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青岛版九年级上册数学期中试卷
一．选择题
1．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝
，则tanA 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，小明从路灯下A 处向前走了5 米，发现自己在地面上的影子长DE 是2 米，如果小明的身高为1.6 米，
那么路灯离地面的高度AB 是（ ）
A．4 米
B．5.6 米
C．2.2 米
D．12.5 米
3．在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O 为位似中心，相似比为
，把
△ABO 缩小，得到△A1B1O，则点A 的对应点A1的坐标为（ ）
A．（2，1）
B．（2，﹣1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，1）或（﹣2，﹣1）
4．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）
A．
B．2
C．6
D．8
5．在Rt△ABC 中，∠A＝90°，若∠B＝30°，则sinC＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，△ABC 中，∠A＝45°，I 是内心，则∠BIC＝（ ）
A．112.5°
B．112°
C．125°
D．55°
7．如图，在⊙O 中，
＝
，∠AOB＝40°，则∠ADC 的度数是（ ）
A．15°
B．20°
C．30°
D．40°
8．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（﹣2，3），则该
圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（﹣1，1）
B．（0，1）
C．（﹣3，1）
D．（﹣3，0）
9．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E，∠BCD＝22.5°，OC＝6，则CD 的长为（ ）
A．3
B．6
C．6
D．12
10．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点
C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB 为100 米．则大桥主架顶端
离水面的高CD 为（ ）
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A．（100+100•sinα ）米
B．（100+100•tanα ）米
C．（100+
）米
D．（100+
）米
11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB＝
4，BC＝5，则tan∠AFE 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，PA、PB 分别切⊙O 于A、B，PA＝10cm，C 是劣弧AB 上的点（不与点A、B 重合），过点C 的切线
分别交PA、PB 于点E、F．则△PEF 的周长为（ ）
A．10cm
B．15cm
C．20cm
D．25cm
二．填空题
13．△ABC 中，若（sinA﹣
）2+|
﹣cosB|＝0，则∠C＝ ．
14．如图，⊙O 中有弦AB，以AB 为折痕对折，若劣弧恰好经过圆心O，则∠AOB 的度数是 °．
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15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30 米的D 处，无人机测得操控者A 的俯
角为30°，测得点C 处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC 距离为57 米，则教学楼BC 的高
度为 ．（点A，B，C，D 都在同一平面上，结果保留根号）
16．如图，在等边△ABC 中，AB＝12，P、Q 分别是边BC、AC 上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC 的长
是 ．
17．已知△ABC 内接于⊙O，连接AO 并延长交BC 于点D，若∠B＝62°，∠C＝50°，则∠ADB 的度数是
．
三．解答题
18．计算下列各题：
（1）
；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
19．如图，在△ABC 中，∠B＝45°，AB＝3
，AC＝5，求边BC 的长．
20．如图，⊙O 的圆心O 在△ABC 的边AC 上，AC 与⊙O 分别交于C，D 两点，⊙O 与边AB 相切，且切点恰为
点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
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（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
21．如图，在正方形网格中，四边形TABC 的顶点坐标分别为：T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，
2）．
（1）以点T 为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC 放大为原来的2 倍，放大后点A、B、C 的对应
点分别为A'、B'、C'，画出四边形TA'B'C'．
（2）写出点A'、B'、C'的坐标：
A'（ ），B'（ ），C'（ ）．
22．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，G 是
上一点，AG 与DC 的延长线交于点F．
（1）如CD＝8，BE＝2，求⊙O 的半径长；
（2）求证：∠FGC＝∠AGD．
23．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10，以AC 为直径画⊙O 交BC 于点D，交AB 于点E，连接CE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）求CE 的长．
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24．某中学依山而建，校门A 处有一坡度i＝5：12 的斜坡AB，长度为13 米，在坡顶B 处看教学楼CF 的楼顶C
的仰角∠CBF＝45°，离B 点4 米远的E 处有一个花台，在E 处仰望C 的仰角是∠CEF＝60°，CF 的延长线交
校门处的水平面于点D，求DC 的长．
25．如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C 作直线EF⊥AD，交AD 的延长
线于点E，连接BC．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，求劣弧
的长l．
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参考答案
一．选择题
1． D．
2． B．
3． D．
4． A．
5． D．
6．A．
7． B．
8． D．
9． B．
10．B．
11． C．
12． C．
二．填空题
13． 120°．
14． 120．
15．（30
﹣27）米．
16．
．
17． 78°．
三．解答题
18．解：（1）
＝
（2×
﹣
）+
＝2﹣
+
＝2；
（2）sin60°•cos60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cos245°．
＝
×
﹣
×
+（
）2+（
）2
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＝
﹣1+
+
＝
．
19．解：过点A 作AH⊥BC，垂足为H
在Rt△ABH 中，∠B＝45°，AB＝
，
∴AH＝ABsinB
＝
BH＝AH＝3
∵AC＝5
∴在Rt△ACH 中，
CH＝
∴BC＝BH+AH
＝3+4
＝7
20．（1）证明：连接OB，如图，
∵⊙O 与边AB 相切，且切点恰为点B．
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠A+2∠C＝90°；
（2）解：在Rt△AOB 中，∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，OB＝
AB＝2
，
作OH⊥BC 于H，则BH＝CH，
∵∠C＝
∠AOB＝30°，
∴OH＝
OC＝
，CH＝
OH＝3，
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∴BC＝2CH＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S 扇形BOD
＝
×6×
+
＝3
+2π．
21．解：（1）如图所示：四边形TA'B'C'即为所求．
（2）A′（3，5），B′（5，5），C′（7，3）．
故答案为：（3，5）；（5，5）；（7，3）．
22．（1）解：连接OC．设⊙O 的半径为R．
∵CD⊥AB，
∴DE＝EC＝4，
在Rt△OEC 中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得R＝5．
（2）证明：连接AD，
∵弦CD⊥AB
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∴
＝
，
∴∠ADC＝∠AGD，
∵四边形ADCG 是圆内接四边形，
∴∠ADC＝∠FGC，
∴∠FGC＝∠AGD．
23．（1）证明：连结AD，如图，
∵AC 为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：在Rt△ADC 中，∵AC＝13，CD＝
BC＝5，
∴AD＝
＝12，
∵AC 为直径，
∴∠AEC＝90°，
∴
CE•AB＝
AD•BC，
∴CE＝
＝
．
24．解：过点B 作BM⊥AD，过点E 作EN⊥AD，
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∵i＝5：12，
∴
，
∵AB＝13 米，∴BM＝5 米，AM＝12 米，
∴BM＝DF＝5 米，
设EF 为x 米，则BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（4+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴
，
解得x＝2
+2，
∴
米，
∴
米，
答：DC 的长度为
米．
25．（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵∠AEC＝90°，
∴∠OCF＝∠AEC＝90°，
∴EF 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠DAC＝30°，BC＝2，
∴∠BOC＝60°，AB＝2BC＝4，
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∴OB＝
AB＝2，
∴
的长＝
＝
π．
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