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湘教版九年级下册数学期中试卷
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号
涂在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分）
1．（3 分）如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE＝BF．将△AEH，
△CFG 分别沿边EH，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的
时，则
为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
2．（3 分）我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月L2 点Halo 轨
道的卫星，它的运行轨道距月球约65000 公里，将65000 用科学记数法表示应为（ ）
A．6.5×104
B．65×103
C．0.65×105
D．6.5×105
3．（3 分）下列运算，正确的是（ ）
A．a3+a3＝2a6
B．（a2）5＝a10
C．a2a5＝a10
D．（3ab）2＝3a2b2
4．（3 分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n 与
的图象可能是（ ）
A．
B．
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1
C．
D．
5．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，且AB＝4，C 是⊙O 上一点，将
沿直线AC 翻折，若翻折
后的圆弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）如图，已知菱形OABC，OC 在x 轴上，AB 交y 轴于点D，点A 在反比例函数y1＝
上，点B 在反比例函数y2＝﹣
上，且OD＝2
，则k 的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
7．（3 分）在棱长为2 的正方体毛坯的一角处挖去一个棱长为1 的小正方体，得到如图所示的
几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
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2
A．
B．
C．
D．
8．（3 分）如图，在⊙O 中，点A、B、C 在⊙O 上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（ ）
A．70°
B．110°
C．120°
D．140°
二、填空题（本大题共8 小题，请将答案填写在相应位置，每小题3 分，共24 分）
9．（3 分）开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14 天进行了体温测量，结果统计如下表：
体温（℃）
36.3
36.4
36.5
36.6
36.7
36.8
天数（天）
2
3
3
4
1
1
这组体温数据的中位数是 ℃．
10．（3 分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，∠ABC＝60°，BE 平分∠ABC 交
AD 于点E，AF 平分∠BAD 交BC 于点F，交BE 于点G，连接DG，则GD 的长为 ．
11．（3 分）已知实数a、b、c 满足a+b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则
+
＝1；
②若a＝3，则b+c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a、b、c 中只有两个数相等，则a+b+c＝8．
其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）．
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3
12．（3 分）要使式子
有意义，则字母x 的取值范围是 ．
13．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90o，∠A＝30o，BC＝1，以点B 为圆心，以BC 长度为半径
作弧，交BA 于点D，以点C 为圆心，以大于
为半径作弧，接着再以点D 为圆心，以相
同长度为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE 交CA 于点F，以点B 为圆心，以BF 为长度
作弧，交BA 于点G，则阴影部分的面积为 ．
14．
（3 分）在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球4
个，黑、白色小球的数目相同．小明从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀
后随机摸出一球，记下颜色；…如此大量摸球试验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳
定于20%，由此可以估计布袋中的黑色小球有 个．
15．（3 分）分解因式：2a2﹣2＝ ．
16．（3 分）如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，点D，E 在BC 上，且BD＝CE，请你在图中找出
一组全等三角形 ．（不添加任何字母和辅助线）
三、解答题（本大题共8 小题，共72 分）
17．（6 分）计算：
．
18．（6 分）先化简，再求值：
÷（1+
），其中x＝
+1．
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4
19．（6 分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的
了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚
不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆
心角的度数为 °；
（2）若该中学共有学生900 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识
