专题06二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）60题专练（原卷版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_中考数学压轴题（全国通用）

专题 06 二次函数中特殊三角形的存在性（八大题型）62 题专练 通用的解题思路： 特殊三角形的讨论问题，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊三角形的性质、相似三角形 的判定及性质、锐角三角比的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等 数学思想。虽部分特殊三角形的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单 一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形本身的性质入手，结合边、 角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 一：等腰三角形的存在性 根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3） CA=AB．但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有 2 个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意． 解题思路： （1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式； （2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程） （3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根． 二：直角三角形的存在性 在考虑△ABC 是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠ C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定 理。 解题思路： （1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论； （2）计算出相应的边长等信息； （3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标． 三：等腰直角三角形的存在性 既要结合等腰三角形的性质，又要结合直角三角形的性质。需要分类讨论哪个角是直角。 四：相似三角形的存在性 相似三角形存在性问题，分类讨论步骤： 第一步：找到题目中已知三角形和待求三角形中相等的角； 要先确定已知三角形是否有直角，或确定锐角（借助三角函数值-初中阶段衡量角度问题的计算手 段，二次函数角的存在性压轴专题应用更为突出） ①若有已知的相等角，则其顶点对应； ②若没有相等的角，则让不确定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。第二步：确定相似后，根据对应边成比例求解动点坐标： ①若已知三角形各边已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边 的大小； ②若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之 后用相似来列方程求解。 题型一：等腰三角形的存在性 1．（2024•运城模拟）综合与探究 3 3 如图，抛物线y x2  x6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一 4 2 象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接AC，BC，BD，CD． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式． （2）当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值． （3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M ，使ADM 是等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的 坐标；若不存在，请说明理由．3 2．（2024•青岛一模）如图1，已知二次函数yax2  xc(a0)的图象与y轴交于点A(0,4)．与x轴交于 2 点B，C，点C坐标为(8,0)，连接AB、AC． 3 （1）请直接写出二次函数yax2  xc(a0)的表达式； 2 （2）判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM //AC，交AB于点M ，当AMN 面积最大时，求此时点N的坐标； （4）若点N在x轴上运动，当以点 A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐 标．3．（2024•辽宁一模）如图1，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(0,10)，(8,4)，顶点C，D在第一 象限．点P从点A出发，沿正方形按ABC方向运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以 相同速度运动，当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t(s)，OPQ的面积S（平 方单位）． （1）正方形ABCD的边长为 ； （2）当点P由点 A运动到点B时，过点P作PM  y轴交 y轴于点M ，已知随着点P在 AB上运动时 PA 5  ，OPQ的面积S与时间t(s)之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示）， AM 3 求：①点P，Q两点的运动速度为 ； ②S关于t的函数关系式为 ； （3）当点P由点B运动到点C时，经探究发现OPQ的面积S是关于时间t(s)的二次函数，其中S与t部 分对应取值如下表： t 10 15 20 S 28 76 m 求：m的值及S关于t的函数关系式． （4）在（2）的条件下若存在2个时刻t ，t (t t )对应的OPQ的形状是以OP为腰的等腰三角形，点P 1 2 1 2 5 3 沿正方形按ABC方向运动时直接写出当t  t  t 时，OPQ的面积S的值． 3 1 4 21 4．（2024•康县一模）如图，抛物线y x2 bxc与直线AB相交于A(0,3)，B(3,1)两点． 