专题06代数方程-备战2023年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_下学期_4：模拟卷多

上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 专题 06 代数方程 代数方程是本市中考特色考点，中考中多以选择题、填空题、简单的解一元二次方程及其应用题和渗 透在大题中的形式计算问题出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握代数方程 的分类，会解代数方程，及解代数方程过程中的形式变换，掌握有关的实际问题转化为代数方程来解决， 难度系数中等。。 一、分式的概念 概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式，A为分子，B为分母。 【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。 与分式有关的条件： 要求 表示 分式有意义 分母≠0 分式无意义 分母=0 分式值为0 分子为0且分母不为0 分式值为正或大于0 分子分母同号 ① A>0,B>0 ② A<0,B<0 分式值为负或小于0 分子分母异号 ①A>0,B<0 ②A<0,B>0 分式值为1 分子分母值相等 A=B 第 1 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 分式值为-1 分子分母值互为相反数 A+B=0 二、分式的运算 基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示： ， ， 其中A、B、C是整式，C 0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C 0这个限制条件和隐含条件B 0。 分式的约分 约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。 分式约分步骤： 1）提分子、分母公因式 2）约去公因式 3）观察结果，是否是最简分式或整式。 注意： 1.约分前后分式的值要相等. 2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. 3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式的通分 通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做 分式的通分。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 分式通分的关键：确定最简公分母 确定分式的最简公分母的方法 1.因式分解 2.系数：各分式分母系数的最小公倍数； 3.字母：各分母的所有字母的最高次幂 4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂 5.积 分式混合运算的运算 运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算； 2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式； 3.确定分式的符号，然后约分； 4.结果应是最简分式. 三、整数指数幂 第 2 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （ ） （ ） （ ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1） 其中m，n均为整数。 科学记数法 有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为 a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数) 注意： 1）1≤︱a︱＜10 2）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0） 四、 分式方程及其应用 解分式方程的基本 1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。 2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。 3）检验(把整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解 若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解 4）写出答案 分式方程解决实际问题的步骤： 1. 根据题意找等量关系 2. 设未知数 3. 列出方程 4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要） 5. 写答案 第 3 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 一、单选题 xy ab mm2 1a 1 1．下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ x2y1中，分式有（ ） xy 5 m  2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C A 【分析】根据分式的定义：一般地，如果A、B(B0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子 就叫做 B 分式，其中A称为分子，B称为分母；据此判断即可． xy 【解析】解：① ，分母中含有字母，是分式； xy ab ② ，分母中没有字母，不是分式； 5 mm2 ③ ，分母中含有字母，是分式； m 1a ④ ，是常数不是未知数，分母中没有字母，不是分式；  1 x2 ⑤ x2y1  ，分母中含有字母，是分式； 2 2y 是分式的有①③⑤共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟记定义是解本题的关键，注意判断是不是分式是在化简前判断． 2．下列运算结果为x-1的是（ ） 1 x21 x x1 1 x22x1 A．1 B．  C．  D． x x x1 x x1 x1 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质和运算法则分别计算即可判断． 1 【解析】A．1 = ，故此选项错误； x (x1)(x1) x B．原式=  x1，故此选项g正确； x x1 x1 x21 C.原式= (x1) ，故此选项错误； x x (x1)2 D.原式= x1，故此选项错误. x1 故答案选B. 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键． 第 4 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3．下列分式中，最简分式是（ ） 21xy x2y2 x22xyy2 x2y2 A． B． C． D． 15y2 xy xy xy 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义即可求出答案． 7x 【解析】解：（A）原式= ，故A不是最简分式； 5y xyxy （B）原式= =x-y，故B不是最简分式； xy （xy)2 （C）原式= =x-y，故C不是最简分式； xy x2y2 (D) 的分子分母都不能再进行因式分解、也没有公因式. xy 故选D． 【点睛】本题考查最简分式，解题关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型． x2-1 4．若分式 的值为0,则x的值为( ) x2x A．1 B．0 C．-1 D．