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专题02运算方法之因式分解重要方法综合难点专练（解析
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．多项式 与多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别将多项式 与多项式 进行因式分解，再寻找他们的公因式是
．
【详解】
解：∵
又∵
∴多项式 与多项式 的公因式是 ．
故选A．
【点睛】
本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定
公因式．
2．若多项式 可因式分解为 ，其中 、 、 均为整数，则
的值是（ ）
A．1 B．7 C．11 D．13
【答案】B
【分析】
将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】
解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
1【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c
的值是得出正确答案的关键．
二、填空题
3．分解因式：a2b-18ab+81b＝_____．
【答案】b(a-9) 2．
【分析】
先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：a2b-18ab+81b，
= b(a2-18a+81)
= b(a-9) 2．
故答案为：
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是明确因式分解的顺序：先提取公因式，再用公式，
并能熟练运用相关知识分解；注意：因式分解要彻底．
4．正实数 ， 满足 ，则 ______．
【答案】1：2
【分析】
先把 两边同时平方，化简得 ，再根据
＞0， ， 为正实数，可得 ，进而即可求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ＞0， ， 为正实数，
∴a＞ ＞0，
∴ ，
2∴ ，
∴ 1：2．
故答案是：1：2．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，掌握完全平方公式以及“十字相乘”因式分解，是解题的
关键．
5．把多项式 因式分解，结果为________．
【答案】
【分析】
直接提取公因式x，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
【详解】
解：
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确应用公式是解题关键．
三、解答题
6．（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）因式分解： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）根据整式乘除法和加减法的性质计算，即可得到答案；
（2）根据整式乘法和加减法的性质计算，即可得到答案；
（3）首先提取公因式，再根据完全平方公式分解，即可完成求解．
【详解】
（1）
3；
（2）
；
（3）
．
【点睛】
本题考查了整式运算和因式分解；解题的关键是熟练掌握整式混合运算的法则、以及
提取公因式和完全平方公式，从而完成求解．
7．分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
通过提公因式和公式法及十字相乘法求解．
【详解】
解：（1）原式 ．
（2）原式 ．
（3）原式 ．
【点睛】
本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底．
8．从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两
位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”．数m的“生成数”之和与22的商
4记为G（m），例如m＝123，G（123）＝ ＝6．
（1）直接写出G（234）＝ ；并证明：对于任意的三位数n，G（n）为整数；
（2）数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p＝100a+40+b（1≤a≤9，1≤b≤9且
a≠b），q＝130+c（1≤c≤3），规定：k＝ ，若G（p）•G（q）＝56，求k的最大值．
【答案】（1）6，见解析；（2）k的最大值为
【分析】
（1）根据题目所给的例子，不难求出G（234）的结果；可设这个三位数百位上的数
字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，据题意列出式子进行求解即可；
（2）由题意可得G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4，再结合G（p）•G（q）＝
56可得：c＝3，a+b＝4，再分析即可得解．
【详解】
解：（1）
故答案为9；
证明：设这个三位数n百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，依
题意得：
故对于任何的三位数n，G（n）为整数；
（2）根据（1）可得：G（p）＝a+4+b，G（q）＝1+3+c＝c+4，
∵G（p）•G（q）＝56，
∴（a+4+b）（c+4）＝56，
∵a，b，c均为整数，1≤a≤9，1≤b≤9，且a≠b，1≤c≤3，
∴c+4＝7，a+b+4＝8，
∴c＝3，a+b＝4，
∴p＝143或341，q＝133，
∵ ，
∴k的最大值为 ．
【点睛】
5本题考查的是新定义问题，同时考查了列代数式，二元一次方程组的正整数解问题，
准确的理解新定义的含义是解题的关键.
