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八年级数学上学期第一次月考·培优卷
【华东师大版2024】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分）
1．（3 分）在实数：−❑√2，3.14159，3√27，π，1.010010001…，1
3中，无理数有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】A
【分析】本题考查了立方根和算术平方根，无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：π，1
2 π等、开
方开不尽的数、0.1010010001⋯等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关
键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案．
【详解】解：3√27 =3，
无理数有−❑√2，π，1.010010001…，
∴无理数有3 个，
故选：A．
2．（3 分）（24-25 七年级下·广西百色·期末）运算结果为a
5的是（ ）
A．a
3⋅a
2
B．a
7−a
2
C．a
10÷ a
2
D．(a
3)
2
【答案】A
【分析】本题主要考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘除法等运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题．
【详解】解：
A、a
3⋅a
2，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得a
3⋅a
2=a
3+2=a
5，符合题意；
B、a
7与a
2不是同类项，不能合并，不符合题意；
C、a
10÷ a
2，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得a
10÷ a
2=a
10−2=a
8，不符合题意；
D、(a
3)
2，根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得(a
3)
2=a
3×2=a
6，不符合题意；
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故选：A．
3．（3 分）多项式x
2−9与多项式x
2+6 x +9的公因式是（ ）
A．x +3
B．x−3
C．( x +3)
2
D．( x−3)
2
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，公因式，掌握知识是解题的关键．
先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，再确定两个多项式的公因式即可．
【详解】解：∵x
2−9=( x +3)( x−3)，x
2+6 x +9=( x +3)
2，
∴多项式x
2−9与多项式x
2+6 x +9的公因式是x +3．
故选A．
4．（3 分）（24-25 七年级下·黑龙江七台河·期末）下列各式计算错误的是（ ）
A．± ❑√64 =±8
B．−
❑√(−5)
2=−5
C．3√−216=−6
D．❑√−121
225 =−11
15
【答案】D
【分析】本题考查平方根及立方根，熟练掌握相关性质及定义是解题的关键．利用平方根及立方根的定义
逐项判断即可．
【详解】解：A．± ❑√64 =±8，则不符合题意，
B．−
❑√(−5)
2=−❑√25=−5
，则不符合题意，
C．3√−216=
3√−6
3=−6
，则不符合题意，
D．❑√−121
225
无意义，则符合题意，
故选：D．
5．（3 分）（24-25 七年级下·陕西咸阳·期中）若(3m+n)(3m−n)=18，则18m
2−2n
2的值为（ ）
A．36
B．24
C．18
D．9
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题关键．利用平方差公式可得9m
2−n
2=18，
再代入计算即可得．
【详解】解：∵(3m+n)(3m−n)=18，
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∴9m
2−n
2=18，
∴18m
2−2n
2=2(9m
2−n
2)=36，
故选：A．
6．（3 分）（24-25 七年级下·陕西西安·期末）若a
m+2b
2n+1⋅a
2mb
n−2=a
5b
8，则n
−m的值为（ ）
A．1
3
B．3
C．−3
D．−1
3
【答案】A
【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于
m，n 的方程，求出m,n的值，代入n
−m即可求出结果．
【详解】解：∵a
m+2b
2n+1·a
2mb
n−2=a
m+2+2mb
2n+1+n−2=a
3m+2b
3n−1=a
5b
8，
∴3m+2=5， 3n−1=8，
∴m=1，n=3，
∴n
−m=3
−1= 1
3
．
故选：A．
7．（3 分）如图，数轴上表示2，❑√5的点分别为点C，点B，点C 是线段AB的中点，则点A 表示的数
（ ）
A．−❑√5
B．2−❑√5
C．❑√5−2
D．4−❑√5
【答案】D
【分析】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式．数轴上的点与实数一一对应，根据C 是线段
AB的中点，可得CB =CA，用C 点表示的数减去CB的距离，可得A 点表示的数．
【详解】解：∵点C 是线段AB的中点，
∴CB =CA = ❑√5−2，
∴点A 表示的数是：2−(❑√5−2)= 4−❑√5
，
故选：D．
8．（3 分）已知：a(a−1)−(a
2−b)=−5，求：代数式a
2+b
2
2
−ab的值为（ ）
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A．−5
B．5
C．25
2
D．25
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简和求值的应用，用了整体代入得思想，熟练掌握运算法则
是关键．先根据已知进行计算得出b−a=−5，再把所求的代数式化简得(b−a)
2
2
，最后代入求出即可．
【详解】解：∵a(a−1)−(a
2−b)=−5，
∴a
2−a−a
2+b=−5，
∴b−a=−5，
∴ a
2+b
