1
2.复数、平面向量
1.(2023 全国乙,文1)|2+i2+2i3|=( )
A.1
B.2
C.√5
D.5
2.(2023 广东广州二模)若a 为实数,且7+ai
3+i =2-i,则a=( )
A.2
B.1
C.-1
D.-2
3.(2023 新高考Ⅰ,2)已知z= 1-i
2+2i ,则z-z=( )
A.-i
B.i
C.0
D.1
4.(2023 广东佛山二模)已知▱ABCD 的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D 的坐标为( )
A.(1,4)
B.(1,5)
C.(2,4)
D.(2,5)
5.(2022 新高考Ⅰ,3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB=( )
A.3m-2n
B.-2m+3n
C.3m+2n
D.2m+3n
6.(2022 全国乙,理3)已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
7.(2023 湖南郴州三模)若1+i
z =2-i(其中i 为虚数单位),则z在复平面上所对应的点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.(2023 新高考Ⅰ,3)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),则( )
A.λ+μ=1
B.λ+μ=-1
C.λμ=1
D.λμ=-1
9.(2023 河北邯郸一模)已知复数z 是方程x2+4x+5=0 的一个根,且复数z 在复平面内对应的点位于第
三象限,则z=( )
A.2-i
B.2+i
C.-2-i
D.-2+i
10.(多选题)(2023 山东济南一模)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则( )
A.|a|=√10
B.(2a-b)⊥b
C.向量a 与b 的夹角为钝角
D.a 在b 上的投影向量的模为√5
5
11.(多选题)(2023 山东潍坊二模)在复数范围内关于x 的实系数一元二次方程x2+px+2=0 的两根为
x1,x2,其中x1=1+i,则( )
A.p=2
B.x2=1-i
C.x1·x2=-2i
D. x1
x2
=i
12.(2023 广东一模)在复平面内,已知复数z 满足|z-1|=|z+i|(i 为虚数单位),记z0=2+i 对应的点为点Z0,z
对应的点为点Z,则点Z0与点Z 之间距离的最小值为( )
A.√2
2
B.√2
C.3√2
2
D.2√2
13.(多选题)(2023 江苏南京、盐城一模)已知z 为复数,设z,z,iz 在复平面上对应的点分别为A,B,C,其
中O 为坐标原点,则( )
A.|⃗O A|=|⃗O B|
B.⃗O A ⊥⃗OC
C.|⃗AC|=|⃗BC|
D.⃗O B∥⃗AC
14.(2023 广东深圳二模)已知△OAB 中,⃗OC =⃗CA ,⃗O D=2⃗DB,AD 与BC 相交于点M,⃗O M=x⃗O A+y⃗
O B,则有序数对(x,y)=( )
A.(
1
2 , 1
3)
B.(
1
3 , 1
2)
2
C.(
1
2 , 1
4)
D.(
1
4 , 1
2)
15.(2023 全国乙,理12)已知☉O 的半径为1,直线PA 与☉O 相切于点A,直线PB 与☉O 交于B,C 两点,
D 为BC 的中点,若|PO|=√2,则⃗PA ·⃗PD的最大值为( )
A.1
2 + √2
2
B.1
2 +√2
C.1+√2
D.2+√2
16.(多选题)(2023 广东实验中学模拟)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它包含三个
结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O
的半径为2,点P 是圆O 内的定点,且OP=√2,弦AC,BD 均过点P,则下列说法正确的是( )
A.⃗PA ·⃗PC为定值
B.⃗O A ·⃗OC的取值范围是[-2,0]
C.当AC⊥BD 时,⃗AB·⃗CD为定值
D.当AC⊥BD 时,|⃗AC|·|⃗BD|的最大值为12
17.(2023 新高考Ⅱ,13)已知向量a,b 满足|a-b|=√3,|a+b|=|2a-b|,则|b|= .
18.(2023 湖南株洲模拟)若z=2+mi
1-2i 为纯虚数,则复数z 的虚部为 .
