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苏科版九年级下册数学期中试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）
1．（3 分）﹣15 的相反数是（ ）
A．15
B．﹣15
C．
D．
2．（3 分）函数y＝
中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．x＞2
B．x≥2
C．x≠2
D．x≤2
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a3﹣a2＝a
B．（﹣x2）3＝x6
C．x2+x3＝x5
D．x3÷x2＝x
4．（3 分）某组数据﹣5，3，﹣8，9，0，3 的极差和众数分别是（ ）
A．﹣8，9
B．17，9
C．17，3
D．0，3
5．（3 分）若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
6．（3 分）下列图形：线段、等边三角形、平行四边形、圆，其中是中心对称图形的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（3 分）已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（ ）
A．30cm2
B．15cm2
C．30πcm2
D．15πcm2
8．（3 分）若双曲线y＝
与直线y＝x+1 的一个交点的横坐标为﹣2，则k 的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
9．
（3 分）如图，点E、F、G、H 分别为▱ABCD 四边的中点，连接AG、BH、CE、DF，分别相交于
点M、N、P、Q，若四边形MNPQ 的面积为4，则▱ABCD 的面积为（ ）
A．16
B．20
C．24
D．25
10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，AB＝4，C 为半圆AB 的中点，P 为弧AC 上一动点，连接
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PC 并延长，作BQ⊥PC 于点Q，若点P 从点A 运动到点C，则点Q 运动的路径长为
（ ）
A．
π
B．π
C．
D．4
二、填空题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分．不需写出解答过程，只需把答案填写在
答卷纸的相应位置处）
11．（2 分）8 的立方根是 ．
12．（2 分）分解因式：2x2﹣18＝ ．
13．（2 分）春节假期，无锡市某影院共接待观众约18000 人次，将数18000 用科学记数法表示
为 ．
14．（2 分）如图，已知a∥b，∠1＝68°，则∠2＝ ．
15．（2 分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3 与坐标轴交于A、B、C 三点，则△ABC 的面积为
．
16．（2 分）命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是 ．
17．（2 分）中国古代数学名著《孙子算经》中有个问题，原文：今有四人共车，二车空；三人共
车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4 人共乘一车，最终剩余2 辆
车，若每3 人共乘一车，最终剩余5 个人无车可乘，问共有 辆车．
18．（2 分）如图，在▱ABCD 中，∠B＝135°，AB＝
BC，将△ABC 沿对角线AC 翻折至
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2
△EAC，AE 与CD 相交于点F，连接DE，则
的值为 ．
三、解答题（本大题共10 小题，共84 分．请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
19．（8 分）（1）计算：2sin45°﹣
+（
）﹣1；
（2）化简：（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2．
20．（8 分）（1）解方程：
﹣
＝1；
（2）解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．
21．（8 分）如图，AD＝CB，AB＝CD，BE⊥AC，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F．
求证：（1）△ABC≌△CDA；
（2）BE＝DF．
22．（8 分）为推动实施健康中国战略，树立国家健康形象．手机APP 推出多款健康运动软件，
如“微信运动”．王老师随机调查了我校50 名教师某日“微信运动”中的步数，并进行
统计整理，绘制了如下的统计图表．
步数
频数
频率
0≤x＜4000
8
a
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
b
0.24
12000≤x＜16000
10
0.2
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜24000
2
0.04
合计
50
c
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3
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若某人一天的走路步数不低于16000 步，将被“微信运动”评为“运动达人”．我市
市区约有4000 名初中教师，根据此项调查请估计市区被评为“运动达人”教师有多少名？
23．（8 分）语文老师要求学生们在寒假期间精读四大名著中的一本．
（1）小明选择精读《水浒传》的概率是 ；
（2）求小明与小刚选择精读同一本名著的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写
出分析过程）
24．（8 分）如图，在平面直角坐标系中，以线段AB 为直径作⊙C，与x 轴相交于A（2，0）、B