0或-1 【答案】A 【分析】根据分式等于零的条件“分子为零，分母不为零”，进行计算即可. x21 【解析】∵ =0， x2x ∴x2﹣1=0， 解得：x=±1， 又∵当x=﹣1时，x2+x=0， ∴x=1. 故选A. 【点睛】本题考查分式的值为零需要满足的条件：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零；两个条件 必须同时具备，缺一不可. 5．下列计算正确的是( ) A．a-1+a-2=a-3 B．a-5·a-2=a10 C．(-2a-4)4=16a-8 D．(a-1)2=a-2 【答案】D 【分析】根据幂的混合运算法则进行判断即可. 第 5 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】A. a-1+a-2≠a-3，故本选项错误； B. a-5·a-2=a﹣7，故本选项错误； C. (-2a-4)4=16a-16，故本选项错误； D. (a-1)2=a-2，正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查幂的混合运算，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. a2-4 a2-4a4 2 6．计算 ÷ - 的结果为( ) a22a1 (a1)2 a-2 a2 a-4 a A． B． C． D．a a-2 a-2 a-2 【答案】C 【分析】由分式的加减乘除的运算法则进行计算，即可求出答案． a24 a24a4 2 【解析】解：   a22a1 (a1)2 a2 (a2)(a2) (a2)2 2 =   (a1)2 (a1)2 a2 (a2)(a2) (a1)2 2 =   (a1)2 (a2)2 a2 a2 2 =  a2 a2 a = a2 故选：C 【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 2m 8x 7．已知关于x的方程  0有增根，则m的值是（ ） x4 4x A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】D 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−4＝0，据此求出x的值， 代入整式方程求出m的值即可． 【解析】解：原方程去分母，得：2m8x0， ∴x2m8， 由分式方程有增根，得到x−4＝0，即x＝4， 把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2． 第 6 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2） 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 2xm 8．关于x的分式方程 3的解是正数，则字母m的取值范围是（ ）. x1 A．m3 B．m3 C．m3 D．m3 【答案】D 【解析】试题分析：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3， 解得：x＝－m－3， 由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1， 解得：m＜－3， 故选D． 点睛：此题考查了分式方程的解，要注意分式方程分母不为0这个条件． 二、填空题 9．新型冠状病毒（2019﹣nCoV）的平均直径是100纳米．1米＝109纳米，100纳米可以表示为_____ 米．（用科学记数法表示） 【答案】1×10-7 【分析】小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是 其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解析】∵1米＝109纳米， ∴100纳米＝100÷109米＝1×10-7米， 故答案为：1×10-7 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第 一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 21a 2bc 2x 2y 10．计算：  _____________  ＝_____________ b2c 35a2 x2y2 y2x2 1 x2y2 2x ＝_____________ ＝_________________ 2x x1y1 6 2 43x xy 【答案】 5ab xy 2x xy 第 7 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】①根据分式的乘法运算法则计算即可； ②根据分式的加法运算法则和平方差公式计算即可； ③根据分式的四则混合运算法则计算即可； ④根据分式的性质化简即可． 21a 2bc 【解析】解：①  b2c 35a2 212abc  35a2b2c 6  ． 5ab 2x 2y ②  x2y2 y2x2 2x2y  x2y2 2xy  xyxy 2  ． xy 1 ③2x 2x 22xx  2x 43x  ． 2x x2y2 ④ x1y1 y2x2 x2y2  yx xy (yx)(yx)  yxxy xy  ． xy 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的四则混合运算，平方差公式，负整数指数幂等知识．解题的关键 在于正确的化简计算． x21 x x 11．已知方程  1，如果设  y，那么原方程可以变形为关于y的整式方程为 3x x21 x21 ___________． 第 8 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】3y23y10 【分析】先把方程变形为含y的分式方程，再去分母得整式方程． x21 x 1 x21 x 【解析】解：方程  1，可变形为：   1， 3x x21 3 x x21 x x21 1 若设  y，则  x21 x y 1 1 所以原方程可变形为：  y1 3 y 两边都乘以3y，得3y23y10． 故答案为：3y23y10 【点睛】本题考查了分式方程的换元法．题目难度不大，注意式子的变形． 12．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提 s s50 s s50 速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①  ；②  ；③ x xv xv x x s S 50  ；④  ．则其中正确的方程有_________． xv s50 v v 【答案】①③ 【分析】设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h，根据时间=路程÷速度及 相同时间里面路程比等于速度比，即可得出关于x的分式方程，再对比四个选项后即可得出结论． 【解析】解：设提速前列车平均速度是xkm/h，则提速后列车平均速度是（x+v）km/h， s s50 x s s 50 依题意得：①  ；③  ；④  ． x xv xv s50 x v 故其中正确的方程有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． x y 6x15y 4x25xy6y2 13．若   ，则 ________． 3y 2x5y x x22xy3y2 9 【答案】 2 x y 1 x 6x15y 【分析】根据  ，得出x3y，x y；根据  ，得出x3y，x15y；故有x3y， 3y 2x5y 2 3y x 代入所求分式化简即可． x y 【解析】解：由  ，得2x25xy3y2 0， 3y 2x5y 第 9 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 解得x3y，x y； 2 x 6x15y 由  ，得x218xy45y2 0， 3y x 解得x3y，x15y； 故有x3y， 4x25xy6y2 36y215y26y2 9    ． x22xy3y2 9y26y23y2 2 9 故答案是： ． 