文档文本内容
苏科版九年级上册数学期中试卷
一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.
1.某校足球队有16 名队员，队员的年龄情况统计如下：
年龄/岁1
3
1
4
1
5
1
6
人数
3 5 6 2
则这16 名队员年龄的中位数和众数分别是（ ）
A. 14，15 B. 15，15 C. 14.5，14 D. 14.5，15
2.用配方法解方程x2-2x-2=0 时，原方程应变形为( )
A. (x+1)2=3 B. (x+2)2=6 C. (x-1)2=3 D. (x-2)2=6
3.若扇形的弧长是 5π ，半径是18，则该扇形的圆心角是（ ）
A. 50° B. 60° C. 100° D. 120°
4.如图， PA , PB 分别与 ⊙O 相切于 A ,B 两点， ∠P =72° ，则 ∠C = ( )
A. 108° B. 72° C. 54° D. 36°
5.若α，β 为方程2x2－5x－1＝0 的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β 的值为（ ）
A. －13 B. 12 C. 14 D. 15
6.如图，点P（3,4），⊙P 半径为2，A（2.8，0），B（5.6,0）.点M 是P 上的动点，点C 是MB 的中点，则
AC 的最小值为（ ）
A. 14 B. 3
2 C. 5
2 D. 26
二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7.已知关于x 的方程x2+x+2a-1=0 的一个跟是0，则a=________。
8.甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5 次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：
2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）.
9.如图，边AB 是⊙O 内接正六边形的一边，点C 在 ^
AB 上，且BC 是⊙O 内接正八边形的一边，若AC 是
⊙O 内接正n 边形的一边，则n=________.
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
10.如图，要用纸板制作一个母线长为 8cm, 底面圆半径为 6cm 的圆锥形漏斗，若不计损耗，则所需纸板的
面积是________ c m
2 ．
11.已知两个连续奇数的积是 15 ，则这两个数的和是________．
12.如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 切 ⊙O 于点A ， 线段PO 交 ⊙O 于点C ． 连接BC ， 若
∠P =36° ，则 ∠B = ________．
13.如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE＝5，OF＝
1，那么CD＝________．
14.已知关于 x 的一元二次方程 k x
2+2 x−1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是________．
15.若数据3，a ， 3，5，3 的平均数是3，则这组数据众数是________；a 的值是________；方差是________．
16.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是BC 边上的点，CD＝2，以CD 为直径的⊙与AB 相切于点E.若弧DE
的长为 1
3 π，则阴影部分的面积________.（保留π）
2
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
三、解答题（本大题共11 小题，共88 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17.已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，当△ABC 是等腰三角形
时，求k 的值。
18.某校组织了一次低于新冠病毒爱心捐款活动，全体同学积极踊跃捐款，其中随机抽查 30 名同学捐款情况统
计以下：
捐款
（元）
2050100150200
人数
（人）
4 129
3
2
求：
（1）统计捐款数目的众数是________，中位数是________，平均数是________
（2）请分别用一句话解释本题中的众数、中位数和平均数的意义
（3）若该校捐款学生有 500 人，估计该校学生－共捐款多少元？
19.“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018 年绿化面积约 1000 万平方米，预计 2020
年绿化面积约为 1210 万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为 60 元，若 2021 年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么
2021 年的绿化投资成本需要多少元？
20.往水平放置的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示．若油面宽AB 和油的最大深度都为80cm．
3
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
（1）求油槽的半径OA；
（2）从油槽中放出一部分油，当剩下的油面宽度为60cm 时，求油面下降的高度．
21.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5 名选手组成初中代表队和高中代
表队参加学校决赛，两个队各选出的5 名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
（1）求出表格中 a =________； b =________；c= ________
（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪
一个代表队选手成绩较为稳定.
22.如图，有长为30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于
AB）的长方形花圃.
