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青岛版八年级上册数学期末试卷
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．下列命题中，逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．邻补角互补
C．两直线平行，同位角相等
D．互余的两个角都小于90°
2．如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，连结OE．若∠ABC
＝50°，∠BAC＝80°，则∠1 的度数为（ ）
A．60°
B．50°
C．40°
D．25°
3．如图，△ABC≌△AED，点D 在BC 上，若∠EAB＝42°，则∠DAC 的度数是（ ）
A．48°
B．44°
C．42°
D．38°
4．某手表厂抽查了10 只手表的日走时误差，数据如下表所示（单位：s）：
日走时误差
0
1
2
3
只数
3
4
2
1
则这10 只手表的平均日走时误差（单位：s）是（ ）
A．0
B．0.6
C．0.8
D．1.1
5．已知△ABC 边AB、AC 的垂直平分线DM、EN 相交于O，M、N 在BC 边上，若∠MAN＝20°，
则∠BAC 的度数为（ ）
A．100°
B．120°
C．140°
D．160°
6．已知
＝
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：
年龄
12
13
14
15
16
人数
2
3
2
5
1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，14
B．15，13
C．14，14
D．13，14
8．下列命题：
①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；
④对角线相等的平行四边形是矩形．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝100°，∠A＝20°，D 是AB 上一点，将△ABC 沿CD 折叠，使B
点落在AC 边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．40°
B．20°
C．55°
D．30°
10．将分式
的分子分母写成正数的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．当分式
的值为整数时，自然数x 的取值可能有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．6 个
D．8 个
12．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点H、E、F 分别是边AB、BC、CA 的中点，若EF+CH
＝8，则CH 的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
13．若
，则
﹣
的值是 ．
14．已知点A（a+2，5）与点B（5，b）关于x 轴对称，则a﹣b＝ ．
15．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BD＝BC，如果∠C＝50°，那么∠ABD 的度数是
．
16．如图，已知线段AB＝2，作BD⊥AB，使BD＝
AB；连接AD，以D 为圆心，BD 长为半径画
弧交AD 于点E，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AB 于点C，则AC 长为 ．
17．若关于x 的分式方程
﹣
＝1 有增根，则a 的值 ．
18．如图，AD 是△ABC 的高，∠BAD＝40°，∠CAD＝65°．若AB＝5，BD＝3，则BC 的长为
．
三．解答题（共6 小题，满分66 分）
19．先化简，再求值：
，从﹣1，1，2，3 中选择一个合适的数代入并求值．
20．体育课上，九年级（1）班和（3）班决定进行“1 分钟跳绳”比赛，两个班各派出6 名同学，
成绩分别为（单位：次）
九（1）：187，178，175，179，187，191；
九（3）：181，180，180，181，186，184．
（1）九年级（1）班参赛选手成绩的众数为 次，中位数为 次；
（2）求九年级（3）班参赛选手成绩的方差．
21．已知：如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE 相交于点
E．求证：四边形OCED 是菱形．
22．（1）解方程：
．
（2）关于x 的分式方程
无解，求a 的值．
23．为了“迎国庆，向祖国母亲献礼”，某建筑公司承建了修筑一段公路的任务，指派甲、乙两
队合作，18 天可以完成，共需施工费126000 元；如果甲、乙两队单独完成此项工程，乙队所
用时间是甲队的1.5 倍，乙队每天的施工费比甲队每天的施工费少1000 元．