2
2
−ab
= a
2+b
2−2ab
2
= (b−a)
2
2
= (−5)
2
2
= 25
2
．
故选：C．
9．（3 分）（24-25 七年级下·浙江温州·期中）如图1，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方
形，并按图2、3两种方式放置在正方形ABCD内．记图2中阴影部分面积为S1，图3中阴影部分面积分别
为S2，S3，若S1+ S2= 4，则S3的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各图形面积间的关系，用含m，n的代数式表示出S1
，S2，S3是解题的关键．
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设正方形ABCD的边长为m，正方形①的边长为n，则长方形②的长为n，宽为(m−n)，根据各图形的放
置方式，可用含m，n的代数式表示出S1，S2，S3，结合S1+ S2= 4，可得出mn−n
2= 4，再将其代入
S3=2(mn−n
2)中，即可求出结论．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为m，正方形①的边长为n，则长方形②的长为n，宽为(m−n)，
∴S1=(m−n)
2，S2=n(m−n)−(m−n)
2，S3=m
2−n
2−(m−n)
2．
∵S1+ S2= 4，
∴S1+ S2=(m−n)
2+n(m−n)−(m−n)
2，
=m
2−2mn+n
2+mn−n
2−m
2+2mn−n
2
=mn−n
2，
∴mn−n
2= 4
∴S3=m
2−n
2−(m−n)
2=2mn−2n
2=2(mn−n
2)=2×4 =8．
故选：B．
10．（3 分）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行
分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式
的方法叫做分组分解法．例如：m
2+n
2−2mn+n−m=(m
2−2mn+n
2)
−(m−n)=(m−n)
2−(m−n)=(m−n)(m−n−1)，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c 是△ABC
的三边，且满足a
2−b
2+ac−bc =0，则△ABC 的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为0，得出边长关系即可．
【详解】解：由题意：a
2−b
2+ac−bc =(a+b)(a−b)+c (a−b)=(a−b)(a+b+c)
∵a
2−b
2+ac−bc =0，
∴(a−b)(a+b+c)=0，
∵a、b、c 是△ABC 的三边，
∴a+b+c≠0，
∴a−b=0，即：a=b，
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∴△ABC 的形状是等腰三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解的实际应用，掌握材料介绍的因式分解方法，并且理解多个因数乘积为0 时的
情况是解题关键．
二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）
11．（3 分）a是9的算术平方根，b是8立方根，则a+b= ．
【答案】5
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，求得a=3,b=2，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵a是9的算术平方根，b是8立方根，
∴a= ❑√9=3,b=
3√8=2
∴a+b=3+2=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义，立方根的定义是解
题的关键．
12．（3 分）（24-25 七年级下·河南周口·期末）(−2
3)
5
×(
3
2)
4
= ．
【答案】−2
3
【分析】该题考查了积的乘方逆运用，根据积的乘方公式将原式变形为(−2
3)×(−2
3 × 3
2)
4
即可求解．
【详解】解：(−2
3)
5
×(
3
2)
4
=(−2
3)×(−2
3)
4
×(
3
2)
4
=(−2
3)×(−2
3 × 3
2)
4
=(−2
3)×(−1)
4
=−2
3
，
故答案为：−2
3
．
13．（3 分）（24-25 七年级下·全国·期末）若(x
2−3 x−2)(ax +1)的结果中不含有x的一次项，则a的值为
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．
【答案】−3
2
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键；
按照多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x 的一次项得出−(2a+3)=0，求出结
果即可．
【详解】(x
2−3 x −2)(ax +1)
=(x
2−3 x −2)ax +(x
2−3 x −2)，
=a x
3−3a x
2−2ax + x
2−3 x−2，
=a x
3+(1−3a) x
2−(2a+3) x−2，
若(x
2−3 x −2)(ax +1)的结果中不含有x的一次项，则−(2a+3)=0，
解得a=−3
2
．
故答案为：−3
2
．
14．（3 分）（24-25 八年级上·四川成都·期中）比较大小：
❑√5−2
2
1
2
（填“>”，“<”或者“=”）．
【答案】<
【分析】本题考查了实数的大小比较．估算❑√5的取值范围，然后比较❑√5−2与1 的大小即可．
【详解】解：∵4<5<9，
∴2<❑√5<3，
∴0<❑√5−2<1，
∴
❑√5−2
2
< 1
2
．
故答案为：＜．
15．（3 分）（24-25 八年级下·宁夏银川·期中）若多项式4 x
2−nxy + y
2能用完全平方公式因式分解，则n
的值是 ．
【答案】± 4
【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式
的结构特征判断即可确定出n的值．
【详解】解：∵多项式4 x
2−nxy + y
2能用完全平方公式因式分解，
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∴4 x
2−nxy + y
2=(2 x)
