE＝
40°
．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AF＝BF，EF⊥AB，求得AE＝BE，根据等腰三角形的
性质得到∠BEF＝∠AEF＝65°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB 的垂直平分线EF 分别交BC、AB 于点E、F，
∴AF＝BF，EF⊥AB，
∴AE＝BE，
∴∠BEF＝∠AEF＝65°，
∴∠AEB＝130°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAE＝∠AEB﹣∠C＝40°，
故答案为：40°．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝12cm，AC＝9cm，那么BD 的长是
cm
．
【分析】作DE⊥AB 于E，根据勾股定理求出AB，证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得
到CD＝ED，AE＝AC＝9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB 于E，
由勾股定理得，AB＝
＝
＝15，
在△ACD 和△AED 中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴CD＝ED，AE＝AC＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
在Rt△BED 中，BD2＝DE2+BE2，即BD2＝（12﹣BD）2+62，
解得，BD＝
，
故答案为：
cm．
17．如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AF⊥BC 于F，M 是CD 中点，AM 的延长线交BC 的延长线于E，
AE⊥AB，∠B＝60°，AF＝
，则梯形的面积是
8
．
【分析】（1）根据直角三角形的性质、勾股定理分别求出BF、AB，根据直角三角形的性质求
出BE，证明△DAM≌△CEM，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，根据梯形的面积公式计算，
得到答案．
【解答】解：设BF＝x，
在Rt△ABF 中，∠B＝60°，
∴∠BAF＝30°，
∴AB＝2BF＝2x，
由勾股定理得，（2x）2﹣x2＝（2
）2，
解得，x＝2，
∴AB＝4，
在Rt△ABE 中，∠B＝60°，
∴∠AEB＝30°，
∴BE＝2AB＝8，
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠CEM，
在△DAM 和△CEM 中，
，
∴△DAM≌△CEM（AAS）
∴AD＝CE，
∴AD+BC＝CE+BC＝BE＝8，
∴梯形的面积＝
×（AD+BC）×AF＝8
，
故答案为：8
．
18．如图，在Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝55°，点D 在边BC 上，BD＝2CD．把△ABC 绕着
点D 逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt△ABC 的边上，那么m＝
70°
或
120°
．
【分析】①当点B 落在AB 边上时，根据DB＝DB1，即可解决问题，②当点B 落在AC 上时，在
RT△DCB2中，根据∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD 可以判定∠CB2D＝30°，由此即可解决问题．
【解答】解：①当点B 落在AB 边上时，
∵DB＝DB1，
∴∠B＝∠DB1B＝55°，
∴m＝∠BDB1＝180°﹣2×55°＝70°，
②当点B 落在AC 上时，
在RT△DCB2中，∵∠C＝90°，DB2＝DB＝2CD，
∴∠CB2D＝30°，
∴m＝∠C+∠CB2D＝120°，
故答案为70°或120°．
三．解答题（共8 小题）
19．计算：
+
（
﹣
）+
．
【分析】先分母有理化，再根据二次根式乘除法进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝4．
20．解方程：
+
＝x
【分析】先整理为一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：将方程整理为一般式为2x2﹣3x﹣2＝0，
∵（x﹣2）（2x+1）＝0，
∴x﹣2＝0 或2x+1＝0，
解得x＝2 或x＝﹣0.5．
21．关于x 的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0，其根的判别式的值为9，求m 的值及这个方程
的根．
【分析】根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝（2m﹣1）2﹣4m2＝9，
∴m＝﹣2，
∴该方程为：x2﹣5x+4＝0，
∴x＝1 或x＝4
22．如图在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB 的度数．
【分析】由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝
3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可证△ACD 是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，从而易求
∠BAD．
【解答】解：如右图所示，连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝
＝2
，∠BAC＝45°，
又∵CD＝3，DA＝1，
∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，
∴AC2+DA2＝CD2，
∴△ACD 是直角三角形，
∴∠CAD＝90°，
∴∠DAB＝45°+90°＝135°．
故∠DAB 的度数为135°．
