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青岛版七年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题共20 个小题，每小题3 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．（3 分）下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x﹣y＝7；②4x+1＝x﹣y；③
+y＝5；④x＝y；⑤x2﹣y2＝2
⑥6x﹣2y ⑦x+y+z＝1 ⑧y（y﹣1）＝2y2﹣y2+x．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（3 分）已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一
定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分
线互相垂直．其中真命题的个数为（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
3．（3 分）若关于x，y 的方程组
的解是
，则|m﹣n|为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．2
4．（3 分）用1、2、3 三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）如图，已知函数y＝ax+b 和y＝kx 的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y 的二元
一次方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3 分）在5 张形状相同的卡片上，分别写有下列5 个命题：
①同位角相等；
②三角形中至少有两个锐角；
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1
③三角形三个外角的和是360°；
④三角形中至少有一个角大于60°；
⑤如果两条直线平行，那么同旁内角的平分线互相垂直．
从中任意抽取一张卡片，抽取到卡片写有真命题的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
（3 分）下列事件：
（1）阴天会下雨；
（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；
（3）12 名同学中，
有两人的出生月份相同；（4）济南是山东省的省会．其中不确定事件有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．（3 分）如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ 之间的关系式为（ ）
A．α+β+γ＝360°
B．α﹣β+γ＝180°
C．α+β+γ＝180°
D．α+β﹣γ＝180°
9．（3 分）如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAD＝60°，且AD＝AB，则∠BCD＝（ ）
A．30°
B．15°
C．45°
D．35°
10．（3 分）在下列图形中，由条件∠1+∠2＝180°，不能得到AB∥CD 的是（ ）
A．
B．
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2
C．
D．
11．（3 分）如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1 相等的角有（ ）
A．2 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
12．（3 分）足球比赛的记分为：胜一场得3 分，平一场得1 分，负一场得0 分，一队打了14 场
比赛，负5 场，共得19 分，那么这个队胜了（ ）
A．3 场
B．4 场
C．5 场
D．6 场
13．（3 分）如图，AB∥CD，直线HE⊥MN 交MN 于E，∠1＝130°，则∠2 等于（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．60°
14．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，且AE＝AD，∠EDC＝α，则∠BAD＝（ ）
A．α
B．2α
C．3α
D．4α
15．（3 分）如图，直线m∥n，将含有45°的三角板的直角顶点放在直线m 上，若∠1＝16°，则
∠2＝（ ）
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3
A．16°
B．29°
C．30°
D．45°
16．（3 分）如图，宽为50cm 的长方形图案由10 个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形
的面积为（ ）
A．400cm2
B．500cm2
C．600cm2
D．300cm2
17．（3 分）如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝
∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b 的有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
18．（3 分）如果|x+y﹣1|和2（2x+y﹣3）2互为相反数，那么x，y 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（3 分）把一块直尺与一块含30°的直角三角板如图放置，若∠1＝34°，则∠2 的度数为（
）
A．114°
B．124°
C．116°
D．126°
20．（3 分）如图，AB∥CD，BF 平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE 与∠D 的关系是（ ）
A．∠ABE＝3∠D
B．∠ABE+∠D＝90°
C．∠ABE+3∠D＝180°
D．∠ABE＝2∠D
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二、填空题（本大题共4 个小题，每小题3 分，共12 分.把答案填在题中的横线上.）
21．（3 分）把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
22．
（3 分）小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径为2m 和3m 的同心圆（如图）
然后蒙上眼睛在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入
圈内不算，获胜可能性大的是 ．
23．（3 分）若关于x，y 的方程组
的解满足x﹣y＝10，则m 的值是 ．
24．（3 分）甲乙两个工程队分别从A，B 两村同时相向开始修筑公路，施工期间，乙队因另有
任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通，甲乙两个工程队修道路的长
度y（米）与修筑时间x（天）之间的函数图象如图，则该公路的总长度为 米．
三、解答题（本大题共5 个小题，共48 分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