3 （1）求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标； （2）点P为x轴上一动点，当PAB是以AB为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； 1 （3）把抛物线y x2 bxc沿它的对称轴向下平移h(h0)个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直 3 线AB始终有交点，求h的最大值． 5．（2024•澄海区校级模拟）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且OBOC 3， OA1，OD2，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得AE AD． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式． （2）求点E的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存 在，请说明理由．6．（2024•仁和区一模）如图，已知抛物线yax2 bx4(a0)与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点 5 C，对称轴为x ． 2 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点 Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下， D是 OC的中点，过点 Q的直线与抛物线交于点 E，且 DQE2ODQ．在y轴上是否存在点F ，使得BEF为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在， 请说明理由．7．（2024•即墨区一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yax2 bxc交 x轴于点 A(4,0)， B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0,2)，连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值及此时D点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为以AE为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐 标即可；若不存在，请说明理由． 8 ．（2023•青海）如图，二次函数 yx2 bxc的图象与 x轴相交于点 A和点C(1,0)，交 y轴于点 B(0,3)． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请 求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．9．（2024•浦东新区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A、点 B，抛物线C1:yx2 bxc经过点A、B两点，顶点为点C． （1）求b、c的值； （2）如果点D在抛物线C 的对称轴上，射线AB平分CAD，求点D的坐标； 1 （3）将抛物线C 平移，使得新抛物线C 的顶点E在射线BA上，抛物线C 与y轴交于点F ，如果BEF 1 2 2 是等腰三角形，求抛物线C 的表达式． 210．（2024•金州区一模）【概念感知】 两个二次函数只有一次项系数不同，就称这两个函数为“异b族二次函数”． 【概念理解】 1 3 如图1，二次函数 y x2  x2的图象C 交x轴于点A，B，交y轴于点C，点D为线段BC的中点， 2 2 1 1 3 二次函数yax2 bxc与y x2  x2是“异b族二次函数”，其图象C 经过点D． 2 2 2 （1）求二次函数yax2 bxc的解析式； 【拓展应用】 （2）如图2，直线EF //BC，交抛物线C 于E，F ，当四边形CDEF 为平行四边形时，求直线EF 的解析 1 式； （3）如图 3，点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线C ，C 于点M ，N，连接MC， 1 2 NC，当MNC 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．11．（2024•济南一模）如图，已知二次函数yax2 bxc的图象与x轴相交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y 轴相交于点C(0,3)，P是第四象限内这个二次函数的图象上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作 PH x轴于点H ，与BC交于点M ． （1）求这个二次函数的表达式； （2）将线段CA绕点C顺时针旋转90，点A的对应点为A，判断点A是否落在抛物线上，并说明理由； （3）求PM 2BH 的最大值； （4）如果PMC是等腰三角形，直接写出点P的横坐标m的值．12．（2024•微山县一模）如图，顶点坐标为(1,4)的抛物线yax2 bxc与x轴交于A，B两点（点A在点 B的左边），与y轴交于点C(0,3)，D是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接AD交抛物线的对称轴于 点E． （1）求抛物线的解析式； （2）连接AC，当ACE的周长最小时，求点D的坐标； （3）过点D作DH x轴于点H ，交直线BC于点F ，连接AF ．在点D运动过程中，是否存在使ACF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024•库尔勒市一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2 bxc经过A(1,0)，C(0,3)两点， 并与x轴交于另一点B． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）求点B坐标； （3）设P(x,y)是抛物线上的一个动点，过点P作直线l x轴于点M ，交直线BC于点N． ①若点P在第一象限内，试问：线段PN 的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时x的值； 若不存在，请说明理由； ②当点P运动到某一位置时，能构成以BC为底边的等腰三角形，求此时点P的坐标及等腰BPC 的面 积．1 14．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2 bxc与x轴交于点A，B，与y轴交于点 4 C，其中B(3,0)，C(0,3)． