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11.1.1 三角形的边
一、单选题
1．若线段4、4、m 能构成三角形，且m 是整数，则m 的最大值为（ ）
A．10
B．8
C．7
D．4
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系可得0＜m＜8，且m 是整数，即可求解m 的最大值．
【详解】∵0＜m＜8，且m 是整数，
∴m=7，
故答案为：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系是解题的关键．
2．在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4
B．1，4，9
C．3，4，5
D．50，4，59
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系逐一进行判断即可．
【详解】A，
，故不能组成三角形；
B，
，故不能组成三角形；
C，
，故能组成三角形；
D，
，故不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形三边关系，掌握三角形三边关系是关键．
3．已知三角形的两边长分别为3cm、5cm，则此三角形第三边的长可以是（ ）
A．1cm
B．5cm
C．8cm
D．9cm
【答案】B
【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，
再选出答案即可．
【详解】设第三边的长度为xcm，由题意得：
5-3＜x＜5+3，
即：2＜x＜8，
∴5cm 可能，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不
等式即可．
4．在
中，若
，
，则第三边
的取值可能是（ ）
A．3．
B．5
C．9
D．10
【答案】B
【分析】根据三角形的三边不等关系：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，解答即可．
【详解】根据三角形的三边关系，得
6-3＜BC＜6+3，
即3＜BC＜9．符合条件的条件是BC=5，
故选：B．
【点评】此题考查了求三角形第三边的范围，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不
等式即可．
5．下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm
B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm
D．3cm，5cm，10cm
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【详解】根据三角形的三边关系，
A、4+5=9，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5=8＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于
第三个数．
6．三角形的两边长分别是4 和11，第三边长为
，则
的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进
行判断即可．
【详解】根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点评】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等
式即可．
7．若a，b，c 是△ABC 的三边，则化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a-b-c<0，
b-a-c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】根据三角形的三边关系，得
a-b-c<0，b-a-c <0
∴原式=
故选B．
【点评】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
8．如图，已知P 是△ABC 内任一点， AB＝12，BC＝10，AC＝6，则 PA+PB+PC 的值一定大于（ ）
A．14
B．15
C．16
D．28
【答案】A
【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结
论.
【详解】如图所示，在△ABP 中，AP+ BP> AB，
同理: BP + PC > BC，AP+ PC > AC，
以上三式左右两边分别相加得到:
2(PA+ PB+ PC)> AB+ BC+ AC,
即PA+ PB+ PC>
(AB+ BC+ AC)，
∴PA+ PB+ PC>
×（12+10+6）=14，
即PA+ PB+ PC>14
故选A.
【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加
后即可得到正确的结论;
二、填空题
9．已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n 满足
，则这个三角形最长边k 的取
值范围是________．
【答案】
【分析】根据
求出m、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为
最长边进一步即可确定k 的取值．
【详解】由题意得n-9=0，m-5=0，
解得 m=5，n=9，
∵m，n，k，为三角形的三边长，
∴
，
∵k 为三角形的最长边，
∴
．
故答案为：
【点评】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m、n 的长是解题关键，
确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件．
10．已知△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AB=4，AD=5，则边AC 的取值范围是______ ．
【答案】
【分析】延长AD 至点E，使AD=DE，由全等三角形的判定定理得出△ACD≌△EBD，故AC=BE，再由三角
形的三边关系即可得出结论．
【详解】延长AD 至点E，使AD=DE，
在△ACD 与△EBD 中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=BE．
在△ABE 中，∵AB=4，AE=2AD=10，
∴10-4＜BE＜10+4，即6＜BE＜14，
∴6＜AC＜14．
故答案为：6＜AC＜14．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此
题的关键．
11．如图，点P，G 在△ABC 内， 连接BP、PQ、QC，比较AB+AC 与PB+PQ+QC 的大小：
AB+AC_____PB+PQ+QC
【答案】
．
【分析】延长PQ 分别交AB 和AC 于F、E 两点，通过三角形中两边之和大于第三边即可证明．
【详解】如图，延长PQ 交AC 于F，反向延长PQ 交AB 于E，
根据三角形三边关系，AE+AF>EP+PQ+QF，
BE+EP>BP，FQ+FC>QC；
∴AE+AF+BE+EP+FQ+FC>EP+PQ+QF+BP+QC
即AB+AC>BP+PQ+QC．
【点评】本题考查三角形三边的关系，解题关键是知道任意两边之和大于第三边，通过式子的变换得到最
后的结论．
12．不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4；若四条整数长度的线段中，任
意三条不能构成三角形，则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7；……，依此规律，若八条整数长
度的线段中，任意三条不能构成三角形，则该八条线段的长度和的最小值为________．
【答案】
.
