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14.1.1 直角三角形三边的关系
一、教学目标：
1．体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并
会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2．在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数
形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。
3．通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体
验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激
发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
二、教学重点、难点：
重点：探索和验证勾股定理过程；
难点：通过面积计算探索勾股定理。
三、教学方法及教学手段：
采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，培养
学生动手实践能力和合作交流的意识。
四、教学过程：
1．创设情境，导入课题
欣赏本章导图，激发学生兴趣，导入本节课题。
2．动手动脑，合作交流
活动：动脑想一想
小明用一边长为
的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？
①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。
②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为
），你能知道斜边的长吗？
③观察图形，并填空：
⑴正方形P 的面积为
，
正方形Q 的面积为
，
正方形R 的面积为
。
⑵你能发现图中正方形P、Q、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？
1
R
Q
P
C
B
A
⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R 的面积吗？你能发现直角三角形三
边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。
3.总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容。
勾股定理：直角三角形 等于
。
几何语言表述：如图，在RtΔABC 中，
C＝ 90°。
则：___________2+___________2=___________2
若BC=a，AC=b，AB=c，它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则上面
的定理可以表示为：___________________
4．验证定理
用直角边是a、b，斜边是c 的四个全等直角三角形（图1）拼成图2。
观察图形并思考、填空：大正方形的面积可表示为：
___________________________________ ①
这个正方形的面积还可以怎样表示？
___________________________________ ②
于是可列等式为_____ ，
化简得：
5.例题解讲
例1．(1) 在Rt△ABC 中， AB＝c， BC＝a， AC＝b，∠C＝90°．已知a＝2， b＝3， 求c；
解：在Rt△ABC 中， ∠C＝90°，
(2)在Rt△ABC 中，AB＝c，BC＝a， AC＝b， ∠B＝900，已知a＝24， c＝25， 求b．
2
b
a
C
A
C
B
例2：看图填空（图中的三角形都是直角三角形，四边形都为正方形）
= = 正方形C 的面积为
5．反馈练习，巩固新知
A 组：一、判断
①直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方（ ）
②Rt△ABC 中，
,
,则
（ ）
二、在Rt△ABC 中，
=90°，
，AC=b，BC=a
①若a=5,b=12，求c
②若a=16，c=20,求b.
三、1．在Rt△ABC 中，
，
，
，
（提醒学生注意边的位置）
①若
，
，则
.
②若
，
，则
.
③若
，
，则
，
.
2、已知等腰三角形ABC 的腰长为13 cm，另一边长是10cm，由顶点作高AD。求：(1)高AD
的长； (2)△ABC 的面积。
B 组：1、四边形ABCD 中，AD⊥DC，AD=8，DC=6，CB=24，AB=26.则
四边形ABCD 的面积为____.
3
36cm2
64cm2
x cm2
4cm
3cm
C
B
A
80cm2
33cm2
y cm2
C
B
A
c
b
a
2、如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，求OD2
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形
边长是
，则正方形A、B、C、D 的面积和是
。
6．课堂小结：
学了今天的课后，如果你对勾股定理另有自己的想法和证法，请你告诉我。
4
D
C
B
A
7cm
14.1.2 直角三角形的判定
教学目标：
（1）探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理
（2）会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形
（3）通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，7培养
学生数形结合的思想.
过程与方法：通过“创设情境---实验验证----理论释意---应用”的探索
过程，让学生感受知识的乐趣
情感目标：
（1）通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.
（2）、通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精
神.
教学重点：理解和应用直角三角形的判定方法．
教学难点：理解勾股定理的逆定理．
教学用具：三角板、多媒体、制作教具等
学生准备：三角板等
教学方法：以学生为主体的合作探究法
【教学过程】
一、创设情境，导入课题
1、回忆：（师设问，生思考并回答）
直角三角形有哪些性质？（从边、角考虑）
（1）有一个角是直角；
（2）两个锐角的和为90°(互余 )；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、创设情景：（师展示幻灯片介绍，生观看并思考）
神秘的数组（投影）
古巴比伦与中国、古埃及、古印度一并称为“四大文明古国”。在美国
5
哥伦比亚大学图书馆里收藏着一块编号为“普林顿322”的古巴比伦泥板，
泥板上一些神秘符号实际上是一些数组。经过专家潜心研究发现，如果在这
些数组的左边加一列数，那么每行的三个数就蕴藏着一个奥秘。
例：240、161、289。2402+1612=2892
小敏画了以240mm、161mm、289mm 为边长的△ABC，如图所示：
请你猜想．所画的△ABC 是直角三角形吗？为什么？
二、动手实践，发现新知
（一）探究活动一：（师观察学生的活动情况并鼓励有困难的学生，生合
作探究并观察猜想）
1、拼三角形：从长度分别为5 cm、6 cm、9 cm、12cm、13cm、15cm 的小
塑料棒中选出三根（1）6 9
13；
（2）9 12 15；
（3）5 12 13 拼出三个三
角形.