达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为多少人？
20．（10 分）如图，AC 是⊙O 的直径，OD 与⊙O 相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC 的长度．
21．（8 分）如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B＝45°，∠C＝30°，
AC＝8 米．请你求出BC 的长．（结果可保留根号）
22．（12 分）如图，直线y＝x+2 与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（
，）和B（4，m），点
P 是线段AB 上异于A、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
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（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
请说明理由；
（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．
23．（12 分）如图，AB、AC 为⊙O 的弦，连接CO、BO 并延长分别交弦AB、AC 于点E、F，∠B
＝∠C．
求证：CE＝BF．
24．（12 分）在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，3），点C 为x 轴正半轴上一动点，过
点A 作AD⊥BC 交y 轴于点E．
（1）如图①，若点C 的坐标为（2，0），试求点E 的坐标；
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6
（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且OC＜3，其它条件不变，连接OD，求证：OD
平分∠ADC；
（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当AD﹣CD＝OC 时，求∠OCD 的度数．
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参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号
涂在答题卡相应的位置上，每小题3 分，满分24 分）
1．
【分析】设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四
边形AHME、四边形BENF 是菱形，得出EN＝BE＝y，EM＝x+y，由相似的性质得出AB＝
4MN＝4x，求出AE＝AB﹣BE＝4x﹣y，得出方程4x﹣y＝x+y，得出x＝
y，AE＝
y，即可
得出结论．
【解答】解：设重叠的菱形边长为x，BE＝BF＝y，
由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME、四边形BENF 是菱形，
∴AE＝EM，EN＝BE＝y，EM＝x+y，
∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的
，且两个菱形相似，
∴AB＝4MN＝4x，
∴AE＝AB﹣BE＝4x﹣y，
∴4x﹣y＝x+y，
解得：x＝
y，
∴AE＝
y，
∴
＝
＝
；
故选：A．
2．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
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数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将65000 用科学记数法表示为：6.5×104．
故选：A．
3．【分析】根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则来分析．
【解答】解：
A．错误，a3+a3＝2a3
B．正确，因为幂的乘方，底数不变，指数相乘．
C．错误，a2a5＝a7
D．错误，（3ab）2＝9a2b2
故选：B．
4．【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的图象是否正确．
【解答】解：当m＜0，n＞0 时，函数y＝mx+n 的图象经过第一、二、四象限，
的图象在第二、四象限，故选项A 错误、选项D 正确；
当m＞0，n＞0 时，函数y＝mx+n 的图象经过第一、二、三象限，
的图象在
第一、三象限，故选项B 错误；
当m＞0，n＜0 时，函数y＝mx+n 的图象经过第一、三、四象限，
的图象在
第二、四象限，故选项C 错误；
故选：D．
5．【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积，然后根据题目中的数
据，计算出扇形BOC 的面积即可．
【解答】解：连接OC，作OD⊥AC 于点D，
由图可知，阴影部分的面积＝扇形BOC 的面积，
∵OD＝
OC，∠ODC＝90°，AB＝4，
∴∠DCO＝30°，OC＝2，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
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∴扇形BOC 的面积是：
＝
π，
故选：D．
6．【分析】估计菱形的性质得到AB∥OC，求得AB⊥y 轴，得到A（
，2
），B（﹣
，2
），求得AB＝
，AD＝
，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO 是菱形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥y 轴，
∵OD＝2
，
∴A（
，2
），B（﹣
，2
），
∴AB＝
，AD＝
，
∵AB＝OA，
∴OA＝
，
∵AD2+OD2＝OA2，
∴（
）2+（2
）2＝（
）2，
∴k＝2
，
故选：B．
7．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形，
故选：B．
8．【分析】作
所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后
根据圆周角定理求解．
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【解答】解：作