（1）设花圃的一边AB 为xm，则BC 的长可用含x 的代数式表示为________m；
（2）当AB 的长是多少米时，围成的花圃面积为63 平方米？
23.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为A，BC 交⊙O 于点D，点E 是AC 的中点.
4
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
（1）试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积.
24.图1 是某市2009 年4 月5 日至14 日每天最低气温的折线统计图．
（1）图2 是该市2007 年4 月5 日至14 日每天最低气温的频数分布直方图，根据图1 提供的信息，补全图2
中频数分布直方图；
（2）在这10 天中，最低气温的众数是________，中位数是________，方差是________．
（3）请用扇形图表示出这十天里温度的分布情况．
25.商场某种商品平均每天可销售30 件，每件盈利50 元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
经调查发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件．设每件商品降价x 元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加________件，每件商品盈利________．元（用含 x 的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1428 元？
26.如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线AC 为直径，AD=BC，过点D 作DG^AC，垂足为E，
DG 分别与AB 及CB 延长线交于点F、M.
5
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）若点G 为MF 的中点，求证：BG 是⊙O 的切线；
27.
（1）问题提出：
如图1，在四边形ABCD 中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD
的面积为________；
（2）问题探究：
如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2 √2 ，BC＝3，在AD、CD 上分别
找一点E、F，使得△BEF 的周长最小，并求出△BEF 的最小周长；
（3）问题解决：
如图3，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD 中（包
含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE 的面积最大.若存在，找出点E 的位置，并求
出四边形ABCE 的最大面积；若不存在，请说明理由.
6
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
答案
一、选择题
1.解：中位数为16 名队员的年龄数据里，第8 和第9 个数据的平均数 14+15
2
=14.5 ，
在这16 名队员的年龄数据里，15 岁出现了6 次，次数最多，因而众数是15.
故答案为：D.
2.解： x2-2x-2=0 ,
移项，得：x2-2x=2，
配方：x2-2x+1=3，
即（x-1）2=3．
故答案为：C.
3.解：由弧长公式： l = nπr
180 得：
n= 180l
πr = 180×5 π
18 π
=50° ，
故答案为：A.
4.解：连接OA、OB，
∵直线PA、PB 分别与⊙O 相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵∠P=72°，
∴∠AOB=108°，
∵C 是⊙O 上一点，
∴∠ACB=54°．
故答案为：C．
5.解：∵ α，β 为方程2x2－5x－1＝0 的两个实数根，
∴2 β 2-5 β -1=0，α＋β=5
2 ， αβ=-1
2 ，
∴5 β=2 β 2-1，
∴ 2α2＋3αβ＋5β = 2α2＋3αβ+2 β 2-1
=2（α2＋β 2）+3αβ-1
=2（α＋β）2-αβ-1
=2×（5
2）2+1
2-1
=12.
7
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
故答案为：B.
6.解：如图，连接OP 交⊙P 于M′，连接OM.
∵点P（3,4），
∴OP= √3
2+ 4
2=5 .
∵A（2.8，0），B（5.6,0）
∴OA=AB，
∵点C 是MB 的中点，
∴CM=CB，
∴AC= 1
2 OM，
∴当OM 最小时，AC 最小，
∴当M 运动到M′时，OM 最小，此时AC 的最小值= 1
2 OM′= 1
2 （OP﹣PM′）= 3
2 .
故答案为：B.
二、填空题
7.解：把x=0 代入方程 x2+x+2a-1=0 ，得2a-1=0 ，
解得a=1
2.
故答案为：1
2.
8.解：∵乙所得环数为：2，3，5，7，8，
∴乙所得环数的平均数为 2+3+5+7+8
5
=5 ，
∴乙所得环数的方差为 s
2= (2−5)
2+(3−5)
2+(5−5)
2+(7−5)
2+(8−5)
2
5
= 26
5
，
∵ 5< 26
5 ，
∴成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲.
