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苏科版八年级下册数学期末试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．）
1．（3 分）使二次根式
的有意义的x 的取值范围是（ ）
A．x＞0
B．x＞1
C．x≥1
D．x≠1
2．（3 分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的为（ ）
A．等边三角形
B．平行四边形
C．矩形
D．圆
3．（3 分）下列事件中的必然事件是（ ）
A．一箭双雕
B．守株待兔
C．水中捞月
D．旭日东升
4．（3 分）下列分式中属于最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3 分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC、BD 交于点O，则下列结论中错
误的是（ ）
A．当AB＝BC 时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是正方形
C．当AC＝BD 时，它是矩形
D．当AC⊥BD 时，它是菱形
6．（3 分）在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知
识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是（ ）
A．抽取乙校初二年级学生进行调查
B．在丙校随机抽取600 名学生进行调查
C．随机抽取150 名老师进行调查
D．在四个学校各随机抽取150 名学生进行调查
7．
（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D、E 分别为AC、AB 边上的中点，连接
DE 并延长DE 到F，使得EF＝2ED，连接BF，则BF 长为（ ）
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1
A．2
B．2
C．4
D．4
8．（3 分）已知一次函数y＝kx+b 的图象经过一、二、四象限，则下列关于反比例函数y＝
的描述，其中正确的是（ ）
A．图象在一、三象限
B．y 随x 的增大而减小
C．y 随x 的增大而增大
D．当x＜0 时，y＞0
9．（3 分）已知：a2+b2＝3ab（a＞b＞0），则
的值为（ ）
A．
B．3
C．
D．5
10．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的对角线AC 的中点与坐标原点重合，点
E 是x 轴上一点，连接AE、BE，若AD 平分∠OAE，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象
经过AE 上的点A、F，且AF＝EF，△ABE 的面积为18，则k 的值为（ ）
A．﹣6
B．﹣12
C．﹣18
D．﹣24
二、填空题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分．）
11．（2 分）给出下列3 个分式：
，
，
，它们的最简公分母为 ．
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2
12．（2 分）当x＝ 时，分式
的值为零．
13．（2 分）一枚质地均匀的骰子的六个面上分别刻有1～6 的点数，抛掷这枚骰子，若抛到偶
数的概率记作P1，抛到奇数的概率记作P2，则P1与P2的大小关系是 ．
14．（2 分）已知实数a、b 满足
+|6﹣b|＝0，则
的值为 ．
15．如图，面积为3 的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数y＝
的图象上，另三点在坐标
轴上，则k＝ ．
16．（2 分）如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，过点D 作DH⊥BC 于点H，连接
OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD 的面积为 ．
17．（2 分）已知正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝
（k2≠0）的图象有一个交点
的坐标为（3，﹣1），则关于x 的不等式k1x﹣
＞0 的解集为 ．
18．（2 分）如图，E 为正方形ABCD 中BC 边上的一点，且AB＝3BE＝6，M、N 分别为边CD、
AB 上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE 的最小值为 ．
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3
三、解答题（本大题共9 小题，共74 分．）
19．（8 分）计算：
（1）
+|3﹣
|﹣（
）2；
（2）
﹣（3+
）（3﹣
）．
20．（8 分）（1）计算：
；
（2）解方程：
．
21．（6 分）化简代数式
÷（x+
），并求当x＝7 时此代数式的值．
22．（8 分）某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的
课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方
图和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，E 组对应的圆心角度数为 °；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于6 小时的人数．
23．（8 分）如图，在▱ABCD 中，延长BC 到点E，使得BC＝CE，连接AE、DE．
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形；