（8 ，0）两点，在第一象限内的圆上存在一点D，使得△ACD 为等边三角形．
（1）求⊙C 过点D 的切线l 的函数关系式；
（2）求由线段AE、DE、劣弧AD 围成的图形面积．
25．（8 分）在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
（1）问题情境：如图1，在△ABC 中，∠A＝30°，BC＝4，则△ABC 的外接圆的半径为
；
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4
（2）操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD 的内部作出一点P，使得∠BPC
＝∠BEC，且PB＝PC（不写作法，保留作图痕迹）；
（3）迁移应用：已知，在△ABC 中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝6，求BC 的取值范围．
26．（8 分）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了
学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化
情况如图所示，当0≤x≤10 时，y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为
（10，500）；当10＜x≤12 时，累计人数保持不变．
（1）求y 与x 之间的函数表达式；
（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2 个体温检测棚，每个检测点每分钟可检
测20 人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检
测需要多少时间？
（3）在（2）的条件下，如果要在8 分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少
增加几个检测点？
27．（10 分）如图，已知菱形ABCD 的三个顶点A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2
），连接AC，P
为AC 的中点，点E 为AD 延长线上（异于点D）一动点，连接EP 并延长与CD、AB 分别交
于G、F 两点．
（1）P 点的坐标为 ；
（2）求
+
的值；
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5
（3）连接EC，若∠CEF＝60°，求ED 的长．
28．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4a 经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，
与x 轴交于另一点B，点D 为该抛物线的顶点．
（1）顶点D 的坐标为 ；
（2）将该抛物线向下平移
单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新抛物线．
若新抛物线的顶点D′在△ABC 内，求m 的取值范围；
（3）若点P、点Q（n，n+1）为该抛物线上两点，连接BQ，且tan∠QBP＝2，求点P 的坐标．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一
个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）
1．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣15 的相反数是15，
故选：A．
2．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0 列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故选：A．
3．【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别
判断得出答案．
【解答】解：A、a3﹣a2，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣x2）3＝﹣x6，故此选项错误；
C、x2+x3＝x5，无法计算，故此选项错误；
D、x3÷x2＝x，正确．
故选：D．
4．【分析】根据极差和众数的定义分别进行解答即可得出答案．
【解答】解：这组数据的极差是：9﹣（﹣8）＝17，
3 出现了2 次，出现的次数最多，则众数是3；
故选：C．
5．【分析】根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的每一个外角都等于36°，
∴正多边形的边数＝
＝10．
故选：D．
6．【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：线段是中心对称图形；等边三角形不是中心对称图形；平行四边形是中心对称
图形；圆是中心对称图形；
则是中心对称图形的有3 个．
故选：C．
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7
7．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝
×6π×5＝15πcm2．
故选：D．
8．【分析】先利用一次函数解析式确定交点坐标，然后把交点坐标代入y＝
中可求出k 的值．
【解答】解：当x＝﹣2 时，y＝x+1＝﹣2+1＝﹣1，
所以两函数图象的交点坐标为（﹣2，﹣1），
把（﹣2，﹣1）代入y＝
得k＝﹣2×（﹣1）＝2．
故选：D．
9．
【分析】连接CN，NQ，AQ，首先根据平行四边形的性质和判定证明四边形MNPQ 是平行四
边形，则S△PNQ＝2，由三角形中位线定理可知：点P 为CQ 的中点，S△CNP＝2，设S△BNG＝
x，则S△CNG＝x，再根据
，求出x 的值，从而得出S▱AECG＝10，即可解决
问题．
【解答】解：如图，连接CN，NQ，AQ，
∵点H、F 分别是CD、AB 的中点，