2 【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是根据已知等式求出使所有等式成立的条件． 1 1 1 1 14．计算： xx1  x1x2  x2x3    x2018x2019 ________________. 2019 【答案】 xx2019 【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可. 1 1 1 【解析】∵   ， x(x1) x x1 1 1 1   (x1)(x2) x1 x2 1 1 1   (x2)(x3) x2 x3 …… 1 1 1   (x2018)(x2019) x2018 x2019 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴原式=(  )(  )(  )(  ) x x1 x1 x2 x2 x3 x2018 x2019 1 1 =  x x2019 2019 = . xx2019 【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键. 三、解答题 15．计算： 4x 1 3z1 (1)( )2( y1z)4( )3 9y2 2 2x 第 10 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2+ 7x- 8 x2- 4 (2) × 4x- x3 3x+ 24 a- b ab- a2 (3) ¸ a2+ ab a2b2- a4 2a1 1 (4)  . a2a2 a2 1 6 x1 (5)   x2 x24 42x x2 x x1 (6)   . x24x4 x2 x2 1 1 x24 (7)(  )(1 ) x 2 4x x23xy4y2 x23x3yy2 (8)  . x28xy16y2 x216y2 b b3 abb2 (9)   ab a32a2bab2 a2b2 z 【答案】(1) ； 24x 1x (2) ； 3x (3)ab； 1 (4) ； a1 x5 (5) 2x4 1 (6) ； x2 2 (7) ； x2 x4y (8) ； xy3 b (9) a 【分析】（1）根据积的乘方法则、负整数指数幂的运算法则把原式变形，再根据分式的乘除法法则计算， 得到答案； （2）先因式分解再根据分式的乘法运算法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法，然后利用分式乘法法则进行计算即可； （4）先寻找2个分式分母的最小公倍式，将最小公倍式作为的公分母；然后在进行减法计算，最后进行化 第 11 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 简； （5）找出最简公分母，先通分，再相加减，最后化简即可； （6）有分式的加减乘除运算进行化简，即可得到答案； （7）先通分，然后根据分式除法的运算法则计算即可； （8）先分别对所有分子、分母因式分解，然后再化除为乘，最后约分计算即可； （9）先将减号后面两个分式的分子和分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算乘法，继而通分、计 算减法即可． （1） 16x2y4 16y4 27 原式  ( ) 81 z4 8x3z3 16x2y4 z4 27   ( ) 81 16y4 8x3z3 z  ； 24x （2） (x8)(x1) (x2)(x2) 原式=  x(4x2) 3(x8) (x8)(x1) (x2)(x2)   x(2x)(2x) 3(x8) x1  3x 1x  ； 3x （3） ab a2b2a4 原式=  a2ab aba2 ab a2(b2a2) =  a(ab) a(ba) ab a2(ba)(ba) =  a(ab) a(ba) ab； （4） 2a1 1 原式=  (a2)(a1) a2 2a1 a1 =  (a2)(a1) (a2)(a1) 第 12 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2a1a1 = (a2)(a1) a2 = (a2)(a1) 1 = ； a1 （5） 1 6 x1   x2 x24 42x 2(x2) 12 (x1)(x2) =   2(x2)(x2) 2(x2)(x2) 2(x2)(x2) 2x412x2x2 = 2(x2)(x2) x23x10 = 2(x2)(x2) (x5)(x2) = 2(x2)(x2) x5 = ； 2x4 （6） x2 x2 x1 原式   (x2)2 x x2 x x1   x2 x2 xx1  x2 1  ； x2 （7） 1 1  x24   1 ， x 2  4x  2x 4xx24   ， 2x 4x 2x 4x   2x   x24x4 ， 2x 4x   ， 2x 2x2 2  ， 2x 第 13 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2  ； x2 （8） (xy)(x4y) (xy)(xy3) 原式  (x4y)2 (x4y)(x4y) (xy)(x4y) (x4y)(x4y)  ( (x4y)2 (xy)(xy3) x4y  ； xy3 （9） b b3 (ab)(ab) 原式   ， ab a(ab)2 b(ab) b b2   ， ab a(ab) ab b2   ， a(ab) a(ab) abb2  ， a(ab) b(ab)  ， a(ab) b  ． a 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，属于基础题型，掌握分式的混合运算法则以及因式分解的知识 是解答本题的关键． 16．计算：   1  1    a1b1 ． ab ab 2a2b 【答案】 (ab)(ab)2 【分析】根据负指数幂意义变形,再根据分式加减乘除法则进行计算． ab ab 1 1 【解析】解：原式=[  ]÷（  ） abab abab a b 2a ba = ÷ abab ab 2a ab = × abab ab 2a2b = ． (ab)(ab)2 【点睛】本题考查分式运算，掌握基本运算法则,特别是理解负指数幂意义是关键． 17．解方程： 第 14 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 4 (1)  1 x2 2x 1x 2 (2) 1 . x x2x x x6 x3 (3)   x3 x23x x 1 3xx2 (4)  1 1x x21 【答案】(1)x=-5 (2)x=1 3 (3)x 7 (4)原方程无解 【分析】（1）方程两边同时乘以x-2，化分式方程为整式方程求解，最后进行检验即可； （2）方程两边同时乘以xx1，将分式方程转化为整式方程进行求解，再将所求整式方程的解代入公分母 进行检验即可； （3）方程两边同时乘以xx3，将分式方程转化为整式方程进行求解，最后将所求整式方程的解代入公 分母进行检验即可； （4）方程两边同乘以x1x1将分式方程转化为整式方程，然后求解，最后检验即可． 3 4 【解析】（1）解：  1， x2 2x 去分母得：3= -4-（x-2）， 去括号得：3= -4-x+2， 移项合并同类项得x=-5， 检验：把x=-5代入x-2得：5270， ∴原方程的解为x=-5． 1x 2 （2）解： 1 x x2x 去分母得，（1-x）（1+x）+x2+x=2， 去括号得，1-x2+x2+x=2， 解得：x=1， 第 15 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 检验：把x=1代入xx1得：11120， ∴原分式方程的解为：x=1． x x6 x3 （3）解：   x3 x23x x 去分母得：x2x6x32， 去括号得：x2x6x26x9， 移项合并得：7x3， 3 系数化为1得：x ， 7 3 3 3  54 检验：把x 代入xx3得：  3 0， 7 7 7  49 3 ∴分式方程的解是x ． 