9.连接OC，
8
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
∵AB 是⊙O 内接正六边形的一边，
∴ ∠AOB =360
∘÷6=60
∘，
∵BC 是⊙O 内接正八边形的一边，
∴ ∠BOC =360
∘÷8= 45
∘，
∴ ∠AOC =∠AOB−∠BOC =60
∘−45
∘=15
∘，
∴ n=360
∘÷15
∘=24；
故答案为24；
10.圆锥形小漏斗的侧面积＝ 1
2 ×12π×8＝48πcm2 ．
故答案为48πcm2 ．
11.解：设其中一个奇数为x，则较大的奇数为（x+2），
由题意得，x（x+2）=15，
解得，x=3 或x=-5，
故答案是：3 和5 或-3 和-5．
12.如图，连接AC ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB =90° ，
∴ ∠B+∠BAC =90° ，
∵PA 切 ⊙O 于点A ，
∴ ∠BAP=90° ，
∴ ∠B =∠PAC ，
∵ ∠ACO=∠P+∠PAC ， ∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠B =90° ，
∴ 90°−∠B =∠B+36° ，解得 ∠B =27° ，
故答案为： 27° ．
13.解：∵AB 是⊙O 的直径，OF⊥CD，
根据垂径定理可知：
CF＝DF，
∵∠CEA＝30°，
∴∠OEF＝30°，
9
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
∴OE＝2，EF＝ √3 ，
∴DF＝DE﹣EF＝5﹣ √3 ，
∴CD＝2DF＝10﹣2 √3 ．
故答案为：10﹣2 √3
14.∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴k≠0 且 △=b
2−4 ac =2
2+ 4 k >0
解得k≠0， k >−1
∴答案为k≠0 且k＞-1.
15.解：根据题意得，
3+a+3+5+3=3×5，
解得：a=1，
则一组数据1，3，3，3，5 的众数为3，
方差为： 1
5 [(1−3)
2+(3−3)
2+(3−3)
2+(3−3)
2+(5−3)
2] = 8
5 =1.6，
故答案为：（1）3；（2）1；（3）1.6
16.解：如图，连接 OE ，
∵ 以 CD 为直径的 ⊙ 与 AB 相切于点 E ，
∴OE⊥BE .
设 ∠EOD =n° ，
∵OD = 1
2 CD =1 ，弧 DE 的长为 1
3 π ，
∴ nπ ×1
180 = 1
3 π .
∴∠EOD =60° .
∴∠B =30° ， ∠COE =120° .
∴OB =2OE =2 ， BE =√3 .
∴BC =OB+OC =3 .
∴AC = √3
3 BC =√3 . ∴S阴影= S ΔABC−S
OCE
扇
形−S ΔOBE
= 1
2 ×√3×3−120 π ×1
2
360
−1
2 ×1×√3=√3−π
3 .
故答案是： √3−π
3 .
三、解答题
17. （1）证明：∵一元二次方程为x2-(2k+1)x+k2+k=0，
△=[-(2k+1)]2-4 (k2+k)=1>0，
10
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
∴此方程有两个不相等的实数根。
（2）解：∵△ABC 的两边AB，AC 的长是这个方程的两个实数根，
且由(1)知，AB≠AC，△ABC 第三边BC 的长为5，且△ABC 是等腰三角形，
∴必然有AB=5 或AC=5
即x=5 是原方程的一个解
将x=5 代人方程x2-(2k+1)x+k2+k=0，得25-5(2k+1)+k2+k=0，
解得k=4 或k=5
当k=4 时，原方程为x2-9x+20=0，
x1=5，x2=4，以5，5， 4 为边长能构成等腰三角形。
当k=5 时，原方程为x2-11x+30=0，
x1=5，x2=6，以5，5，6 为边长能构成等腰三角形。
∴k 的值为4 或5。
18. （1）50 元；50 元；81 元
（2）解：捐款数目为 50 元的学生人数最多，八 (1) 班学生有一半的捐款数目在 50 元以上且人均捐款数目
是 81 元；
（3）解：根据题意得： 500×81= 40500 （元）
答：估计该校学生共捐款 40500 元.