2−nxy + y
2=(2 x ± y)
2，
∴n=±2×(2×1)=± 4，
故答案为：± 4．
16．（3 分）将边长为m 的大正方形，长为m、宽为n 的长方形以及边长为n 的小正方形卡片拼成如图所
示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ．
【答案】m
2+ 4 mn+3n
2=(m+3n)(m+n)
【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长×宽=1个边长为m的大正方形+ 4个长为m、宽为n的
长方形面积+3个边长为n的小正方形面积，列式即可．
【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长×宽=1个边长为m的大正方形+ 4个长为m、宽为n的长
方形面积+3个边长为n的小正方形面积，
即：(m+3n)(m+n)=m
2+ 4 mn+3n
2，
∴根据图形写出一个多项式的因式分解为m
2+ 4 mn+3n
2=(m+3n)(m+n)
故答案为：m
2+ 4 mn+3n
2=(m+3n)(m+n)．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8 小题，满分72 分）
17．（6 分）计算．
(1)2 x
3⋅x
2−x
11÷(x
2)
3
(2)
(x −5)(x +1)−(x −2)
2
【答案】(1)x
5
(2)−9
【分析】（1）原式利用同底数幂的乘法，以及幂的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
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（2）原式利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】（1）解：原式=2 x
5−x
11÷ x
6
=2 x
5−x
5
= x
5
（2）解：原式= x
2+ x−5 x−5−x
2+ 4 x−4
=−9
【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6 分）（24-25 八年级下·甘肃兰州·期末）分解因式：
(1)9 x
2(m−2)+ y
2(2−m)
(2)4+12(x−y)+9(x−y)
2
【答案】(1)(m−2)(3 x + y)(3 x−y)
(2)
(2+3 x −3 y)
2
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键．
（1）先提取公因式(m−2)，然后再运用平方差公式分解即可；
（2）直接运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：9 x
2(m−2)+ y
2(2−m)
=9 x
2(m−2)−y
2(m−2)
=(m−2)(9 x
2−y
2)
=(m−2)(3 x + y)(3 x−y)．
（2）解：4+12(x−y)+9(x−y)
2
=2
2+12(x−y)+[3(x−y))
2
=[2+3(x−y))
2
=(2+3 x −3 y)
2．
19．（8 分）（24-25 七年级下·陕西安康·期末）已知a+3的立方根是2，3a+b−1的算术平方根是4．
(1)求a，b的值；
(2)求a+2b的平方根．
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【答案】(1)a=5，b=2
(2)±3
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键．
（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得；
（2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵a+3的立方根是2，3a+b−1的算术平方根是4，
∴a+3=8，3a+b−1=16，
∴a=5，b=2．
（2）解：当a=5，b=2时，a+2b=5+2×2=9，
9
∵的平方根为±3，
∴a+2b的平方根为±3．
20．（8 分）已知x
a=2，x
b= 4，x
c =8.
(1)求证：a+c =2b；
(2)求x
a−b+2c的值.
【答案】(1)见解析
(2)32
【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方法则可以得到x
a+c = x
2b即可得到结论；
（2）根据幂的运算得到x
a−b+2c = x
a÷ x
b⋅(x
c)
2，代入计算即可解题．
【详解】（1）证明：∵2×8= 4
2，
∴x
a⋅x
c =(x
b)
2.
即x
a+c= x
2b.
∴a+c =2b
（2）解：x
a−b+2c = x
a÷ x
b⋅(x
c)
2=2÷ 4×8
2=32
．
21．（10 分）（24-25 七年级上·上海·期中）下面是对整式x
3+ y
3因式分解的部分过程．
解：原式= x
3+ x
2 y −x
2 y + y
3（第一步）
=(x
3+ x
2 y)−(x
2 y −y
3)（第二步）
= x
2(x + y)−y (x
2−y
2)（第三步）
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=_____．（第四步）
=_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式8 x
3−1进行因式分解．
【答案】(1)提公因式法，公式法，分组分解法；
(2)见解析
(3)
(2 x −1)(4 x
2+2 x +1)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据所给因式分解过程即可得到答案；
（2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可；
（3）先把原式变形为(2 x)
3−(2 x)
2+(2 x)
2−1，再分组得到[(2 x)
3−(2 x)
2)+[(2 x)
2−1)，据此分解因式即
可．
【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；
（2）解：原式= x
2(x + y)−y (x + y)(x−y)（第四步）
=(x + y)(x
2−xy + y
2)（第五步）
（3）解：8 x
3−1
=(2 x)
3−1
=(2 x)
3−(2 x)
2+(2 x)
2−1