7 1 3xx2 （4）解：  1， 1x x21 方程的两边同乘（x+1）（x1），得： x13xx2 x1x1， 去括号得：x13xx2 x21， 移项合并同类项得：2x2， 解得：x=1， 检验：把x=1代入（x+1）（x1）得：11110， ∴x=1是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，注意解分式方程时，最后要对方程的解进行检验． 18．某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、 王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的 输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学 生的成绩？ 【答案】李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩． 【分析】有工作总量3600，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“李 某比王某少用2小时输完”，等量关系为：王某用的时间－2＝李某用的时间，据此列出方程并解方程即 第 16 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 可． 【解析】解：设王某每分钟能输入x名学生的成绩，则李某每分钟能输入2x名学生的成绩， 3600 3600 根据题意得：  260， 2x x 解得x15， 经检验，x15是原方程的解，且符合题意， 所以2x30， 答：李某每分钟能输入30名学生的成绩，王某每分钟能输入15名学生的成绩． 【点睛】本题主要考查分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一 量来列等量关系的，注意：解分式方程一定要检验且要符合题意．找到合适的等量关系是解决问题的关 键． 19．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购 进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多 50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： (1)求购进的第一批医用口罩有多少包？ (2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500 元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？ 【答案】(1)购进的第一批医用口罩有2000包 (2)药店销售该口罩每包的最高售价是3元 【分析】（1）设购进的第一批医用口罩有x包，根据“每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元”列 出方程并解答． （2）设药店销售该口罩每包的售价是y元，根据“售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱”列出不等 式． 【解析】（1）解：设购进的第一批医用口罩有x包，则 4000 7500  0.5． x (150%)x 解得：x2000． 经检验x＝2000是原方程的根并符合实际意义． 答：购进的第一批医用口罩有2000包； 第 17 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）解：设药店销售该口罩每包的售价是y元，则由题意得： [20002000150%]y400075003500． 解得：y3． 答：药店销售该口罩每包的最高售价是3元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正 确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式． 一、基本概念 一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。 二项方程：一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为 Ax^n+b=0(其中a≠0, b≠0,n为正整数). 双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a≠0) 无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式. 二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程. 二、整式方程的解法 1. 一元一次方程和一元二次方程的解法 2. 含字母系数的整式方程的解法 3. 特殊的高次方程的解法 （1）二项方程 的解法 二项方程的定义：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这 样的方程叫做二项方程。关于x的一元n次二项方程的一般形式是 二项方程的解法及根的情况： 一般地，二项方程 可变形为 可见，解一元n次二项方程，可以转化 为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 二项方程的根的情况： 对于二项方程 ， 当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n为偶数时，如果 ，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果 ，那么 方程没有实数根。 （2）双二次方程的解法 双二次方程的定义： 只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。 第 18 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 关于x的双二次方程的一般形式是 双二次方程的解法： 可以用“换元法”解形如 的双二次方程。就是用y代替方程中 的x，同时用y代替x，将方程转化为关于y的一元二次方程ay+by+c=0。解这个关于y的一元二次方程即 可。 （3）因式分解法解高次方程 解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。 用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。 三、可化为一元二次方程的分式方程的解 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程 解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。解 分式方程要注意验根！ 2.适宜用“换元法”的分式方程 适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的 未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法 四、无理方程的解法 解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程， 可以用“换元法”解。 解无理方程一定要验根！ 在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。 1.只有一个含未知数根式的无理方程 当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两 边同时平方，将这个方程化为有理方程。 2.有两个含未知数根式的无理方程 当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根 式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 3.