∴DH＝
CD，BF＝
AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∴DH＝BF，DH∥BF，
∴四边形DFBH 是平行四边形，
∴BH∥DF，
同理可证CE∥AG，
∴四边形MNPQ 是平行四边形，
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8
∵BH∥DF，
∴点P 为CQ 的中点，
∴S△PNQ＝S△CNP＝2，
设S△BNG＝x，则S△CNG＝x，
∵NG∥CE，G 点为BC 的中点，
∴△BNG∽△BPC，
∴
，
∴
，
∴x＝1，
∴s 四边形CPNG＝3，
同理S 四边形AMQE＝3，
∴S▱AECG＝10，
∴S▱ABCD＝2S▱AECG＝20，
故选：B．
10．【分析】由P 点的运动特点可知Q 点轨迹是以BC 为直径圆上的弧CQ'，求出BC 的长以
及圆心角∠COQ'＝90°，即可求
的长．
【解答】解：∵点P 从点A 运动到点C，BQ⊥PC，
∴Q 点轨迹是以BC 为直径圆上的弧CQ'，
∵C 为半圆AB 的中点，
∴P 点从点运动到C 点的过程中，∠ABC＝45°，
∴∠CBQ'＝45°，
∴∠COQ'＝90°，
∵AB＝4，
∴BC＝2
，
∴OC＝
，
∴
＝
＝
π，
故选：A．
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9
二、填空题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分．不需写出解答过程，只需把答案填写在
答卷纸的相应位置处）
11．【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵23＝8，
∴8 的立方根为2，
故答案为：2．
12．【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
13．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值≥10 时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负整数．
【解答】解：18000＝1.8×104．
故答案为：1.8×104．
14．【分析】根据题意作出图形构造∠3，根据平行线的性质得到∠1＝∠3＝68°，结合图形根
据邻补角的性质得到∠3+∠2＝180°，从而求得∠2 的度数．
【解答】解：如下图所示，
∵a∥b，
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10
∴∠1＝∠3，
又∠1＝68°，
∴∠3＝68°，
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣68°＝112°，
故答案为：112°．
15．【分析】先根据抛物线y＝x2+2x﹣3 找到与坐标轴的三个交点，则该三角形的面积可求．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3），
∴它与坐标轴的三个交点分别是：（1，0），（﹣3，0），（0，﹣3）；
∴该三角形的面积为
×4×3＝6．
故答案是：6．
16．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是菱形的四条边相等，
故答案为：菱形的四条边相等．
17．【分析】设共有x 人乘车，共有y 辆车，由题意：今有若干人乘车，每4 人共乘一车，最终剩
余2 辆车，若每3 人共乘一车，最终剩余5 个人无车可乘，列出方程组，解之即可．
【解答】解：设共有x 人乘车，共有y 辆车，
根据题意得：
，
解得：
，
即共有39 人乘车，共有13 辆车，
故答案为：13．
18．【分析】如图，过点C 作CT⊥AB 交AB 的延长线于点T，连接BE 交AC 于点J，过点D 作
DK⊥AC 于K．设BT＝CT＝m，想办法求出DE，AC（用m 表示）即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C 作CT⊥AB 交AB 的延长线于点T，连接BE 交AC 于点J，过点D
作DK⊥AC 于K．
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∵∠ABC＝135°，
∴∠CBT＝45°，
∵CT⊥BT，
∴CT＝BT，
设CT＝BT＝m，则BC＝
m，
∵AB＝
BC，
∴AB＝2m，
∴AT＝AB+BT＝3m，
∴AC＝
＝
m，
∵∠BAJ＝∠CAT，∠AJB＝∠T＝90°，
∴△AJB∽△ATC，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴AJ＝
m，
∴CJ＝AC﹣AJ＝
m，
在△AKD 和△CJB 中，
，
∴△AKD≌△CJE（AAS），
∴AK＝CJ＝
m，
∵四边形DEJK 是矩形，
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12
∴DE＝JK＝AC﹣AK﹣CK＝
m，
∴
＝
＝
，
故答案为：
．
三、解答题（本大题共10 小题，共84 分．请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂，然后计算加减法；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行解答．
【解答】解：（1）2sin45°﹣
+（
）﹣1
＝2×
﹣2
+2
＝
﹣2
+2
＝﹣
+2；
（2）（a+2b）（a﹣2b）+（a﹣2b）2
＝a2﹣4b2+a2﹣4ab+4b2
＝2a2﹣4ab．
20．【分析】（1）方程两边同时乘以x（x﹣2）化成整式方程，解方程检验后，即可得到分式方
程的解；
（2）通过去括号、移项、合并同类项、系数化成1，即可得到不等式的解．
【解答】解：（1）方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+3）（x﹣2）﹣2x＝x（x﹣2），
解得：x＝6，
检验：当x＝6 时，x（x﹣2）≠0，
