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八年级数学上学期第一次月考·拔尖卷
【华东师大版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．（3 分）（24-25 八年级上·安徽阜阳·期末）若x
2+ax +16在整数范围内可以进行因式分解，则常数a 的
值有（ ）个
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16 的正确进行质因数分解，是解题的
关键．
利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】解：根据“十字相乘法”得，
16=1×16，此时a=1+16=17；
16=−1×(−16)，此时a=−1−16=−17；
16=2×8，此时a=2+8=10；
16=−2×(−8)，此时a=−2−8=−10；
16= 4×4，此时a= 4 + 4 =8；
16=−4×(−4)，此时a=−4−4 =−8；
∴a的值一共有6 个，
故选：C．
2．（3 分）（24-25 七年级下·广西百色·期中）若M =(x−2)(x−3)，N =(x−1)(x−4)，则M与N的大小
关系为（ ）
A．M < N
B．M = N
C．M > N
D．由x的取值而定
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式以及作差法比较代数式的大小，熟练掌握多项式乘多项式的运算
法则是解题的关键．
本题可通过计算M −N的值，根据其正负性来判断M与N的大小关系．需要先分别展开M和N的表达式，
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然后作差，再对差进行化简，最后根据化简结果判断大小．
【详解】解：∵M =(x−2)(x−3)，N =(x−1)(x−4)，
∴M −N =(x−2)(x−3)−(x−1)(x−4)
=(x
2−3 x−2 x +6)−(x
2−4 x−x + 4)
=(x
2−5 x +6)−(x
2−5 x + 4)
= x
2−5 x +6−x
2+5 x−4
=2，
因为M −N =2>0，即M −N >0，
所以M > N ．
故选：C．
3．（3 分）（24-25 七年级下·重庆渝北·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
n
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
⋯
❑√n 0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
⋯
根据以上规律，若❑√1.71≈1.31，❑√17.1≈4.14，则❑√1710≈（ ）
A．41.4
B．13.1
C．414
D．131
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的
小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可．
【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相
应的向相同方向移动一位．
∵❑√17.1≈4.14，
∴❑√1710≈41.4，
故选：A．
4．（3 分）（24-25 八年级上·江苏南通·阶段练习）已知a
2(b+c)=b
2(a+c)=2024，且a≠b，则abc的值
为（ ）
A．−2024
B．2024
C．−4048
D．4048
【答案】A
【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键．先将式子整理变形得
(a−b)(ab+ac +bc)=0，进而得出ab+ac +bc =0，即ab+bc =−ac，再将b
2(a+c)=2024展开，最后整
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理代入即可得出答案．
【详解】解：∵a
2(b+c)=b
2(a+c)=2024，
∴a
2b+a
2c−ab
2−b
2c =0，
整理，得ab(a−b)+c(a
2−b
2)=0，
则ab(a−b)+c (a+b)(a−b)=0，
即(a−b)(ab+ac +bc)=0，
∵a≠b，
∴ab+ac+bc =0，
即ab+bc =−ac，
由b
2(a+c)=2024，得b(ab+bc)=2024，
∴−abc =2024，
∴abc =−2024．
故选：A．
5．（3 分）（24-25 八年级上·河北保定·期末）如图，是嘉琪同学做的练习题，他的得分是（ ）
填空（每道题20 分）
（1）
❑√2
2 的倒数是❑√2；
（2）|−❑√3)= ❑√3；
（3）❑√64
2=64；
（4）(
3√27)
3=3；
（5）图中点A表示的实数是−❑√5
A．100 分
B．80 分
C．60 分
D．40 分
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根、立方根、二次根式的计算、实数与数轴、勾股定理，熟练掌握相关知识