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交 于点F ，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF 是等腰三角形的点 Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 15．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2 c经过点P(4,3)，与y轴交于点 A(0,1)，直线ykx(k 0)与抛物线交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标； （3）过点M(0,m)作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得 ODOE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．题型二：直角三角形的存在性 16．（2024•安庆一模）如图，抛物线yax2 bx3与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F ． ①若点E在第一象限，连接CF 、BF ，求CFB面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若DEF 为直角三角形，请直接写出E点坐标．17．（2024•任城区一模）已知抛物线yax2 bxc(a0)与x轴交于A(2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点 C(0,3)． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在对称轴上是否存在点D，使BCD是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由． PM （3）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M ，当 最大时，请直接写出点P AM 的坐标．18．（2024•凉州区一模）抛物线yax2 bx4(a0)与x轴交于点A(2,0)和B(4,0)，与y轴交于点C， 连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于 M ，交x轴于N． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点C作CH PN于点H ，BN 3CH ． ①求点P的坐标； ②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得CPQ为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请 说明理由．9 19．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线ya(x1)2  与x轴交于A，B(4,0)两点，与y轴交于 2 点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不 存在，请说明理由； （3）如图，点M 是直线BC上的一个动点，连接AM ，OM ，是否存在点M 使AM OM 最小，若存在， 请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．20．（2023•烟台）如图，抛物线yax2 bx5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4．抛物线 的对称轴x3与经过点A的直线ykx1交于点D，与x轴交于点E． （1）求直线AD及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM 是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M 的 坐标；若不存在，请说明理由； 1 （3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为 B上一个动点，请求出PC PA的最小值．  221．（2024•广安二模）如图，抛物线yx2 bxc交x轴于A(4,0)，B两点，交y轴于点C(0,4)． （1）求抛物线的函数解析式． （2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与 AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接 AP， CP，求四边形AOCP的面积的最大值． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A，C，M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在， 请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024•金山区二模）已知：抛物线yx2 bxc经过点A(3,0)、B(0,3)，顶点为P． （1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标； （2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧． ①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式； ②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式．23．（2024•宿豫区二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过 A、 B、C三点，已知 A(1,0)， B(3,0)，C(0,3)． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上任意一点，若PBC ACO，求点P的坐标； （3）点M 是抛物线上任意一点，若以M 、B、C为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M 的坐 标． 24．（2024•双峰县模拟）如图，抛物线yax2 bxc与直线yx1相交于A(1,0)，B(4,m)两点，且抛 物线经过点C(5,0)． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线在第四象限上的一个动点，过点P作直线PDx轴于点D，交直线 AB于点E．当 PE2DE时，求P点坐标； （3）若抛物线上存在点T，使得ABT 是以AB为直角边的直角三角形，直接写出点T的坐标．