FY25暑假初一B12分式的运算教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_教师版PDF

B12 分式的运算
考情链接
1. 本次任务由两个部分构成
（1）分式的乘除
（2）分式的加减
2. 考情分析
（1）主要考察分式的运算，在期末考中常常会以解答题的形式对计算进行考察；
（2）通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，
掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难
点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的
加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键。
环节 需要时间
课后练习讲解 20分钟
切片1：分式的乘除 35分钟
切片2：分式的加减 35分钟
出门测 15分钟
错题整理 15分钟
1知识加油站1——分式的乘除【建议时长：35分钟】
知识笔记1:
1. 分式的乘法法则
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示___________．
2. 分式的除法法则
分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．
用公式表示为_____________________．
3. 分式的乘方法则
分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即___________．
4. 分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
【拓展讲解】
（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按
照分式的乘除法的法则计算；
（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如
果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．
1 a 1 a
例如：ab    ．
b b b b2
【填空答案】
A C AC
1.   ；
B D BD
A C A D AD
2.    
B D B C BC
A n An
3.   
B Bn
2考点一：分式有意义
例题1:
x1 x1
（★★☆☆☆）若  有意义，则x的取值范围是____________．
x2 x
【配题说明】
考察分式有意义的条件
【常规讲解】
x1 x1
解：若  有意义，
x2 x
那么x20，x10，x0，
即x0，1，2．
故答案为x0且x1且x2．
练习1:
x1 x3
（★★☆☆☆）计算：若代数式  有意义，则x的取值范围是_______．
x2 x4
【常规讲解】
故答案为：x2且x3且x4．
考点二：分式乘除计算和化简求值
例题2:
b a 4a
（1）（★★★☆☆）（2021•徐汇区月考）计算：( )2 ( ) ．
2a 3b b3
（2）（★★★☆☆）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）计算：
．
x2 2xy y2 x y x y
 
x2 3xy2y2 x2 5xy6y2 x2  y2
x2 2x1 x2 5x6
（3）（★★★☆☆）（2022•黄浦区校级期中）计算：   ．
x2 4x3 x2 3x2
2xy xy
（4）（★★★☆☆）（2022•松江区校级月考）计算：   ．
(x y)2 4y
2n3 m
（5）（★★★☆☆）（2022•青浦区模拟）计算：   ．
m n
【配题说明】
考察分式的乘除和化简求值
3【常规讲解】
b2 3b 4a
（1）解：原式  
4a2 a b3
3
 ．
a2
(x y)2 (x y)(x6y) x y
（2）解：原式  
(x y)(x2y) x y (x y)(x y)
x6y
 ．
x2y
(x1)2 (x2)(x3)
（3）解：原式 
(x1)(x3) (x1)(x2)
1．
故答案为：1．
x 1
（4）解：原式 
x y 2
x
 ．
2x2y
x
故答案为 ．
2x2y
2n3 m
（5）解：  2n2，
m n
故答案为：2n2．
练习2:
x y x2  y2
（1）（★★★☆☆）计算：  .
x2y x2 4xy4y2
x2 1 x2 3x2
（2）（★★★☆☆）化简： (x1) ．
x2 4x4 x1
x2  y2 x5y
（3）（★★★☆☆）计算：  ．
x2 6xy5y2 x2 2x y2 2y
a2 ab2 b3 b2 1 1
（4）（★★★★☆）先化简，再求值： ，其中a  ，b  ．
a2 ab(b2)b3 b2 2 3
【常规讲解】
x y (x2y)2
（1）解：原式 
x2y (x y)(x y)
x2y

x y
(x1)(x1) 1 (x1)(x2)
（2）解：原式  
(x2)2 x1 x1
4x1
 ．
x2
(x y)(x y) x5y
（3）解：原式 
(x y)(x5y) (x y)(x y)2(x y)
(x y)(x y) x5y
 
(x y)(x5y) (x y)(x y2)
1

x y2
a2 ab2 b3 b2  a2 b2   ab2 b3  a2 b2   ab2 b3
（4）  
a2 ab(b2)b3 b2 a2 ab2 2abb3b2  a2 2abb2   ab2 b3
ababb2ab ab abb2
ab
   ，
ab2 b2ab ab abb2 ab
1 1 5