点是解题的关键．根据算术平方根、立方根、二次根式的计算、实数与数轴、勾股定理等知识点，对每一
道练习题分析判断即可．
【详解】解：（1）
❑√2
2 的倒数是2
❑√2 = ❑√2，正确；
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（2）|−❑√3)= ❑√3，正确；
（3）❑√64
2=64，正确；
（4）(
3√27)
3=27，错误；
（5）由图可得，OA =
❑√2
2+1
2= ❑√5，点A表示的实数是−❑√5，正确；
∴综上所述，有4 道题是正确的，得分是20×4 =80（分）．
故选：B．
6．（3 分）（24-25 八年级上·吉林·期中）若x
2−(m+1)x + 49是完全平方式，则m 的值是（ ）
A．13 或−15
B．13
C．−8
D．6 或−8
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据完全平方式的结构特征，列出关于m的方程，解方程求出
m即可．解题关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．
【详解】解：∵x
2−(m+1)x + 49是完全平方式，± ❑√49=±7，
∴−(m+1)=±14，
即m+1=−14或m+1=14，
解得：m=13或−15，
故选：A．
7．（3 分）（24-25 八年级上·四川内江·期末）已知a=81
31，b=27
41，c =9
61，则a，b，c的大小关系是
（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．a<b<c
D．b>c>a
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断．
【详解】解：∵a=81
31=(3
4)
31=3
124，b=27
41=(3
3)
41=3
123，c =9
61=(3
2)
61=3
122，
∵124>123>122，
∴3
124>3
123>3
122，
∴a>b>c．
故选：A．
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8．（3 分）（24-25 七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方
体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的体积为24cm
3，由此可估计该正
方体铁块的棱长介于（ ）
A．2cm和3cm之间
B．3cm和4cm之间
C．4cm和5cm之间
D．5cm和6cm之间
【答案】A
【分析】本题考查正方体的体积，立方根的应用，无理数的估算，掌握夹逼法是解题的关键．根据正方体
的体积等于溢出的水的体积建立方程，求出方程的解后用夹逼法估算即可．
【详解】解：设该正方体铁块的棱长为xcm，
由题意得：x
3=24，
解得x =
3√24，
∵ 3√8<
3√24<
3√27，
∴ 2<
3√24<3，
即该正方体铁块的棱长介于2cm和3cm之间，
故选A．
9．（3 分）（24-25 七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c 的正方形纸片A，B，C，
将三张纸片按图1，图2 两种不同方式放置于同一长方形中．记图1 中阴影部分周长为部分周长为l1，面积
为S1；图2 中阴影部分周长为l2，面积为S2，若(
l2−l1
2 )
2
=3(S2−S1)，则b 与c 满足的关系为（ ）
A．3b=5c
B．b=2c
C．3b=7 c
D．6b=7
【答案】C
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【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含a，b，c的代数式表示出l1、l2和S1、S2
是解题关键．用含a，b，c的代数式表示出图1、图2 中阴影部分的周长和面积，可得l2−l1
2
=2c、
S2−S1=bc−c
2，代入(
l2−l1
2 )
2
=3(S2−S1)，进行计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，得：长方形的长为a+b，宽为a+c，
则l1=2[c +(a+b−c))+2(a−b)= 4 a，l2=2a+2c +2b+2(a+c−b)= 4 a+ 4 c，
S1=(a+b)(a+c)−a
2−b
2−c
2=ab+ac +bc−b
2−c
2，
S2=b(a+c−b)+c (a−c)+c (b−c)=ab+2bc +ac−b
2−2c
2，
∴ l2−l1
2
=2c，S2−S1=bc−c
2，
∵ (
l2−l1
2 )
2
=3(S2−S1)，
∴ (2c)
2=3(bc−c
2)
∴4 c
2=3bc−3c
2
∴7 c
2=3bc，
解得：7c =3b，
故选：C．
10．（3 分）（24-25 九年级上·重庆涪陵·期中）有n 个依次排列的整式，第一个整式为9 x
2，第二个整式为
9 x
2+6 x +1，第二个整式减去第一个整式的差记为a1，将a1+2记为a2，将第二个整式加上a2作为第三个