（2）如果AB＝AE＝4，BE＝2
，求四边形ACED 的面积．
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4
24．（8 分）某文具店王老板用240 元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600 元购进第二
批笔记本，所购本数是第一批的2 倍，但进价比第一批每本多了2 元．
（1）第一批笔记本每本进价多少元？
（2）王老板以每本12 元的价格销售第二批笔记本，售出60%后，为了尽快售完，决定打折
促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48 元，剩余的笔记本每本售价最低打几折？
25．（8 分）如图1，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝10，P 是AD 边上一点，将△ABP 沿着直线
PB 折叠，得到△EBP．
（1）请在图2 上用没有刻度的直尺和圆规，在AD 边上作出一点P，使P、E、C 三点在一直
线上（不写作法，保留作图痕迹），此时AP 的长为 ；
（2）请在图3 上用没有刻度的直尺和圆规，在AD 边上作出一点P，使BE 平分∠PBC（不
写作法，保留作图痕迹），此时△BEC 的面积为 ．
26．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，B、C 两点在x 轴的正半轴上，以线段BC 为边向上作
正方形ABCD，顶点A 在正比例函数y＝2x 的图象上，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图
象经过点A，且与边CD 相交于点E．
（1）若BC＝4，求点E 的坐标；
（2）连接AE，OE．
①若△AOE 的面积为24，求k 的值；
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5
②是否存在某一位置使得AE⊥OA，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
27．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OC、OA 分别在x 轴、y 轴上，已知B
（m，4）（m＞0），AB 上有一点P（n，4），将△OAP 绕着点O 顺时针旋转60°得到△OA1P1．
（1）点A1的坐标为 ；连接PP1，若PP1⊥x 轴，则n 的值为 ；
（2）如果m﹣n＝2
．
①当点P1落在OC 上时，求CP1的长；
②请直接写出CP1最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分．）
1．【分析】根据
中a≥0 得出不等式，求出不等式的解即可．
【解答】解：要使
有意义，必须x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：C．
2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形
绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形．
【解答】解：A．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
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6
C．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．【分析】根据必然事件的定义即可判断．
【解答】解：A、一箭双雕，是随机事件，不符合题意；
B、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D、旭日东升，是必然事件，故选项符合题意；
故选：D．
4．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、
分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同
的因式从而进行约分．
【解答】解：A、
是最简分式，故本选项符合题意；
B、原式＝﹣
，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、原式＝
，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、原式＝x﹣3，该式子不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．【分析】利用矩形的判定、正方形的判定及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选
项．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、当∠ABC＝90°时，可以得到平行四边形ABCD 是矩形，不能得到正方形，故错误，
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
故选：B．
6．【分析】根据抽样调查的具体性和代表性解答即可．
【解答】解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随
机抽取150 名学生进行调查最具有具体性和代表性，
故选：D．
7．【分析】根据直角三角形的性质求出AB，进而求出AE、EB，根据三角形中位线定理得到
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7
DE∥BC，得到∠AED＝∠AED＝60°，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝60°，
∵E 为AB 边上的中点，
∴AE＝EB＝4，