9．先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题：
例：解不等式x2-9<0
解：∵ ，∴原不等式可化为 ，
由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①得， ，解不等式组②无解
∴原不等式 的解集为
（1）不等式 解集为 ；
（2） 不等式 解集为 ；
（3） 解不等式 ．
【答案】（1） 或 ；（2） ；（3）
【分析】
（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可；
（2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可；
（3）根据有理数的除法法则，异号得负，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不
等式组，即可得出答案．
【详解】
（1）∵ ，∴原不等式可化为 ，
由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得
① ② ，
解不等式组①得， 解不等式组②得：
∴原不等式 的解集为 或 ；
（2）∵ ，∴原不等式可化为 ，
由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得
6① ②
解不等式组①无解，解不等式组②，得 ，
∴原不等式 的解集为 ；
（3）由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得
① ②
解不等式组①无解，解不等式组②，得 ，
∴原不等式 的解集为 ．
【点睛】
本题考查一元一次不等式组的应用和因式分解，解题关键是深刻理解“两数相乘，同
号得正，异号得负”，转化题目不等式为不等式组．
10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项
式只用上述方法就无法分解，如 ，我们细心观察这个式子就会发现，
前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公
因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。
过程为： ；
这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2） 三边a，b，c满足 ，判断 的形状.
【答案】（1）（3x-y+4）（3x-y-4）；（2）等腰三角形或等边三角形
【分析】
（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式
得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c
的关系，判断三角形形状即可．
【详解】
解：（1）9x2-6xy+y2-16
=（3x-y）2-42
7=（3x-y+4）（3x-y-4）；
（2）∵a2-ab-ac+bc=0
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点睛】
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解
题关键．
11．（阅读学习）
课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解
因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因
式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而
在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：
（1） ；
（2） ．
（学以致用）
请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：
（1） ；
（2） ．
（拓展应用）
已知： ， ．求： 的值．
【答案】（1） ；（2） ；
【拓展应用】 ．
【分析】
此题根据因式分解的常用方法，观察各式，参照例子把 分为
再提取公因式分解即可，把 化为 再
利用完全平方和平方差分解；
把 化为 再因式分解代入即可．
8【详解】
（1）
（2）
【拓展应用】
∵ ， ，
代入得：原式= ．
【点睛】
此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法
因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力．
12．第一步：阅读村料，掌握知识．
要把多项式 分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它
的后两项分成组，并提出b，从而得 ．这时，由
于 中又有公因式 ，于是可提公因式 ，从而得到
，因此有
．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，
它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
第二步：理解知识，尝试填空：
（1）
第三步：应用知识，因式分解：
（2） x2-(p+q)x+pq；
（3） ．
第四步：提炼思想，拓展应用
（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个
三角形的形状，并说明理由．
9【答案】（1） （2） （3） （4）等边三
角形，理由见详解．
【分析】
（1）如果把一个多项式各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式刚好相同，那么
这个多项式即可利用分组分解法来因式分解，据此即可求解；
（2）先展开（p＋q）x，再利用分组分解法来因式分解，据此即可求解；
（3）直接利用分组分解法来因式分解即可求解；
（4）根据所给等式，先移项，再利用完全平方公式和等边三角形的判定求证即可．
【详解】
解：（1）
（2）
（3）
（4）等边三角形，理由如下：
∵
∴
10∴
∴
∴
即
∴这个三角形是等边三角形．
【点睛】
本题考查因式分解—提公因式法，因式分解—分组分解法，完全平方公式，等边三角
形的判定，解题的关键是读懂材料并熟知因式分解的方法．
13．阅读下面的材料：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如