（1）甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？
（2）为了尽快完成这项工程任务，甲、乙两队通过技术革新提高了速度，同时，甲队每天的
施工费提高了a%，乙队每天的施工费提高了2a%，已知两队合作12 天后，由甲队再单独做2
天就完成了这项工程任务，且所需施工费比计划少了21200 元．
①分别求出甲、乙两队每天的施工费用；
②求a 的值．
24．已知P 是正方形ABCD 边BC 上一点，连接AP，作PE⊥AP，且∠DCE＝45°．若PE 和CE 交
于E 点，连接AE 交CD 于F．
（1）求证：EP＝AP；
（2）若正方形的边长为4，CF＝3，求CE 的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12 小题，满分36 分，每小题3 分）
1．解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
B、邻补角互补的逆命题是互补的角是邻补角，逆命题是假命题；
C、两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题是真命题；
D、互余的两个角都小于90°的逆命题是都小于90°的角互余，逆命题是假命题；
故选：C．
2．解：∵∠ABC＝50°，∠BAC＝80°，
∴∠BCA＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，
∴EO 是△DBC 的中位线，
∴EO∥BC，
∴∠1＝∠ACB＝50°．
故选：B．
3．解：∵△ABC≌△AED，
∴∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC＝42°．
故选：C．
4．解：＝
＝1.1，
故选：D．
5．解：∵DM 是边AB 的垂直平分线，
∴MA＝MB，
∴∠MAB＝∠B，
同理，∠NAC＝∠C，
则
，
解得，∠BAC＝100°，
故选：A．
6．解：∵
＝
，
∴a＝
b，
∴
＝
＝
．
故选：A．
7．解：15 出现的次数最多，15 是众数．
一共13 个学生，按照顺序排列第7 个学生年龄是14，所以中位数为14．
故选：A．
8．解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；
②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；
③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；
④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；
故选：B．
9．解：∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACB＝100°，∠A＝20°，
∴∠B＝60°，
根据翻折不变性可知：∠CB′D＝∠B＝60°，
∵∠DB′C＝∠A+∠ADB′，
∴60°＝20°+∠ADB′，
∴∠ADB′＝40°，
故选：A．
10．解：
＝﹣
．
故选：B．
11．解；设原式为y，
当x 取0、1、2、3 时，
y 分别是﹣2、﹣6、6、2．
故选：B．
12．解：∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点H，E，F 分别是边AB，BC，CA 的中点，
∴EF＝
AB，CH＝
AB，
∴EF＝CH，
∵EF+CH＝8，
∴CH＝EF＝
8＝4，
故选：B．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
13．解：∵
，
∴
＝
，
∴
﹣
＝﹣
＝﹣
．
故答案为：﹣
．
14．解：∵点A（a+2，5）与点B（5，b）关于x
轴对称，
∴a+2＝5，b＝﹣5，
∴a＝3，
∴a﹣b＝3+5＝8，
故答案为：8．
15．解：∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝50°，
∴∠DBC＝180°﹣2∠C＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC＝80°，
∵AB＝BD，
∴∠A＝∠BDA＝80°，
∴∠ABD＝180°﹣2∠A＝20°．
故答案为：20°．
16．解：∵AB＝2，则BD＝DE＝
×2＝1，
由勾股定理得，AD＝
，
则AC＝AE＝
，
∴AC＝
AB＝
，
故答案为：
﹣1．
17．解：
﹣
＝1，
去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：x+x﹣a＝x﹣2，
由分母可知，分式方程的增根可能是2，
当x＝2 时，2+2﹣a＝2﹣2，
解得a＝4．
故答案为：4．
18．解：在DC 上截取DE＝BD＝3，连接AE，
∴AE＝AB＝5，
∴∠EAD＝∠BAD＝40°，