∵D、E 分别为AC、AB 边上的中点，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠AED＝60°，
∴∠BEF＝∠ABC＝60°，
在Rt△AED 中，∠A＝30°，
∴AE＝2DE，
∵EF＝2DE，
∴AE＝EF，
∴△BEF 为等边三角形，
∴BF＝BE＝4，
故选：C．
8．【分析】根据一次函数y＝kx+b 的图象经过一、二、四象限，可以得到k＜0，b＞0，从而可以
得到b﹣k＞0，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的结论是否正确，从而
可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b 的图象经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴b﹣k＞0，
∴反比例函数y＝
的图象在第一、三象限，故选项A 正确；
在每个象限内，y 随x 的增大而增大，故选项B 错误、选项C 错误；
当x＜0 时，反比例函数y＝
的函数值y＜0，故选项D 错误；
故选：A．
9．【分析】首先进行配方，得出a+b 以及a﹣b 的值，进而求出答案．
【解答】解：∵a＞b＞0，a2+b2＝3ab，
∴（a﹣b）2＝ab，（a+b）2＝5ab，
∴a+b＞0，a﹣b＞0，
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8
∴
的值为：
．
故选：A．
10．【分析】连接BD，先由AD 平分∠EAO 得∠DAE＝∠OAD，由矩形ABCD 的性质得到
∠OAD＝∠ODA，从而得到∠EAD＝∠ADO，故而AE∥BD，再由平行线的性质得到
△ABE 和△AOE 的面积相等，然后设点A 的坐标，结合AF＝EF 得到点F 和点E 的坐标，
最后结合△AOE 的面积求出k 的取值．
【解答】解：连接BD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∵AD 平分∠EAO，
∴∠EAD＝∠OAD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∴AE∥BD，
∴S△AEB＝S△AEO＝18，
设A（a，
），
∵AF＝EF，
∴F（2a，
），E（3a，0），
∴S△AEO＝
×（﹣3a）×
＝18，
∴k＝﹣12，
故选：B．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题2 分，共16 分．）
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9
11．【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式
，
，
的分母分别是ab、a3b，abc，故最简公分母是a2bc；
故答案为a2bc．
12．【分析】分式的值为0 的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不
可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得x﹣2＝0 且x+2≠0，解得x＝2．
故当x＝2 时，分式
的值为零．
故答案为：2．
13．【分析】直接利用概率公式求出P1，P2的值，进而得出答案．
【解答】解：抛到偶数的概率P1＝
＝
，
抛到奇数的概率P2＝
＝
，
则P1＝P2．
故答案为：P1＝P2．
14．【分析】先根据非负数的和为0 求出a、b 的值，再代入化简．
【解答】解：∵
+|6﹣b|＝0，
又∵
≥0，|6﹣b|≥0，
∴a﹣3＝0，6﹣b＝0．
∴a＝3，b＝6．
∴
＝
＝2
．
故答案为：
15．【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：根据题意，知S＝|k|＝3，k＝±3，
又因为反比例函数位于第四象限，k＜0，
所以k＝﹣3，
16．【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝16，再由直角三角形斜
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边上的中线性质求出BD 的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝2OA＝16，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×6＝12，
∴菱形ABCD 的面积＝
AC•BD＝
×16×12＝96，
故答案为：96．
17．【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质判断两个交点关于原点对称，然后根据关于
原点对称的点的坐标特征写出另一个交点的坐标．根据交点坐标和图象即可得出不等式
的解集．
【解答】解：∵正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝
（k2≠0）的图象关于原点
对称，
∴正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝
（k2≠0）的图象的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标为（3，﹣1），
∴另一个交点的坐标是（﹣3，1），如图，
则关于x 的不等式k1x﹣
＞0 的解集为 x＜﹣3 或0＜x＜3，
故答案为：x＜﹣3 或0＜x＜3．
18．【分析】由勾股定理可求AE 的长，由“ASA”可证△ABE≌△DAH，可得DH＝AE＝2
，通过证明四边形NEGM 是平行四边形，可得NE＝MG，MN＝EG＝AE＝2
，由
AM+NE＝AM+MG，则当点A，点M，点G 三点共线时，即AM+NE 的最小值为AG，由勾股
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定理可求解．
