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专题1.4 因式分解
知识归纳
1、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、因式分解的常用方法
ab+ac=a(b+c)
（1）提公因式法：
a2 −b2 =(a+b)(a−b) a2 +2ab+b2 =(a+b) 2 a2 −2ab+b2 =(a−b) 2
（2）运用公式法：
ac+ad+bc+bd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
（3）分组分解法：
a2 +(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
（4）十字相乘法：
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法
分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组
分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
1．（2020•金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号
相反进行分析即可．
【解析】A、a2+b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
B、2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；
C、a2﹣b2能运用平方差公式分解，故此选项正确；
D、﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故此选项错误；故选：C．
2．（2020广东）分解因式：xy﹣x=____________．
【分析】直接利用提公因式法分解因式即可
【解答】解：原式=xy﹣x=x(y-1)
故答案为：x（y-1）
3．（2020•绥化）因式分解：m3n2﹣m＝ ．
【分析】直接提取公因式m，再利用公式法分解因式得出答案．
【解析】m3n2﹣m＝m（m2n2﹣1）
＝m（mn+1）（mn﹣1）．
故答案为：m（mn+1）（mn﹣1）．
4．（2020•哈尔滨）把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是 ．
【分析】直接提取公因式n，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】原式＝n（m2+6m+9）
＝n（m+3）2．
故答案为：n（m+3）2．
5．（2020•济宁）分解因式a3﹣4a的结果是 ．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解析】原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）．
6．（2020•聊城）因式分解：x（x﹣2）﹣x+2＝ ．
【分析】利用提取公因式法因式分解即可．
【解析】原式＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣1）．
7．（2020•无锡）因式分解：ab2﹣2ab+a＝ ．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
【解析】原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
8．（2019•深圳）分解因式：ab2﹣a＝ ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解析】原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣1）
9．（2020•新疆）分解因式：am2﹣an2＝ ．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解析】原式＝a（m2﹣n2）＝a（m+n）（m﹣n），
故答案为：a（m+n）（m﹣n）
10．（2020•自贡）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝ ．
【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解析】3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2．
故答案为：3（a﹣b）2．
11．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）
（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ．
【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此
得到两个关于x的方程求解可得．
【解析】∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1±❑√2，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+❑√2或x＝﹣1−❑√2．
12．有一种用“分解因式”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式 ，分解因式的结果
是
，若取 ， ，则各个因式的值是： ， ，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式 ，取 ，
时，用上述方法产生的密码是：________ 写出一个即可 ．
【解析】对多项式利用提公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后把 的数值代入计算
即可确定得密码．
解： ，
∵取 ， 时，
则各个因式的值是： ， ， ，
∴产生的密码是：103010（不唯一）．
故答案为：103010．
13．（1）现 在的“互联网 +”时代，密码与我们的生活己经密不可分，有一种用“因式分解”法产生的
密码，方便记忆，其原理是：利用多项式的分解因式结果，
如，将多项式 因式分解，当其结果写成 时，如x=18时，
，此时可以得到数字密码171920．
根据上式方法，当x=21，y=7时，对于多项式 分解因式后可以形成那些数字密码？（请写出三
组）
（2） 可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数．
【解答】
当 x=21，y=7 时，x−y=14，x+y=28
可得数字密码是 211428；也可以是 212814；142128；
(2) 248−1＝（224＋1）（224−1），
＝（224＋1）（212＋1）（212−1），
＝（224＋1）（212＋1）（26＋1）（26−1）；
∵26＝64，∴26−1＝63，26＋1＝65，
∴这两个数是65、63．