2、按要求填表：
三边的长
三边的关系（计算）
三角形的形状
较短
较短
最长
两条较短
的边的平
最长
边的
三角形的两条较短的边的
平方和与最长边的平方的
直角三角
形（填
哪边对
直角（填
6
古巴比伦泥板
边a
边b
边c
方和
平方
关系（ “≠”或“=”）
“是”或
“
不
是”）
a 或b 或
c）
6
9
13
9
12
15
5
12
13
3、按你拼图得到的猜想填空：
（1 ）三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方满足
，那么这个三角形是直角三角形。 边所对的角是直角。
（2）如果三角形的三边长为a、b、c 有关系： ，那么这个
三角形是直角三角形。
4、思考：如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这
个三角形还可能是直角三角形吗？
(二)、得出结论：（请学生口述 师完善并板书）
如果三角形的三边长a、b、c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三
角形.（板书）
（三）史料：古埃及人“三四五放线归方法”做直角三角形的理论根据.（师
生互动）
古埃及人没有先进的测量工具，据说当时他们采用“三四五放线
法”-- 归方。“ 归方”---做直角。他们用13 个等距的结把一根绳子分
成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第13 个结，两个助
手分别握住第4 个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，
其直角在第4 个结处.
他们能得到直角三角形吗？
7
解：如图，设每两个结的距离为x（x>0），
则AC=3x，BC=4x，AB=5x
AC2 +BC2 =(3x) 2 +(4x) 2 =25x2
AB2=(5x) 2 ( 25x2
AC2+BC2 =AB2
∴△ABC 是 直角三角形
实际上，我国古代大禹治水也用类似的方法。直至科技发达的今天
——人类已跨人21 世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五
放线法”．
三、范例学习：（师分析并强调用勾股逆定理判定直角三角形的的关键，书写
过程。生完成（2）（3）题，一人到黑板上板演）
例1、 设三角形三边长分别为下列各组数．试判断各三角形是否是直角
三角形．(1)a=7，b=25，c=24; (2)a=6，b=8，c=10；（3）a=13，b=11，c=9。
思路点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是否是直角三角形的步
骤：
①找出最长边；②看两条较短的边的平方和是否等于最长的边的平方。
如果相等，则是，最长边对直角； 如果不相等，则不是。
解：（1）最大边为25
∵a2+c2=72+242=49+576 =625
b2=252 =625
∴a2+c2= b 2
∴以7，25，24 为边长的三角形是直角三角形.
8
B
A
C
（2）、（3）学生板演
四、解决疑问：
1、我们现在有哪些方法可以判断一个三角形是直角三角形？
五、学以致用
练习1 、下面以a、b、c 为边长的△ABC 是不是直角三角形？如果是，那么哪
一个角是直角？
(1) a=12 b=16 c=20
(2) a=10 b=9 c=5
(3) a=8 b=12 c=15
练习2、若△ABC 的两边长为3 和5,则能使 △ABC 是直角三角形的第三边
的平方是 ( )
A、16 B、34 C、4 D、16 或34
练习3、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A、b2 = a2 －c2 B、a∶b∶c=3∶4∶5
C、∠C=∠A－∠B D、∠A∶∠B ∶∠C =3∶4∶5
练习4、三角形的两边为3 和5，要使它成为直角三角形，则第三边长为
。
练习5、小蒋要求△ABC 的的最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm。则可知最长
边上的高_______
练习6、一个零件的形状如下左图所示，按照规定这个零件中∠A 和∠DBC 都是直角.量
得各边尺寸如图所示，这零件符合要求吗？并说明理由。
9
A
B
C
D
A
B
D
C
3
4
5
12
13
变式训练（选做）
小明画了一个如上右图所示的四边形，其中AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，
∠A=90°，你能求出四边形ABCD 的面积吗？
五、课堂总结，发展潜能
1、一个定理-----勾股定理的逆定理；
２、一个方法-----直角三角形的又一个判定方法-；
3、一种思想-----数形结合的数学思想.