1 1 2 3 6
当a  ，b  ，原式=  5．
2 3 1 1 1

2 3 6
5知识加油站2——分式的加减【建议时长：35分钟】
知识笔记2:
1. 同分母的分式加减法法则
同分母分式相加减，分母______，分子相______．
2. 异分母的分式加减法法则
（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通
分，这几个相同的分母叫做_____________．
（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分
式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
3. 分式的综合运算
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
【填空答案】
1. 不变；加减
2. 公分母；
6考点三：分式的加减和化简求值
例题3:
1 1
（1）（★★★☆☆）（2022•杨浦区三模）计算：   ．
1x 1x
3 a2 1
（2）（★★★☆☆）（2022•普陀区二模）先化简，再求值：(1 ) ，其中a  3 ．
2a a2 a
x2 8x x2
（3）（★★★☆☆）（（2023•黄浦区二模）计算：(  ) ．
x3 x2 x6 x2
3 x2 4x4
（4）（★★★★☆）（2022•闵行区七宝三中期末）先化简，后求值：( x1) ，
x1 x1
然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
【常规讲解】
1x1x 2
（1）解：原式  ．
1x2 1x2
3 a2 1
（2）解：(1 )
2a a2 a
2a3 a(a1)
 
2a (a1)(a1)
a1 a(a1)
 
a2 (a1)(a1)
a
 ，
a2
3 3(2 3)
当a  3 时，原式  2 33．
32 ( 32)(2 3)
x2 8x x2
（3）解：原式[  ]
x3 (x3)(x2) x2
(x2)2 8x x2
 
(x3)(x2) x2
(x2)2 x2
 
(x3)(x2) x2
x2
 ．
x3
3 x2 1 (x2)2
（4）解：原式(  )
x1 x1 x1
4x2 (x2)2
 
x1 x1
(2x)(2x) x1
 
x1 (2x)2
72 x
 ，
2x
∵x10且x20，
x 1且x2，
x0，
则原式1．
练习3:
2 2 x2 4
（1）（★★★☆☆）计算：   ．
x2 x2 x2 4
4x12 x2 1
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值：  (x1)，其中x4．
x2 4x5 2x6
x2
（3）（★★★☆☆）计算： x y
x y
1 x2 4x4
（4）（★★★★☆）先化简(1 ) ，然后从2 x2的范围内适当选取一个
x1 x21
整数作为x的值，再代入求值．
【常规讲解】
2(x2) 2(x2) x2 4
（1）解：原式   ，
(x2)(x2) (x2)(x2) (x2)(x2)
2x42x4x2 4
 ，
(x2)(x2)
4x4 x2
 ，
(x 2)(x2)
(x2)2
  ，
(x2)(x 2)
x2
 ．
x2
4(x3) (x1)(x1) 1
（2）解：原式   ，
(x5)(x1) 2(x3) x1
2
 ，
x5
2
当x4时，原式 2．
45
x2 (x y)(x y)
（3）解：原式 
x y x y
y2

x y
x2 (x2)2
（4）解：原式 
x1 (x1)(x1)
8x2 (x1)(x1)
 
x1 (x2)2
x1
 ，
x2
∵x1且x2，
x2，
21 1
则原式  ．
22 4
考点四：整体代入问题
例题4:
1 1 a b
（★★★★☆）实数a、b满足ab1，记M   ，N   ，判断M，N
1a 1b 1a 1b
的大小关系，并说明理由.
【配题说明】
此题考查了分式的加减运算，运用了整体代入的数学思想．
【常规讲解】
1 1 2ba 2ab
解：∵M     ，又∵ab1，
1a 1b (1a)(1b) 1abab
M1；
a b 2abba 2ab
同理可得N     1．
1a 1b (1a)(1b) 1ab1
故M N ．
练习4:
x2 y2 y2x 3y
（★★★★☆）已知两个分式A  ，B  ，判断A，B两分式
x y x y x2  y2 y2 x2
的数量关系，并说明理由.
【常规讲解】
x2 y2 x2  y2 x yx y
解：∵A     x y
x y x y x y x y
y2x 3y y2x3y
2xy
2
同理可得B     ．
x2y2 y2x2 x2y2 xyxy xy
故AB2．
9考点五：待定系数法求字母的值
例题5:
4x6
（★★★★☆）阅读下列材料：分式 可以化为分母分别为x与x2且分子都是常数
x(x2)
4x6 A B
的两个分式的和．为解决这个问题，可设   (A 、 B 为常数），由
x(x2) x x2
A B (AB)x2A 4x6 (AB)x2A AB4, A3,
  ，可得  ，由此可得 解得
x x2 x(x2) x(x2) x(x2) 2A6, B1,
4x6 3 1 17x11
所以   ，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将 化
x(x2) x x2 (3x5)(2x1)
为分母分别为3x5与2x1且分子都是常数的两个分式的和．
【常规讲解】
17x11 A B
解：设   ，
(3x5)(2x1) 3x5 2x1
A B (2A3B)x A5B
∵   ，
3x5 2x1 (3x5)(2x1)
17x11 (2A3B)xA5B
  ，
(3x5)(2x1) (3x5)(2x1)
2A3B17
 ，
A5B11
A4
解得 ，
B3
17x11 4 3
   ．
(3x5)(2x1) 3x5 2x1
17x11 4 3
答案：   ．
(3x5)(2x1) 3x5 2x1
练习5:
4x5 A B
 
