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湘教版七年级下册数学期末试卷
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10 小题，每小题4 分，共40 分）：
1．（4 分）对于一组统计数据1，1，4，4，4，7，7．则这组数据的平均数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．（4 分）下列运算正确的是（ ）
A．﹣a•a2＝a3
B．（3x）2＝3x2
C．（x+2）（﹣x+2）＝4﹣x2
D．（a+b）2＝a2+ab+b2
3．（4 分）对于下列轴对称图形，判断正确的是（ ）
A．等腰三角形有2 条对称轴
B．等边三角形有3 条对称轴
C．正方形有2 条对称轴
D．圆有1 条对称轴
4．（4 分）下列多项式因式分解正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）
B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
D．（x+y）2﹣（x﹣z）2＝（2x+y﹣z）（y﹣z）
5．（4 分）如图所示，直线a、b 被直线c、d 所截，且a∥b，c 与d 相交于点O，则α＝（ ）
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1
A．11°
B．33°
C．43°
D．68°
6．（4 分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一
斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几何？”其
意思是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值50 钱；行酒（劣质酒）1 斗，价值10 钱；现有30 钱，
买得2 斗酒．问可以买醇酒和行酒各多少斗？若设可以买醇酒x 斗，行酒y 斗，则可列方
程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4 分）一小区大门的栏杆如图所示，当栏杆抬起时，BA 垂直于地面AE，CD 平行于地面
AE，则∠ABC+∠BCD 的度数为（ ）
A．180°
B．270°
C．300°
D．360°
8．（4 分）已知x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2，则b2﹣a2的值是（ ）
A．﹣72
B．﹣45
C．45
D．72
9．
（4 分）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个
入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反弹），那么该球最后将
落入的球袋是（ ）
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2
A．1 号袋
B．2 号袋
C．3 号袋
D．4 号袋
10．（4 分）正整数n 小于100，并且满足等式
，其中[x]表示不超过x 的
最大整数，例如：[1.5]＝1，[2]＝2，则满足等式的正整数n 的个数为（ ）
A．2
B．3
C．12
D．16
二、填空题（本题共8 小题，每小题4 分，共32 分）：
11．（4 分）计算（﹣2a2b）2＝ ．
12．（4 分）若
，求
的值为 ．
13．（4 分）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的和为 度．
14．（4 分）某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这
个月四个市场的价格平均值相同、方差分别为S 甲2＝8.5，S 乙2＝2.5，S 丙2＝10.1，S 丁2＝
7.4，二月份白菜价格最稳定的市场是 ．
15．（4 分）已知
，则23x+y＝ ．
16．（4 分）如图，直线AE∥BD，点C 在BD 上，若AE＝3，BD＝5，三角形ACE 的面积为6，则
三角形ABD 的面积为 ．
17．（4 分）一个自然数的3 次幂，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可
以按如图所示的方式“分裂”成2 个，3 个和4 个连续奇数的和，即23＝3+5；33＝
7+9+11；43＝13+15+17+19；若73也按照此规律来进行“分裂”，则73“分裂”出的奇数
中，最大的奇数是 ．
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3
18．（4 分）如图，小方格都是边长为1 的正方形，则以格点为圆心，半径为1 和2 的两种弧围
成的“叶状”阴影图案的面积为 ．
三、解答题（本大题共8 小题，共78 分）：
19．（6 分）（1）分解因式：x3﹣2x2+x；
（2）计算：3x2y•（﹣2x3y2）．
20．（8 分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中
，
．
21．（8 分）（1）
；
（2）
．
22．（10 分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，图1、图2、
图3 均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点）．结合图形解答下列问题：
（1）在图1 中，图1 经过 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图
2；
（2）在图1 中，图3 是可以由图2 经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填
“A”或“B”或“C”）；
（3 ）在图2 中画出图1 绕点A 顺时针旋转90° 后得到的图形．
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4
23．（10 分）为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，
组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射
击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10 发子弹，成绩记录如表：
射击次序（次）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲的成绩（环）
8
9
7
9
8
6
7
a
10
8
乙的成绩（环）
6
7
9
7
9
10
8
7
7
10
（1）经计算甲和乙的平均成绩是8（环），请求出表中的a＝ ；
（2）甲成绩的中位数是 环，乙成绩的众数是 环；
（3）若甲成绩的方差是1.2，请求出乙成绩的方差，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
24．（10 分）如图，直线AB、CD 被直线EF 所截并分别交于点G、H，AB∥CD，GO⊥CD 于点
O，∠EGB＝45°．
（1）求证：∠GHO＝45°．
（2）若HO＝5cm，求直线AB 与直线CD 的距离．
25．（13 分）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕
过P 点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，