解：（1） ∵ 在这组数据中， 50 出现了 12 次，出现次数最多，
∴ 学生捐款数目的众数是 50 元，
∵ 按照从小到大排列，处于中间位置的两个数据都是 50 ，
∴ 中位数为 50 元，
这组数据的平均数 =(20×4+50×12+100×9+150×3+200×2)÷30=2430÷30=81 （元）；
19. （1）解：设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程
1000（1+x）2=1210
解方程，得：x1=0.1x2=-2.1（不合题意，舍去）
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）解： 1210×(1+10 % ）=1331 （万平方米）
13310000×60=798600000 （元）
答：2021 年的绿化投资成本需要798600000 元．
20. （1）解：如图所示：
过O 作OC⊥AB，延长CO 与圆交于D，
11
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
由题意可知AB=CD=80cm，
由垂径定理可得AC=CB= 1
2 AB=40cm，
设OA 为xcm，则OC=（80-x）cm，
在Rt△OAC 中，根据勾股定理可得： x
2= 40
2+(80−x)
2 ，
解得：x＝50，
答：油槽的半径OA 为50cm.
（2）解：如图所示：
当油面下降到EF 位置时，
∵EF∥AB，CD⊥AB，
∴CD⊥EF，
连接OF，设CD 与EF 交于点G，由题意知EF=60cm，
由垂径定理可得GF= 1
2 EF=30cm，
在Rt△OGF 中， OG=√OF
2−GF
2=√50
2−30
2=40cm
由（1）可知OC=80-50=30cm
∴CG=OC+OG=30+40=70cm
答：油面下降的高度为70cm．
21. （1）85；80；85
（2）S2
初=1
5 [(75−85)
2+(80−85)
2+(85−85)
2+(85−85)
2+(100−85)
2]=70 ，
S2
高=1
5 [(70−85)
2+(100−85)
2+(100−85)
2+(75−85)
2+(80−85)
2]=160 ，
∵S2
初＜S2
高 ，
∴初中部选手成绩稳定.
解：（1）a=75+80+85+85+100
5
=85 ， b=80，c=85，
故答案为：85；80；85；
22. （1）30－3x
（2）解：由题意得：﹣3x2+30x＝63.
12
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
解此方程得x1＝7，x2＝3.
当x＝7 时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；
当x＝3 时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；
故当AB 的长为7m 时，花圃的面积为63m2.
】解：（1）由题意得：BC＝30﹣3x，
故答案为：30﹣3x；
23. （1）解：直线DE 与⊙O 相切，
理由如下：连接OE、OD，如图，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∵点E 是AC 的中点，O 点为AB 的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
在△AOE 和△DOE 中 {
OA =OD
∠1=∠2
OE =OE
，
∴△AOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE＝∠OAE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD 为⊙O 的半径，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）解：∵DE、AE 是⊙O 的切线，
∴DE＝AE，
∵点E 是AC 的中点，
∴AE＝ 1
2 AC＝3，
∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°，
∴图中阴影部分的面积＝2× 1
2 ×2×3﹣ 100⋅π ×2
2
360
＝6- 10
9 π.