25．（16 分）计算
（1）
（2）
（3）
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5
（4）
26．
（8 分）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小
时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54 分钟，从乙地到甲地用42 分钟，甲
地到乙地的全程是多少？
27．（8 分）如图，矩形OABC 顶点A（8，0）、C（0，6），直线y＝kx﹣1 分别交BA、OA 于点D、
E，且D 为BA 中点．
（1）求k 的值及此时△EAD 的面积；
（2）现向矩形内随机投飞镖，求飞镖落在△EAD 内的概率．（若投在边框上则重投）
28．
（8 分）如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC 与直线a、b 分别交于点E、F，且∠C＝90°，EG、
FH 分别平分∠MEC 和∠NFC．
（1）填空：∠OEC+∠OFC＝ ；
（2）求证：EG∥FH．
29．（8 分）如图1，已知线段AB，CD 相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1 的图形称之
为“8 字形”．如图2，在图1 的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P，
并且与CD，AB 分别相交于点M，N，试解答下列问题：
（1）在图1 中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D 之间的数量关系；
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（2）在图2 中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P 的度数；
（3）如果图2 中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D、∠B 之间存在着
怎样的数量关系（直接写出结论即可）
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共20 个小题，每小题3 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1．【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【解答】解：
①xy+2x﹣y＝7，不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
②4x+1＝x﹣y，是二元一次方程；
③
+y＝5，不是二元一次方程，因为不是整式方程；
④x＝y 是二元一次方程；
⑤x2﹣y2＝2 不是二元一次方程，因为其未知数的最高次数为2；
⑥6x﹣2y，不是二元一次方程，因为不是等式；
⑦x+y+z＝1，不是二元一次方程，因为含有3 个未知数；
⑧y（y﹣1）＝2y2﹣y2+x，是二元一次方程，因为变形后为﹣y＝x．
故选：C．
2．【分析】根据所学的公理定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数．
【解答】解：①对顶角既要考虑大小，还要考虑位置，相等的角不一定是对顶角，故①错误；
②互补的角不一定是邻补角，所以不一定是平角，故②错误；
③互补的两个角也可以是两个直角，故③错误；
④平行于同一条直线的两条直线平行，是平行公理，故④正确；
⑤邻补角的平分线的夹角正好是平角的一半，是直角，所以互相垂直，故⑤正确．
所以真命题有④⑤两个．
故选：B．
3．【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，只需将方程的
解代入方程组，就可得到关于m，n 的二元一次方程组，解得m，n 的值，即可求|m﹣n|的值．
【解答】解：根据定义，把
代入方程，得
，
所以
．
那么|m﹣n|＝2．
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故选：D．
4．【分析】先画树状图得出用1、2、3 三个数字组成一个三位数的所有情况数，再根据偶数的
定义，得出组成的数是偶数的情况数，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：
由树状图可知，用1，2，3 三个数字组成一个三位数的所有情况是：123，132，213，231，
312，321，其中组成的数是偶数的有132，312，共2 种，所以组成的三位数是偶数的概率是
＝
．
故选：A．
5．【分析】图可知：两个一次函数的交点坐标为（﹣4，﹣2）；那么交点坐标同时满足两个函数
的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即
为方程组的解．
【解答】解：函数y＝ax+b 和y＝kx 的图象交于点P（﹣4，﹣2），
即x＝﹣4，y＝﹣2 同时满足两个一次函数的解析式．
所以关于x，y 的方程组
的解是
．
故选：B．
6．【分析】根据平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角和定理、概率的计算公式进行
判断即可．
【解答】解：同位角不一定相等，①是假命题；
三角形中至少有两个锐角，②是真命题；
三角形三个外角的和是360°，③是真命题；
三角形中至少有一个角大于60°，④是假命题；
如果两条直线平行，那么同旁内角的平分线互相垂直，⑤是真命题．
五个命题中，真命题的个数是3，
则从中任意抽取一张卡片，抽取到卡片写有真命题的概率是
，
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9
故选：B．
7．【分析】不确定事件就是可能发生也可能不发生的事件．
【解答】解：（1）阴天会下雨；（2）随机掷一枚均匀的硬币，正面朝上；（3）12 名同学中，有
两人的出生月份相同；均为不确定事件；
（4）济南是山东省的省会为确定事件，
不确定事件有3 个，
故选：C．
8．【分析】首先过点E 作EF∥AB，由AB∥CD，即可得EF∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁
内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，继而求得α+β
﹣γ＝180°．
【解答】解：过点E 作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠α+∠1＝180°，∠2＝∠γ，
∵∠β＝∠1+∠2＝180°﹣∠α+∠γ，
∴α+β﹣γ＝180°．
故选：D．
9．【分析】由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝AC，求出∠DAC＝
30°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACD＝75°，即可得出∠BCD．
【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝AC，
∵∠BAD＝60°，且AD＝AB，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣30°）÷2＝75°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝75°﹣45°＝30°；
