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十字相乘法分解因式专项练习30 题（有答案）
1．x3+5x2+6x．
2．（x2+x）2
8
﹣（x2+x）+12．
3．（1）a2
4a+3
﹣
；
（2）2m4
16m
﹣
2+32．
4．3x2
5x
2
﹣
﹣．
5．x（x
5
﹣）﹣6．
6．x2
5x
﹣
+6．
7．x3+5x2y
24xy
﹣
2．
8．﹣2x2+10x
12
﹣
．
9．16
8
﹣（x2
3x
﹣
）+（x2
3x
﹣
）2．
10．2ax2
10ax
100a
﹣
﹣
．
11．x2
x
12
﹣﹣
．
12．（x2+2x）2
11
﹣
（x2+2x）+24．
13．x4
2x
﹣
2
8
﹣．
14．（x2
2x
﹣
）2
11
﹣
（x2
2x
﹣
）+24．
15．ax8
5ax
﹣
4
36a
﹣
．
16．x2
x
6
﹣﹣．
17．x2
x
﹣4+12．
18．x4
13x
﹣
2+36．
十字相乘法分解因式-----
2
19．（a2
a
﹣）2
14
﹣
（a2
a
﹣）+24．
20．﹣a4+13a2
36
﹣
．
21．3ax2
18ax+15a
﹣
．
22．x2
3x
10
﹣
﹣
．
23．（x2
4x
﹣
）2
2
﹣（x2
4x
﹣
）﹣15．
24．（a2+a）2
8
﹣（a2+a）+12．
25．2ab4+2ab2
4a
﹣
．
26．x2
11x
26
﹣
﹣
27．阅读下面因式分解的过程：
a2+10a+9=a2+2•a•5+52
5
﹣2+9=（a+5）2
16=
﹣
（a+5）2
4
﹣2=（a+5+4）（a+5
4
﹣）=（a+9）（a+1）
请仿照上面的方法，分解下列多项式：
（1）x2
6x
27
﹣
﹣
（2）a2
3a
28
﹣
﹣
．
28．在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这
两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn=（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×3=
（x+2）（x+3）．你能运用上述方法分解多项式x2
5x
6
﹣
﹣吗？
十字相乘法分解因式---
3
29．根据多项式的乘法与因式分解的关系，可得x2
x
6=
﹣﹣（x+2）（x
3
﹣），右边的两个一次两项式的系数有关系1
1×﹣
3
2，左边上、下角两数积是原式左边二次项的系数，右边两数积是原式左边常数项，交叉相乘积之和是原式左边一次
项的系数．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题．
（1）填空：
①分解因数：6x2
x
2=
﹣﹣
_________ ．
②解方程：3x2+x
2=0
﹣
，左边分解因式得（ _____ ）（ _____ ）=0，∴x1= ______ ，x2= _______ ．
（2）解方程
．
30．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，
即x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：（1）x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2=（x+2）（x+3）；
（2）x2
5x
6=x
﹣
﹣
2+（﹣6+1）x+（﹣6）×1=（x
6
﹣）（x+1）．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
（1）x2
8x+7
﹣
；
（2）x2+7x
18
﹣
．
十字相乘法分解因式---
4
参考答案：
1．x3+5x2+6x=x（x2+5x+6）=x（x+2）（x+3）
2．（x2+x）2
8
﹣（x2+x）+12=（x2+x
2
﹣）（x2+x
6
﹣）=（x
1
﹣）（x+2）（x
2
﹣）（x+3）
3．（1）a2
4a+3=
﹣
（a
1
﹣）（a
3
﹣）；