25．（2024•滨州一模）如图，抛物线yax2 bx5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB4．抛 物线的对称轴x3与经过点A的直线yx1交于点D，与x轴交于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M ，使得ADM 是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M 的 坐标；若不存在，请说明理由； 1 （3）以点 B为圆心，画半径为 2 的圆，点 P为 B上一个动点，请求出 PC PA的最小值 .  226．（2024•仓山区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2 bx 3与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为(1,0)，抛物线的对称轴为直线x1，连接直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为第一象限内抛物线上一动点，连接AD，交直线BC于点E，连接BD，如图2所示，记BDE S 的面积为S ，ABE的面积为S ，求 1 的最大值； 1 2 S 2 （3）若点M 为对称轴上一点，是否存在以M ，B，C为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件 的M 点坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024•荆州模拟）如图，直线yx3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线 yx2 mxn与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出 所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M ”形状的图象，若直线yxb与该“M ”形状的图象部分恰好有三个公共点， 求b的值． 题型三：等腰直角三角形的存在性 28．（2024•雁塔区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L:yx2 bxc与x轴交于点A(1,0)和 点B，与y轴交于点C(0,3)． （1）求出抛物线L的解析式和顶点坐标． （2）点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线PQ 对称抛物线L，则C关于直线PQ的对称点为C，若PCC为等腰直角三角形，求出抛物线L的解析式．29．（2024•凉州区二模）如图1，已知抛物线yax2 4axc的图象经过点A(1,0)，B(m,0)，C(0,3)，过 点C作CD//x轴交抛物线于点D，点P是抛物线上的一个动点，连接PD，设点P的横坐标为n． （1）填空：m ，a ，c ； （2）在图1中，若点P在x轴上方的抛物线上运动，连接OP，当四边形OCDP面积最大时，求n的值； （3）如图2，若点Q在抛物线的对称轴l上，连接PQ、DQ，是否存在点P使PDQ为等腰直角三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（2024•高唐县一模）在平面直角坐标系中，抛物线yax2 bx3与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0)， 与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当PBC 面积最大时，求点P的坐标； （3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 31．（2024•咸丰县模拟）综合与探究 如图，抛物线yx2 3x4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．若 点P在线段BC上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点 F ．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式． （2）若PF 2PE，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不 存在，请说明理由．题型四：相似三角形的存在性 32．（2024•金平区校级一模）如图，二次函数yax2 bx4交x轴于点A(1,0)和B(4,0)交y轴于点C． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，在第一象限有一点M ，到O点距离为2，线段BN 与BM 的夹角为45，且BN  2BM ，连接 CN ，求CN 的长度； （3）对称轴交抛物线于点D，交BC交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段BC于点 F ，交抛物线手点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F 为顶点的三角形与DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．33．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 yx3与x轴交于点B， 与y轴交于点C，抛物线yx2 bxc经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，CDE S 1 的面积为S ，ACE的面积为S ．当 1  时，求点D的坐标； 1 2 S 2 2 （3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的 三角形与BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．1 5 3 34．（2024•亳州一模）已知抛物线y x2 bxc经过点(5, )和(3, )． 8 2 2 （1）试确定该抛物线的函数表达式； （2）如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交 于点D． ①求证：OBC是直角三角形； ②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与OBC相似？若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 35．