六、作业：P114 练习
10
14.1.3 反证法
教学目标
1．通过实例，体会反证法的含义．
2．了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．
3．理解本节中关于两线相交与平行的又一判定方法．
重点和难点
本节教学的重点是反证法的含义和步骤．课本“合作学习”要求用两种方法完成平行线的传递
性的证明，有较高难度，是本节教学的难点．
教学过程
一、创设情境，导入新课
利用课本中《路旁苦李》这个话题，利用多媒体给出这个故事的动画场景．
（营造开放的讨论场面，引导学生接近并进入反证法的话题）
二、合作交流，探求新知
教师给出问题：如果当时你也在场，你会怎么办？王戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断
方法正确吗？
他运用的是什么样的推理方法？
学生活动：小组讨论，要求能自说其圆．
（教师既要赞许类似王戎式的学生的判断方法，但也要肯定选择直接去尝试实验的学生的判断方
式，并以此为切入点引入课题）
教师板书课题：14.1.3 反证法．
三、理性概括，纳入系统
结合上面的问题情境，让学生讨论、归纳以下问题：
1．用自已的语言结合“路旁苦李”的故事阐述反证法的概念。
学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师作适当引导、调整．教师在课件中显示完整
的反证法概念，简要板书反证法的概念：从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已
知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法叫做反证法．
2.（教师把课本例题改编）填空：
已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.
求证：13与l2相交．
证明：假设， ，
即 ∥ ，
又∵ ∥ （已知），
∴ 过直线12外一点P 有两条直线11,13与直线12平行，
这与“ ”相矛盾，
∴ 假设不成立，即求证的命题成立，
∴ 13与12相交．
教师简单引导学生小结：证明两线相交的又一判定方法（课本黑体字）．
3．根据上述填空，讨论得出反证法的一般步骤：
（学生活动：讨论后举手回答，其他同学相互补充，教师一边引导一边板书反证法的一般证明步
11
P
l3
l1
l2
骤．）
①假设待证命题不成立，或命题的反面成立；②以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知
条件或正确命题相矛盾的结论；③这与“………”相矛盾；④所以所求证的命题成立，即……
四、学以致用，体验成功
1．由学生独立完成：课本“课内练习”第l 题．课本“作业题”第1 题．
2．小组合作学习：求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也
互相平行．
（1）你首选的是哪一种证明方法？
（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？
(3) 能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？
要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方
法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）；回顾（比较两种证明方法的特点）．
（教师：①例后引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证
明是一种证明的思路．②本题的结论是课本黑体字，是判定两直线平行的又一判定定理．）
五、实践应用，知识迁移
1．学生独立完成课本“课内练习”第2 题．
2．同伴（桌）合作完成课本“作业题”第3 题．
由学生推荐两组学生实物投影（或上台板演：同伴一起上台，一人主笔，一人检查核对）解答过程，
然后学生点评．点评内容包括：先是解答的同伴组自己阐述证明的设想或书写时的感想，再由他组同
学进行证明思路的繁简性比较、证明过程的书写规范性补充．教师给予恰当的肯定与鼓励．
六、总结回顾，反思内化
学生小结：通过这节课的学习，学到了哪些知识，技巧或数学思想方法？
(1)我学到了……（由学生自己从知识、方法、技巧、体会等角度去自我小结评价）
例如，我学到了什么是反证法；反证法的证明步骤；当正面证明一个命题比较繁杂或困难时，可
用反证法证明等．
教师也要特别强调反证法的证明书写步骤与规范格式，并根据学生的表现给予充分的肯定．
七、分层作业，延伸拓展
1．独立完成作业．
2.（小组合作选做）甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，
有四个人
猜测比赛结果：
A 说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军；;B 说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；;C 说：丙获跳远冠军，
丁获二百米冠军；D 说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军．
其中每个人都只说对一句，说错一句．你知道五人各获哪项冠军吗？
3.（个人选做）搜集生活中用反证法来说明或解决问题的例子，鼓励学生自己编写贴子贴在教室
墙上的交流栏内与同学交流．
教学效果预测
反证法的证明步骤学生应该能掌握得比较好，但假设的书写，对原命题结论的反面作为条件的
运用，以及推出的结论与谁相矛盾对中下学生来说具有一定的困难，尽管上课强调书写格式和规范，
但作业质量可能不一定会很理想，需要通过一定量作业的训练再纠正才能熟练．
12