∴x＝6 是原分式方程的解；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
3x﹣5＜4+6x
3x﹣6x＜9
﹣3x＜9
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x＞﹣3．
21．【分析】（1）根据SSS 可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DAC，证明△AFD≌△CEB（AAS），可得出BE＝
DF．
【解答】证明：（1）在△ABC 和△CDA 中，
，
△ABC≌△CDA（SSS）．
（2）∵△ABC≌△CDA，
∴∠ACB＝∠DAC，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEC＝∠DFA＝90°，
在△AFD 和△CEB 中，
，
∴△AFD≌△CEB（AAS），
∴BE＝DF．
22．【分析】（1）根据各个频数之和等于样本容量50，可求出b 的值，根据频数、频率总数之
间的关系可求出a 的值，所有各组频率之和为1，求出c 的值；
（2）补全频数分布直方图如图所示：
（3）样本估计总体，样本中“被评为运动达人”的占10%，估计总体4000 人的10%被评
为运动达人．
【解答】解：（1）50﹣2﹣3﹣10﹣15﹣8＝12（人），a＝8÷50＝0.16，c＝1.00
故答案为：0.16，12，1.00；
（2）如图所示；
（3）4000×（0.06+0.04）＝4000×0.1＝400（名），
答：我市4000 名初中教师中被评为“运动达人”有400 名．
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23．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小明选择精读《水浒传》的概率是
，
故答案为：
；
（2）将四大名著分别记作A、B、C、D，
列表如下：
A
B
C
D
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，D）
两人选择的方案共有16 种等可能的结果，其中选择精读同一本名著的有4 种，
所以小明与小刚选择精读同一本名著的概率为
＝
．
24．【分析】（1）根据题意，分别求出E（﹣1，0），C（5，0），过点D 作DG⊥x 轴，交于点G，可
求D（
，
），再由待定系数法求直线l 的解析式即可；
（2）求出△CDE 的面积，再求扇形ACD 的面积，则所求图形面积等于△CDE 的面积减去
扇形ACD 的面积即可．
【解答】解：（1）∵A（2，0）、B（8，0），
∴AB＝6，
∵以线段AB 为直径作⊙C，
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15
∴AC＝3，
∵△ACD 为等边三角形．，
∴CD＝3，∠DCA＝∠DAC＝60°，
∵l 是圆C 过点D 的切线，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DEA＝30°，
∴AE＝AD＝3，
∴E（﹣1，0），
∵AC＝3，A（2，0），
∴C（5，0），
过点D 作DG⊥x 轴，交于点G，
在Rt△AGD 中，DG＝AD•sin60°＝3×
＝
，
AG＝AD•cos60°＝3×
＝
，
∴D（
，
），
设直线l 的解析式为y＝kx+b，
则
，
∴
，
∴y＝
x+
；
（2）∵A（2，0），E（﹣1，0），D（
，
），C（5，0），
∴CD＝3，ED＝3
，
∴S△CDE＝
×DE×DE＝
×3
×3＝
，
∵∠ACD＝60°，
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16
∴S 扇形ACD＝
＝
，
∴线段AE、DE、劣弧AD 围成的图形面积为
﹣
．
25．【分析】（1）连接OB、OC，根据圆周角定理及等边三角形的性质可得答案；
（2）作BC 的垂直平分线，交BE 于点O，以O 为圆心，OB 为半径画圆，交垂直平分线于点
P，可得图；
（3）作△ABC 的外接圆，利用特殊直角三角形的性质及等边三角形的性质可得答案．
【解答】解：（1）连接OB、OC，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝4，
∴△ABC 的外接圆的半径为4．
故答案为：4．
（2）如图，作BC 的垂直平分线，交BE 于点O，以O 为圆心，OB 为半径画圆，交垂直平分
线于点P，
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（3）如图，作△ABC 的外接圆，
∵∠BAC＞∠ABC，AB＝6，
当∠BAC＝90°时，BC 为最长直径，
∵∠C＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC，AB＝
AC＝6，
∴AC＝2
，
∴BC＝2AC＝4
，
当∠BAC＝∠ABC 时，△ABC 是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB＝6，
∵∠BAC＞∠ABC，
∴BC 的取值范围为：6＜BC≤4
．
26．【分析】（1）①当0≤x≤10 时由顶点坐标为（10，500），可设y＝a（x﹣10）2+500，再将
（0，0）代入，求得a 的值，则可得y 与x 之间的函数解析式；②当10＜x≤12 时，根据等候
的人数不变得出函数解析式；
（2）设第x 分钟时的排队等待人数为w 人，根据w＝y﹣40x 及（1）中所得的y 与x 之间的
函数解析式，可得w 关于x 的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得
答案；
（3）设从一开始就应该增加m 个监测点，根据在8 分钟内让全部学生完成体温检测得到
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关于m 的不等式解不等式即可．
【解答】解：（1）①当0≤x≤10 时，
∵顶点坐标为（10，500），
∴设y＝a（x﹣10）2+500，
将（0，0）代入，得：100a+500＝0，
解得a＝﹣5，
