F25暑假初一B11分式的概念和性质学生版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初一_志高_学生版PDF

B11 分式的概念和性质 考情链接 1.本次任务由三个部分构成 （1）分式的基本概念 （2）“有/无意义”与“值为零” （3）分式的基本性质 2.考情分析 （1）主要考察分式的基本概念和基本性质，在期末考中常常会以填空的形式进行考察。 （2）本讲内容学习分式的基本意义和性质．经历分式的形成过程，理解分式的概念，会求 使分式有意义、无意义、分式值为零时的字母取值．通过与分数的基本性质的类比，掌握 分式的基本性质，类比分数的约分，理解分式约分的意义，掌握分式约分的基本方法．重 点是分式的基本性质，难点是分式约分的灵活应用． 1知识加油站 1——分式的基本概念 知识笔记 1: 分式的概念 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． A 一般地，如果 A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式． B 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ①分式的______中必然含有______； ②分式的______的值不为___； ③分式必然是写成两式相除的形式，中间以_________隔开． 2考点一：分式的判断 例题 1: （2022•宝山区期末）下列各式中，属于分式的是( ) A． 3 B．x3 C． y D． 8 3  5  2 2 a2b 练习 1: 2 1x 2x1 3 在代数式 ， ， ， 中，分式有( )  5 x2 x3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点二：分式值正负性问题 例题 2: 3 如果分式 的值为负数，则 y 的取值范围是______． 2y3 练习 2: a 若分式 的值总是正数，a的取值范围是( ) 2a1 1 1 A．a是正数 B．a是负数 C．a  D．a0或a  2 2 考点三：分式的实际问题的应用 例题 3: y 现有单价为x元的果冻a千克，单价为 元的果冻b千克，单价为z元的果冻c千克，若将这 三种果冻混合在一次，则混合后的果冻售价为_________元/千克． 练习 3: 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 千米，下坡时的速度为每小时V 千米， 1 2 则他在这段路上、下坡的平均速度是__________． 3知识加油站 2——“有/无意义”与“值为零” 知识笔记 2: 1.分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为零，故分式有意义的条件是_______________; 当____________，分式无意义． 2.分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的____________，且分式的______________，注意是“同 时”． 4考点四：分式有意义，无意义，值为 0的条件 例题 4: 第一组： 3 x （1）（2022•上海期末）要使分式 有意义，则 的取值范围是 ． x x 2 3 （2）（2022•徐汇区期末）x1时，分式 无意义，则 a  ． x2xa x24 （3）（2022•青浦区东方中学期末）如果分式 的值为零，那么 x ． 2x4 第二组： x21 （1）当 x=__________时，分式 的值为 0. x2x2 x2 1 （2）（2022•宝山区罗南中学期末）当 x 时，分式 的值为 0． (x1)(3x 4) 1 （3）若分式 1 有意义，则（ ）． 1 x1 A．x1 B．x2 C．x2且x1 D．x0且x1 练习 4: 第一组： x2 （1）如果分式 有意义，那么x的取值范围是____． 3x1 x2 9 （2）当x_________时，分式 无意义． x3 x1 （3）如果分式 的值为零，那么x_________． 2x6 5第二组： 1 （1）x为何值时，分式 1 有意义？ 2x 2x (m1)(m3) （2）当 m=__________时，分式 的值为 0. m2 3m2 1 （3）x为何值时，分式 无意义？ x2 3x2 知识加油站 3——分式的基本性质 知识笔记 1.分式的基本性质 分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于 0的整式，分式的值______． a am a am 上述性质用公式可表示为：  ，  (m0)． b bm b bm 注意： （1）在运用分式的基本性质时，基于的前提是m0； （2）强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； （3）分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 2.约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中_______________约去的过程，叫做约分． 3.最简分式 一个分式的分子、分母没有_______________(1除外）时，这个分式叫做最简分式．约分 可以把一个分式化为最简分式． 4.约分的方法 （1）当分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的 _____________，分子、分母的系数约去它们的________________． （2）当分式的分子、分母中有多项式，则要先因式分解，再约分． （3）约分一定要彻底，即约分后分子和分母中不含公因式． 