所对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．
故选：D．
二、填空题（本大题共8 小题，请将答案填写在相应位置，每小题3 分，共24 分）
9．【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵共有14 个数据，其中位数是第7、8 个数据的平均数，而第7、8 个数据均为
36.5，
∴这组体温数据的中位数是
＝36.5（℃），
故答案为：36.5．
10．【分析】过点G 作GH⊥AD 于点H，由平行四边形的性质得出AD∥BC，证明△ABF 为等
边三角形，由等腰三角形的性质得出AG＝4，由直角三角形的性质得出AH＝2，由勾股定
理可求出答案．
【解答】解：过点G 作GH⊥AD 于点H，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AF 平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠AFB＝60°，
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∴△ABF 为等边三角形，AB＝AF＝8，
∵BE 平分∠ABC，
∴AG＝GF＝4，
又∵∠AHG＝90°，
∴∠AGH＝30°，
∴AH＝
AG＝2，GH＝2
，
∴DH＝AD﹣AH＝10﹣2＝8，
∴DG＝
＝
＝2
，
故答案为：2
．
11．【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．
【解答】解：①∵a+b＝ab＝c≠0，∴
+
＝1，此选项正确；
②∵a＝3，则3+b＝3b，b＝
，c＝
，∴b+c＝
+
＝6，此选项错误；
③∵a＝b＝c，则2a＝a2＝a，∴a＝0，abc＝0，此选项正确；
④∵a、b、c 中只有两个数相等，不妨a＝b，则2a＝a2，a＝0，或a＝2，a＝0 不合题意，a＝
2，则b＝2，c＝4，∴a+b+c＝8．当a＝c 时，∵a+b＝c，则b＝0，不符合题意，b＝c 时，a＝0，
此时a+b＝ab＝c＝0，b＝c＝0，也不符合题意；
故只能是a＝b＝2，c＝4；此选项正确
其中正确的是①③④．
故答案为：①③④．
12．【分析】求二次根式中被开方数的取值范围，依据为二次根式中的被开方数是非负数．
【解答】解：要使式子
有意义，则x﹣2＞0，
解得x＞2，
∴字母x 的取值范围是x＞2，
故答案为：x＞2．
13．【分析】根据S 阴＝S△ABF﹣S△BGF，求解即可．
【解答】解：由作图可知，BE 平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝90°﹣30°＝60°，
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∴∠CBF＝∠FBA＝30°，
∵BC＝1，
∴CF＝BC•tan30°＝
，AC＝BC•tan60°＝
，BF＝2CF＝
，
∴S 阴＝S△ABF﹣S△BGF＝
×
×1﹣
＝
﹣
，
故答案为：
﹣
．
14．【分析】根据多次试验发现摸到红球的频率是20%，则可以得出摸到红球的概率为20%，
再利用红色小球有4 个，黄、白色小球的数目相同进而表示出黑球概率，得出答案即可．
【解答】解：设黑色的数目为x，则黑、白色小球一共有2x 个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是20%，则得出摸到红球的概率为20%，
∴
＝20%，解得：x＝8，
∴黑色小球的数目是8 个．
故答案为：8．
15．【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：2a2﹣2，
＝2（a2﹣1），
＝2（a+1）（a﹣1）．
16．【分析】首先根据等腰三角形的性质：等角对等边得出∠B＝∠C，然后根据SAS 证明
△ABD≌△ACE，△ABE≌△ACD，则图中全等的三角形共有2 对．
【解答】解：在△ABD 与△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∵BD＝CE，
∴BD+DE＝CE+DE，
∴BE＝CD．
在△ABD 与△ACD 中，
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，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
故答案为：△ABD≌△ACE 或△ABE≌△ACD．
三、解答题（本大题共8 小题，共72 分）
17．【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的
性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣2×
＝1+4﹣
＝
．
18．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
•
＝
当x＝
+1 时，
原式＝
＝
19．【分析】（1）从两个统计图中可知“了解很少”的频数为30 人，占调查人数的50%，可求
出调查人数，进而求出“了解”的频数、所占得百分比，相应的圆心角的度数；
（2）求出“了解”“基本了解”所占得百分比即可求出答案．
【解答】解：（1）接受问卷调查的人数为：30÷50%＝60（人），
“了解”的人数为：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），
所以扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×
＝30°，
故答案为：60，30；
（2）“了解”和“基本了解”的人数为15+5＝20（人），
因此整体中，达到“了解”和“基本了解”的人数为：900×
＝300（人），
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答：该中学900 中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”的共有300 人．
20．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，求出∠ACB+∠CAB＝90°，求出∠OAD＝
90°，再根据切线的判定得出即可；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出OA＝
OD，求出OA，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA 是⊙O 的半径，
