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北师大版九年级下册期中考
试数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B C B D D C D D B D C
解析：
1．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA= = ，
故选D．
2．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在
同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D ．
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3．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为
（ ）
A． B． C． D．
解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为k、2k、3k，
∴k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
最小角的正切值=tan30°= ．
故选：C．
4．关于抛物线y=﹣ （x+2）2+1，下列说法正确的是（ ）
A．当x=2时，y有最小值1 B．当x=﹣2时，y有最大值1
C．当x=2时，y有最大值1 D．当x=﹣2时，y有最小值1
解：抛物线y=﹣ （x+2）2+1当x=﹣2时有最大值1，
故选B．
5．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面
积为（ ）
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A．cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
解：如图，由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，
即∠A=45°，AC=AB．
作CD⊥AB，垂足为D，
则CD=1．
∵sin∠A= ，
∴ = =AB，
∴S = ×AB×CD= ，
△ABC
∴折叠后重叠部分的面积为 cm2．
故选D．
6．如图，△ABC是锐角三角形，sinC= ，则sinA的取值范围是（ ）
A．0 B． C． D．
解：作AH⊥BC于H，如图，
在Rt△ACH中，sinC= = ，
设AH=4x，AC=5x，
所以CH= =3x，
所以sin∠HAC= = ，
∵∠HAC＜∠BAC＜90°，
∴ ＜sin∠BAC＜1．
故选D．
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7．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（
）
A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2
解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，
∴ ，
解得：k≤3且k≠2．
故选：C．
8．一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为
θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需
要（ ）
A． 米2 B． 米2 C．（4+ ）米2 D．（4+4tanθ）米2
解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），
∴AC+BC=4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；
故选：D．
9．将二次函数y=x2的图象向下平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后的
二次函数的解析式为（ ）
A．y=x2﹣2 B．y=x2+2 C．y=（x+3）2+2 D．y=（x﹣3）2﹣2
解：原抛物线y=x2的顶点为（0，0），向下平移2个单位，再向右平移3个单位，那
么新抛物线的顶点为（﹣3，﹣2）．
可设新抛物线的解析式为：y=（x﹣h）2+k，代入得：y=（x+3）2﹣2．
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故选D．
10．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正
方形顶点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A． B． C． D．3
解：由勾股定理 可求出：BC=2 ，AC=2 ，DF= ，DE= ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△FDE∽△CAB，
∴∠DFE=∠ACB，
∴tan∠DFE=tan∠ACB= ，
故选（B）
11．已知二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二
次方程ax2+2ax﹣3=0的两个根分别是x =1.3和x =（ ）
1 2
A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣0.3 D．﹣3.3
解：由二次函数y=ax2+2ax﹣3的部分图象，得
对称轴是x=﹣1，
x 与x 关于对称轴对称，结合图象可得
1 2
1.3﹣（﹣1）=﹣1﹣x ，
2
解得x =﹣3.3．
2
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故选：D．
12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与
y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个
根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：
由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
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综上可知正确的结论有三个，
故选C．
二．填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
13．在Rt△ABC中， ，则cosB的值等于 ．
解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cosB=sinA，
∵sinA= ，
∴cosB= ．
故答案为： ．
14．如图，如果在坡度i=1：2.4 的斜坡上两棵树间的水平距离AC为3米，那么两
树间的坡面距离AB是 米．
解：∵坡度i=1：2.4，
∴设BC=x，则AC=2.4x，
∴AB= = =2.6x．
∵AC=3米，
∴ = = ，解得AB= ．
故答案为： ．
15．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是
（﹣2，1），则该抛物线的解析式为 y=﹣ 2 （ x + 2 ） 2 + 1 ．
解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线
y=﹣2x2相同，
∴a=﹣2，
∴y=﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y=﹣2（x+2）2+1，