∵∠CAD＝65°，
∴∠CAE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C＝25°，
∴∠CAE＝∠C，
∴CE＝AE＝5，
∴BC＝BD+DE+CE＝5+6＝11，
故答案为：11．
三．解答题（共6 小题，满分66 分）
19．解：原式＝（
）
＝
＝
．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴取x＝3，原式＝
＝4．
20．解：（1）∵187 出现了2 次，出现的次数最多，
∴九年级（1）班参赛选手成绩的众数为187 次；
把这些数从小大排列为175，178，179，187，187，191，
则中位数为
＝183（次）．
故答案为：187，183；
（2）九年级（3）班参赛选手的平均成绩是
（181+180+180+181+186+184）＝182（次），
则方差是：
[（181﹣182）2+2×（180﹣182）2+（181﹣182）2+（186﹣182）2+（184﹣182）
2]＝5（次2）．
21．证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∵四边形OCED 是平行四边形．
∴OC＝DE，OD＝CE
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AO＝OC＝BO＝OD．
∴CE＝OC＝BO＝DE．
∴四边形OCED 是菱形
22．解：（1）方程整理得：
+
＝
+
，
即
＝
，
当2x+8＝0，即x＝﹣4 时，方程成立；
当2x+8≠0，即x≠﹣4 时，方程无解，
经检验x＝﹣4 是分式方程的解；
（2）去分母得：x2﹣ax﹣3x+3＝x2﹣x，即﹣ax﹣3x+3＝﹣x，
∴（a+2）x﹣3＝0，
当a＝﹣2 时，方程无解，
由分式方程无解，得到x＝0 或x﹣1＝0，
解得：x＝0 或x＝1，
把x＝0 代入整式方程得：无解；
把x＝1 代入整式方程得：a＝1，
则a 的值为1 或﹣2．
23．解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，
根据题意可得：
，
解得：x＝30，
检验，知x＝30 符合题意，
∴1.5x＝45，
答：甲公司单独完成此项工程需30 天，乙公司单独完成此项工程需45 天；
（2）①设甲公司技术革新前每天的施工费用是y 元，那么乙公司技术革新前每天的施工费用
是（y﹣1000）元，
则由题意可得：（y+y﹣1000）×18＝126000，
解得：y＝4000，
∴y﹣1000＝3000，
答：技术革新前，甲公司每天的施工费用是4000 元，乙公司每天的施工费用是3000 元；
②4000×14×（1+a%）+3000×12×（1+2a%）＝126000﹣21200，
解得：a＝10．
答：a 的值是10．
24．（1）证明：连接AC，过P 点作PG⊥BC 交AC 于G 点，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∵PG⊥BC，
∴∠GPC＝90°，
∴∠PGC＝45°，
∴PG＝PC，
∵∠DCE＝45°，
∴∠AGP＝∠ECP＝90°+45°＝135°，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠GPC＝90°，
∴∠APG＝∠EPC＝90°﹣∠GPE，
在△PAG 和△PEC 中
∴△PAG≌△PEC（ASA），
∴PE＝PA；
（2）解：延长CB 到Q，使BQ＝DF，过E 作EH⊥BC，EH 交BC 延长线于H，连接AQ，
PF，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝AB，
∴∠ABQ＝∠D＝90°，
在△ABQ 和△ADF 中
∴△ABQ≌△ADF（SAS），
∴AQ＝AF，∠DAF＝∠QAB，
∵∠APE＝90°，AP＝PE，
∴∠PAE＝∠AEP＝45°，
∴∠AQP＝∠QAB+∠BAP＝∠DAF+∠BAP＝∠DAB﹣∠PAE＝90°﹣45°＝45°＝∠PAE，
在△QAP 和△FAP 中
∴△QAP≌△FAP（SAS），
∴QP＝PE，
∵EH⊥BC，∠ABP＝90°，∠APE＝90°，
∴∠ABP＝∠H＝90°，∠APB＝∠PEH＝90°﹣∠EPH，
在△PEH 和△APB 中
∴△PEH≌△APB（AAS），
∴BP＝EH，
∵∠H＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ECH＝45°＝∠CEH，
∴CH＝EH＝BP，
设EH＝CH＝BP＝x，
∴PC＝4﹣x，PF＝BQ+BP＝DF+BP＝4﹣3+x＝1+x，
在Rt△PCF 中，由勾股定理得：（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解之得：x＝
，
即CH＝EH＝
，
∴在Rt△CHE 中，由勾股定理得：CE＝
CH＝
．