19.(2023 山东青岛一模)已知O(0,0),A(1,2),B(3,-1),若向量m∥⃗O A,且m 与⃗O B的夹角为钝角,写出一
个满足条件的m 的坐标为 .
20.(2023 江苏常州模拟)如图所示,边长为2 的等边三角形ABC,以BC 的中点O 为圆心,BC 为直径在
点A 的另一侧作半圆弧BC
⏜,点P 在圆弧上运动,则⃗AB·⃗AP的取值范围为 .
3
2.复数、平面向量
1.C 解析 |2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=√1
2+(-2)
2=√5.故选C.
2.C 解析 由题意得a=(2-i)(3+i)-7
i
=-i
i =-1.
3.A 解析 ∵z= 1-i
2+2i =(1-i)
2
2(1+i)(1-i) =(1-i)
2
2(1-i
2)
= 1-2i+i
2
2(1-i
2)
=-1
2i,∴z = 1
2i.∴z-z=-1
2i-1
2i=-i.
故选A.
4.B 解析 因为A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),所以由平行四边形可得⃗DC =⃗AB=(4,1),设D(x,y),则(5-
x,6-y)=(4,1),即5-x=4,6-y=1,所以x=1,y=5,即D 的坐标为(1,5).
5.B 解析 如图.∵BD=2DA,∴⃗AB=3⃗AD,
∴⃗CB =⃗CA +⃗AB =⃗CA+3⃗AD =⃗CA+3(⃗CD -⃗CA)=-2⃗CA+3⃗CD.
又⃗CA=m,⃗CD=n,
∴⃗CB=-2m+3n.故选B.
6.C 解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
7.D 解析 因为1+i
z =2-i,所以z=1+i
2-i =(1+i)(2+i)
(2-i)(2+i) = 1
5 + 3
5i,则z = 1
5 - 3
5i,
故z在复平面上所对应的点为(
1
5 ,- 3
5),该点在第四象限.
8.D 解析 (方法一)由题意,得a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(1+λ)(1+μ)
+(1-λ)(1-μ)=0,解得λμ=-1.故选D.
(方法二)由题意,得a2=12+12=2,b2=12+(-1)2=2,a·b=1×1+1×(-1)=0.
∵(a+λb)⊥(a+μb),∴(a+λb)·(a+μb)=a2+(λ+μ)a·b+λμb2=2+0+2λμ=0.解得λμ=-1.故选D.
9.D 解析 由题可得,复数范围内方程x2+4x+5=0 的根为x=-2±i.因为复数z 在复平面内对应的
点位于第三象限,
所以z=-2-i,则z=-2+i.
10.AD 解析 |a|=√1
2+3
2=√10,故A 正确;
2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b 与b 不垂直,故B 错误;
cos<a,b>= a·b
|a||b| =(1,3)·(-2,1)
√1+9×√4+1
=
1
5√2 = √2
10 >0,故向量a 与b 的夹角为锐角,故C 错误;
a 在b 上的投影向量的模为|a·b|
|b|
=|(1,3)·(-2,1)|
√4 +1
= √5
5 ,故D 正确.故选AD.
11.BD 解析 因为x1=1+i 且实系数一元二次方程x2+px+2=0 的两根为x1,x2,
所以x1x2=2,可得x2= 2
x1
= 2
1+i=1-i,故B 正确;
又x1+x2=1+i+1-i=2=-p,所以p=-2,故A 错误;
由x2=1+i,所以x1·x2=(1+i)2=2i≠-2i,故C 错误;
x1
x2
= 1+i
1-i =(1+i)
2
2
= 2i
2 =i,故D 正确.故选BD.
12.C 解析 由题可得,z0=2+i 对应的点为Z0(2,1).