24. （1）解：由图1 可知，8℃有2 天，9℃有0 天，10℃有2 天，
补全统计图如图；
13
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
（2）7；7.5；2.8
（3）解：6℃的度数， 2
10 ×360°=72°，
7℃的度数， 3
10 ×360°=108°，
8℃的度数， 2
10 ×360°=72°，
10℃的度数， 2
10 ×360°=72°，
11℃的度数， 1
10 ×360°=36°，
作出扇形统计图如图所示．
（2）根据条形统计图，7℃出现的频率最高，为3 天，
所以，众数是7；
按照温度从小到大的顺序排列，第5 个温度为7℃，第6 个温度为8℃，
所以，中位数为 1
2 （7+8）=7.5；
平均数为 1
10 （6×2+7×3+8×2+10×2+11）= 1
10 ×80=8，
所以，方差= 1
10 [2×（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+2×（10﹣8）2+（11﹣8）2]，
= 1
10 （8+3+0+8+9），
= 1
10 ×28，
=2.8
25. （1）2x；50-x
14
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
（2）解：由题意得：（50-x）（30+2x）=1428（0≤x＜50）
化简得：x2-35x+300=0，即（x-15）（x-20）=0，
解得：x1=36，x2=-1（舍去），
答：每件商品降价36 元，商场日盈利可达1428 元．
解：（1）降价1 元，可多售出2 件，降价x 元，可多售出2x 件，盈利的钱数=50-x，故答案为2x，50-x；
26. （1）证明：∵AC 为⊙O 直径
∴ ∠ABC =∠ADC =90°
在 Rt △ADC 与 Rt △CBA 中
{AC =CA
AD =CB
∴ Rt △ADC ≅Rt △CBA( HL)
∴ ∠CAD =∠ACB
∴ AD // BC
∵ AD = BC
∴四边形ABCD 是平行四边形
又∵ ∠ABC =90°
∴四边形ABCD 是矩形；
（2）证明：如下图，
连接OB
∵在 Rt △MBF 中，点G 为MF 的中点
∴ BG = 1
2 MF = FG
∴ ∠GBF =∠GFB =∠AFE
∵ OA =OB
∴ ∠OBA =∠OAB
∵ DG⊥AC
∴ ∠AFE+∠OAB =90°
∴ ∠GBF +∠OBA =90°
∴ OB⊥BG
∴BG 是⊙O 的切线.
27. （1）3√3
（2）解：如图，作点B 关于AD 的对称点M，作点B 关于CD 的对称点N，连接MN，交AD 于点E，交CD
于点F，过点M 作MG⊥BC，交CB 的延长线于点G，
15
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
∵点B，点M 关于AD 对称，∴BE＝EM，AB＝AM＝2 √2 ，∴BM＝4 √2 ，
∵点B，点N 关于CD 对称，∴BF＝FN，BC＝CN＝3，
∴△BEF 的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，
由轴对称的性质知：此时MN 的长即为△BEF 周长的最小值.
∵∠ABC＝135°，∴∠GBM＝45°，
∴∠GBM＝∠GMB＝45°，
∴BG＝GM，
∵BG2+GM2＝BM2 ，
∴BG＝4＝GM，
∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，
∴在Rt△GMN 中，MN＝ √G M
2+G N
2 ＝ √100+16 ＝2 √29 ，
∴△BEF 的最小周长为2 √29 .
（3）解：作△ABC 的外接圆，交CD 于点E，连接AC，AE，过点A 作AM⊥CD 于点M，作BN⊥AM 于点
N，
∵四边形ABCE 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝30°，
∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形BCMN 是矩形，
∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠ABN＝60°，∴∠BAN＝30°，
∴BN＝ 1
2 AB＝1，AN＝ √3 BN＝ √3 ，
∴AM＝ √3 +2，CM＝1，
16
公众号：好学熊资料库 超全学习资料库
∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，
∴AE＝2AM＝2 √3 +4，ME＝ √3 AM＝3+2 √3 ，
∴CE＝CM+ME＝4+2 √3 ＝AE，
∴点E 在AC 垂直平分线上，
∵S 四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE ， 且S△ABC是定值，AC 长度是定值，点E 在△ABC 的外接圆上，
∴当点E 在AC 的垂直平分线上时，S 四边形ABCE最大，
此时S 四边形ABCE＝S 四边形ABCM+S△AME＝ 1
2 × (2+2+√3) ×1+ (2+√3)(2√3+3)
2
＝8+4 √3
解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠CDB＝30°，
∴AB＝BC＝ √3 ，
∴四边形ABCD 的面积＝2S△ABD＝2× 1
2 ×3× √3 ＝3 √3 .
故答案为：3 √3 ；
17