故选：A．
10．【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁
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内角互补，两直线平行．据此判断即可．
【解答】解：A、∠1 的对顶角与∠2 的对顶角是同旁内角，它们互补，所以能判定AB∥CD，
故本选项不符合题意；
B、∠1 的对顶角与∠2 是同旁内角，它们互补，所以能判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
C、∠1 的邻补角∠BAD＝∠2，所以能判定AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、由条件∠1+∠2＝180°能得到AD∥BC，不能判定AB∥CD，故本选项符合题意；
故选：D．
11．【分析】根据平行线的性质，易得∠1＝∠FEG，∠1＝∠DBA；又∠FEG＝∠FHB＝
∠DHE，∠FHB＝∠CDB，所以得解．
【解答】解：∵EG∥BD，
∴∠1＝∠DBA，∠FEG＝∠FHB＝∠DHE；
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠FEG；
∵EF∥DC，
∴∠FHB＝∠CDB．
∴∠1＝∠FEG＝∠DBA＝∠FHB＝∠CDB＝∠DHE．
故选：C．
12．【分析】设共胜了x 场，本题的等量关系为：胜的场数×3+平的场数×1+负的场数×0＝总得
分，解方程即可得出答案．
【解答】解：设共胜了x 场，则平了（14﹣5﹣x）场，
由题意得：3x+（14﹣5﹣x）＝19，
解得：x＝5，即这个队胜了5 场．
故选：C．
13．【分析】先根据平行线的性质及对顶角相等求出∠AEM 的度数，再根据垂直的性质求出
∠2 的度数即可．
【解答】解：∵∠1＝130°，
∴∠3＝∠1＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠AEM，
∵HE⊥MN，
∴∠HEM＝90°，
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∴∠2＝∠3﹣∠HEM＝130°﹣90°＝40°．
故选：B．
14．【分析】可以设∠B＝∠C＝β，根据∠ADE＝∠AED＝α+β，∠ADC＝∠B+∠BAD 即可列
出方程，从而求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
设∠B＝∠C＝β，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝α+β，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝α+β，
则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2α+β，
又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴2α+β＝β+∠BAD，
∴∠BAD＝2α．
故选：B．
15．【分析】过点A 作直线b∥n，再由直线m∥n 可知m∥n∥b，故∠3＝∠1，∠2＝∠4，由此
可得出结论．
【解答】解：过点A 作直线b∥n，
∵直线m∥n，
∴m∥n∥b，
∴∠3＝∠1，∠2＝∠4．
∵∠1＝16°，
∴∠3＝16°，
∴∠4＝45°﹣16°＝29°，
∴∠2＝∠4＝29°．
故选：B．
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16．【分析】由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形的长+小长方形的宽＝50cm，小
长方形的长+小长方形宽的4 倍＝小长方形长的2 倍，根据这两个等量关系可列出方程组，
进而求出小长方形的长与宽，最后求得小长方形的面积．
【解答】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
则可列方程组
，
解得
，
则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2．
故选：A．
17．【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
依据平行线的判定方法即可得出结论．
【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b；
②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b；
③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b；
④由∠2＝∠3，不能得到a∥b；
⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3 可得∠1＝∠2，即可得到a∥b；
⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b；
故选：C．
18．【分析】根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，列方程组解答即可．
【解答】解：根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是0，
所以有
，
解得
．
故选：C．
19．【分析】利用平行线的性质求出∠3 即可解决问题．
【解答】解：如图，
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∵a∥b，
∴∠2＝∠3，
∵∠3＝∠1+90°，∠1＝34°，
∴∠3＝124°，
∴∠2＝∠3＝124°，
故选：B．
20．【分析】延长DE 交AB 的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠G，再根
据两直线平行，同位角相等可得∠G＝∠ABF，然后根据角平分线的定义解答．
【解答】证明：如图，延长DE 交AB 的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠G，
∵BF∥DE，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠D＝∠ABF，
∵BF 平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．
故选：D．
二、填空题（本大题共4 个小题，每小题3 分，共12 分.把答案填在题中的横线上.）
21．【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后
面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个
角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
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22．【分析】比较相应的面积即可．
【解答】解：S 大圆＝9πm2，S 小圆＝4πm2，S 圆环＝9π﹣4π＝5πm2．
由于小圆面积＜圆环面积，获胜可能性大的是小红．
23．【分析】根据关于x，y 的方程组
的解满足x﹣y＝10，可以求得m 的值，本题得
以解决．
【解答】解：
，