∴AD 是⊙O 的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA＝
OD＝
（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
21．【分析】直接过A 作AD⊥BC 于D，分别得出BD，DC 的长进而得出答案．
【解答】解：如图：过A 作AD⊥BC 于D．
在△ABD 中，∵∠B＝45°，
∴AD＝BD．在△ACD 中，
∵∠C＝30°，AC＝8 米，
∴AD＝
AC＝BD＝4（米），
∴CD＝
＝4
（米），
∴BC＝BD+CD＝（4+4
）米，
答：BC 的长为：（4+4
）米．
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22．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y＝x+2 上，可求得m 的值，抛物线图象上的A、B 两点坐
标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC 的长，实际是直线AB 与抛物线函数值的差．可设出P 点横坐标，根据直线
AB 和抛物线的解析式表示出P、C 的纵坐标，进而得到关于PC 与P 点横坐标的函数关系
式，根据函数的性质即可求出PC 的最大值．
（3）当△PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求
解．
【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2 上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（
，
）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6 上，
∴
，解得
，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）设动点P 的坐标为（n，n+2），则C 点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣
）2+
，
∵PC＞0，
∴当n＝
时，线段PC 最大且为
．
（3）∵△PAC 为直角三角形，
i）若点P 为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y 轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A 为直角顶点，则∠PAC＝90°．
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如答图3﹣1，过点A（
，
）作AN⊥x 轴于点N，则ON＝
，AN＝
．
过点A 作AM⊥直线AB，交x 轴于点M，则由题意易知，△AMN 为等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝
，∴OM＝ON+MN＝
+
＝3，
∴M（3，0）．
设直线AM 的解析式为：y＝kx+b，
则：
，解得
，
∴直线AM 的解析式为：y＝﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x＝3 或x＝
（与点A 重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M 点重合．
当x＝3 时，y＝x+2＝5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C 为直角顶点，则∠ACP＝90°．
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（
，
）关于对称轴x＝2 的对称点C，
则点C 在抛物线上，且C（
，
）．
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当x＝
时，y＝x+2＝
．
∴P2（
，
）．
∵点P1（3，5）、P2（
，
）均在线段AB 上，
∴综上所述，△PAC 为直角三角形时，点P 的坐标为（3，5）或（
，
）．
23．【分析】因为OB，OC 是⊙O 的半径，所以OB＝OC，又因为∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
易证△EOB≌△FOC，则可求证CE＝BF．
【解答】证明：∵OB，OC 是⊙O 的半径，
∴OB＝OC．
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC（ASA）．
∴OE＝OF．
∵CE＝OC+OE，BF＝OB+OF，
∴CE＝BF．
24．【分析】（1）证明△AOE≌△BOC（ASA），可得结论．
（2）如图②，过点O 作OM⊥AD 于点M，作ON⊥BC 于点N，证明OM＝ON，可得结论．
（3）如图所示，在DA 上截取DP＝DC，连接OP，证明△OPD≌△OCD（SAS），可得结论．
【解答】（1）解：如图①，
∵AD⊥BC，BO⊥AO，
∴∠AOE＝∠BDE＝90°，
又∵∠AEO＝∠BED，
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∴∠OAE＝∠OBC，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
在△AOE 和△BOC 中，
，
∴△AOE≌△BOC（ASA），
∴OE＝OC，
又∵点C 的坐标为（2，0），
∴OC＝2＝OE，
∴点E 的坐标为（0，2）．
（2）证明：如图②，过点O 作OM⊥AD 于点M，作ON⊥BC 于点N，
∵△AOE≌△BOC，
∴S△AOE＝S△BOC，且AE＝BC，
∵OM⊥AE，ON⊥BC，
∴OM＝ON，
∴OD 平分∠ADC．
（3）解：如图所示，在DA 上截取DP＝DC，连接OP，
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∵∠PDO＝∠CDO，OD＝OD，
在△OPD 和△OCD 中，
，
∴△OPD≌△OCD（SAS），
∴OC＝OP，∠OPD＝∠OCD，
∵AD﹣CD＝OC，
∴AD﹣DP＝OP，即AP＝OP，
∴∠PAO＝∠POA，
∴∠OPD＝∠PAO+∠POA＝2∠PAO＝∠OCB，
又∵∠PAO+∠OCD＝90°，
∴3∠PAO＝90°，
∴∠PAO＝30°，
∴∠OCD＝60°．
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