∴y＝﹣5（x﹣10）2+500＝﹣5x2+100x（0≤x≤10），
②当10＜x≤12 时，
y＝500（10＜x≤12），
∴y 与x 之间的函数表达式为y＝
；
（2）设第x 分钟时的排队等待人数为w 人，由题意可得w＝y﹣40x，
①0≤x≤10 时，
w＝﹣5x2+100x﹣40x＝﹣5x2+60x＝﹣5（x﹣6）2+180，
∵﹣5＜0，
∴当x＝6 时，w 的最大值是180；
②当10＜x≤12 时，w＝500﹣40x，
∵﹣4＜0，
∴w 随x 的增大而减小，
∴20≤w＜100，
∴排队人数最多是180 人；
要全部学生都完成体温检测，根据题意得：
500﹣40x＝0，
解得：x＝12.5，
∴要全部学生都完成体温检测需要12.5 分钟；
（3）设从一开始就应该增加m 个监测点，
由题意得8×20（m+2）≥500，
解得：m≥
∴m 的最小整数是2，
即从一开始就应该增加2 个监测点．
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19
27．
【分析】（1）求出AB＝4，根据菱形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，可得点C 的坐标，根据
中点坐标公式即可得P 点的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AD 的解析式，设点E（m，
m+2
），再求出直线EP 的解
析式，可得点F 的坐标，求出AE、AF 的长，即可得
+
的值；
（3）取CD 中点Q，以Q 为圆心，CD 为直径作圆，可得点E 在⊙Q 上，根据圆周角定理以
及含30°角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵A（﹣2，0），B（2，0），D（0，2
），
∴AB＝4，C（4，2
），
∵P 为AC 的中点，
设P（x，y），
∴x＝
＝1，y＝
＝
，
∴P（1，
），
故答案为：（1，
）；
（2）∵A（﹣2，0），D（0，2
），
∴直线AD 的解析式为y＝
x+2
，
∵点E 为AD 延长线上（异于点D）一动点，
设点E（m，
m+2
），
∵P（1，
），
∴直线EP 的解析式为y＝
x﹣
，
y＝0 时，x＝
，
∴点F（
，0），
∴AE＝
＝2（m+2），
AF＝
+2＝
，
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20
∴
+
＝
+
＝
；
（3）取CD 中点Q，以Q 为圆心，CD 为直径作圆，
∵A（﹣2，0），D（0，2
），
∴∠DAB＝60°，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝120°，∠EDC＝60°，
∵P 为AC 的中点，点Q 为CD 中点，
∴PQ∥AD，
∴∠PQC＝120°，
∵∠CEF＝60°，
∴点E 在⊙Q 上，
∵CD 为直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝
CD，
∵AB＝CD＝4，
∴ED＝2．
28．【分析】（1）把A，C 两点的坐标分别代入抛物线解析式中，求出a 和b 的值，化成顶点式
即可；
（2）在顶点式基础上，按照“左加右减，上加下减”表达出新抛物线解析式，由点D′在
△ABC 内可得出关于m 的不等式，求出m 的取值范围；
（3）把点Q 的坐标代入抛物线，可求出n 的值，分情况讨论，画出对应图形，解直角三角形
可得出点P 的坐标．
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21
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4a 经过A（﹣1，0），C（0，4）两点，
∴
，解得
，
∴y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣
）2+
，
∴B（4，0），
∵点D 为该抛物线的顶点，
∴D（
，
）．
故答案为：（
，
）．
（2）将抛物线y＝﹣（x﹣
）2+
向下平移
单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长
度，得到新抛物线为y＝﹣（x﹣
+m）2+
，
∴D′（
﹣m，
），
∵A（﹣1，0），C（0，4），B（4，0），
∴直线AC 的解析式为：y＝4x+4，直线BC 的解析式为：y＝﹣x+4，
把y＝
分别代入直线AC 和BC 的解析式，可得m＝0 和m＝
，
∴0＜m＜
．
（3）∵点Q（n，n+1）为该抛物线上两点，
∴﹣n2+3n+4＝n+1，解得n＝﹣1 或n＝3，
当n＝﹣1 时，Q（﹣1，0），此时点Q 和点A 重合，
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取点E（0，8），则tan∠ABE＝2，连接BE 与抛物线交于点P1，
∵B（4，0），
∴BE 所在直线的表达式：y＝﹣2x+8，
联立
，解得
，或
（舍），
∴P1（1，6）；
同理，取点F（0，﹣8），则tan∠ABF＝2，连接BF 与抛物线交于点P2，
则BF 所在直线的表达式：y＝2x﹣8，则（﹣3，﹣14），或（4，0）（舍）．
∴P2（﹣3，﹣14）．
当n＝3 时，Q（3，4），过点Q 作QM⊥x 轴于点M，则QM＝4，BM＝1，
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由勾股定理可得，BQ＝
，
设线段QM 上存在点G，使tan∠QBG＝2，
过点G 作GH⊥BQ 于点H，
则GH：BH＝2：1，GH：QH＝1：4，
设BH＝m，则GH＝2m，QH＝8m，
∴GH+QH＝BQ，即8m+m＝
，
∴m＝
，
∴QG＝
，GM＝4﹣
＝
，
∴BG 所在直线的解析式：y＝﹣
（x﹣4），
联立直线和抛物线的表达式可得，﹣
（x﹣4）＝﹣（x+1）（x﹣4），
解得x＝﹣
，
∴P3（﹣
，
）．
∴符合题意的点P 的坐标为：（1，6），（﹣3，﹣14），（﹣
，
）．
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