设z=x+yi(x,y∈R),代入到|z-1|=|z+i|,
得|(x-1)+yi|=|x+(y+1)i|,
即√( x -1)
2+ y
2=√x
2+( y +1)
2,
4
整理得y=-x,即点Z 在直线y=-x 上,所以点Z0(2,1)与点Z(x,y)之间的距离的最小值即Z0(2,1)到直
线x+y=0 的距离d,由点到直线的距离公式可得d=|2+1|
√1+1 = 3√2
2 ,
所以点Z0与点Z 之间距离的最小值为3√2
2 .
13.AB 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则z=a-bi,iz=i(a+bi)=-b+ai,∴A(a,b),B(a,-b),C(-b,a),
故⃗O A=(a,b),⃗O B=(a,-b),⃗OC=(-b,a),⃗AC=(-b-a,a-b),⃗BC=(-b-a,a+b).
对于A,∵|⃗O A|=√a
2+b
2,|⃗O B|=√a
2+(-b)
2=√a
2+b
2,∴|⃗O A|=|⃗O B|,故选项A 正确;
对于B,∵⃗O A ·⃗OC=a(-b)+ba=0,∴⃗O A ⊥⃗OC,故选项B 正确;
对于C,|⃗AC|=√(-b-a)
2+(a-b)
2=√2a
2+2b
2,|⃗BC|=
√(-b-a)
2+(a+b)
2=√2a
2+2b
2+ 4 ab,
当ab≠0 时,|⃗AC|≠|⃗BC|,故选项C 错误;
对于D,∵a(a-b)-(-b)(-b-a)=a2-2ab-b2,a2-2ab-b2不一定为0,∴⃗O B不一定平行于⃗AC,故选项D 错
误.故选AB.
14.D 解析 由已知得⃗OC =⃗CA = 1
2⃗O A ,⃗O D = 2
3⃗O B ,⃗DB = 1
3⃗O B.
依题意A,M,D 三点共线,故⃗AM=λ⃗AD,
所以⃗O M =⃗O A +⃗AM =⃗O A+λ⃗AD =⃗O A+λ(⃗O D -⃗O A)=⃗O A+λ(
2
3⃗O B -⃗O A)= 2 λ
3⃗O B+(1-λ)⃗
O A.又C,M,B 三点共线,故⃗CM=μ⃗CB,则⃗O M =⃗OC +⃗CM =⃗OC+μ⃗CB =⃗OC+μ(⃗O B -⃗OC)=(1-μ)⃗
OC+μ⃗O B = 1- μ
2⃗
O A+μ⃗O B,所以{
1- μ
2
=1- λ,
μ= 2 λ
3 ,
解得{
λ = 3
4 ,
μ= 1
2 ,
所以⃗O M = 1
2⃗O B+ 1
4⃗O A.
又⃗O M=x⃗O A+y⃗O B,所以{
x = 1
4 ,
y = 1
2 ,
所以有序数对(x,y)=(
1
4 , 1
2).
15.A 解析 设∠DPO=α,由题可知α∈[0, π
4).
∵|⃗O P|=√2,|⃗O A|=1,∴∠OPA=π
4 ,
∴|⃗PD|=|⃗PO|cos α=√2cos α.
图1
5
当⃗PD ,⃗PA在PO 两侧时,如图1,⃗PA ·⃗PD=|⃗PA||⃗PD|cos(α+π
4 )=√2cos αcos(α+π
4 )=√2cos α(√2
2 cos
α-√2
2 sin α)
=cos2α-sin αcos α=1+cos2α
2
- 1
2sin 2α=-√2
2 sin(2α-π
4 )+1
2.∵α∈[0, π
4),
∴-π
4 ≤2α-π
4 < π
4 ,∴-√2
2 ≤sin(2α-π
4 )<√2
2 ,
∴0<-√2
2 sin(2α-π
4 )+1
2≤1,∴0<⃗PA ·⃗PD≤1.
图2
当⃗PD ,⃗PA在PO 同侧时,如图2,⃗PA ·⃗PD=|⃗PA||⃗PD|cos(α-π
4 )=√2cos αcos(α-π
4 )=cos2α+sin αcos α
=1+cos2α
2
+ 1
2sin 2α=√2
2 sin(2α+π
4 )+1
2.∵α∈[0, π
4),∴π
4 ≤2α+π
4 < 3 π
4 ,
∴√2
2 ≤sin(2α+π
4 )≤1,∴1≤⃗PA ·⃗PD≤√2+1
2
.