【分析】由三条整数长度的线段的长度和的最小值，初步找到最后一条线长为前两条长之和，即
；
由四条线段的长度和的最小值，可确定规律最后一条线长为前两条长之和，然后同理可得八条线段的长度
和的最小值.
【详解】根据题意，不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为
，初步找到最
后一条线长为前两条长之和，即
；
四条线段的长度和的最小值为
，也可找出最后一条线长为前两条长之和，即
；
同理可得：五条线段的长度和的最小值为
，
八条线段的长度和的最小值为
.
本题答案为：
.
【点评】本题考查了三角形的定义，构成三角形其中两边长之和必须大于第三边长，由简到繁，结合三角
形的定义知识点，找到规律是解本题的关键，这种发散思维的题型是今后一种趋势，可多体会.
三、解答题
13．已知，
的三边长为
，
，
．
（1）求
的周长的取值范围；
（2）当
的周长为偶数时，求
．
【答案】（1）
的周长
；（2）
，
或
．
【分析】（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x 的值．
【详解】（1）
的三边长分别为
，
，
，
，即
，
的周长
，
即：
的周长
；
（2）
的周长是偶数，由（1）结果得
的周长可以是
，
或
，
的值为
，
或
．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
是解答此题的关键．
14．在
中，已知
，若第三边
的长为偶数，求
的周长．
【答案】周长为
或
．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边
的长为偶数求出符合条件的
BC 值，即可求出周长．
【详解】
在
中，
，
第三边
的取值范围是：
符合条件的偶数是
或
，
当
时，
的周长为：
；
当
时，
的周长为：
．
的周长为
或
．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两
边之差小于第三边．
15．已知a，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，且
．
（1）求a 的取值范围；
（2）设
，求c 的取值范围
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）根据
可得
，再根据三角形三边关系得2b＞a，即可求出a 的取值范围；
（2）用含a 的代数式表示c，再根据a 的取值范围和不等式的性质即可求得c 的取值范围．
【详解】（1）∵
，
∴
，
∵a，b 是某一等腰三角形的底边长与腰长，
∴b+b=2b＞a＞0
∴
＞0，
解得：
；
（2）∵
，
，
∴
=
∵
，
∴
，
即
．
【点评】本题考查等式的性质、不等式的性质、解一元一次不等式、三角形的三边关系，掌握不等式的性
质，以及三角形的三边关系是解答的关键．
16．已知
的三边长
，
，
均为整数，且
和
满足
，求
的边长
．
【答案】2 或3 或4
【分析】先利用算术平方根和平方式的非负性求出a 和b 的值，再根据三角形三边关系求出c 的取值范围，
取范围内的整数．
【详解】
可以写成
，
∵
，
，
∴
，
，即
，
，
∵
，
∴
，
∵c 是整数，
∴c 可以取2，3，4．
【点评】本题考查算术平方根和平方式的非负性，三角形三边关系，解题的关键是掌握算术平方根、平方
式的性质和三角形三边关系．
17．若一个三角形的三边长分别是a，b，c，其中a 和b 满足方程组
，若这个三角形的周长为
整数，求这个三角形的周长．
【答案】9．
【分析】由方程组
解得
，进而根据题意确定c 值，即可求解．
【详解】由
，解得：
∴3＜c＜5，
∵周长为整数，
∴c＝4，
∴周长＝4+4+1＝9．
【点评】此题主要考查解二元一次方程组、三角形的三边关系、一元一次不等式组的整数解，根据题意确
定c 值是解题关键．
18．三边长均为整数，且周长为30 的不等边三角形有多少个？
【答案】18
【分析】不妨设三角形三边为
、
、
，且
，由三角形三边关系定理及题设条件可确定
的取
值范围，以此确定
的值，再确定
、
的值．
【详解】设三角形三边为
、
、
，且
，
∵
，
，
∴
，即
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
又∵
为整数，
∴
为
、
、
、
、
，
∵①当
为
时，有1 个三角形，
，
，
；
②当
为
时，有2 个三角形，
，
，
；
，
，
；
③当
为
时，有4 个三角形，
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
④当
为
时，有5 个三角形，