整式，将a2+2记为a3，将第三个整式与a3相加记为第四个整式，以此类推．以下结论正确的个数是（ ）
①a3=6 x +5；
②若第三个整式与第二个整式的差为21，则x =−3；
③第2024 个整式为(3 x +2023)
2；
④当n=50时，a1+a2+…a50=300 x +2500．
A．1
B．2
C．3
D．4
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【答案】C
【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解，理解题意找到规律进行计算是解题的关键．根据题意，
先求出a1、a2、a3……，找到规律表示出an的代数式，再求出前几个整式，找到规律表示出第n个整式，
再对题目中的结论逐一分析判断即可．
【详解】解：由题意得，a1=9 x
2+6 x +1−9 x
2=6 x +1=6 x +2×1−1，
a2=a1+2=6 x +3=6 x +2×2−1，
a3=a2+2=6 x +5=6 x +2×3−1，故①正确；
∴以此类推，an=6 x +2n−1，
∴a1+a2+…a50=6 x⋅50+2×(1+2+...+50)−50=300 x +2500，故④正确；
第一个整式为9 x
2=(3 x)
2，
第二个整式为9 x
2+6 x +1=(3 x +1)
2，
第三个整式为9 x
2+6 x +1+a2=9 x
2+12 x + 4 =(3 x +2)
2，
第四个整式为9 x
2+12 x + 4+a3=9 x
2+18 x +9=(3 x +3)
2，……
∴以此类推，第n个整式为(3 x +n−1)
2，
∴第2024 个整式为(3 x +2023)
2，故③正确；
∵第三个整式与第二个整式的差为a2，
∴a2=6 x +3=21，
解得：x =3，故②错误；
∴综上所述，结论正确的有①③④，共3 个．
故选：C．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．（3 分）（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）分解因式：x
2−2ax +a
2−16= ．
【答案】( x−a+ 4)( x−a−4)
【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，原式前三项结合后，利用完全平方公式分解，再利用平方差公
式分解即可．
【详解】解：x
2−2ax +a
2−16
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=(x
2−2ax +a
2)−16
=(x−a)
2−4
2
=( x−a+ 4)( x−a−4)．
故答案为：( x−a+ 4)( x−a−4)．
12．（3 分）已知a−b=3,b−c =−4，则代数式a
2−ac−b(a−c)的值为 ．
【答案】−3
【分析】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先
通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a−c与已知不符合，
因此要对已知的两式进行变形，再代入．先分解因式，再将已知的a−b=3，b−c =−4，两式相加得：
a−c =−1，整体代入即可．
【详解】解：a
2−ac−b(a−c)
=a(a−c)−b(a−c)
=(a−c)(a−b)，
∵a−b=3，b−c =−4，
∴a−c =−1，
当a−b=3，a−c =−1时，原式=3×(−1)=−3，
故答案为：−3．
13．（3 分）（24-25 七年级下·四川绵阳·期中）将1，❑√2，❑√3，❑√6按如图方式排列，若规定(m,n)表示
第m排从左向右第n个数，则(5,4)与(12,4)表示的两数之差是 .
【答案】0
【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键．
根据数的排列方法可知，第一排：1 个数，第二排2 个数．第三排3 个数，第四排4 个数，…第m排有m个
数，从第一排到m排共有：1+2+3+ 4 +…+m= m(m+1)
2
个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，
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根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1 个数，第二排2 个数．第三排3 个数，第四排4 个数，…
第m排有m个数，从第一排到m排共有：1+2+3+ 4 +…+m= m(m+1)
2
个数，根据数的排列方法，每四个
数一个轮回，
(5,4)表示第5 排从左向右第4 个数是❑√2，
∵前11 排共有1+2+3+ 4+…+11= 11×(11+1)
2
=66 (个)数，
∴ (12,4)表示第12 排第4 个数即第70 个数，
∵70÷ 4 =17⋯2，
∴ (12,4)表示的数是❑√2，
∴ (5,4)与(12,4)表示的两数之差是❑√2−❑√2=0，