用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6 秒钟，乙同学以2.5m/s 的速度
顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50 秒”，乙同学说：“捡
球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2 倍”．请根据图文信息解决下列问题：
（1）求甲的赛跑速度；
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（2）在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？
（3）求P 点与l 之间的距离．
26．（13 分）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC 的度数．小明的思路是：
过点P 作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，求∠APC 的度数；
（2）如图2，AB∥CD，点P 在射线OM 上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P 在B、D 两
点之间运动时，请写出∠APC 与α、β 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B、D 两点外侧运动时（点P 与点O、B、D 三点不重合），
请直接写出∠APC 与α、β 之间的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题有且只有一个正确答案，本题共10 小题，每小题4 分，共40 分）：
1．【分析】根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数进
行计算即可．
【解答】解：这组数据的平均数是：
×（1+1+4+4+4+7+7）＝4．
故选：A．
2．【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：﹣a•a2＝﹣a3，故选项A 错误；
（3x）2＝9x2，故选项B 错误；
（x+2）（﹣x+2）＝4﹣x2，故选项C 正确；
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6
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D 错误；
故选：C．
3．【分析】根据轴对称图形的概念分别得出对称轴的条数进而求解．
【解答】解：A、等腰三角形有2 条或3 条对称轴，不符合题意；
B、等边三角形有3 条对称轴，符合题意；
C、正方形有4 条对称轴，不符合题意；
D、圆有无数条对称轴，不符合题意．
故选：B．
4．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断得出答案．
【解答】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故此选项不合题意；
B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故此选项不合题意；
C．x（x﹣y）+y（y﹣x）x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2，故此选项符合题意；
D．（x+y）2﹣（x﹣z）2＝（x+y+x﹣z）（x+y﹣x+z）＝（2x+y﹣z）（y+z），故此选项不合题意；
故选：C．
5．【分析】根据平行线的性质可求∠1，再根据三角形外角的性质可求α．
【解答】解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝79°（两直线平行，同位角相等），
∴α＝112°﹣79°＝33°．
故选：B．
6．【分析】根据“现用30 钱，买得2 斗酒”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．
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7
【解答】解：依题意，得：
．
故选：B．
7．【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】解：过B 作BM∥AE，则CD∥BM∥AE．
∴∠BCD+∠1＝180°；
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BM．
∴∠ABM＝90°．
∴∠ABC+∠BCD＝90°+180°＝270°．
故选：B．
8．【分析】直接利用完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，得出a，b 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣2ax+b＝（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴﹣2a＝﹣6，b＝9，
解得：a＝3，
故b2﹣a2＝92﹣32＝72．
故选：D．
9．【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
故选：B．
10．【分析】利用不等式[x]≤x 即可求出满足条件的n 的值．
【解答】解：若
，
，
有一个不是整数，
则
或者
或者
，
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8
∴
，
∴
，
，
都是整数，即n 是2，3，6 的公倍数，且n＜100，
∴n 的值为6，12，18，24，......96，共有16 个，
故选：D．
二、填空题（本题共8 小题，每小题4 分，共32 分）：
11．【分析】直接利用积的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：（﹣2a2b）2＝4a4b2．
故答案为：4a4b2．
12．【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．
【解答】解：已知等式两边平方得：（a+
）2＝a2+2+
＝4，
则a2+
＝2．
故答案为：2．
13．【分析】根据平行线的性质定理可得结果．
【解答】解：∵两直线平行，同旁内角互补，
∴和为180°，
故答案为：180．
14．
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，
表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵S 甲2＝8.5，S 乙2＝2.5，S 丙2＝10.1，S 丁2＝7.4，
∴S 乙2＜S 丁2＜S 甲2＜S 丙2，
∴二月份白菜价格最稳定的市场是乙；
故答案为：乙．
15．【分析】先求出x+y＝4，2（x+
y）＝3，再求出x、y 的值，求出3x+y 的值，最后求出答案即
可．
【解答】解：∵2x+y＝16＝24，
∴x+y＝4 ①，
∵4
＝8，
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9
∴2
＝23，
∴2（x+
y）＝3，
∴2x+y＝3 ②，
②﹣①，得x＝﹣1，
把x＝﹣1 代入①，得y＝5，
∴3x+y＝﹣3+5＝2，
∴23x+y＝22＝4，
故答案为：4．