【解答】解：如图，过点D 作DH∥MN，交AB 于H，过点E 作EG∥MN，过点M 作
MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵AB＝3BE＝6，
∴BE＝2，
∴AE＝
＝
＝2
，
∵DH∥MN，AB∥CD，
∴四边形DHNM 是平行四边形，
∴DH＝MN，
∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，
∴DH⊥AE，AE⊥EG，
∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，
∴∠BAE＝∠ADH，
在△ABE 和△DAH 中，
，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴DH＝AE＝2
，
∴MN＝DH＝AE＝2
，
∵EG∥MN，MG∥NE，
∴四边形NEGM 是平行四边形，
∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝2
，
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∴AM+NE＝AM+MG，
则当点A，点M，点G 三点共线时，AM+NE 的最小值为AG，
∴AG＝
＝
＝4
，
故答案为4
．
三、解答题（本大题共9 小题，共74 分．）
19．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接分母有理化以及结合乘法公式计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3
+3﹣2
﹣3
＝
；
（2）原式＝
﹣（9﹣6）
＝4+4
+3﹣3
＝4+4
．
20．【分析】（1）先因式分解，再通分，最后同分母相加，结果化为最简分式；
（2）先因式分解，再去分母、去括号、移项、合并同类项、把x 系数化为一，最后一定检验．
【解答】解：（1）原式＝
+
＝
＝
＝
；
（2）x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8，
x2+2x﹣x2+4＝8，
2x＝8﹣4，
x＝2，
经检验x＝2 为原方程的增根，
∴原方程无解．
21．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子
即可．
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【解答】解：
÷（x+
）
＝
÷
＝
＝
，
当x＝7 时，原式＝
＝
．
22．【分析】（1）根据A 组的频数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算
出m 的值，以及E 组对应的圆心角度数；
（2）根据D 组所占的百分比和（1）中的结果，可以计算出D 组的频数，从而可以将频数分
布直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出该校3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于6
小时的人数．
【解答】解：（1）本次调查的人数为：10÷10%＝100，
m%＝40÷100×100%＝40%，
∴m＝40，
E 组对应的圆心角度数为：
×360°＝14.4°，
故答案为：40，14.4；
（2）D 组的频数为：100×25%＝25，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）3000×
＝870（人），
答：估计该校3000 名学生中每周的课外阅读时间不小于6 小时的有870 人．
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23．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝CE，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得∠ACE＝90°，则平行四边形ACED 是矩形，再由勾股定理得
AC＝
，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BC＝CE，
∴AD＝CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED 是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ACED 是平行四边形，
∵AB＝AE，BC＝CE＝
BE＝
，
∴AC⊥BE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ACED 是矩形，
在Rt△ACE 中，由勾股定理得：AC＝
＝
＝
，
∴矩形ACED 的面积＝AC×CE＝
×
＝
．
24．【分析】（1）设第一批笔记本每本进价为x 元，则第二批每本进价为（x+2）元，由题意：某
文具店王老板用240 元购进一批笔记本，很快售完；王老板又用600 元购进第二批笔记本，
所购本数是第一批的2 倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设剩余的笔记本每本打y 折，由题意：王老板以每本12 元的价格销售第二批笔记本，
售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批笔记本的销售总利润不少于48 元，
列出一元一次不等式，解不等式即可．
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【解答】解：（1）设第一批笔记本每本进价为x 元，则第二批每本进价为（x+2）元，
由题意得：
，
解之得：x＝8，
经检验，x＝8 为原方程的解，
答：第一批笔记本每本进价为8 元．