(x1)(x2) x1 x2
（★★★★☆）已知不论x取什么值（1，-2除外），等式 都成立，
A B
求 、 的值．
【常规讲解】
Ax2Bx1
Ax2ABxB
ABx2AB
解：右边  
x1x2 x1x2 x1x2
4x5
ABx2AB
 
x1x2 x1x2
104 AB

52AB
A3
解得： .
B1
考点六：已知某项求值问题
例题6：
1 1
（1）（★★☆☆☆）（2020•嘉定区期中）已知x 3，则x2   ．
x x2
1 1
（2）（★★☆☆☆）（2022•静安区期中）已知若x 3，则x2   ．
x x2
1
（3）（★★☆☆☆）（2021•浦东新区校级期中）已知x2 4x10，则x2  的值是 ．
x2
1 1
（4）（★★☆☆☆）（2022•静安区期中）已知x  13，则x  ．
x x
【常规讲解】
1
（1）解：∵x 3，
x
1
x2  29，
x2
1
x2  11，
x2
故答案为：11．
1
（2）解：当x 3时，
x
1
x2 
x2
1
(x )2 2
x
32 2
92
11．
故答案为：11．
1
（3）解：原式(x )2 2，
x
∵x2 4x10，且由题意可得x0，
x2 4x 1
   0，
x x x
111
x 4，
x
原式42 214，
故答案为：14．
1
（4）解：∵x  13，
x
1
(x )2 ( 13)2 13，
x
1 1
(x )2 (x )2 41349，
x x
1
x 3，
x
故答案为：3．
练习6:
1 1
（1）（★★☆☆☆）（2022•虹口区校级期中）已知 a 6 ，则 a2   ，
a a2
1
(a )2  ．
a
1 1
（2）（★★☆☆☆）（2020•上海期末）若x 6，则(x )2  ．
x x
1 2 2
（3）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区期末）如果 b1，c 2，那么a  ．
a b c
1 1
（4）（★★☆☆☆）（2020•浦东新区期中）如果x 4，那么x2   ．
x x2
【常规讲解】
1
（1）解：∵a 6，
a
1
(a )2 36．
a
1
a2  236．
a2
1
a2  38．
a2
1
a2 2 40．
a2
1
(a )2 40．
a
故答案为：38；40．
1
（2）解：∵x 6，
x
121
(x )2 36
x
1
x2  36234
x2
1 1
(x )2 x2  2
x x2
342
32
故答案为32．
1
（3）解：∵ b1，
a
1
 1b，
a
1
a ，
1b
2
∵c 2，
b
2 2b2
c2  ，
b b
1 b
  ，
c 2b2
2 1 b 1 b 1b
a      1，
c 1b b1 1b 1b 1b
故答案为：1．
1 1 1
（4）解：∵(x )2  x2 2 且x 4，
x x2 x
1
x2 2 16，
x2
1
x2  14．
x2
故答案为：14．
考点七：分式的加减的应用
例题7:
4x6
（★★★★☆）（2022•宝山区罗南中学期末）阅读下列材料：分式 可以化为分母分
x(x2)
4x6 A B
别为 x 与x2且分子都是常数的两个分式的和．为解决这个问题，可设   (A、
x(x2) x x2
AB4,
A B (AB)x2A 4x6 (AB)x2A
B 为常数），由   ，可得  ，由此可得
x x2 x(x2) x(x2) x(x2) 2A6,
13A3,
4x6 3 1
解得 所以   ，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将
B1, x(x2) x x2
17x11
化为分母分别为3x5与2x1且分子都是常数的两个分式的和．
(3x5)(2x1)
【配题说明】
待定系数法求字母的值
【常规讲解】
17x11 A B
解：设   ，
(3x5)(2x1) 3x5 2x1
A B (2A3B)x A5B
∵   ，
3x5 2x1 (3x5)(2x1)
17x11 (2A3B)x A5B
  ，
(3x5)(2x1) (3x5)(2x1)
2A3B17
  ，
A5B11
A 4
解得 ，
B 3
17x11 4 3
   ．
(3x5)(2x1) 3x5 2x1
练习7：
（★★★★☆）（2023•松江区期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的
形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式
或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”
)．
2x3 2x 2 2 x2 2x3 (x1)2 2 (x1)2 2 2
如：    x ；又如：    x1 ．
x x x x x1 x1 x1 x1 x1
x3 ax2 2xb x
若 ，可以写成一个整式与“真分式” 的和的形式，则ab 1 ．
x2 x1 x2 x1
【常规讲解】
x3 ax2 2xb x
解： 
x2 x1 x2 x1
x3 ax2 2xbx

