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专题 07 因式分解的六种方法大全
题型一、提取公因式法与公式法综合
例．分解因式： ＝______．
【答案】
【详解】解： ＝ ＝ ．
故答案是： ．
【变式训练1】因式分解： =________________．
【答案】
【详解】解：原式=2x(4x2−4xy+y2)=2x(2x−y)2
故答案为：2x(2x−y)2．
【变式训练2】因式分解： _________．
【答案】
【详解】
故答案为： ．
【变式训练3】分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【详解】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【变式训练4】小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： ， ， ，
， ， ，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．抗疫胜利 B．抗疫必胜 C．我必胜利 D．我必抗疫
【答案】B
【详解】解：原式＝
， ， ， ， ， ，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．
对应抗， 对应疫， 对应必， 对应胜
故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜
故选：B
题型二、十字相乘法
例．将多项式 因式分解，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解： = = = ．
故选B．
【变式训练1】多项式 可因式分解成 ，其中 、 、 均为整数，求 之值
为何？（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】A
【详解】解：利用十字相乘法，把 多项式因式分解，
可得，
∵多项式 可因式分解成（3x+a）（bx+c）
∴ ， ，
∴
故选：A．【变式训练2】分解因式： ____．
【答案】
【详解】解： ．故答案为：
【变式训练3】因为 ，这说明多项式 有一个因式为 ，我们把 代
入此多项式发现 能使多项式 的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若 是多项式 的一个因式，求 的值；
(2)若 和 是多项式 的两个因式，试求 ， 的值．
(3)在（2）的条件下，把多项式 因式分解．
【答案】(1) ；(2) ， ；(3)
【解析】(1)解： 是多项式 的一个因式，
当 时， ，解得 ；
(2) 和 是多项式 的两个因式，
，解得 ．
， ．
(3)解：由（2）得 即为 ，
．
题型四、分组法
例．分解因式：
【答案】
【详解】解：，
，
【变式训练1】已知 ， ，则m与n的大小关系是（ ）
A． B．m>n C． D．m<n
【答案】A
【详解】解：∵ ， ，
∴
，故选A
【变式训练2】分解因式： ．
【答案】
【详解】解：
=
=
=
【变式训练3】分解因式： __________．
【答案】
【详解】解：故答案为： ．
【变式训练4】阅读理解：把多项式 分解因式．
解法：
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1)分解因式： ．
(2) 三边 、 、 满足 ，判断 的形状．
【答案】(1) ；(2)等腰三角形
【解析】(1)解：
(2)解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ C的形状是等腰三角形．
题型四、添项、拆项法
例．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8=_______．
【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2）
【详解】解：x3﹣3x2﹣6x+8=
= = == =（x﹣4）（x﹣1）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）．
【变式训练1】把多项式分解因式：x3﹣2x2+1＝_________________．
【答案】(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
【详解】解：原式＝x3﹣x2﹣x2+1＝x2(x﹣1)﹣(x+1)(x﹣1)＝(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
故答案为：(x﹣1)(x2﹣x﹣1)
【变式训练2】因式分解：
【答案】
【详解】原式 ．
故答案为：
【变式训练3】添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式 可以用如下方法分解因式：
① ；
又比如多项式 可以这样分解：
② ；
仿照以上方法，分解多项式 的结果是______．
【答案】
【详解】解：
，
故答案为：
题型五、换元法（整体思想）
例．因式分解：【答案】
【解析】解：
【变式训练1】分解因式：
【答案】
【详解】 =
= =
【变式训练2】因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．
【答案】
【详解】解：原式＝（x2+4x﹣5）（x2+4x+4）
＝（x+5）（x﹣1）（x+2）2．
【变式训练3】因式分解：（1） （2）
【答案】（1） ；（2） .
【详解】解：（1）原式=
= ；
（2）原式=
=
=
= .
题型六、主元法例．分解因式： .
【答案】
【详解】解：
=
∴原式 ．
【变式训练1】因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）把a视为未知数，其它视为参数．
原式
；
（2）原式= ， = ，
再次运用十字相乘法可知原式 ；
（3）选x为主元，原式 ．
【变式训练2】因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）首先将原式按a的降幂排列，写成关于a的二次三项式 ，
此时的“常数 ”提取公因式 即可分解成 ，再运用十字相乘法便可很快将原式分解成
；（2）这是x的二次式，“常数项”可分解为 再对整个式子运用十字相
乘 ．
【变式训练3】因式分解：
【答案】
【详解】原式
．
课后作业
1．如果 ，那么 的值为（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】B
【详解】解：∵2m2+m-4=0，
∴-2m2-m=-4，
∴3m2018-m2019-2m2020
=m2018×（3-m-2m2）
=m2018×（3-4）
=m2018×（-1）
=-m2018，
故选：B．
2．如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折
起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：底面积为（b﹣2a）2，侧面积为a•（b﹣2a）•4＝4a•（b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a•（b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a）•（b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣6a）（b﹣2a）
故选：A．
3．已知 ，则 ______．
【答案】24
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
4．分解因式： ____________．
【答案】
【详解】
解： ；
故答案为：
5．阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如 ．
我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)因式分解： ；
(2)因式分解： ；
(3)△ABC三边a、b、c满足 ，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1) ；(2) ；(3)△ABC是等边三角形，理由见解析
【解析】(1)解： ；
(2) 解：
；
(3)解：△ABC是等边三角形，
理由如下：∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴a－b＝0，且b－c＝0，
∴a＝b，且b＝c，∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
6．把下列各式因式分解：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解： ．
(2)
．
7．（1）把下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解．
（2）已知 的三边长为 ， ， ，且满足 ，请判断 的形状．
【答案】（1）答案见解析
（2） 是等腰三角形
【详解】（1）拼接如图：
拼接成的长方形的面积还可以表示为一个正方形和三个长方形的面积之和：
；
拼接成的长方形的面积：长 宽 ；
∴据此可得到因式分解的式子为： ．故答案为： ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的三边长为 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
故答案为： 是等腰三角形．