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∴这个函数解析式为y=﹣2（x+2）2+1，
故答案为：y=﹣2（x+2）2+1．
16．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直
线x=﹣1，给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
④若B（﹣ ，y ）、C（﹣ ，y ）为函数图象上的两点，则y ＞y
1 2 1 2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ②③⑤ ．
解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，﹣ =﹣1，
∴b=2a，c=﹣3a，
∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正确．
∵B（﹣ ，y ）、C（﹣ ，y ）为函数图象上的两点，
1 2
又点C离对称轴近，
∴y ，＜y ，故④错误，
1 2
由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
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故答案为②③⑤．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）计算： ﹣（ ﹣1）0+（ ）﹣2﹣4sin45°．
解：原式=2 ﹣1+4﹣2
=3．
18．（6分）如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC，现可直接测量到∠B=45°，
∠C=30°，AC=8米．请你求出这块花圃的面积．（结果可保留根号）
解：如图过A作AD⊥BC于D．
在△ABD中，
∵∠B=45°，
∴AD=BD．
在△ACD中，
∵∠C=30°，AC=8，
∴AD= AC=4=BD，
∴ ，
∴ ．
∴S = BC•AD=8+8 ．
△ABC
答：花圃的面积为（8+8 ）平方米．
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19．（6分）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
20．（6分）如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A
处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的
B处．
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（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根
号）；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达
小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）
解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，
由题意，得∠ACD=30°．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，
∴cos∠ACD= ，
∴CD=AC•cos30°=120× =60 （海里）；
（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，
∴cos∠BCD= ，
∴BC= = =60 ≈60×2.44=146.4（海里），
∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．
答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60 海
里；
（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达
小岛C的航行时间约为7.3小时．
21．（6分）已知二次函数y=﹣x2﹣2x+2．
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
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x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … …
（2）结合函数图象，直接写出方程﹣x2﹣2x+2=0的近似解（指出在哪两个连续整
数之间即可）．
解：（1）填表如下：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣6 ﹣1 2 3 2 ﹣1 ﹣6 …
所画图象如图：
（2）由图象可知，方程﹣x2﹣2x+2=0的两个近似根是﹣3～﹣2之间和0～1之间．
22．（6分）把抛物线y=﹣2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移3个单位，再向上平移4
个单位，那么所得的抛物线有没有最大值？若有，求出该最大值；若没有，说明理
由．
解：y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，抛物线的顶点坐标为（1，3），把点（1，3）先向左
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平移3个单位，再向上平移4个单位所得对应点的坐标为（﹣2，7），所以平移后
的抛物线解析式为y=﹣2（x+2）2+7，
因为a=﹣2＜0，
所以当x=﹣2时，所得二次函数有最大值，最大值为7．
23．（8分）已知二次函数y=﹣2x2+8x﹣6，完成下列各题：
（1）将函数关系式用配方法化为y=a（x+h）2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对
称轴；
（2）它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S ．
△ABC
解：（1）y=﹣2x2+8x﹣6
=﹣2（x2﹣4x+3）
=﹣2（x2﹣4x+4﹣4+3．
=﹣2（x﹣2）2+2，
∴顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2．
（2）令﹣2（x﹣2）2+2=0
解得：x =3，x =1．
1 2
∴A（3，0），B（1，0）
∴AB=3﹣1=2．
∴C（2，2），
∴S = ×2×2=2．
△ABC
24．（8分）如图，抛物线y=ax2+bx+1过A（1，0）、B，（5，0）两点．
（1）求：抛物线的函数表达式；
（2）求：抛物线与y轴的交点C的坐标及其对称轴
（3）若抛物线对称轴上有一点P，使△COA∽△APB，求点P的坐标．
解：
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（1）∵抛物线y=ax2+bx+1过A（1，0）、B，（5，0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y= x2﹣ x+1；
（3）∵A（1，0），C（0，1），
∴OA=OC=1，
∴△COA为等腰直角三角形，且∠COA=90°，
∵△COA∽△APB，
∴△APB为等腰直角三角形，∠APB=90°，
∵P在抛物线对称轴上，
∴P到AB的距离= AB= ×（5﹣1）=2，
∴P点坐标为（3，2）或（3，﹣2）．
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