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
⑤当
为
时，有7 个三角形，
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
，
，
；
都是整数的三角形共有19 个，其中不等边三角形共有18 个．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，根据三边关系以及周长正确确定边的范围是解题关键．
19．已知木棒a 长度为35 厘米、木棒b 长度为70 厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒c 与木棒a、b 首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒c 长度的取值范
围；
（2）有一木棒长度为130 厘米，现要求把其切割分为两根木棒d、e（木棒d、e 的长度之和恰好为130 厘
米），若在a、d、e 中任选2 根木棒，它们与木棒b 首尾顺次连接都能组成三角形，求木棒d 长度的取值
范围；
（3）若木棒d 的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长分别是多少厘
米？
【答案】（1）木棒c 长度的取值范围是35cm＜c＜105cm；（2）35cm＜d＜95cm；（3）最小的周长是
141cm，最大的周长是209cm．
【分析】（1）根据三角形的三边长关系，即可得到答案；
（2）分3 种情况：①如果a、d、b 能组成三角形，②如果a、e、b 能组成三角形，③如果d、e、b 能组成
三角形，分别求出d 的取值范围，进而即可得到答案；
（3）分3 种情况：①如果a、d、b 能组成三角形，②如果a、e、b 能组成三角形，③如果d、e、b 能组成
三角形，分别求出组成的三角形里最小的周长以及最大的周长，进而即可得到答案．
【详解】（1）根据三角形的三边关系，得70
35
﹣
＜c＜70+35，即35＜c＜105．
∴木棒c 长度的取值范围是：35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果a、d、b 能组成三角形，那么35cm＜d＜105cm；
②如果a、e、b 能组成三角形，那么35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果d、e、b 能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，即|130﹣d
70|
﹣
＜d＜130﹣d+70，
解得：30cm＜d＜100cm，
综上所述，35cm＜d＜95cm；
（3）若木棒d 的长为偶数，
①如果a、d、b 能组成三角形，那么d 最小值为36cm，最大值为104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果a、e、b 能组成三角形，则d 最小值为26cm，最大值为94cm，那么e 最小值为36cm，最大值为
104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果d、e、b 能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）．
综上所述，最小的周长是141cm，最大的周长是209cm．
【点评】本题主要考查三角形的三边长关系以及不等式组的实际应用，根据三角形两边之和大于第三边，
两边之差小于第三边，列出不等式组，是解题的关键．
20．从1，2，3，…，2004 中任选K-1 个数中，一定可以找到能构成三角形边长的三个数（这里要求三角
形三边长互不相等），试问满足条件的K 的最小值是多少？
【答案】17
【解析】
【分析】这一问题等价于在1，2，3，2004 中选K
1
﹣个数，使其中任意三个数都不能成为三边互不相等的
一个三角形三边的长，试问满足这一条件的K 的最大值是多少？符合上述条件的数组，当K＝4 时，最小的
三个数就是1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
【详解】为使K 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an显然总有ai大于等于①中的第i 个数，所以n≤16≤K
1
﹣，
K
1≥16
﹣
，解得：K≥17．
故K 的最小值为17．
【点评】本题考查了三角形三边关系．解题的关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数之和的16 个
数，从而列不等式求出K 的最小值．