适宜用换元法解的无理方程 如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。 一、单选题 1．下列说法正确的是（ ） A．x2y 2是二元二次方程 B．x2x0是二项方程 x2x x2x C． 2是分式方程 D．  2是无理方程 3 x 第 19 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】A 【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案． 【解析】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，故是二元二次方程，故正确； B、x2x0是二次方程，故错误； C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误； D、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定 义． 2．下列方程组是二元二次方程组的是（ ） xyx20 3y2  A． B． 1 x2xyx2  x 3  y x5 y  x212y C． D． 3xy1 3yx 【答案】A 【分析】根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论． 【解析】解：选项A符合二元二次方程组的概念； 选项B含分式方程， 选项D含无理方程， 故B、C都不是二元二次方程组； 选项C是二元一次方程组． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键． 3．下列方程中，二项方程是（ ） A．x22x10 B．x5x2 0 1 C．x2 1 D． x1 x 【答案】C 【分析】如果一元n（n是正整数）次方程的一边只含有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是0，这 第 20 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 样的方程就叫做二项方程，根据定义判断即可． 【解析】解：A．x22x10有三项，不符合二项方程定义，故选项不合题意； B．x5x2 0不是二项方程，故选项不符合题意； C．x2 1可变为x2-1=0，符合二项方程定义．故选项符合题意； 1 D． x1是分式方程，故选项不符合题意． x 故选：C． 【点睛】本题考查二项方程的定义，掌握二项方程的定义是求解本题的关键． 4．已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（ ） A．2x5+b＝0是二项方程 x1 2x B． 3 是分式方程 2 p C．2 3x+5＝x是无理方程  xy1 D． 是二元二次方程组 x2xyy2 1 【答案】D 【分析】方程2x5+b=0的左边是二次多项式，即可判断选项A；根据分式方程的定义即可判断选项B；根据 无理方程的定义即可判断选项C；根据二元二次方程组的定义即可判断选项D． 【解析】A.方程2x5+b=0的左边的常数项不一定不等于0，不能说是二项方程，故本选项不符合题意； B.方程的分母中不含未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； C.方程中根号内不含未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意； D.是二元二次方程组，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了高次方程组的定义，分式方程的定义，无理方程的定义等知识点，①分母中含有未知 数的方程，叫分式方程，②根号内含有未知数的方程，叫无理方程． 5．下列方程有实数解的是（ ） x1 A． x110 B． 0 C．x2x10 D．x2y1 x21 【答案】D 【分析】根据无理方程、分式方程、一元二次方程、二元一次方程是否有意义的条件，逐项分析解答即可 第 21 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】A. x110，即 x11，该方程无意义，即方程没有实数解，故不符合题意； x1 B. 0，即x10，且x2-1¹ 0，解得x=1且x1，方程没有实数解，故不符合题意； x21 C.x2x10，1430，方程没有实数解，故不符合题意； D.x2y1是二元一次方程，有无数组实数解，故符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了无理方程、分式方程、一元二次方程、二元一次方程是否有意义的条件，熟练掌握各 种方程的性质是解决问题的关键 2 3 1   ①  x y 2 6．小明在解方程组 的过程中，以下说法错误的是（ ） 2 1   x11②  x y A．②①可得y2x4，再用代入消元法解 1 1 B．令 a， b，可用换元法将原方程组化为关于a、b的二元一次方程组 x y 6x C．由①得y ，再代入②，可得一个关于x的分式方程，亦可求解 x4 x8 D．经检验： 是方程组的一组解 y12 【答案】B 1 3 1 【分析】②①得出 (x1) 1 ，整理后得出y2x4，即可判断选项A；换元后得出方程组 y y 2  1 2a3b 6x x8  2 ，即可判断选项B；由①求出y ，代入②后即可判断选项C；把 代入方程组  2ab(x1)1 x4 y12 中的两个方程，看看方程的两边是否都相等，即可判断选项D． 2 3 1   ①  x y 2 【解析】解： ， 2 1   x11②  x y 1 3 1 A．②①，得 (x1) 1 ， y y 2 整理得：y2x4，再用代入消元法解，故本选项不符合题意； 1 1 B．令 a， b，则原方程组化为： x y 第 22 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  1 2a3b   2  ， 1 2ab( 1)1  a 不能得出关于a、b的二元一次方程组，故本选项符合题意； 6x C．由①得y ， x4 6x 把y 代入②得： x4 2 1  (x1)1 x 6x ，得出一个关于x的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意； x4 x8 D．把 代入①，得 y12 2 3 1 1 1 1 左边     ，右边 ，左边右边， 8 12 4 4 2 2 x8 把 代入②，得 y12 2 1 1 3 左边  (81)  1，右边1，左边右边， 8 12 4 4 x8 所以 是方程组的解，故本选项不符合题意； y12 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程组和方程组的解，能把分式方程组转化成方程和理解方程组的解的定义是 解此题的关键． 7．下列方程中，有实数解的是（ ） x 1 A． x210 B．  x21 x21 C． x1 1x 1 D． x232 【答案】D 【分析】移项后得出 x2 1，根据算术平方根的非负性即可判断选项A；方程两边都乘x21得出 x1，再进行检验即可判断选项B；根据二次根式有意义的条件得出x10且1x0，求出x，再进行检 验即可判断选项C；方程两边平方得出x234，求出方程的解，再进行检验即可判断选项D． 第 23 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】解：A： x210，   x2 1，  不论x为何值， x2 0，不能为负数， 此方程无实数根，故本选项不符合题意； x 1 B：  ， x21 x21 方程两边都乘x21，得x1， 检验：当x1时，x21是增根， 即原分式方程无实数根，故本选项不符合题意； C： x1 1x 1， 要使 x1 1x有意义，必须x10且1x0， 解得：x1， 经检验x1不是原方程的解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； D： x232， 方程两边平方，得x234， 解得：x 7， 经检验x 7都是原方程的解， 即原方程的解是x  7，x  7，故本选项符合题意； 1 2 故选：D． 