=[(2 x)
3−(2 x)
2)+[(2 x)
2−1)
=(2 x)
2(2 x −1)+(2 x +1)(2 x −1)
=(2 x −1)[(2 x)
2+2 x +1)
=(2 x −1)(4 x
2+2 x +1)．
22．（10 分）（24-25 八年级上·江西宜春·期中）已知A = y(2 y −3 x)+(2 x−y)( x +2 y)，
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B = x(x
2−3 x +1)．
(1)求证：代数式A的值与y的取值无关；
(2)若x =−2，求2 A + B的值．
【答案】(1)见解析
(2)−6
【分析】本题考查整式的乘法以及化简求值．
（1）将代数式A化简即可求解；
（2）计算2 A + B，进而将字母的值代入，即可求解．
【详解】（1）解：证明：A = y(2 y −3 x)+(2 x−y)( x +2 y)
=2 y
2−3 xy +2 x
2+ 4 xy −xy −2 y
2
=2 x
2
∴代数式A的值与y的取值无关
（2）解：∵A =2 x
2，B = x(x
2−3 x +1) = x
3−3 x
2+ x
∴2 A + B = 4 x
2+ x
3−3 x
2+ x
= x
3+ x
2+ x
∵x =−2，
∴2 A + B =(−2)
3+(−2)
2+(−2)=−8+ 4−2=−6
23．（12 分）（24-25 八年级下·广东佛山·期末）因式分解：
(x + y)
2+2(x + y)+1
解：令A = x + y．(解题过程将“x + y”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．)
则原式= A
2+2 A +1
=( A +1)
2
将A = x + y代入得：
原式=(x + y +1)
2
(1)仿照上述方法因式分解：
(x −1)
2+3(x −1)
(2)若a为正整数，说明代数式(a−1)(a−2)(a−3)(a−4)+1的值为一个整数的平方．
【答案】(1)( x−1)( x +2)
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(2)见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题．
（1）令a= x−1，代入式子得
(x −1)
2+3(x −1)=a(a+3)=(x −1)(x +2)
；
（2）
(a−1)(a−2)(a−3)(a−4)+1=(a
2−5a+ 4)(a
2−5a+6)+1
，令a
2−5a+ 4 = x
，原式
= x (x +2)+1=(x +1)
2=(a
2−5a+5)
2，据此证明．
【详解】（1）解：令a= x−1，
(x −1)
2+3(x −1) =a
2+3a
=a(a+3)
=( x−1)( x−1+3)
=( x−1)( x +2)；
（2）(a−1)(a−2)(a−3)(a−4)+1
=[(a−1)(a−4)][(a−2)(a−3)]+1
=(a
2−5a+ 4)(a
2−5a+6)+1，
令a
2−5a+ 4 = x，
原式= x( x +2)+1
= x
2+2 x +1
=(x +1)
2
=(a
2−5a+5)
2，
所以代数式(a−1)(a−2)(a−3)(a−4)+1的值为一个整数的平方．
24．（12 分）（24-25 八年级上·全国·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂
分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒
等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a 和b 的两个正方形，长宽分别为a 和b 的两个长方
形，利用这个图形可以验证公式 ___________，
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
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（2）若xy =2，x + y =7，则x
2+ y
2=___________；
【类比应用】
（3）若(20−x)(x−30)=10，求
(20−x)
2+(x −30)
2的值；
【知识迁移】
（4）如图②，在线段CE上取一点D，分别以CD、DE为边作正方形ABCD、DEFG，连接BG、CG、
EG．若阴影部分的面积和为11，△CDG的面积为7，求CE的长度．
【答案】（1）
(a+b)
2=a
2+2ab+b
2；（2）45；（3）80；（4）8
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识．
（1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得
出答案；
（2）根据x
2+ y
2=(x + y)
2−2 xy
整体代入计算即可；
（3）利用完全平方公式的变形进行解答即可；
（4）设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n，由题意可得mn=14，m
2+n
2=29，根据
(m+n)
2=m
2+n
2+2mn求出m+n的值即可．
【详解】（1）解：图①从“整体上”看是边长为a+b的正方形，因此面积为
(a+b)
2，拼成图①的四个部
分的面积和为a
2+2ab+b
2，
所以有(a+b)
2=a
2+2ab+b
2，
故答案为：(a+b)
2=a
2+2ab+b
2；
（2）∵xy =2，x + y =7，
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∴ x
2+ y
2=(x + y)
2−2 xy
= 49−4
= 45；
（3）∵(20−x)+(x−30)=−10，(20−x)(x−30)=10
∴(20−x)
2+(x −30)
2
=[(20−x)+(x−30))
2−2(20−x)(x−30)
=(−10)
2−2×10
=80
（4）设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n，由题意可得，
1
2 mn=7，1
2 n
2+ 1
2 m(m−n)=11
即m
2+n
2−mn=22，mn=14，
∴ m
2+n
2=36，
∴ (m+n)
2=m
2+n
2+2mn
=36+14×2
=64，
∵m>0，n>0，
∴m+n=8，
即CE =m+n=8．