，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两
部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．
利用分组分解法解决下面的问题：
（1）分解因式： ；
（2）已知等腰三角形的三边a、b、c均为整数，且 ，则满足该条件
的等腰三角形共有________个，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）2，理由见解析
【分析】
（1）将前两项分一组运用平方差公式分解，将后两项分为一组提取公因式，最后再提
取公因式即可分解；
（2）先对原等式左边进行因式分解，再分类讨论即可．
【详解】
（1）原式= =
（2）∵
∴ ，
11令 ， ，即： ，
∵a、b、c均为整数，
∴ 均为整数，
①当 时，即 ， ， ，不成立，舍去；
②当 时，即 ， ， ，不成立，舍去；
③当 时，即 ， ， ，不成立，舍去；
④当 时，即 ， ， ，成立，此时 ；
⑤当 时，即 ， ， ，成立，此时 ， ；
⑥当 时，即 ， ，不成立，舍去；
综上，共有2种情况满足题意条件；
故答案为：2．
【点睛】
本题考查分组分解法进行因式分解及其实际应用，准确对原式进行分组是分解时候的
关键，对于第二小问需要对符合条件的情况进行分类讨论，做到不重不漏是关键．
14．把下列多项式因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy．
【答案】（1）﹣y（x﹣3）2；（2）（5x+4y）（x+8y）；（3）（1+x﹣y）（1﹣x+y）
【分析】
（1）先提取公因式，再按照完全平方公式分解；
（2）分别把前后两项看成某项的平方并根据平方差分解因式，然后对每个因式去括号
及合并同类项进行化简；
（3）首先把后面三项看成一组并化成完全平方式，然后与第一项组合并利用平方差公
式分解后对每个因式去括号化简即可．
【详解】
解：（1）﹣x2y+6xy﹣9y
＝﹣y（x2﹣6x+9）
＝﹣y（x﹣3）2；
（2）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2；
＝[3（x+2y）+2（x﹣y）][3（x+2y）﹣2（x﹣y）]
＝（5x+4y）（x+8y）；
（3）1﹣x2﹣y2+2xy
＝1﹣（x2+y2﹣2xy）
12＝1﹣（x﹣y）2
＝[1+（x﹣y）][1﹣（x﹣y）]
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键．
15．先阅读下列材料，再解答问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无
法分解，例如多项式 和 ．经过细心观察可以发现，若将
多项式进行合理分组后，先将每一组进行分解，分别分解后再用提公因式法或公式法
就可以完整分解了.
解答过程如下：
这种方法叫分组分解法，对于超过三项的多项式往往考虑这种方法．
利用上述思想方法，把下列各式分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）将1、2项，3、4项分别结合分别分解因式，再进行组间的公因式提取便可达目
的；
（2）原式分成 和-9两组，前一组利用完全平方公式分解，然后再利用平
方差公式继续分解即可．
【详解】
解：（1）
13；
（2）
．
【点睛】
本题考查了分组分解法，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是
分组后利用各组本身的特点进行解题．
16．阅读材料：若 ，求x，y的值．
解：∵
∴
∴
∴ ，
∴
根据上述材料，解答下列问题：
（1） ，求 的值；
（2） ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）将方程 的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求
得 的值，最后代入 即可解题；
（2）由 整理得， ，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后
由偶次方的非负性解题即可
【详解】
解：（1）∵
14∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴
∵
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
【点睛】
本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难
度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．已知a+b=-2，a-b=2，把（a2+b2-1）2-4a2b2先分解因式，再求值．
【答案】 ，9
【分析】
综合乘法公式进行因式分解，然后再整体代入求值即可．
【详解】
解：
=
15=
= ，
把 代入得：
原式= ．
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公
式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．
分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．
如①和②：
①
②
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式： ；
（2）两个不相等的实数m，n满足 ．若 ， ，求
和k的值．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】
16（1）先分组得 ，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解；
（2）由已知 ， 两式相减得到 ，左边分解后
可得到 ，再由已知 ， 两式相加结合 即可求
得 的值．
【详解】
解：（1）
；
（2）∵ ， ，
两式相减得 ，
∴ ，即 ，
因式分解得 ，
∵ ，
∴ 即 ，
∵ ， ，
两式相加得 ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公
式是解题关键．
19．阅读理解：下面是小明同学分解因式ax+ay+bx+by的方法，首先他将该多项式分
为两组得到 （ax+ay）+ （bx+by）．然后对各组进行因式分解，得到a （x+y）+ b