【点睛】本题考查了解无理方程，解分式方程和二次根式有意义的条件等知识点，能把解无理方程转化成 有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． (x1)(y2)0 8．二元二次方程组 的解的个数是（ ）  yx2 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 第 24 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】先由方程①求出x，y的值，代入②，求解，即可得出结论． (x1)(y2)0 ① 【解析】解： ，  yx2② 由①得x＝﹣1或y＝2， 当x＝﹣1时，代入②得∶y＝1， 当y＝2时， 代入②得∶x＝± 2， x1 x 2 x 2 所以方程组的解 或 或 ．  y1  y2 y2 故选：C． 【点睛】本题主要考查解方程的能力，体现数学中化归思想，消元和降次是解此类问题的关键． 二、填空题 9．方程 x3x1的根是______． 【答案】1 【分析】首先把方程两边同时平方，去掉根号，然后解一元二次方程，最后检验即可求解． 【解析】解：两边平方得，x3x22x1， 移项得：x2x20， 即x2x10， 解得x 1，x 2， 1 2 经检验，x2是增根， ∴方程的解为x1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了解无理方程的方法，解题的关键是利用平方把方程的根号去掉，化无理方程为有 理方程． x3 10．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是 y4 第 25 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x3 和 ． y4  xy7 【答案】 （答案不唯一） x2y2 7 【分析】根据方程组的解可得xy7，xy1，再由平方差公式得到x2y2 7，则可写出满足条件的一  xy7 个方程组为 ． x2y2 7 x3 x3 【解析】解：  方程组的解为 和 ， y4 y4 xy7，xy1， x2y2 （xy）（xy）7，  xy7 方程组可以是 ， x2y2 7  xy7 故答案为： （答案不唯一）． x2y2 7 【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件 写出符合题意的方程组是解题的关键． 11．下列方程： x4 x4 0， x230， x2 x1x，无实数根的方程有________个． 【答案】3 【分析】根据二次根式有意义的条件判断 x4 x4 0；移项后得出方程 x23，根据算术平方根 的非负性即可判断 x230；两边平方，求出方程的解，再进行检验即可判断 x2 x1x； 【解析】解： x4 x4 0， x40 由二次根式有意义条件得： ， x40 解得：不等式组无解， ∴此方程无实数根； 第 26 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x230， 移项得： x23， ∵不论x为何值， x2的值不能为负数， ∴此方程无实数根； x2 x1x， 方程两边平方，得x2x1x2， 解得：x=1， 经检验x=1不是原方程的解， ∴此方程无实数根； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解无理方等知识点，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键． 12．方程2x4 18的解为________． 【答案】x= 3 【分析】先方程两边同时除以2，再直接开方求解即可． 【解析】解：2x4=18 x4=9 x2=3 x= 3 故答案为：x= 3 【点睛】本题考查解高次方程，掌握直接开方法求解方程是解题的关键． 4x29y2 15 13．方程组 的解是______________________．  2x3y5 x2  【答案】 1 y   3 【分析】将方程①因式分解得出方程③，将②代入③化为二元一次方程组，解方程组即可求解． 第 27 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 4x29y2 15① 【解析】解：  2x3y5② 由①得2x3y2x3y15③， 将②代入③得2x3y3④， ②+④得4x8， 解得x2， 将x2代入④得43y3， 1 解得y ， 3 x2  所以方程组的解为： 1， y   3 x2  故答案为： 1． y   3 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 三、解答题 x22xyy2 4 14．解方程组：  xy20 x2 x0 【答案】 或 y0 y2 【分析】根据①得xy2 4，即xy2或xy2，分别与②联立解方程组即可求解． x22xyy2 4① 【解析】解：  xy20② 由①得xy2 4， 则xy2或xy2， xy2 xy2 ∴ 或 ， xy2 xy2 第 28 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x0 x2 解得： 或 ． y2 y0 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，正确的计算是解题的关键． 15．解方程： x2 8x 2． 【答案】x7 【分析】先把 8x 移到方程的右边，两边平方，化简后再次平方，然后解一元二次方程，最后检验即可. 【解析】解： x2 2 8x  两边平方化简，x52 8x 两边平方化简x26x70． 解之得x 1，x 7 1 2 检验：将x=1代入原方程，左边2右边，舍去． 所以原方程的解为x7． 【点睛】本题考查了解无理方程，以及解一元二次方程，通过平方把无理方程化为有理方程是解答本题的 关键. x25xy6y2 0, 16．解方程组： xy2xy20. y 1  y 2 【答案】 1 , 2  x 1 x 2 1 2  1  1 y  y   3 6, 4 2  x 1  x 3 3 4 【分析】把方程①因式分解得出x与y的关系式，分别带入方程②即可解得． x25xy6y2 0① 【解析】 xy2xy20② 由①得xyx6y0 x=-y，x=6y 把x=-y带入②得 第 29 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) y2y20 y 1  y 2  1 , 2  x 1 x 2 1 2 把x=6y带入②得 6y213y20  1  1 y  y   3 6, 4 2  x 1  x 3 3 4 【点睛】此题考查了求方程组的解，解题的关键是对方程用十字交叉法进行因式分解．  1 1  3  xy xy 17．解方程组： ． 4 1   2  xy xy  3 x   4 【答案】 1 y  4  1  3 1 1 m1  xy 1   x 4 【分析】设 m， n，可解得 ，即得 ，可解得 ，再检验，即可得答 xy xy n2  1 2 y 1  xy  4 案． 1 1 【解析】解：设 m， n，则原方程组变形为： xy xy mn3  ， 4mn2 m1 解得 ， n2  1  1 xy1 xy   ，即 1 ， 1 xy  2   2  xy  3 x   4 解得 ， 1 y  4 第 30 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  3 x   4 经检验， 是原方程组的解， 1 y  4  3 x   4 原方程组的解为： ． 1 y  4 【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是用换元法把方程组变形． 