x2 x1
x3 ax2 xb

x2 x1
x(x2 ax1)b
 ，
x2 x1
14x(x2 ax1)b
∵ 是整式，
x2 x1
a1，b0，
ab101．
故答案为：1．
15全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补充练习或课后补充练习让学生的完成
．． ．．
关卡一
练习1:
（★★☆☆☆）下列分式化简正确的是( )
2(ab)2 2a3a2 23a
A． 2ab B． 
ab 2a 2
9a2 1 3a1 a2 b2 ab
C．  D． 
6ab2b 2b a2 b2 ab
【配题说明】
此题主要考查了分式的混合运算，关键是正确把分子分母分解因式．
【常规讲解】
2(ab)2
解： A 、 2(ab)2a2b，故原题计算错误；
ab
2a3a2 a(23a) 23a
B 、   ，故原题计算正确；
2a 2a 2
9a2 1 (3a1)(3a1) 3a1
C 、   ，故原题计算错误；
6ab2b 2b(3a1) 2b
a2 b2
D、 不能约分，故原题计算错误；
a2 b2
故选：B ．
练习2:
x x3 x2 1
（1）（★★★☆☆）计算：  
x1 x1 x2 2x3
2x 1 4x2 1
（2）（★★★☆☆）先化简，再求值：(  )(1 )，其中x3．
2x1 4x2 2x 4x
1 x3 x2 4x3
（3）（★★★☆☆）先化简，再求值：   ，其中x3．
x1 x2 1 x2 2x1
【配题说明】
分式的加减
【常规讲解】
x x3 (x1)(x1)
（1）解：原式   ，
x1 x1 (x3)(x1)
16x
 1，
x1
x x1
  ，
x1 x1
1
 ，
x1
1
 ．
x1
4x2 1 4x4x2 1 (2x1)(2x1) 4x 2
（2）解：原式     ，
2x(2x1) 4x 2x(2x1) (2x1)2 2x1
2
当x3时，原式  ．
5
1 x3 (x1)2
（3）解：原式  
x1 (x1)(x1) (x1)(x3)
1 x1
 