（x+y），结果发现有公因式（x+y），提出后得到 （x+y） （a+b）．
17（1）小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式 进行因式分
解，则她最后提出的公因式是 ；
（2）请同学们也尝试用小明的方法对多项式 进行因式分解；
（3）若小强同学将多项式 进行因式分解时发现有公因式（x﹣
3），求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）由题意，分别提取公因式m和5，再整体提取公因式（m+n）即可；
（2）由题意，分别利用平方差公式和提公因式法分解，然后再提取公因式（a+b）即
可；
（3）由分组分解法、提公因式法、以及完全平方公式法进行分解因式，即可求出答案．
【详解】
解：（1）根据题意，
=
= ；
故答案为： ；
（2）根据题意，
=
= ；
（3）根据题意，
∵把多项式 进行因式分解时有公因式（x﹣3），
∴ =
∴多项式 中有公因式 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了因式分解的分组分解法、公式法和提取公因式法，以及待定系数法求相关
18字母的值，这都是基本的计算能力，难度不大．
20．观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行的分解因式：
甲：x2＋2ax﹣3a2
＝x2＋2ax＋a2﹣a2﹣3a2
＝（x＋a）2﹣4a2（分成两组）
＝（x＋a）2﹣（2a）2
＝（x＋3a）（x﹣a）（平方差公式）
乙：a2﹣b2﹣c2＋2bc
＝a2﹣（b2＋c2﹣2bc）（分成两组）
=a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a＋b﹣c）（a﹣b＋c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）x2﹣4x＋3
（2）x2-2xy-9+y2
（3）x2+2xy+y2-6x-6y+9
【答案】（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差
公式分解因式即可；
（2）先分组，再根据完全平方公式分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可；
（3）先分组，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）x2-4x+3
；
（2）x2-2xy-9+y2
19；
（3）x2+2xy+y2-6x-6y+9
．
【点睛】
本题考查了因式分解-分组分解法，完全平方公式和平方差公式等知识点，注意：
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，a2-b2=(a+b)(a-b)．
21．整式乘法与多项式因式分解是既有联系又有区别的两种变形．
例如， 是单项式乘多项式的法则；把这个法则反过来，得到
，这是运用提取公因式法把多项式因式分解．
又如 、 是多项式的乘法公式；把这些公式
反过来，得到 、 ，这是运用公式法把多项
式因式分解．
有时在进行因式分解时，以上方法不能直接运用，观察甲、乙两名同学的进行的因式
分解．
甲：
（分成两组）
（分别提公因式）
乙：
（分成两组）
（运用公式）
请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解
问题一：因式分解：
（1） ；
20（2） ．
问题二：探究
对 、 定义一种新运算 ，规定： （其中 ， 均为非零
常数）．当 时， 对任意有理数 、 都成立，试探究 ， 的
数量关系．
【答案】问题一：因式分解：（1） （2） ；问题二：
探究 ， 的数量关系 ．
【分析】
问题一：因式分解：
（1）按系数成比分组 提公因式 再利用平分差公式
因式分解，最后整理为 即可；
（2）按完全平方公式分组 然然后利用公式变形为 再利用
平方差公式因式分解即可；
问题二：探究
先求 ，再求 ，由
，可得 ，合并同类项
，由 ，对任意有理数 、 都成立，可得 即可．
【详解】
解：问题一：因式分解：
（1） ；
= ，
= ，
= ，
21= ；
（2） ．
= ，
= ，
= ，
= ；
问题二：探究
，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，对任意有理数 、 都成立，
∴ ，
∴ ， 的数量关系 ．
【点睛】
本题考查分组因式分解的方法，新定义实数运算，利用因式分解与多项式乘法之间关
系，掌握分组因式分解的方法，利用因式分解与多项式乘法之间关系，构造恒等式找
出m与n关系是解题关键．
22．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 块，其中有 块是边长为 的
大正方形， 块是边长都为 的小正方形， 块是长为 ，宽为 的相同的小长
方形，且 ．
22（1）观察图形，可以发现代数式 可以因式分解为 ；
（2）若图中阴影部分的面积为 ，大长方形纸板的周长为 ．
①求 的值；
②求图中空白部分的面积．
【答案】（1） ；（2）① ，②
【分析】
（1）根据题意可知代数式 表示的是大长方形的面积，利用长方形的面
积公式即可解答；
（2）①：根据题目中的条件，列出大长方形的周长即可求解；②根据题意列出方程组，
求出 的值，表示出空白部分的面积的代数式求解即可．
【详解】
解：（1） 大长方形纸板按图中虚线裁剪成 块，其中有 块是边长为 的大正方
形， 块是边长都为 的小正方形， 块是长为 ，宽为 的相同的小长方形，
大长方形的面积为：（ ） ；
大长方形的长为 ，宽为 ，
，
故答案是： ；
（2）①根据大长方形的周长计算公式及由题意，得
解得： ；
23②由题意得 ，
，
解得： ，
空白部分的面积为： ．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，解题的关键是：仔细观察图形，找到面积关系及周长的
表示方法．
23．阅读下列材料：对于多项式x2＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x2＋x
﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另
一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x2＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）．又如：对于多