16．【分析】过点C 作AF⊥AE 于点F，由△ACE 的面积为6 可求出CF 的长，再由AE∥BD 可
知CF 为△ABD 的高，由三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：过点C 作CF⊥AE 于点F，如图所示：
∵△ACE 的面积为6，AE＝3，
∴
AE•CF＝
×3×CF＝6，
解得：CF＝4，
∵AE∥BD，
∴CF 是△ABD 的高，
∴S△ABD＝
×BD×4＝
×5×4＝10．
故答案为：10．
17．【分析】一个自然数的3 次幂，可以分裂成若干个连续奇数的和．由材料中的规律可知：73
可“分裂”成7 个连续奇数的和，应用列举法可得结论．
【解答】解：∵23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29；
63＝31+33+35+37+39+41；
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10
73＝43+45+47+49+51+53+55．
∴则73“分裂”出的奇数中，最大的奇数是：55．
故答案为：55．
18．【分析】连接AB，则阴影部分面积＝2（S 扇形AOB﹣S△ABO），依此计算即可求解．
【解答】解：
由题意得，阴影部分面积＝2（S 扇形AOB﹣S△AOB）＝2（
﹣
×2×2）＝2π﹣4．
故答案为：2π﹣4．
三、解答题（本大题共8 小题，共78 分）：
19．【分析】（1）利用提公因式法和完全平方公式因式分解；
（2）根据单项式乘单项式的运算法则计算．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣2x+1）
＝x（x﹣1）2；
（2）原式＝﹣6x5y3．
20．【分析】将原式的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合
并同类项后，得到最简结果，然后将x 与y 的值代入，计算后即可得到原式的值．
【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）
＝（4x2+12xy+9y2）﹣（4x2﹣y2）
＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2
＝12xy+10y2，
当x＝
，y＝﹣
时，原式＝12×
×（﹣
）+10×（﹣
）2＝
．
21．【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）把方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【解答】解：（1）
，
把②代入①，得3x+（2x﹣1）＝4，
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解得x＝1，
把x＝1 代入②，得y＝1，
故方程组的解为
；
（2）
，
①×4﹣②×3，得7y＝35，
解得y＝5，
把y＝5 代入①，得3x+20＝8，
解得x＝﹣4，
故方程组的解为
．
22．【分析】（1）根据平移变换的性质判断即可．
（2）根据旋转变换的性质判断即可．
（3）根据旋转变换的性质作出图形即可．
【解答】解：（1）图1 经过平移变换可以得到图2，
故答案为：平移．
（2）图3 是可以由图2 经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A．
故答案为：A．
（3）如图，旋转后的图形如图所示．
23．【分析】（1）依据甲的平均成绩是8（环），即可得到a 的值；
（2）依据中位数以及众数的定义进行判断即可；
（3）依据方差的计算公式，即可得到乙成绩的方差，根据方差的大小，进而得出甲、乙两人
谁的成绩更为稳定．
【解答】解：（1）∵甲的平均成绩是8（环），
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∴
（8+9+7+9+8+6+7+a+10+8）＝8，
解得a＝8，
故答案为：8；
（2）甲成绩排序后最中间的两个数据为8 和8，
∴甲成绩的中位数是
（8+8）＝8；
乙成绩中出现次数最多的为7，故乙成绩的众数是7，
故答案为：8，7；
（3）乙成绩的方差为
[（﹣1）2×4+12×2+22×2+（﹣2）2+02]＝1.8，
∵甲和乙的平均成绩是8（环），而甲成绩的方差小于乙成绩的方差，
∴甲的成绩更为稳定．
24．【分析】（1）根据平行线的性质证明即可；
（2）根据垂直的定义可得∠GOH＝90°，再结合（1）可得∠OGH＝45°，进而得出GO＝
HO，从而得出结论．
【解答】解：（1）证明∵AB∥CD，
∴∠EGB＝∠GHO （两直线平行，同位角相等），
又∵∠EGB＝45°，
∴∠GHO＝45°；
（2）由（1）已证∠GHO＝45°，
又∵GO⊥CD 于点O，
∴∠GOH＝90°，
∴∠OGH＝45°，
∴GO＝HO，
又∵HO＝5cm 且AB∥CD，
∴GO＝HO＝5cm，
于是直线AB 与直线CD 的距离为GO 即为5cm．
25．【分析】（1）由甲的速度是乙的1.2 倍，即可求解；
（2）设甲用时为x 秒，乙用时为y 秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50
秒”，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6 秒钟，乙同学以2.5m/s 的速度顺利跑完全程，列
出方程组，解方程组即可；
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（3）由乙跑的全程除以2 即可．
【解答】解：（1）依题意得：甲的赛跑速度为1.2×2.5＝3（m/s）；
（2）设甲用时为x 秒，乙用时为y 秒，
依题意得：
，
解得：
，
∵24＜26，
∴此次赛跑中乙获胜．
（3）由（2）可得点P 到l 的距离为（2.5×24）÷2＝30（米）．
26．
【分析】（1）通过平行线性质可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，再代入∠PAB＝
130°，∠PCD＝120°可求∠APC 即可；
（2）过P 作PE∥AB 交AC 于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α＝∠APE，
∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P 在BD 延长线上；P 在DB 延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质
得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点P 作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°．
（2）∠APC＝∠α+∠β，
理由：如图2，过P 作PE∥AB 交AC 于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
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∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①如图所示，当P 在BD 延长线上时，
∠CPA＝∠α﹣∠β；
②如图所示，当P 在DB 延长线上时，
∠CPA＝∠β﹣∠α；
∴∠CPA＝∠α﹣∠β 或者∠CPA＝∠β﹣∠α．
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