故答案为：0．
14．（3 分）（24-25 七年级下·四川巴中·阶段练习）已知a= 1
99 x +2025，b= 1
99 x +2024，
c = 1
99 x +2026，则代数式a
2+b
2+c
2−ab−bc−ac的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据代数式的形式，构造出完全平方公式进行计算即可，掌握分解
因式的应用，把原多项式扩大2 倍得完全平方式是解题关键．
【详解】解：∵ a= 1
99 x +2025，b= 1
99 x +2024，c = 1
99 x +2026，
∴a−b=1，b−c =−2，a−c =−1，
∴a
2+b
2+c
2−ab−bc−ac
= 1
2 (2a
2+2b
2+2c
2−2ab−2bc−2ac)
= 1
2 [(a−b)
2+(b−c)
2+(a−c)
2)
∵a−b=1，b−c =−2，a−c =−1，
∴原式= 1
2 ×[1
2+(−2)
2+(−1)
2)
= 1
2 ×6
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=3．
故答案为：3．
15．（3 分）已知a、b、c在数轴上的位置如图，化简：❑√a
2−|a+b|+
❑√(c−a+b)
2−|b−c|+
3√b
3=
．
【答案】4 b−a
【分析】先根据数轴的性质可得a<b<0<c，从而可得a+b<0,b−c<0,c−a+b>0，再计算算术平方根
与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．
【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c，
∴a+b<0，b−a>0，b−c<0，
∴c−a+b>0，
∴
❑√a
2−|a+b)+
❑√(c−a+b)
2−|b−c)+
3√b
3
=−a−[−(a+b))+(c−a+b)−(c−b)+b
=−a+a+b+c−a+b−c +b+b
= 4 b−a，
故答案为：4 b−a．
【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题
关键．
16．（3 分）（24-25 七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知x
2=m，x
3=n，请你
用含m，n 的代数式表示x
11．
解：因为知x
2=m，x
3=n，所以x
11= x
2⋅(x
3)
3=mn
3．
（1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：x
11=(x
2)
4⋅x
3= ；
（2）解决问题：若a= 4
5，b=5
4，试用含a，b 的代数式表示20
20= ．
【答案】 m
4n a
4b
5
【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用运算法则进行运算即可；
（2）利用积的乘方公式运算求解即可．
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【详解】解：（1）∵x
2=m，x
3=n，
∴x
11=(x
2)
4⋅x
3=m
4n；
故答案为：m
4n；
（2）∵a= 4
5，b=5
4，
∴20
20=(4×5)
20= 4
20×5
20=(4
5)
4×(5
4)
5=a
4b
5，
故答案为：a
4b
5．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8 小题，满分72 分）
17．（6 分）（1）已知m=
b−1√a+ 4是a+ 4的算术平方根，n=
a−2√3b−1是3b−1的立方根，求m−2n的
立方根．
（2）若m= ❑√1−a+ ❑√a−1+1，n的算术平方根是5，求3n+6m的平方根．
【答案】（1）−1；（2）±9
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是：
（1）由算术平方根和立方根的定义可求出a=5，b=3，即得出m=3，n=2，，代入m−2n中求值，再求
其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出a=1，由算术平方根的定义可求出n=25，代入3n+6m中求值，再求
其平方根即可．
【详解】解：（1）∵m=
b−1√a+ 4是a+ 4的算术平方根，n=
a−2√3b−1是3b−1的立方根，
∴b−1=2，a−2=3，
∴b=3，a=5，
∴m= ❑√5+ 4 =3，n=
3√3×3−1=2，
∴m−2n的立方根为3√3−2×2=
3√−1=−1；
（2）根据题意得{
1−a≥0
a−1≥0)，
∴a=1，
∴m=1
∵n 的算术平方根是5，
∴n=25，
∴3n+6m的平方根为± ❑√3×25+6×1=± ❑√81=±9．
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18．（6 分）对任意一个正整数m，如果m=k (k +1)，其中k 是正整数，则称m 为“矩数”，k 为m 的最
佳拆分点．