项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2有一个
因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于
是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）．
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当x＝ 时，多项式8x2﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x2﹣x﹣7有因式 ，
从而因式分解8x2﹣x﹣7＝ ；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝
试用试根法分解多项式：
①3x2＋11x＋10；
②x3﹣21x＋20
【答案】（1）1，x−1，（x−1）（8x＋7）；（2）①（x＋2）（3x＋5）；②（x-1）
（x-4）（x+5）．
【分析】
（1）仿照定义，当x＝1时确定8x2﹣x﹣7＝0，进而即可求解；
（2）①找到当x＝−2时，3x2＋11x＋10＝0，进而即可求解；②找到当x＝1时，x3﹣
21x＋20＝0，当x＝4时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝-5时，x3﹣21x＋20＝0，进而即可求
解．
【详解】
解：（1）当x＝1时，8x2﹣x﹣7＝0，
设8x2﹣x﹣7＝（x−1）（mx＋n），解得m＝8，n＝7，
∴因式分解8x2﹣x﹣7＝（x−1）（8x＋7），
24故答案为：1，x−1，（x−1）（8x＋7）；
（2）①当x＝−2时，3x2＋11x＋10＝0，
设3x2＋11x＋10＝（x+2）（mx＋n），解得m＝3，n＝5，
∴3x2＋11x＋10＝（x＋2）（3x＋5）；
②当x＝1时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝4时，x3﹣21x＋20＝0，当x＝-5时，x3﹣21x＋
20＝0，
∴x3﹣21x＋20=（x-1）（x-4）（x+5）．
【点睛】
本题考查多项式乘以多项式，因式分解；熟练掌握多项式与多项式，理解阅读材料的
方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键．
24．用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x＝﹣1，x＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0
1 2
（1）解题步骤正确的顺序是 ；
（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12
【答案】（1）②④①③；（2）x＝﹣5，x＝3
1 2
【分析】
（1）先移项，再利用十字相乘法将等式左边因式分解，继而得出两个一元一次方程，
解之即可得出答案；
（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x＋1）（x﹣6）＝0，
则x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x＝﹣1，x＝6，
1 2
故答案为：②④①③；
（2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
则（x＋5）（x﹣3）＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x＝﹣5，x＝3.
1 2
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直
接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法
25是解题的关键．
25．我们知道部分二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
部分二次四项式也可以用十字相乘法进行因式分解，如：
∴原式
用十字相乘法分解下列各式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】
（1）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（2）直接利用题目提供的方法进行因式分解即可；
（3）将原式变形为 ，再利用十字相乘法分解．
【详解】
解：（1）
∴
= ；
（2）
∴
= ；
（3）
=
26=
=
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，理解和掌握十字相乘法是正确进行因式分解的关键．
26．现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、
b的长方形C型纸片，小明用了部分纸片拼出图1，他根据几何图形的面积关系可以得
到一个等式： ．
（1）小明又拼出图2，请根据图2写出一个等式：_____________．
（2）小明同学接着用x张A型纸片，y张B型纸片，z张C型纸片拼出了一个面积为
的大长方形,那么 _______．
（3）最后小明同学又选取了2张A型纸片，6张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个
长方形，则此长方形的周长为_________．（用含a、b的代数式表示）
【答案】（1） = ；（2）60；（3）
【分析】
（1）用两种方法表示出大长方形的面积，可得等式；
（2）依据所拼图形的面积为： ，而 ，即
可得到x，y，z的值，相加即可；
27（3）根据所提供的的纸片画出图形，得到相应等式，可得长方形的长和宽，再计算周
长．
【详解】
解：（1）由图可知：
大长方形的面积表示为： ，
也可以表示为： ，
则等式为 = ；
（2）由题意得： ，
∴ ，
∴ ，
∴x+y+z=60；
（3）由题意可得：
，
∴该长方形的周长为 = ．
【点睛】
本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或
面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
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