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2 bxc过点A(1,0)，B(2,0)和C(0,2)， 连接BC，点P(m，n)(m0)为抛物线上一动点，过点P作PN x轴交直线BC于点M ，交x轴于点N． （1）直接写出抛物线和直线BC的解析式； （2）如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m的值； （3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N 为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2024•青海一模）如图，二次函数yx2 bxc的对称轴是直线x1，图象与x轴相交于点A(1,0)和 点B，交y轴于点C． （1）求此二次函数的解析式； （2）点P是对称轴上一点，当BOC∽APB时，求点P的坐标（请在图1中探索）； （3）二次函数图象上是否存在点M ，使ABC 的面积S 与ABM 的面积S 相等？若存在，请求出所有满 1 2 足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 37．（2024•虹口区二模）新定义：已知抛物线yax2 bxc（其中abc0)，我们把抛物线ycx2 axb 称为yax2 bxc的“轮换抛物线”．例如：抛物线y2x2 3x1的“轮换抛物线”为yx2 2x3． 已知抛物线C :y4mx2 (4m5)xm的“轮换抛物线”为C ，抛物线C 、C 与y轴分别交于点E、F ， 1 2 1 2 点E在点F 的上方，抛物线C 的顶点为P． 2 （1）如果点E的坐标为(0,1)，求抛物线C 的表达式； 2（2）设抛物线C 的对称轴与直线y3x8相交于点Q，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E的坐标； 2 1 （3）已知点M(4,n)在抛物线C 上，点N坐标为(2,7 )，当PMN ~PEF 时，求m的值． 2 2 38．（2024•安溪县模拟）已知抛物线C :yax2 (2a1)x3a1与x轴只有一个公共点A． 1 （1）求a的值； （2）若将抛物线C :y4ax2向右平移1个单位长度得到抛物线C ，抛物线C 与 y轴交于点B，顶点为 2 3 3 D． ①试问：抛物线C 上是否存在这样的点E，使得BDE∽ABD？ 3 ②若直线 ykxk1与抛物线C 交于P(x ， y )，Q(x ，y )(x x )，点Q关于抛物线C 的对称轴的 3 p p Q Q P Q 3 S 对称点记为Q(Q与P不重合），QM //y轴交直线PQ于点M ，直线PD与直线QM 交于点N，求 PQN S PMN 的值．39．（2024•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2 8ax10a1(a0)与x轴的交点分别为 A(x ，0)，B(x ，0)，其中(0x x )，且AB4，与y轴的交点为C，直线CD//x轴，在x轴上有一 1 2 2 1 动点E(t,0)，过点E作直线l x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当0t„ 8时，求APC 面积的最大值； （3）当t 2时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与OBC相似？若存在，求出此时t的值； 若不存在，请说明理由．40．（2024•雁塔区校级四模）已知抛物线L :yx2 bxc与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y 1 轴交于点C(0,3)，对称轴为直线x1． （1）求此二次函数表达式和点A、点B的坐标； （2）点P为第四象限内抛物线L 上一动点，将抛物线L 平移得到抛物线抛物线L ，使得抛物线L 的顶点 1 1 2 2 为点P，抛物线L 与y轴交于点E，过点P作y轴的垂线交y轴于点D．是否存在这样的点P，使得以点 2 P、D、E为顶点的三角形与AOC相似，请你写出平移过程，并说明理由． 3 3 41．（2023•乐至县）如图，直线y x3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y x2 bxc经 4 4 过A、B两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值； （3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点 P，使ABQ与BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 42．（2024•恩施市校级一模）如图，抛物线yax2 bxc交x轴于A(4,0)，B(1,0)，交y轴于C点，且 OC 2OB．（1）求抛物线的解析式； （2）在直线BC上找点D，使ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标． （3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ AC于Q，使APQ与ABC 相似？若存在，请求 出P点坐标；若不存在，请说明理由． 43．（2024•阳泉模拟）综合与探究 1 3 如图，二次函数y x2  x4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C， 4 2 对称轴与x轴交于点D，连接AC，作直线BC． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式． （2）如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴 的垂线，交直线BC于点M ，N，试探究线段MN 长的最大值． （3）如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线BQ与y轴交于点H ，连接CD，在点Q运动的 过程中，是否存在点H ，使以H ，C，B为顶点的三角形与ACD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由．44．（2024•龙江县一模）综合与探究： 如图，抛物线yax2 6axc(a0)与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，顶点为 1 5 N，直线y x1与x轴交于点B，与抛物线交于点D，连接BC，DN ，sinOCB ． 2 5 （1）求抛物线的解析式； （2）①点D的坐标为 ； ②ACB ； ③点M(m,n)在抛物线上，4m4，则n的取值范围是 .； （3）若点P在直线AC上，且S AB :S BC 1:3，求AP的值；  P  P （4）在第四象限内存在点E，使ACE与ABC相似，且 AC为ACE的直角边，请直接写出点E的坐 标．