(1)请判断110，1560 为“矩数”吗？如果是，请求出最佳拆分点，如果不是，请说明理由．
(2)把“矩数”p 与“矩数”q 的差记为D ( p,q)，其中p>q，D ( p,q)>0．若“矩数”p 的最佳拆分点为
t，“矩数”q 的最佳拆分点为s．当D ( p,q)=8时，求s
t 的最大值．
【答案】(1)110 是“矩数”，10 为110 的最佳拆分点；1560 是“矩数”，39 为1560 的最佳拆分点
(2)3
4
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟记因式分解的方法是解题的关键．
（1）进行因式分解，整理成符合题意的形式即可；
（2）根据题意列出方程，得到方程组从而得到结论．
【详解】（1）解：∵110=10×(10+1)，
110
∴
是“矩数”，10 为110 的最佳拆分点；
∵1560=39×(39+1)，
1560
∴
是“矩数”，39 为1560 的最佳拆分点；
（2）解：根据题意可得：p=t(t +1)，q = s(s+1)，
D( p,q)=t(t +1)−s(s+1)=8，
即t
2+t −s
2−s=8，且t，s 均为正整数，t >s，
∴(t + s)(t −s)+(t −s)=8，即(t −s)(t + s+1)=8，且t，s 均为正整数，t >s，
∴t −s与t + s+1也是正整数，且t + s+1>t −s，
∵8=1×8=2×4，
∴& & ¿
¿
或¿
解得：¿或¿．
因为t，s 是正整数，
∴符合条件的是：¿．
所以s
t 的最大值为3
4 ．
19．（8 分）（24-25 七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（|x)<25）
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(1)当输入的x 为−14时，输出的y 值是______；
(2)若输入实数x 后，始终输不出y 值，则所有满足要求的x 的值为______；
(3)若输出的y 是❑√5，求x 的负整数值．
【答案】(1)❑√2；
(2)1，2，3；
(3)−3或−23．
【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键．
（1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可；
（2）根据0 和1 的算术平方根是它本身，确定|x−2)的值，进而求得x的值即可；
（3）由y是❑√5逆推|x−2)的值，进而求得x的值即可．
【详解】（1）解：当x =−14时，|x−2)=|−14−2)=16，❑√16= 4，❑√4 =2，❑√2是无理数，
∴ 当输入的x为−14时，输出的y值是❑√2；
故答案为：❑√2；
（2）∵ 0 和1 的算术平方根是它本身，
∴|x−2)=0，
解得x =2，
∵ |x−2)=1，
解得x =3或x =1，
∴ 所有满足要求的x的值为1，2，3；
故答案为：1，2，3；
（3）若第1 次运算是❑√5，
∴(❑√5)
2=5，
∴|x−2)=5，
解得x =7或x =−3，
∵ x为负整数，
∴ 输入的x值为−3；
若第2 次运算是❑√5，
∴(❑√5)
2=5，5
2=25，
∴|x−2)=25，
解得x =27或x =−23，
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∵ x为负整数，
∴ 输入的x值为−23，
∴|x)<25，
∴x的负整数值均为−3或−23．
20．（8 分）（24-25 八年级下·辽宁阜新·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称
这个正整数为“完美数”．例如：12= 4
2−2
2，20=6
2−4
2，28=8
2−6
2；则12、20、28 这三个数都是完
美数．
(1)按照上述规律，将完美数2028 表示成两个连续偶数的平方差形式（直接写出）；
(2)证明：任意一个完美数都能够被4 整除；
(3)如图所示，拼叠的正方形边长是从2 开始的连续偶数．．．．．．，按此规律拼叠到正方形ABCD，其
边长为28，求阴影部分的总面积．
【答案】(1)2028=508
2−506
2
(2)见解析
(3)420
【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用等知识，解题的关键是：
（1）把2028写成508和506的平方差即可；
（2）设两个连续的偶数为2n、2(n+1)，n 为正整数，根据完美数写出该数，然后根据平方差计算计算得
出4 (2n+1)，最后根据整除的定义即可得证；
（3）结合图形可得出阴影部分的面积为4
2−2
2+8
2−6
2+⋯28
2−26
2，然后根据平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：2028=508
2−506
2；
（2）证明：设两个连续的偶数为2n、2(n+1)，n 为正整数，则完美数为[2(n+1))
2−(2n)
2，
∴[2(n+1))
2−(2n)
2
=[2(n+1)−2n)[2(n+1)+2n)
=2×(4 n+2)