（2）2m4
16m
﹣
2+32=2（m4
8m
﹣
2+16）=2（m2
4
﹣）2=2（m+2）2（m
2
﹣）2．
4．3x2
5x
2=
﹣
﹣
（x
2
﹣）（3x+1）．
5．x（x
5
﹣）﹣6=x2
5x
6=
﹣
﹣
（x
6
﹣）（x+1）
6．x2
5x
﹣
+6=（x﹣2）（x-3）
7．原式=x（x2+5xy﹣24y2）=x（x+8y）（x﹣3y）．
8．﹣2x2+10x﹣12=﹣2（x2﹣5x+6）=﹣2（x﹣3）（x﹣2）．
9．16﹣8（x2﹣3x）+（x2﹣3x）2=（x2﹣3x﹣4）2=[（x﹣4）（x+1）]2=（x﹣4）2（x+1）2．
10．2ax2
10ax
100a=2a
﹣
﹣
（x2
5x
50
﹣
﹣
）=a（x+5）（x
10
﹣
）．11．x2
x
12=
﹣﹣
（x
4
﹣）（x+3）
12．原式=（x2+2x
3
﹣）（x2+2x
8
﹣）=（x+3）（x
1
﹣）（x+4）（x
2
﹣）
13．x4
2x
﹣
2
8x
﹣
4
2x
﹣
2
8=
﹣
（x2
4
﹣）（x2+2）=（x+2）（x
2
﹣）（x2+2）．
14．原式=（x2
2x
3
﹣
﹣）（x2
2x
8
﹣
﹣）=（x
3
﹣）（x+1）（x
4
﹣）（x+2）
15. ax8
5ax
﹣
4
36a=a
﹣
（x8
5x
﹣
4
36
﹣
）=a（x4
9
﹣）（x4+4）=a（x2+3）（x2
3
﹣）（x4+4）
=a（x2+3）（x﹣
）（x+
）（x4+4）．
16．x2
x
6=
﹣﹣
（x﹣3）（x+2）
17．原式=﹣（x4
x
﹣2
12
﹣
）=﹣（x2
4
﹣）（x2+3）=﹣（x+2）（x
2
﹣）（x2+3）
18. x4
13x
﹣
2+36=（x2
4
﹣）（x2
9
﹣）=（x+2）（x
2
﹣）（x+3）（x
3
﹣）
19．原式=（a2
a
2
﹣﹣）（a2
a
12
﹣﹣
）=（a+1）（a
2
﹣）（a+3）（a
4
﹣）
20．﹣a4+13a2
36=
﹣
﹣（a4
13a
﹣
2+36）=﹣（a2
9
﹣）（a2
4
﹣），=﹣（a
3
﹣）（a+3）（a
2
﹣）（a+2）．
21．3ax2
18ax+15a=3a
﹣
（x2
6x+5
﹣
）=3a（x
1
﹣）（x
5
﹣）．
22．x2
3x
10=
﹣
﹣
（x
5
﹣）（x+2）．
23．（x2
4x
﹣
）2
2
﹣（x2
4x
﹣
）﹣15=（x2
4x+3
﹣
）（x2
4x
5
﹣
﹣）=（x
1
﹣）（x
3
﹣）（x+1）（x
5
﹣）
24．（a2+a）2
8
﹣（a2+a）+12=（a2+a
2
﹣）（a2+a
6
﹣）=（a+2）（a
1
﹣）（a+3）（a
2
﹣）
25．2ab4+2ab2
4a=2a
﹣
（b4+b2
2
﹣）=2a（b2
1
﹣）（b2+2）=2a（b2+2）（b+1）（b
1
﹣）
26．x2
11x
26=
﹣
﹣
（x
13
﹣
）（x+2）
27．（1）原式=x2
2•x•3+3
﹣
2
3
﹣2
27=
﹣
（x
3
﹣）2
36=
﹣
（x
3+6
﹣
）（x
3
6
﹣﹣）=（x+3）（x
9
﹣）；
（2）原式=a2
2•a•
﹣
+（）2﹣（）2
28=
﹣
（a﹣）2﹣
=（a﹣+
）（a﹣﹣
）=（a+4）（a
5
﹣）．
28． x2
5x
6=
﹣
﹣
（x
6
﹣）（x+1）
29．（1）①、6x2
x
2=
﹣﹣
（2x+1）（3x
2
﹣）．
②、3x2+x
2=0
﹣
，左边分解因式得（x+1）（3x
2
﹣）=0，解得：x1=
1
﹣，x2= ；
（2）解方程两边都乘以（x2
3
﹣），得x2（x2
3
﹣）+2=0，
化简得x4
3x
﹣
2+2=0
设y=x2，则原方程为y2
3y+2=0
﹣
，
解这个方程得y1=1，y2=2，
即x2=1 或x2=2，
解这两个方程得
，
经检验，
均为原方程的根
30．（1）x2
8x+7=x
﹣
2﹣（1+7）x+（﹣1）×（﹣7）=（x
1
﹣）（x
7
﹣）；
（2）x2+7x
18=x
﹣
2+（﹣2+9）x+（﹣2）×9=（x
2
﹣）（x+9）
十字相乘法分解因式---