②﹣①，得
x﹣y＝3﹣1﹣m，
即x﹣y＝2﹣m，
又∵x﹣y＝10，
∴2﹣m＝10，
解得，m＝﹣8，
故答案为：﹣8．
24．【分析】先求乙修筑时间与修道路长度的函数关系式，求出x＝8 时的函数值，利用“两点
法”求甲当4≤x≤16 时的函数关系式，令x＝16，求甲修道路的长度，得出甲、乙修道路
的总长度．
【解答】解：设乙修道路的长度y（米）与修筑时间x（天）之间的函数关系式为y＝ax，
将点（12，840）代入，得12a＝840，解得a＝70，
∴y＝70x，当x＝8 时，y＝70×8＝560，
当4≤x≤16 时，设甲修道路的长度y（米）与修筑时间x（天）之间的函数关系式为y＝
mx+n，
将点（4，360），（8，560）代入，得
，解得
，
∴y＝50x+160，当x＝16 时，y＝50×16+160＝960，
该公路总长度为：960+840＝1800 米．
故答案为：1800．
三、解答题（本大题共5 个小题，共48 分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
25．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可；
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（4）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）
，
①+②得：4x＝﹣8，
解得：x＝﹣2，
把x＝﹣2 代入②得：y＝﹣2.5，
则方程组的解为
；
（2）方程组整理得：
，
①×5﹣②得：2x＝﹣2，
解得：x＝﹣1，
把x＝﹣1 代入①得：y＝﹣1，
则方程组的解为
；
（3）
，
②×3﹣①得：17z＝﹣51，
解得：z＝﹣3，
把z＝﹣3 代入②得：x＝﹣3，
则方程组的解为
；
（4）方程组整理得：
，
②×3﹣①得：4x＝﹣28，
解得：x＝﹣7，
把x＝﹣7 代入②得：y＝﹣6，
则方程组的解为
．
26．【分析】设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，根据保持上坡每小时走3km，平路
每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54 分钟，从乙地到甲地用42 分
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钟即可列出方程组
，然后解方程组就可以求出甲地到乙地的全程．
【解答】解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，
依题意得
，
解之得
，
∴x+y＝3.1km，
答：甲地到乙地的全程是3.1km．
27．【分析】（1）由矩形的性质和已知条件“D 为BA 中点”易求点D 的坐标，把点D 的坐标
代入直线方程可以求得k 的值；然后把y＝0 代入函数解析式易求点E 的坐标，所以OE＝
2，AE＝6．由三角形的面积公式来求△EAD 的面积；
（2）飞镖落在△EAD 内的概率＝
，据此计算即可．
【解答】解：（1）∵矩形OABC 顶点A（8，0）、C（0，6），
∴B（8，6），
∵D 为BA 中点，
∴D（8，3），AD＝3，
把点D（8，3）代入y＝kx﹣1 得
k＝
；
令y＝0，得x＝2，
∴E（2，0），
∴OE＝2，AE＝6，
∴S△EAD＝
；
（2）由（1）得S 矩形AOCB＝6×8＝48，
∴
．
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28．【分析】（1）根据四边形的内角和解答即可；
（2）根据四边形的内角和和平行线的判定解答即可．
【解答】解：（1）在四边形OECF 中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
故答案为：180°；
（2）证明：在四边形OECF 中
由∠C＝90°，a⊥b，
得∠OEC+∠OFC＝180°，
因为∠MEC＝180°﹣∠OEC，
∠NFC＝180°﹣∠OFC，
所以∠MEC+∠NFC＝（180°﹣∠OEC）+（180°﹣∠OFC）
＝360°﹣（∠OEC+∠OFC）
＝360°﹣180°＝180°，
因EG，FH 分别平分∠MEC 和∠NFC，
所以∠CEG＝
∠MEC，∠CFH＝
∠NFC，
所以∠CEG+∠CFH＝
（∠MEC+∠NFC）＝
×180°＝90°，
过C 点作CD∥EG，
所以∠CEG＝∠DCE，
因为∠DCE+∠DCF＝90°，
∠CEG+∠CFH＝90°，
所以∠DCF＝∠CFH，
所以CD∥FH，
又因为CD∥EG，
所EG∥FH．
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29．【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD 与∠BOC，再根据对顶角相等可得
∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；
（2）根据（1）的关系式求出∠OCB﹣∠OAD，再根据角平分线的定义求出∠DAM﹣
∠PCM，然后利用“8 字形”的关系式列式整理即可得解；
（3）根据“8 字形”用∠B、∠D 表示出∠OCB﹣∠OAD，再用∠D、∠P 表示出∠DAM﹣
∠PCM，然后根据角平分线的定义可得∠DAM﹣∠PCM＝（∠OCB﹣∠OAD），然后整
理即可得证．
【解答】解：（1）在△AOD 中，∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D，
在△BOC 中，∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵∠AOD＝∠BOC（对顶角相等），
∴180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣∠B﹣∠C，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）∵∠D＝40°，∠B＝36°，
∴∠OAD+40°＝∠OCB+36°，
∴∠OCB﹣∠OAD＝4°，
∵AP、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线，
∴∠DAM＝
∠OAD，∠PCM＝
∠OCB，
又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
∴∠P＝∠DAM+∠D﹣∠PCM＝
（∠OAD﹣∠OCB）+∠D＝
×（﹣4°）+40°＝38°；
（3）根据“8 字形”数量关系，∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B，∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
所以，∠OCB﹣∠OAD＝∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM＝∠D﹣∠P，
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∵AP、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线，
∴∠DAM＝
∠OAD，∠PCM＝
∠OCB，
∴
（∠D﹣∠B）＝∠D﹣∠P，
整理得，2∠P＝∠B+∠D．
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