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= 4 (2n+1)，
∵n 为正整数，
∴2n+1为奇数，
∴4 (2n+1)能被4 整除，
即任意一个完美数都能够被4 整除；
（3）解：根据题意，得4
2−2
2+8
2−6
2+⋯28
2−26
2
=(4−2)(4 +2)+(8−6)(8+6)+⋯+(28−26)(28+6)
=2(4+2)+2(8+6)+⋯+2(28+6)
=2(2+ 4 +6+8+⋯+26+28)
=2× 14×(2+28)
2
= 420．
21．（10 分）（24-25 七年级下·山东济南·期末）当3
a=15，5
b=15时，试说明a+b=ab．
小明做如下尝试：
∵3
a=15，5
b=15，
∴3
ab=（①______）❑
b=15
b
，
5
ab=（②______）❑
a=15
a，
∴3
ab⋅5
ab=（③______）
⋅15
a
∴……
小丽做如下尝试：
∵3
a=15，5
b=15，
∴3
a−1=④______，5
b−1=⑤______，
∴(3
a−1)
(⑥______)=3
∴……
(1)阅读上述材料并填空；
(2)继续完成小明与小丽的说理．
【答案】(1)①3
a；②5
b；③15
b；④5；⑤3；⑥b−1
(2)见解析
【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，灵活运用幂的运算法则是解题的关键；
（1）根据根据小明与小丽的尝试，利用幂的运算性质即可完成；
（2）根据两人的尝试继续完成即可．
【详解】（1）解：小明的尝试：
∵3
a=15，5
b=15，
∴3
ab=(3
a)
b=15
b，5
ab=(5
b)
a=15
a，
∴3
ab⋅5
ab=15
b⋅15
a=15
a+b；
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小丽的尝试：
∵3
a=15，5
b=15，
∴3
a−1=5，5
b−1=3，
∴(3
a−1)
(b−1)=3，
故答案为：①3
a；②5
b；③15
b；④5；⑤3；⑥b−1；
（2）解：小明的证明：
∵3
a=15，5
b=15，
∴3
ab=(3
a)
b=15
b，5
ab=(5
b)
a=15
a，
∴3
ab⋅5
ab=15
b⋅15
a=15
a+b；
即15
ab=15
a+b，
∴a+b=ab；
小丽的证明：
∵3
a=15=3×5，5
b=15=5×3，
∴3
a−1=5，5
b−1=3，
∴(3
a−1)
(b−1)=3，
即3
(a−1)(b−1)=3，
∴(a−1)(b−1)=1，
整理得：a+b=ab．
22．（10 分）阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解
法，拆项法，配方法等．一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题．
例如：分解因式x3
4
﹣x2+x+6．步骤：
解：原式＝x3
3
﹣x2﹣x2+x+6 第1 步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3
3
﹣x2）﹣（x2﹣x
6
﹣）第2 步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x
3
﹣）﹣（x+2）（x
3
﹣）第3 步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x
3
﹣）（x2﹣x
2
﹣）第4 步：提公因式法（整体）；
＝（x
3
﹣）（x
2
﹣）（x+1）第5 步：十字相乘法：最后结果分解彻底．
（1）请你试一试分解因式x3
7
﹣x+6．
（2）请你试一试在实数范围内分解因式x4
5
﹣x2+6．
【答案】（1）（x
1
﹣）（x+3）（x
2
﹣）；（2）(x + ❑√2)(x−❑√2)(x + ❑√3)(x−❑√3)
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【分析】（1）将﹣7x 拆分为﹣x
6
﹣x，分组后分别提公因式，可得出答案；
（2）直接利用十字相乘法分解因式，再利用平方差公式得出答案．
【详解】（1）x3
7
﹣x+6
＝x3﹣x
6
﹣x+6
＝x（x2
1
﹣）﹣6（x
1
﹣）
＝x（x
1
﹣）（x+1）﹣6（x
1
﹣）
＝（x
1
﹣）（x2+x
6
﹣）
＝（x
1
﹣）（x+3）（x
2
﹣）；
（2）x4
5
﹣x2+6
＝（x2
2
﹣）（x2
3
﹣）
＝（x+❑√2）（x﹣❑√2）（x+❑√3）（x﹣❑√3）．
【点睛】本题主要考查学生因式分解的知识及学以致用的能力，掌握因式分解结合题意并灵活运用是解题
的关键．
23．（12 分）（24-25 七年级下·福建南平·期末）小李同学探索❑√83的近似值的过程如下：
∵面积为83 的正方形的边长是❑√83，且9<❑√83<10，
∴设❑√83=9+ x，其中0< x<1；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
S正方形=81+9 x +9 x + x
2