6考点五：分式的基本性质 例题 5: 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． 3 2 x y 1.03x0.02y 4 3 （1） ； （2） ． 3.2x0.5y 1 5 x y 3 2 练习 5: 不改变分式的值，使下列分式中的分子与分母的各项的系数都是整数，且分子的首项系数 是正数，并把结果填在横线上． 0.5m1 0.3a1 （1） ________； （2） __________． m2 5 0.02a0.05 例题 6: 2xy （1）（2022•虹口区民办新复兴中学期中）若分式 中 和y的值都扩大 5倍，那么分 x 4x3y 式的值( ) A．扩大 5倍 B．不变 C．缩小 5倍 D．以上都不对 （2）（2021•金山区期末）如果将分式 x2  y2 中的 和y都扩大到原来的 4倍，那么分式的 x x y 值( ) A．不变 B．扩大到原来的 4倍 C．扩大到原来的 8倍 D．扩大到原来的 16倍 7练习 6: 若 x、y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ x2  y2 2x3 x2  y2 x2  y2 3y3 3xy （1） （2） （3） 考点六：分式的约分 例题 7: 将下列分式化为最简分式： 第一组： 2x3x2 x y （1） ； （2） ； 2x x2  y2 a2 3 m2 2mnn2 （3） ； （4） ． 2a3 6a m2 n2 第二组： 将下列分式化为最简分式： 3x2 12 （1） ； x2 4x4 8x2 3x （2） ； x2 6x9 2a2 8ab8b2 （3） ； 2a2 8b2 4b10a （4） ． 25a2 20ab4b2 练习 7: 第一组： 将下列分式化为最简分式： 4x2y 2xy2 a2 4a4 x3 2x2y （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 8xy2 6yx3 a2 4 x2y2xy2 第二组： 将下列分式化为最简分式： 9x2 6x1 （1） ； 3x2 x 94x2 2x （2） ； 4x2 1 x2 10x25 （3） ； 3x2 75 2a2 8 （4） ． a2 4a4 考点八：设 k法求解分式值题型 例题 8： x yz （1）已知x:y3:5，y:z2:3，则 的值为 2x yz x y z xy yzzx （2）已知   ，求 的值． 3 4 5 x2  y2 z2 练习 8: x y z 2x yz 已知：   0，求代数式 的值． 2 3 4 x yz 10考点九：分式中新定义题型 例题 9: 阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数， 8 62 2 2 如：  2 2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的 3 3 3 3 次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时， 我们称之为“真分式”． x1 x2 3 2x 如： ， 这样的分式就是假分式；再如： ， 这样的分式就是真分 x1 x1 x1 x2 1 式．类似的，假分式也可以化为带分式（即:整式与真分式的和的形式）． x1 (x1)2 2 如：  1 ； x1 x1 x1 x2 x2 11 (x1)(x1)1 1 再如：   x1 ． x1 x1 x1 x1 解决下列问题： 2 （1）分式 是 分式（填“真分式”或“假分式” )； x x1 （2）假分式 可化为带分式 的形式； x2 2x1 （3）如果分式 的值为整数，那么x的整数值为 ． x1 11练习 9: “约去”指数： 33 13 31 53 23 52 如  ，  ， 33 23 32 53 33 53 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分， 一笑之后，再认真检验， 发现其结果竟然正 a3b3 ab 确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：  ，试 a3(ab)3 a(ab) 说明此猜想的正确性．（供参考：x3  y3 (x y)(x2 xy y2)) 12全真战场 关卡一 练习 1: a 2 1 在代数式2a， ， ， ，2a中，分式有( ) 2 a 2 a A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 练习 2: y 若把x， 的值同时扩大为原来的 2倍，则下列分式的值保持不变的是( ) xy (xy)2 y2 2x A． B． C． D． x y x2 x2 y2 x2 练习 3: 将下列分式化为最简分式． a2 ab m2 3m （1） ； （2） ； a2 b2 9m2 3ab3b2 x2 3x （3） ； （4） ． a2b2ab2 b3 x4 6x3 9x2 13关卡二 练习 4: ab 1 3a2 5ab2b2 若  ，求 的值． b 2 2a2 3ab5b2 练习 5: x 1 x2 阅读材料：已知  ，求 的值 x21 3 x4 1 x 1 x2 1 1 解：由  得， 3，则有x 3， x21 3 x x x4 1 1 1 由此可得， x2  (x )2 232 27； x2 x2 x x2 1 所以，  ． x41 7 x x2 请理解上述材料后求：已知 a，用a的代数式表示 的值． x2x1 x4  x2 1 练习 6: yz zx x y 已知 x、y、z 满足   k ，求k的值． x y z 练习 7: xayayazazaxa 已知xyz3a，求 的值． xa2 ya2 za2 14