综上,⃗PA ·⃗PD最大值为√2+1
2
.故选A.
16.ACD 解析 如图,连接PO,OC,OA.
设直线PO 与圆O 交于点E,F,
则⃗PA ·⃗PC=-|⃗PA||⃗PC|=-|⃗EP||⃗PF|=-(|⃗O E|-|⃗PO|)(|⃗O E|+|⃗PO|)=|⃗PO|2-|⃗O E|2=-2,故A 正确.
取线段AC 的中点为M,连接OM,
则⃗O A ·⃗OC=(⃗O M +⃗MA)·(⃗O M +⃗MC)=(⃗O M -⃗MC)·(⃗O M +⃗MC)=|⃗O M|2-|⃗MC|2=|⃗O M|2-(4-|⃗
O M|2)=2|⃗O M|2-4,而0≤|⃗O M|2≤|⃗O P|2=2,故⃗O A ·⃗OC的取值范围是[-4,0],故B 错误;
当AC⊥BD 时,⃗AB·⃗CD=(⃗AP+⃗PB)·(⃗CP+⃗PD)=⃗AP·⃗CP+⃗PB·⃗PD=-|⃗AP||⃗CP|-|⃗PB||⃗PD|=-2|⃗
AP||⃗CP|=-4,故C 正确.
当AC⊥BD 时,圆O 半径r=2,取AC 中点为M,BD 中点为N,
则|⃗AC|2|⃗BD|2=4(r2-|⃗O M|2)·4(r2-|⃗O N|2)≤16(4 -|⃗O M |
2+ 4 -|⃗O N |
2)
2
4
=4[8-(|⃗O M|2+|⃗O N|
2)]=4(8-|⃗O P|2)=4×(8-2)2=144,当且仅当|⃗O M|2=|⃗O N|2=1,等号成立.故|⃗AC||⃗BD|的最大值为12,
故D 正确.
故选ACD.
17.√3 解析 由|a-b|=√3,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3 ①.又由|a+b|=|2a-b|,得
a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2,代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|=
√3.
18.1 解析 由题得,z=2+mi
1-2i =(2+mi)(1+2i)
(1-2i)(1+2i) = 2-2m+(4+m)i
5
= 2-2m
5
+ 4+m
5
i.
因为z 为纯虚数,所以2-2m=0,且4+m≠0,解得m=1,
6
则z=i,所以虚部为1.
19.(-1,-2)(答案不唯一) 解析 根据题意可得,⃗O A=(1,2),⃗O B=(3,-1),
设m=(x,y),因为向量m∥⃗O A,且m 与⃗O B的夹角为钝角,
所以{
1· y =2· x,
3· x +(-1)· y <0,
3· y ≠(-1)· x,
解得x<0.
不妨令x=-1,所以y=-2,得m=(-1,-2).
20.[2,5] 解析 过点O 作OD∥AB 交半圆弧于点D,连接AO,OP,如图.因为△ABC 是等边三角形,
所以∠BOD=π
3 .
设向量⃗O P ,⃗AB夹角为θ,当点P 在BD
⏜
上时,0≤θ≤π
3 ,当点P 在CD
⏜
上时,0≤θ≤2π
3 ,故-1
2≤cos
θ≤1.
由题可得,AO=√3,OP=1,∠OAB=π
6 ,⃗AP =⃗A O+⃗O P,
所以⃗AB·⃗AP =⃗AB·(⃗A O+⃗O P)=⃗AB·⃗A O+⃗AB·⃗O P=|⃗AB||⃗A O|cosπ
6 +|⃗AB||⃗O P|cos θ=2×
√3× √3
2 +2×1×cos θ=3+2cos θ∈[2,5].