23．已知：y＝y1+y2，并且y1与（x﹣1）成正比例，y2与x 成反比例．当x＝2 时，y＝5；当x＝
﹣2 时，y＝﹣9．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）求当x＝8 时的函数值．
【分析】（1）首先设y1＝k1（x﹣1），y2＝
，再根据y＝y1+y2可得y＝k1（x﹣1）+
，然
后把x＝2 时，y＝5；当x＝﹣2 时，y＝﹣9 代入可得关于k1、k2的方程组，解出k1、k2的值，
可得函数解析式；
（2）把x＝8 代入函数解析式可得答案．
【解答】解：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与x 成反比例，
∴设y1＝k1（x﹣1），y2＝
，
∵y＝y1+y2，
∴y＝k1（x﹣1）+
，
∵当x＝2 时，y＝5；当x＝﹣2 时，y＝﹣9．
∴
，
解得：
，
∴y 关于x 的函数解析式为y＝2（x﹣1）+
（2）当x＝8 时，原式＝2×7+
＝14
．
24．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠CAD＝∠CBD．
（1）求证：CD 平分∠ACB；
（2）点E 是AD 延长线上一点，CE＝CA，CF∥BD 交AE 于点F，若∠CAD＝15°，求证：EF＝
BD．
【分析】（1）证明△DCA≌△DCB，可得结论；
（2）证明△DCF 是等边三角形，可得DC＝CF，根据SAS 可证明△DCB≌△FCE，则结论可得出．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD，CD＝CD，
∴△DCA≌△DCB（SAS），
∴∠DCB＝∠DCA；
（2）证明：∵△DCA≌△DCB，
∴∠CAD＝∠CBD＝15°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠DCB＝45°，
∴∠FDC＝∠CAD+∠DCA＝15°+45°＝60°，
∵CF∥BD，
∴∠DBC＝∠FCB＝15°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF 是等边三角形，
∴DC＝CF，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝15°，
∴∠ACE＝150°，
∴∠DCB＝∠FCE，
∴△DCB≌△FCE（SAS），
∴EF＝BD．
25．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，正比例函数y＝
x 的图象与反比例函数y＝
（x＞0）的图象都经过点A（2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点B 在x 轴上，且OA＝BA，反比例函数图象上有一点C，且∠ABC＝90°，求点C 坐标．
【分析】（1）根据正比例函数图象上点的坐标特征求出m，利用待定系数法求出反比例函数的
解析式；
（2）根据等腰三角形的性质分别求出OD、BD、AD，证明△ADB∽△BEC，根据相似三角形的性
质列式计算求出x，得到答案．
【解答】解：∵正比例函数y＝
x 的图象经过点A（2，m），
∴m＝2
，
∴点A 的坐标为（2，2
），
∴k＝4
，
∴反比例函数的解析式为y＝
；
（2）作AD⊥x 轴于D，CE⊥x 轴于E，
设点C 的坐标为（x，
），
∵AO＝AB，AD⊥x 轴，
∴OD＝DB＝2，AD＝2
，
∵作AD⊥x 轴，CE⊥x 轴，∠ABC＝90°，
∴△ADB∽△BEC，
∴
＝
，即
＝
，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝6，
则点C 的坐标为（6，
）．
26．已知：如图1，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，点D、E 分别是边AB、AC
上动点，点D 不与点A、B 重合，DE∥BC．
（1）如图1，当AE＝1 时，求BD 长；
（2）如图2，把△DEA 沿着直线DE 翻折得到△DEF，设CE＝x．
①当点F 落在斜边BC 上时，求x 的值；
②如图3，当点F 落在Rt△ABC 外部时，EF、DF 分别与BC 相交于点H、G，如果△ABC 和△DEF
重叠部分的面积为y，求y 与x 的函数关系式及定义域．（直接写出答案）
【分析】（1）由直角三角形的性质可求AB，AD 的长，即可求解；
（2）①由平行线的性质和折叠的性质可求CE＝FE＝AE＝2，即可求解；
②分别求出△DEF 的面积和△FGH 的面积，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，
∴AB＝
AC＝4
，
∵DE∥BC．
∴∠ABC＝∠ADE＝30°，且∠A＝90°，AE＝1，
∴AD＝
，
∴DB＝AB﹣AD＝3
；
（2）①∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，∠DEF＝∠CFE，
∵把△DEA 沿着直线DE 翻折得到△DEF，
∴∠AED＝∠DEF，AE＝EF，
∴∠ACB＝∠CFE，
∴CE＝EF，
∴AE＝CE＝
AC＝2；
②∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∠EDF＝∠DGB，∠DEF＝∠EHC
∵把△DEA 沿着直线DE 翻折得到△DEF，
∴∠AED＝∠DEF，∠ADE＝∠EDF，AE＝EF，AD＝DF，
∴∠DGB＝∠B，∠EHC＝∠C，
∴EC＝EH＝x，DG＝DB，
∵CE＝x，
∴AE＝4﹣x，且∠A＝90°，∠ADE＝∠ABC＝30°，
∴AD＝
（4﹣x），DB＝AB﹣AD＝4
﹣
（4﹣x）＝
x，
∴S△DEF＝S△ADE＝
AD×AE＝
（4﹣x）2，
∵FH＝EF﹣EH＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，GF＝DF﹣DG＝
（4﹣x）﹣
x＝4
﹣2
x，
∴S△FHG＝
×FH×FG＝
（4﹣2x）×（4
﹣2
x）＝
（4﹣2x）2，
∴y＝S△DEF﹣S△FHG＝
（4﹣x）2﹣
（4﹣2x）2＝﹣
（0＜x＜2）．