=81+18 x + x
2
又∵S正方形=83，
∴81+18 x + x
2=83
当0< x<1时，假设忽略x
2不计，得81+18 x ≈83，解得x ≈0.11，即❑√83≈9.11．
(1)填空：❑√127的整数部分的值为 ；
(2)类比上述方法，探究❑√127的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求
解过程）
【答案】(1)11
(2)11.27
【分析】本题考查了无理数的估算和实数混合运算的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题
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的关键；
（1）利用夹逼法求解即可；
（2）仿照题干中的解题思路解答即可．
【详解】（1）解：∵11
2=121<127<144 =12
2，
∴11<❑√127<12，
∴❑√127的整数部分的值为11；
故答案为：11；
（2）解：∵面积为127 的正方形的边长是❑√127，且11<❑√127<12，
∴设❑√127 =11+ x，其中0< x<1；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
S正方形=121+11 x +11 x + x
2
=121+22 x + x
2
又∵S正方形=127，
∴121+22 x + x
2=127
当0< x<1时，假设忽略x
2不计，得121+22 x ≈127，
解得x ≈0.27，
即❑√127≈11.27．
24．（12 分）（24-25 八年级上·辽宁大连·期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1 的三种纸片，A
种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为b，宽为a 的长方形．并用A
种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2 的大正方形．利用图2 正方形面积的不同表示方
法，可以验证公式：(a+b)
2=a
2+2ab+b
2．
(1)类似的，请你用图1 中的三种纸片拼一个图形验证：(a+b)(a+2b)=a
2+3ab+2b
2，请画出图形；
(2)已知a+b=5，a
2+b
2=13，求ab的值；
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(3)已知(2025−a)
2+(a−2024)
2= 4053，求(2025−a)(a−2024)的值；
(4)已知(a−2024)
2+(a−2026)
2=64，求(a−2025)
2的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
(3)−2026
(4)31
【分析】本题主要考查完全平方式、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景．
（1）根据(a+b)(a+2b)=a
2+3ab+2b
2，画出宽为(a+b)，长为(a+2b)的长方形即可；
（2）根据完全平方公式变形可得出答案；
（3）设2025−a= x，a−2024 = y，则x + y =1，再由完全平方公式变形可得出答案；
（4）设a−2024 = x，a−2026= y，则x−y =2，再由已知得x
2+ y
2=64，再由完全平方公式变形可得出
xy =−2026，再将(a−2025)
2变形为(a−2024−1)(a−2026+1)，将a−2024 = x，a−20226= y代入求
解即可．
【详解】（1）解：如图，可以验证：(a+b)(a+2b)=a
2+3ab+2b
2；
（2）解：∵(a+b)
2=a
2+b
2+2ab，
∴2ab=(a+b)
2−(a
2+b
2)，
∴ab= (a+b)
2−(a
2+b
2)
2
，
又∵a+b=5，a
2+b
2=13，
∴ab= 5
2−13
2
=6；
（3）解：设2025−a= x，a−2024 = y，则x + y =1，
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∵(2025−a)
2+(a−2024)
2= 4053，
∴x
2+ y
2= 4053，
∵( x + y)
2= x
2+2 xy + y
2，
∴xy = ( x + y)
2−(x
2+ y
2)
2
= 1−4053
2
=−2026，
即(2025−a)(a−2024)= xy =−2026；
（4）解：设a−2024 = x，a−2026= y，则x−y =2，
∵(a−2024)
2+(a−2026)
2=64，
∴x
2+ y
2=64，
∵( x −y )
2= x
2−2 xy + y
2，
∴xy = (x
2+ y
2)−( x−y)
2
2
= 64−2
2
2
=30，
∵x−y =2，
∴(a−2025)
2=(a−2025)(a−2025)
=(a−2024−1)(a−2026+1)
=(x−1)( y +1)
= xy + x−y −1
=30+2−1
=31．