x1 (x1)2
2
 ，
(x1)2
2 1
当x3时，原式  ．
(31)2 2
练习3:
4x4 A B 2A3B
（★★★★☆）已知   ，求 的值．
x2 2x15 x5 x3 AB
【配题说明】
待定系数法求字母的值
【常规讲解】
A B A(x3)B(x5) (AB)x(3A5B) 4x4
解：∵     ，
x5 x3 x2 2x15 x2 2x15 x2 2x15
AB4
 ，
3A5B4
解得： A3，B1，
2A3B 233 3
   ．
AB 4 4
练习4：
（★★★☆☆）（2022•嘉定区育才中学期末）如表，小琪的作业本上有这样一道填空题，其
1
中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分记为代数式 A ，若该题化简的结果为 ．
x3
17求代数式 A ；
①
1 1
该题化简的结果 能等于 吗？为什么？
② x3 7
x4 ■
化简：  的结果为____．
x29 x3
【常规讲解】
x4 1
解： 
① x29 x3
x4
 (x3)
(x3)(x3)
x4
 ，
x3
Ax4．
1 1
令  ，
② x3 7
解得：x4，
原分式有意义时， 不能取3，此时分式的值为0，
x
1
故化简结果不可以等于 ．
7
18关卡二
练习5:
（★★★★☆）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，
2 4x2
称这样的分式为真分式．例如，分式是 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分
x1 x3 3x
x1 x2
母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化
x1 x1
x1 (x1)2 2
为一个整式与一个真分式的和．例如，  1 ．
x1 x1 x1
2x3
（1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和；
x1
x2
（2）如果分式 的值为整数，求x的整数值．
x1
【配题说明】
待定系数法求字母的值
【常规讲解】
2x3 2(x1)5 5
解：（1）由题可得，  2 ；
x1 x1 x1
x2 x2 11 1
（2）  x1 ，
x1 x1 x1
∵分式的值为整数，且x为整数，
x11，
x2或0．
练习6:
（★★★★★）我们定义：如果两个分式 A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称 A
是B 的“雅中式”，这个常数称为 A 关于 B 的“雅中值”．
2x 2 2x 2 2x2 2(x1)
如分式A ，B ，AB ( )  2，则 A 是B 的“雅
x1 x1 x1 x1 x1 x1
中式”， A 关于B 的“雅中值”为2．
1 x2 5x6
（1）已知分式C ，D ，判断C 是否为D的“雅中式”，若不是，请说
x2 x2 4x4
明理由，若是，请证明并求出C 关于D的“雅中值”；
E 2x
（2）已知分式P ，Q ，P 是Q 的“雅中式”，且P 关于Q 的“雅中值”是2，
9x2 3x
x为整数，且“雅中式” P 的值也为整数，求E 所代表的代数式及所有符合条件的x的值之
19和；
(xb)(xc) (xa)(x5)
（3）已知分式M  ，N  (a，b，c为整数），M是N 的“雅中式”，
x x
且M关于N 的“雅中值”是1，求abc的值．
【配题说明】
本题考查了分式的化简，根据题意写出等式是关键，然后利用分式的性质进行演算和分析．本
题难度比较大．
【常规讲解】
（1）C 是D的“雅中式”，理由如下，
1 x2 5x6
CD 
x2 x2 4x4
x2(x2 5x6)

x2 4x4
x2 4x4
 1．
x2 4x4
即：C 不是D的“雅中式”．
E 2x E2x(3x) E2x2 6x
（2）PQ    ．
9x2 3x 9x2 9x2
∵P是Q 的雅中式．
又∵P关于Q 的雅中值为2．
 E  2x2  6x  2(9 x2)．
E6x18．
E 6x18 6
P   ．
9x2 9x2 3x
∵P的值也为整数，且分式有意义．
故3x1，或3x2，或者3x3，或3x6，
x的值为：3，0，1，2，4，5，6，9．
∵x3．
x的值为：3，0，1，2，4，5，6，9．
符合条件的x的值之和为：01245927．
（3）∵M是N 的“雅中式”，且M关于N 的“雅中值”是1．
(xb)(xc)(xa)(x5)
M N  1．
x
整理得：(bca4)xbc5a0．
(bca4)0
由上式子恒成立，则： ．
bc5a0
20消去a得：bc5b5c200．
b(c5)5(c5)5．
(b5)(c5)5．
∵ a 、b、c的整数．
b5、c5也是整数．
当b51、c55时，b5，c10，此时a12．
abc16．
当b55、c51时，b10，c6，此时a12．
abc8．
当b51、c55时，b4，c0，此时a0．
abc4．
当b55、c51时，b0，c4，此时a0．
abc4．
综上：abc的值为：16或8或4或4．
练习7:
1 1 1
（★★★★★）已知a、b、c三个数满足abc1，求式子   的
aab1 bbc1 cca1
值．
【配题说明】
本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将异分母分式转化
为同分母分式
【常规讲解】
1
已知a、b、c三个数满足abc1，则ac ，
b
1 1 1
 
aab1 bbc1 cca1
abc 1 1
  
aababc bbc1 1
c 1
b
bc 1 b
  
1bbc bbc1 bbc1
bc1b
 1．
bbc1
21