FY25暑假初一B12分式的运算学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_学生版PDF

B12 分式的运算 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）分式的乘除 （2）分式的加减 2. 考情分析 （1）主要考察分式的运算，在期末考中常常会以解答题的形式对计算进行考察； （2）通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习， 掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难 点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的 加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键。 1知识加油站1——分式的乘除 知识笔记1: 1. 分式的乘法法则 两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示___________． 2. 分式的除法法则 分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘． 用公式表示为_____________________． 3. 分式的乘方法则 分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即___________． 4. 分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算． 2考点一：分式有意义 例题1: x1 x1  若 x2 x 有意义，则x的取值范围是____________． 练习1: x1 x3 计算：若代数式  有意义，则x的取值范围是_______． x2 x4 考点二：分式乘除计算和化简求值 例题2: b a 4a （1）（2021•徐汇区月考）计算：( )2 ( ) ． 2a 3b b3 （2）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）计算： ． x2 2xy y2 x y x y   x2 3xy2y2 x2 5xy6y2 x2  y2 x2 2x1 x2 5x6 （3）（2022•黄浦区校级期中）计算：   ． x2 4x3 x2 3x2 2xy xy （4）（2022•松江区校级月考）计算：   ． (x y)2 4y 2n3 m （5）（2022•青浦区模拟）计算：   ． m n 3练习2: x y x2  y2 （1）计算：  . x2y x2 4xy4y2 x2 1 x2 3x2 （2）化简： (x1) ． x2 4x4 x1 x2  y2 x5y （3）计算：  ． x2 6xy5y2 x2 2x y2 2y a2 ab2 b3 b2 1 1 （4）先化简，再求值： ，其中a  ，b  ． a2 ab(b2)b3 b2 2 3 4知识加油站2——分式的加减 知识笔记2: 1. 同分母的分式加减法法则 同分母分式相加减，分母______，分子相______． 2. 异分母的分式加减法法则 （1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通 分，这几个相同的分母叫做_____________． （2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分 式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简． 3. 分式的综合运算 与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的． 5考点三：分式的加减和化简求值 例题3: 1 1 （1）（2022•杨浦区三模）计算：   ． 1x 1x 3 a2 1 （2）（2022•普陀区二模）先化简，再求值：(1 ) ，其中a  3 ． 2a a2 a x2 8x x2 （4）（（2023•黄浦区二模）计算：(  ) ． x3 x2 x6 x2 3 x2 4x4 （5）（2022•闵行区七宝三中期末）先化简，后求值：( x1) ，然后在0， x1 x1 1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 练习3: 2 2 x2 4 （1）计算：   ． x2 x2 x2 4 64x12 x2 1 （2）先化简，再求值：  (x1)，其中x4． x2 4x5 2x6 x2 （3）计算： x y x y 1 x2 4x4 （4）先化简(1 ) ，然后从2 x2的范围内适当选取一个整数作为x的值， x1 x21 再代入求值． 考点四：整体代入问题 例题4: 1 1 a b 实数a、b满足ab1，记M   ，N   ，判断M，N 的大小关系，并 1a 1b 1a 1b 说明理由. 练习4: x2 y2 y2x 3y 已知两个分式A  ，B  ，判断A，B两分式的数量关系，并 x y x y x2  y2 y2 x2 说明理由. 7考点五：待定系数法求字母的值 例题5: 4x6 阅读下列材料：分式 可以化为分母分别为x与x2且分子都是常数的两个分式的 x(x2) 4x6 A B A B (AB)x2A 和．