一、单选题 1．（2020·上海宝山·校考三模）在下列方程中，不是二元二次方程的有（ ） 1 A．x2y3； B．xy＝3； C．y =x2； D．  y3． x21 【答案】D 【分析】根据二元二次方程的定义：指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2，这样的整式 方程叫做二元二次方程，逐一判断即可． 【解析】A.x2y3是二元二次方程，故本选项不符合题意； B. xy＝3是二元二次方程，故本选项不符合题意； C.y =x2是二元二次方程，故本选项不符合题意； 1 D.  y3是分式方程，不是二元二次方程，故本选项符合题意． x21 故选D． 【点睛】此题考查的是二元二次方程的判断，掌握二元二次方程的定义是解决此题的关键． 2．（2022·上海·上海市娄山中学校考二模）下列方程中，有实数根的方程是（ ） x x3 A．x2160 B．  x3 x C． x1 1x 2 D． x2 1 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式、解分式方程、无理方程的方法与步骤逐项判断即可． 【解析】解：A、一元二次方程的判别式640，故方程无实数根，故A不符合题意； 第 31 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 3 B、分式方程去分母得x2 x26x9，解得x= ，经检验x= 是原方程的解，故选项B符合题意； 2 2 C、要使根式有意义，则x1且x1，即x=1，此时 x1 1x 0，故C不符合题意； D、 x20，故 x2 1无实数解，故D不符合题意；  故选B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解的情况，熟练掌握一元二次方程、分式 方程与无理方程的解法是解此题的关键． 3．（2019·上海·校考三模）下列方程中，有实数解的个数是（ ） ① 2x810，② x6 4x，③ x5  2x，④ x1x A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①先把-1从左边移到右边，再把两边平方；②③④两边直接平方，转化为有理方程求解，然后检 验是否符合题意即可． 【解析】①∵ 2x810， ∴ 2x8 1， ∴2x+8=1, 7 ∴x=- , 2 7 经检验x=- 符合题意， 2 故原方程有实数解； ②∵ x6 4x， ∴x-6=(4-x)2， ∴x2-9x++22=0， ∵∆=81-88=-7<0， ∴该方程无实数解； ③∵ x5  2x， ∴x+5=2-x, 第 32 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 3 ∴x=- , 2 3 经检验x=- 符合题意， 2 故原方程有实数解； ④∵ x1x ∴x+2=9x2 ， ∴9x2-x-2=0< ∴x= ． 经检验x= 是方程的解． 故该方程有实数解． 综上可知，①③④有实数解， 故选 D. 【点睛】本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移 项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整 式方程；③解整式方程；④验根． 二、填空题 x1 2x x1 4．（2021·上海松江·统考二模）用换元法解方程  ＝3时，设 ＝y，那么原方程化成关于y的 x x1 x 整式方程是____________． 【答案】y2 3y20 【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可． x1 2x 2 【解析】解：设 ＝y，则  ． x x1 y 2 所以原方程可变形为：y 3． y 第 33 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 方程的两边都乘以y，得y223y． 即y2 3y20． 故答案为：y2 3y20． 【点睛】本题考查了换元法，掌握换元法解方程一般步骤及方法是解题的关键． 5．（2020·上海普陀·统考二模）如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方 程分别是__． 【答案】x﹣2y＝0或x+y＝0 【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题． 【解析】∵x2﹣xy﹣2y2＝0， ∴（x﹣2y）（x+y）＝0， ∴x﹣2y＝0或x+y＝0． 故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝0． 【点睛】考查了二元二次方程降次的方法，正确进行因式分解是解题的关键． 6．（2022·上海金山·统考二模）方程1 x30的解是_______． 【答案】x4 【分析】首先移项，两边再分别平方，最后解方程即可求得． 【解析】解：移项，得 x31， 两边分别平方，得x31， 解得x4， 经检验：x4是原方程的解， 故答案为：x4． 【点睛】本题考查了无理方程的解法，熟练掌握和运用无理方程的解法是解决本题的关键，注意解无理方 程要检验． x2y3 7．（2022·上海黄浦·统考二模）方程组 的解是__________________． x2y2 0 x3 x1 【答案】 或 ．  y3 y1 第 34 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x2y3 x2y3 【分析】根据x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）把原方程组变为 或 再求解即可 ．  xy0  xy0 【解析】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）． ∴x2﹣y2＝0可改写成：x+y＝0或者x﹣y＝0． x2y3 x2y3 x2y3 ∴方程组 可以改写为： 或 ． x2y2 0  xy0  xy0 x3 x1 解得： 或 ．  y3 y1 x3 x1 故答案为： 或 ．  y3 y1 【点睛】本题考查二元二次方程组的应用，根据乘法公式把二元二次方程组变形为二元一次方程组是解题 关键． 8．（2011·上海浦东新·统考中考模拟）如果关于x的方程 2x+a =x的一个根为3，那么a=___． 【答案】3 【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a的方程，解答后，一定要验根. 【解析】∵关于x的方程 2x+a =x的一个根为3， ∴x=3一定满足关于x的方程 2x+a =x， ∴ 6+a =3， 方程的两边同时平方，得 6+a=9，解得a=3； 检验： 将a=3代入原方程得， 左边= 2´ 3+3=3， 右边=3， ∴左边=右边， ∴a=3符合题意， 故填：3. 第 35 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 9．（2018·上海浦东新·统考一模）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个 比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：__________． 300 200 【答案】  (110%) x x20 300 200 【解析】【分析】若设甲每小时检测x个，检测时间为 ，乙每小时检测x20个，检测时间为 ， x x20 根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，列出方程即可. 300 200 【解答】若设甲每小时检测x个，检测时间为 ，乙每小时检测x20个，检测时间为 ，根据题 x x20 意有： 300 200  110%. x x20 300 200 故答案为  110%. x x20 【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系. 10．