（2）第二批笔记本有：
＝60（本），
设剩余的笔记本每本打y 折，
由题意得：
，
解得：y≥7.5，
答：剩余的笔记本每本最低打七五折．
25．【分析】（1）以C 为圆心，BC 长为半径作弧交AD 于点P，则∠CBP＝∠CPB，而∠CBP＝
∠APB，所以AP＝2
（2）以为AB 边再矩形内作等边三角形ABE，作∠ABE 的角平分线BP 与AD 交于点P，则
BE 平分∠PBC，作EH⊥BC，然后求出BE，从而得到△BEC 的面积．
【解答】解：（1）如图2，点P 为所作；
∵CP＝CB＝10，
∴PD＝
＝
＝8，
∴AP＝AD﹣DP＝10﹣8＝2；
故答案为2；
（2）如图3，点P 为所作，
过E 作EH⊥BC 于H，
∵△ABE 为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，BE＝BA＝6，
∴∠EBC＝30°，
∴EH＝
BE＝3，
∴S△BEC＝
×10×3＝15．
故答案为15．
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26．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝BC＝4，求得A（2，4），得到k＝2×4＝8，于是求
得点E 的坐标为
；
（2）①设A（a，2a）（a＞0），则点
，根据梯形的面积公式即可得到答案；
②根据余角的性质得到∠OAB＝∠BAE，根据全等三角形的性质得到OB＝DE，由①可
知，A（a，2a）（a＞0），则点
，求得OB＝a，
，推出k＝0，于是
得到答案．
【解答】解：（1）在正方形ABCD 中，AB＝BC＝4，
∴A（2，4），
∵A（2，4）在
的图象上，
∴k＝2×4＝8，
∵OC＝OB+BC＝6，
∴xE＝6，
将xE＝6 代入
中，得：
，
∴点E 的坐标为
；
（2）①设A（a，2a）（a＞0），则点
，
∵S 梯形ABCE＝S△AOE＝24，
∴
得a2＝9，
∴k＝2a2＝18；
②答：不存在，
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理由：∵AE⊥OA，
∴∠OAB+∠BAE＝90°，
∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，
∴∠OAB＝∠DAE，
∵∠ABO＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△OAB≌△EAD（ASA），
∴OB＝DE，
由①可知，A（a，2a）（a＞0），则点
，
∴OB＝a，
，
∴
，
∴a＝0，
∴k＝0，
∵k＞0，
∴不符合题意，不存在．
27．【分析】（1）连接AA1，过A1作A1D⊥x 轴于D，设PP1与x 轴交于E，根据将△OAP 绕着
点O 顺时针旋转60°得到△OA1P1，B（m，4），可得∠AOA1＝∠POP1＝60°，OA＝OA1＝4，
OP＝OP1，即得A1D＝
OA1＝2，OD＝
＝2
，故A1（2
，2），由
PP1⊥x 轴，可得∠POE＝30°，在Rt△POE 中，即得OP＝8，OE＝4
，故n＝4
；
（2）①连接PP1，过P 作PF⊥x 轴于F，由△POP1是等边三角形，PF⊥x 轴，知P1F＝
OP1＝
PP1，而PF＝4，即得P1F＝
，根据m﹣n＝2
，即BP＝2
＝CF，即得CP1
＝CF﹣P1F＝
；
②过A1作A1R⊥OA 于R，过P1作P1S⊥A1R 于S，由m﹣n＝2
，得m＝2
+n，C（2
+n，0），证明△A1RO∽△P1A1S，可得OR：A1R：OA1＝A1S：P1S：A1P1＝1：
：2，OR＝2，
A1R＝2
，从而有P1（2
+
n，2﹣
n），即得CP1
2＝（n﹣
）2+1，故CP1
2最小为
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1，CP1最小值是1．
【解答】解：（1）连接AA1，过A1作A1D⊥x 轴于D，设PP1与x 轴交于E，如图：
∵将△OAP 绕着点O 顺时针旋转60°得到△OA1P1，B（m，4），
∴∠AOA1＝∠POP1＝60°，OA＝OA1＝4，OP＝OP1，
∴∠A1OD＝30°，△POP1是等边三角形，
∴A1D＝
OA1＝2，OD＝
＝2
，
∴A1（2
，2），
∵△POP1是等边三角形，
∴∠OPP1＝60°，
∵PP1⊥x 轴，
∴∠OEP＝90°，
∴∠POE＝30°，
在Rt△POE 中，PE＝OA＝4，
∴OP＝8，OE＝
＝4
，
∴P（4
，4），即n＝4
，
故答案为：（2
，2），
；
（2）①连接PP1，过P 作PF⊥x 轴于F，如图：
∵△POP1是等边三角形，PF⊥x 轴，
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∴P1F＝
OP1＝
PP1，
∵PF＝4，
∴P1F＝
＝
，
∵m﹣n＝2
，即BP＝2
＝CF，
∴CP1＝CF﹣P1F＝
；
②过A1作A1R⊥OA 于R，过P1作P1S⊥A1R 于S，如图：
∵m﹣n＝2
，
∴m＝2
+n，
∴C（2
+n，0），
∵∠OA1P1＝∠OAP＝90°，
∴∠RA1O＝90°﹣∠SA1P1＝∠A1P1S，
又∠A1RO＝∠A1SP1，
∴△A1RO∽△P1A1S，
∵∠AOA1＝60°，OA＝OA1＝4，
∴OR：A1R：OA1＝A1S：P1S：A1P1＝1：
：2，OR＝2，A1R＝2
，
∵P（n，4），
∴A1P1＝AP＝n，
∴A1S＝
n，P1S＝
n，
∴P1（2
+
n，2﹣
n），
∴CP1
2＝（2
+
n﹣2
﹣n）2+（2﹣
n﹣0）2＝n2﹣2
n+4＝（n﹣
）2+1，
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∴n＝
时，CP1
2最小为1，
∴当P1（
，
），C（3
，0）时，CP1取最小值，最小值是1．
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