45．（2023•武汉）抛物线C :yx2 2x8交x轴于A，B两点(A在B的左边），交y轴于点C． 1 （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图（1），作直线xt(0t4)，分别交x轴，线段BC，抛物线C 于D，E，F 三点，连接CF ， 1 若BDE与CEF相似，求t的值； （3）如图（2），将抛物线C 平移得到抛物线C ，其顶点为原点．直线y2x与抛物线交于O，G两点， 1 2 过OG的中点H 作直线MN （异于直线OG)交抛物线C 于M ，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问 2 点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．1 46 ．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2 bxc的图象经过点A(0,2)，与x轴的 3 交点为点B( 3，0)和点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点E，G在y轴正半轴上，OG2OE，点D在线段OC上，OD 3OE ．以线段OD，OE为邻边 作矩形ODFE，连接GD，设OEa． ①连接FC，当GOD与FDC相似时，求a的值； ②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60后得到线段GH ，连接FH ，FG，将 GFH 绕点F 按顺时针方向旋转(0„180)后得到△GFH，点G，H 的对应点分别为G、H，连 接DE．当△GFH的边与线段DE垂直时，请直接写出点H的横坐标．10 47．（2024•济南模拟）抛物线yax2  x8与x轴交于点A(4,0)，B(t,0)两点，与y轴交于点C，直线 3 BC:ykx8，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式和t，k的值； （2）如图 1，过点 P作 x轴的垂线与直线 BC交于点 M ，过点 C作 CH PM ，垂足为点 H ，若 CHM∽PBM ，求m的值； 1 （3）如图 2，若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PQBC ，垂足为Q，求CQ PQ的最大 3 值．48．（2024•锡山区一模）如图，抛物线yax2 2xc交x轴交于A，B(3,0)两点（点A在点B的左边）， 交y轴于点C，连接AC，其中OBOC． （1）求抛物线的解析式； PE 1 （2）点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作PE BC于点E，若  ，求点P的坐标； BE 2 （3）过线段BC上的点E作x轴的垂线交抛物线于点F ，当EFC 与ABC 相似时，点E的坐标为49．（2024•仓山区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2 bx 3与x轴交于 A，B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为(1,0)，抛物线的对称轴为直线x1，连接直线BC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为第一象限内抛物线上一动点，连接AD，交直线BC于点E，连接BD，如图2所示，记BDE S 的面积为S ，ABE的面积为S ，求 1 的最大值； 1 2 S 2 （3）若点M 为对称轴上一点，是否存在以M ，B，C为顶点的直角三角形，若存在，直接写出满足条件 的M 点坐标；若不存在，请说明理由．50．（2024•荆州模拟）如图，直线yx3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B，C两点的抛物线 yx2 mxn与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出 所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M ”形状的图象，若直线yxb与该“M ”形状的图象部分恰好有三个公共点， 求b的值． 51．（2024•平凉一模）如图，抛物线yax2 bxc经过点A(2,0)，点B(4,0)，交y轴于点C(0,4)．连接 AC，BC．D为OB上的动点，过点D作EDx轴，交抛物线于点E，交BC于点G． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）过点E作EF BC，垂足为F ，设点D的坐标为(m,0)，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求 出当m为何值时EG有最大值，最大值是多少？（3）点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O，D，G为顶点的三角形与AOC相似．若存在， 请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由． 1 52．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 bxc与 x轴分别交于点 A(2,0)， 2 B(4,0)，与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l x轴于点M(m,0)，交BC于点N， 连接CM ，PB，PC．PCB的面积记为S ，BCM 的面积记为S ，当S S 时，求m的值； 1 2 1 2 （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H ，当HMN 与BCM 相似时，请 直接写出点Q的坐标． 1 53．（2024•茌平区一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y x2 bxc与x轴分别相交于 4 A(2,0)，B(8,0)两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F ．①求DEBF 的最大值； ②若G是AC的中点，以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标． 54．