（2021·上海静安·统考一模）方程 32x 2x的根为____． 【答案】x1 【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再进行检验即可得出结果． 【解析】解：方程两边同时平方得：32x2x2， ∴x22x10， 即x12 0， ∴x =x =1， 1 2 经检验，x=1是原方程的根， 故答案为：x=1． 【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题 的关键． 三、解答题 3x1 2x1 11．（2022·上海金山·统考二模）解方程：  1． x21 x1 1 【答案】x=- 3 第 36 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即 可． 3x1 2x1 【解析】解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得 (x1)(x1) (x1)(x1)(x1)(x1)， x21 x1 即3x1  2x2x1  x21， 整理得3x2- 2x-1=0， 1 解得：x 1，x  ， 1 2 3 1 经检验：x 1是原方程的增根，x  是原方程的根． 1 2 3 1 原方程的根是x=- ． 3 【点睛】本题考查的是可化为一元二次方程的分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整 式方程的解；③检验；④得出结论． 12．（2017·上海静安·统考中考模拟）解方程： x  1 + 2x5=1． 【答案】无解 【解析】试题分析：先把 x1移到等号右边，两边平方，再把含根号的项2 x1放到等号左边，两边再 一次平方化为一个一元二次方程，即可求解，最后要验根. 解： 2x5 1 x1， 2x512 x1x1， 2 x17x． 4x44914xx2， x218x450， x 3,x 15， 1 2 经检验：x 3,x 15都是增根，所以原方程无解． 1 2  xy2① 13．（2022·上海宝山·统考二模）解方程组： ． x2xy6y2 0② 第 37 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )  3 x   x 4   2 2 【答案】 1 ， y 1 2 y  1  2 2 【分析】利用十字相乘法把方程②的左边因式分解，组成两个二元一次方程组，解二元一次方程组即可．  xy2① 【解析】解： ， x2xy6y2 0② 由②得：(x2y)(x3y)0， ∴x2y0或x3y0，  xy2  xy2 则 或 ， x2y0 x3y0  3 x   x 4   2 2 解得 1 ， ． y 1 2 y  1  2 2 【点睛】本题考查的是二元二次方程组的解法，把方程②的左边正确进行因式分解是解题的关键．  xy2 ① 14．（2021·上海崇明·统考二模）解方程组： ． x22xy3y2 0 ②  x 3 x 1 【答案】 1 ， 2 y 1 y 1 1 2 【分析】因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再重新与①组成方程组，求解即可． 【解析】解：由②，得（x+3y）（x﹣y）＝0， 所以x+3y＝0③或x﹣y＝0④． 由①③、①④可组成新的方程组：  xy2 xy2  ， ． x3y0 xy0  x3 x1 解这两个方程组，得 ， ． y1 y1  x 3 x 1 所以原方程组的解为： 1 ， 2 ． y 1 y 1 1 2 【点睛】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一 第 38 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 次方程组解答． 15．（2011·上海黄浦·统考中考模拟）黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好， 超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3 倍． （1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？ （2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两 次苹果销售中共获利多少元？ 【答案】（1）2.5；（2）6300 【解析】（1）设试销时苹果价格为x元/千克， 2500 6000 则 3 ，解得：x=2.5， x x0.5 经检验：x2.5是方程的解，且符合题意， 答：试销时该品牌苹果的进货价是每千克2.5元； 2500 （2）第一次购进水果 1000千克，第二次购进水果3000千克， 2.5 获利为：3400460040.5(25006000)6300（元）， 答：超市在这两次苹果销售中共获利6300元． 16．（2022·上海徐汇·统考二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经 市场调研发现，试营销日销量情况如下表： 时间x（天） 第1天 第2天 第3天 第4天 …… 日销售量y（千 380 400 420 440 …… 克） (1)根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函 数关系式，并说明选择的理由． (2)试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很快销售一空，对于第二批次6000 千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2 天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？ 【答案】(1)一次函数模型，关系式为y20x360； 第 39 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) (2)公司对第一批次每天的销售定量是500千克. 【分析】（1）根据表中数据，随着天数的增加，日销售量的增加量是固定不变的，因此选择一次函数模型 来确定y与x的函数关系式； （2）结合实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设出未知数，找到等量关系列出方程求解即 可． (1) 解：根据表中数据，随着天数的增加，日销售量的增加量是固定不变的，都是20千克， 选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式，设ykxbk 0，选择1,380和2,400，代入解析式， 380kb k 20 联立方程组得： ，解得 ， 4002kb b360 y与x的函数关系式为y20x360； (2) 解：设公司对第一批次每天的销售定量是m千克，则 6000 6000  2， m m100 去分母得6000m1006000m2mm100， 即m2100m6000000， m500m6000， 解得m600（舍），m500， 经检验：m500是原分式方程的解， 答：公司对第一批次每天的销售定量是500千克． 【点睛】本题考查一次函数和分式方程的实际应用，读懂题意，找到数据之间的关系，列出函数表达式或 方程是解决问题的关键． 第 40 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2 万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985 学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第 41 页 共 41 页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司