为解决这个问题，可设   (A、B为常数），由   ， x(x2) x x2 x x2 x(x2) 4x6 (AB)x2A AB4, A3, 4x6 3 1 可得  ，由此可得 解得 所以   ， x(x2) x(x2) 2A6, B1, x(x2) x x2 17x11 像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将 化为分母分别为3x5与 (3x5)(2x1) 2x1且分子都是常数的两个分式的和． 练习5: 4x5 A B   (x1)(x2) x1 x2 A B 已知不论x取什么值（1，-2除外），等式 都成立，求 、 的 值． 8考点六：已知某项求值问题 例题6： 1 1 （1）（2020•嘉定区期中）已知x 3，则x2   ． x x2 1 1 （2）（2022•静安区期中）已知若x 3，则x2   ． x x2 1 （3）（2021•浦东新区校级期中）已知x2 4x10，则x2  的值是 ． x2 1 1 （4）（2022•静安区期中）已知x  13，则x  ． x x 练习6: 1 1 1 （1）（2022•虹口区校级期中）已知a 6，则a2   ，(a )2  ． a a2 a 1 1 （2）（2020•上海期末）若x 6，则(x )2  ． x x 1 2 2 （3）（2022•杨浦区期末）如果 b1，c 2，那么a  ． a b c 1 1 （4）（2020•浦东新区期中）如果x 4，那么x2   ． x x2 考点七：分式的加减的应用 例题7: 4x6 （2022•宝山区罗南中学期末）阅读下列材料：分式 可以化为分母分别为 x 与x2且 x(x2) 4x6 A B 分子都是常数的两个分式的和．为解决这个问题，可设   (A、B 为常数）， x(x2) x x2 AB4, A3, A B (AB)x2A 4x6 (AB)x2A 由   ，可得  ，由此可得 解得 x x2 x(x2) x(x2) x(x2) 2A6, B1, 4x6 3 1 17x11 所以   ，像这样的方法叫待定系数法．请用待定系数法将 化 x(x2) x x2 (3x5)(2x1) 为分母分别为3x5与2x1且分子都是常数的两个分式的和． 9练习7： （2023•松江区期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一 个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真 分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式” )． 2x3 2x 2 2 x2 2x3 (x1)2 2 (x1)2 2 2 如：    x ；又如：    x1 ． x x x x x1 x1 x1 x1 x1 x3 ax2 2xb x 若 ，可以写成一个整式与“真分式” 的和的形式，则ab 1 ． x2 x1 x2 x1 10全真战场 关卡一 练习1: 下列分式化简正确的是( ) 2(ab)2 2a3a2 23a A． 2ab B．  ab 2a 2 9a2 1 3a1 a2 b2 ab C．  D．  6ab2b 2b a2 b2 ab 练习2: x x3 x2 1 （1）计算：   x1 x1 x2 2x3 2x 1 4x2 1 （2）先化简，再求值：(  )(1 )，其中x3． 2x1 4x2 2x 4x 1 x3 x2 4x3 （3）先化简，再求值：   ，其中x3． x1 x2 1 x2 2x1 11练习3: 4x4 A B 2A3B 已知   ，求 的值． x2 2x15 x5 x3 AB 练习4： （2022•嘉定区育才中学期末）如表，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被 1 墨水污染了，若把污染的部分记为代数式 A ，若该题化简的结果为 ． x3 求代数式 A ； ① 1 1 该题化简的结果 能等于 吗？为什么？ ② x3 7 x4 ■ 化简：  的结果为____． x29 x3 12关卡二 练习5: 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式 2 4x2 为真分式．例如，分式是 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称 x1 x3 3x x1 x2 这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式．一个假分式可以化为一个整式与 x1 x1 x1 (x1)2 2 一个真分式的和．例如，  1 ． x1 x1 x1 2x3 （1）将假分式 化为一个整式与一个真分式的和； x1 x2 （2）如果分式 的值为整数，求x的整数值． x1 练习6: 我们定义：如果两个分式 A 与B 的差为常数，且这个常数为正数，则称 A 是B 的“雅中式”， 这个常数称为 A 关于B 的“雅中值”． 2x 2 2x 2 2x2 2(x1) 如分式A ，B ，AB ( )  2，则 A 是B 的“雅 x1 x1 x1 x1 x1 x1 中式”， A 关于B 的“雅中值”为2． 1 x2 5x6 （1）已知分式C ，D ，判断C 是否为D的“雅中式”，若不是，请说 x2 x2 4x4 明理由，若是，请证明并求出C 关于D的“雅中值”； 13E 2x （3）已知分式P ，Q ，P 是Q 的“雅中式”，且P 关于Q 的“雅中值”是2， 9x2 3x x为整数，且“雅中式” P 的值也为整数，求E 所代表的代数式及所有符合条件的x的值之 和； (xb)(xc) (xa)(x5) （4）已知分式M  ，N  (a，b，c为整数），M是N 的“雅中式”， x x 且M关于N 的“雅中值”是1，求abc的值． 练习7: 1 1 1 已知a、b、c三个数满足abc1，求式子   的值． aab1 bbc1 cca1 14