（2024•海勃湾区校级模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线yax2 bx4(a0)与x轴交于 A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，且OC OB，点D和点C关 于抛物线的对称轴对称． （1）分别求出a，b的值和直线AD的解析式； （2）直线AD下方的抛物线上有一点P，过点P作PH  AD于点H ，作PM 平行于y轴交直线AD于点 M ，交x轴于点E，求PHM 的周长的最大值； （3）在（2）的条件下，如图2，在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N，过点N作NGx 轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与AOC相似？如果存在，请直接写出点G的坐标； 如果不存在，请说明理由．55．（2024•凉州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 yax2 3axc与x轴分别交于A(1,0)， B两点，与y轴交于点C(0,2)． （1）求抛物线的函数表达式； DE （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求 的最大值； AE （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l//BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在 第一象限是否存在这样的点P，Q，使PQB∽CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不 存在，请说明理由．56．（2024•香洲区校级一模）已知抛物线yax2 bx4(a0)与x轴交于点A(1,0)和B(4,0)，与y轴交于 点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q， 联结OQ，当四边形OCPQ恰好是平行四边形时，求点Q的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下， D是 OC的中点，过点 Q的直线与抛物线交于点 E，且 DQE2ODQ，在直线QE上是否存在点F ，使得BEF与ADC相似？若存在，求点F 的坐标；若不 存在，请说明理由．题型五：锐角三角形的存在性 57．（2024•南关区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2 2xc(a，c是常数）经过 A(0,3)、B(3,0)两点．点P为抛物线上一点，且点P的横坐标为m．（1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）点C为抛物线对称轴上一点，连结AC，OC，求AOC周长的最小值； （3）已知点Q(4m,m1)，连结PQ，以PQ为对角线作矩形PMQN ，且矩形各边垂直于坐标轴． ①抛物线在矩形内的部分图象y随x增大而减小，且最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值； ②连结BQ，设BQ的中点为D，当以P、D、Q为顶点的三角形为锐角三角形时，直接写出m的取值范 围．题型六：钝角三角形的存在性 58．（2024•绿园区一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 yx2 bx(b是常数）经过点 (2,0)．点A在抛物线上，其横坐标为m．点B是平面直角坐标系中的一点，其坐标为(2m1,3)．点C是 抛物线的顶点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点B恰好落在抛物线上，且点A不与点O重合时，求线段AB的长； （3）连结OA、OC、AC，当OAC是钝角三角形时，求m的取值范围； （4）当m„ 3时，连结BA并延长交抛物线的对称轴于点D，过点A作直线x4的垂线，垂足为点E，连 结BC、CE 、ED．当折线CEED与抛物线有两个交点（不包括点C)时，设这两个交点分别为点F 、点 G，当四边形DACF （或四边形DACG)的面积是四边形DBCE的面积的一半时，直接写出所有满足条件的 m的值．题型七：全等三角形的存在性 3 59．（2024•南丹县一模）如图，抛物线y ax2 bx 与x轴交于点A(3,0)，点B，点D是抛物线y 的 1 4 1 顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C(1,0)． （1）求抛物线y 所对应的函数解析式； 1 （2）如图1，点M 是抛物线y 上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC， 1 若MCBDAC，求m的值； （3）如图2，将抛物线y 平移后得到顶点为B的抛物线y ．点P为抛物线y 上的一个动点，过点P作y轴 1 2 1 的平行线，交抛物线y 于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y 于点R．当以点P，Q，R为顶点的 2 2 三角形与ACD全等时，请直接写出点P的坐标．题型八：等边三角形的存在性 60．（2024•南康区模拟）如图，已知抛物线L :yx2与直线y1相交于A，B． 1 （1）AB ； 1 （2）抛物线L 随其顶点沿直线y x向上平移，得到抛物线L ，抛物线L 与直线y1相交于C，D（点 1 2 2 2 C在点D左边），已知抛物线L 顶点M 的横坐标为m． 2 ①当m6时，抛物线L 的解析式是 ，CD ； 2 ②连接MC，MD，当MCD为等边三角形时，求点M 的坐标．1 61．（2023•恩施州）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y x2 bxc与y轴交于点 2 A，抛物线的对称轴与x轴交于点B． （1）如图，若A(0, 3)，抛物线的对称轴为x3．求抛物线的解析式，并直接写出y… 3时x的取值范围； （2）在（1）的条件下，若P为y轴上的点，C为x轴上方抛物线上的点，当PBC 为等边三角形时，求点 P，C的坐标； 1 （3）若抛物线y x2 bxc经过点D(m,2)，E(n,2)，F(1,1)，且mn，求正整数m，n的值． 262．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2 bxc过点A(0,2)，对称轴是直线x2． （1）求此抛物线的函数表达式及顶点M 的坐标； （2）若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C，当BCM 是等边三角形时，求出此三角 形的边长； （3）已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为(1,1)，是否存在点F ，使以点A，D，E，F 为顶点 的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．